Mathématiques - ECS1. Matrices. 30 avenue de Paris Versailles. c 2015, Polycopié du cours de mathématiques de première année.

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1 Mathématiques - ECS1 7 Matrices Lycée La Bruyère 30 avenue de Paris Versailles c 2015, Polycopié du cours de mathématiques de première année

2 7 Matrices Dans tout ce qui suit, K désigne R ou C 71 Objectifs Ensemble M n,p (K) des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients dans K Opérations dans M n,p (K) Produit matriciel Transposée d une matrice Transposition d un produit Ensemble M n (K) des matrices carrées d ordre n à coefficients dans K Matrices triangulaires, diagonales, symétriques, antisymétriques Matrices inversibles, inverse d une matrice Ensemble GL n (K) Inverse d un produit Transposition de l inverse Formule donnant l inverse d une matrice carrée d ordre 2 Calcul de l inverse de la matrice A par la résolution du système AX = Y Inversibilité des matrices triangulaires, diagonales Addition, multiplication par un scalaire On pourra faire le lien entre le produit AB et le produit de A avec les colonnes de B Notation t A On admettra que pour une matrice carrée, un inverse à gauche ou à droite est l inverse 72 Ensemble des matrices M np (K) 721 Définition Définition 721 Soient n, p des entiers naturels non nuls matrice à n lignes et p colonnes toute application A : 1, n 1, p K (i, j) a i, j On la note alors A = (a i, j )1 i n et on dit que a i, j est le terme d indice (i, j) 1 j p 2

3 72 Ensemble des matrices M np (K) 3 Une matrice A = (a i, j )1 i n est donc une famille d éléments de K Elle est représentée 1 j p par un tableau rectangulaire : A = (a i, j )1 i n = 1 j p a 11 a 12 a 1p a 21 a 22 a 2p a n1 a n2 a np L ensemble des matrices à n lignes et p colonnes est noté M n,p (K) La matrice à n lignes et p colonnes ne comportant que des s appelle matrice nulle et est simplement notée Matrices particulières Matrices lignes, matrices colonnes Si p = 1, l ensemble M n,1 (K) est l ensemble des matrices colonnes (on dit aussi vecteur colonne) a 11 a 21 C = Si n = 1, l ensemble M 1,p (K) est l ensemble des matrices lignes (on dit aussi vecteur ligne) L = ( a 11 a 12 a 1p ) Matrices carrées, triangulaires, diagonales Si n = p, l ensemble M n,n (K) est l ensemble des matrices carrées de taille n n On le note plus simplement M n (K) Une matrice carrée D = (d i, j ) est dite diagonale si d i, j = 0 dès que i j d D = a n1 0 d d nn La matrice ne comportant que des 1 sur la diagonale et des 0 aillleurs s appelle matrice identité et est notée I n

4 4 Matrices Une matrice carrée T = (t i, j ) est dite triangulaire supérieure lorsque t i, j = 0 dès que i > j t 11 t 12 T = t 1n 0 t 22 tn 1,n 0 0 t nn Une matrice carrée T = (t i, j ) est dite triangulaire inférieure lorsque t i, j = 0 dès que i < j t Matrices transposées t T = 21 t 22 0 t n1 t n,n 1 t nn Si A = (a i j ) M n,p (K), on appelle matrice transposée de A la matrice notée t A de M p,n (K) dont le terme d indice (k, l) est a lk a 11 a 12 a 1p a 11 a 21 a n1 a 21 a 22 a 2p a 12 a 22 a n2 A = = t A = a n1 a n2 a np a 1p a 2p a np La i-ème ligne de A devient la i-ème colonne de t A 73 Opérations dans M n,p (K) 731 Addition de deux matrices Soient A = (a i j )1 i n et B = (b i j )1 i n deux matrices de M n,p (K) On définit la somme 1 j p 1 j p A + B comme la matrice dont le coefficient d indice (i, j) est a i j + b i j 732 Multiplication à gauche par un scalaire Soient A = (a i j )1 i n une matrice de M n,p (K) et λ K On définit la matrice λa comme 1 j p étant celle dont le coefficient d indice (i, j) est λa i j Exemple 731 Par exemple, dans M 2 (R) ( ) 3 ( ) 2 3 = 2 3 Exemple 732 Matrices élémentaires La matrice élémentaire E i, j d indice (i, j) de M n,p (K) est la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf celui d indice (i, j) qui vaut 1 Par exemple, dans M 2,3 (R), E 11 = ( ), E 12 = ( ) 0 1 0, E = ( )

5 73 Opérations dans M n,p (K) 5 E 21 = ( ) 0 0 0, E = ( ) 0 0 0, E = ( ) Avec les matrices élémentaires, une matrice A = (a i j ) M n,p (K) se décompose en n p A = a i j E i j i=1 j=1 Par exemple, dans M 2,3 (R), ( ) = E E 13 3E Produit de deux matrices Soient A = (a i j ) M n,p (K) et B = (b i j ) M p,q (K) deux matrices On définit le produit AB comme la matrice dont le coefficient d indice (i, j) est p c i j = a ik b k j k=1 Remarque 1 Le produit AB n est possible que si le nombre de lignes de B est égal au nombre de colonnes de A Dans ce cas, on obtient en pratique le coefficient d indices (i, j) en effectuant le produit scalaire de la i-eme ligne de A par la j-eme colonne de B ( 1 1 Exemple 733 Soit A = Exemple 734 Soit A = ), B = ( et B = ( Exemple 735 Calculer le produit AB lorsque A = , B = ) Calculer AB et BA ) Calculer AB Remarque 2 Un produit AB = 0 n implique pas A = 0 ou B = 0 L ensemble M n (K) contient des diviseurs de 0 ( ) ( ) A =, B = On a AB = 0 mais ni A ni B n est nulle Exercice 1 On dit qu une matrice A = (a i j ) 1 i, j n M n (R) est stochastique si pour tout (i, j) {1, 2,, n} 2, a i j 0 n pour tout i {1, 2,, n}, a i j = 1 j=1 Montrer que le produit de deux matrices stochastiques est une matrice stochastique

6 6 Matrices Exercice 2 Pour A = (a i, j ) 1 i, j n M n (R), on définit la trace de A par tr(a) = (a) Vérifier que tr(a + B) = tr(a) + tr(b) (b) Montrer que pour tout A, B M n (R), on a tr(ab) = tr(ba) n a i,i i=1 Exercice 3 Dans M n (K), effectuer le produit E i j E kl 734 Ecriture matricielle d un système linéaire Résoudre un système linéaire revient à résoudre une équation matricielle En effet, le système linéaire suivant a 11 x 1 + a 12 x 2 + +a 1p x p = y 1 a (S ) : 21 x 1 + a 22 x 2 + +a 2p x p = y 2 a n1 x 1 + a n2 x 2 + +a np x p = y n a 11 a 12 a 1p x 1 y 1 a 21 a 22 a 2p x 2 y 2 se réecrit sous la forme AX = Y où A =, X =, Y = a n1 a n2 a np 735 Propriétés relatives aux opérations sur les matrices Soient n, p, q, r des entiers non nuls (1) Quelque soit A M np (K), B M np (K), C M pq (K), (A + B)C = AC + BC (2) Quelque soit A M np (K), B M pq (K), C M pq (K), A(B + C) = AB + AC (3) Quelque soit A M np (K), B M np (K) et λ K, (λa)b = A(λB) = λab (4) Quelque soit A M np (K), B M np (K), C M pq (K), A(BC) = (AB)C = ABC (5) Quelque soit A M np (K), AI p = I n A = A 736 Produit de matrices diagonales, matrices triangulaires Soient α R et D 1, D 2 deux matrices diagonales : λ µ λ D 1 = 2 0 µ, D 2 = λ n 0 0 µ n Les matrices αd 1, D 1 + D 2 sont diagonales De plus, le produit de deux matrices diagonales est une matrice diagonale λ 1 µ D 1 D 2 = 0 λ 2 µ λ n µ n x p y n

7 74 Matrices inversibles Ensemble GL n (K) 7 L ensemble D n des matrices diagonales de M n (K) est stable par somme et produit Soient α R et T 1, T 2 deux matrices triangulaires supérieures : a 11?? b 11?? 0 a T 1 = 22 0 b, T 2 = 22?? 0 0 a nn 0 0 b nn Les matrices αt 1, T 1 +T 2 sont triangulaires supérieures De plus, le produit de deux matrices triangulaires supérieures est une matrice triangulaire supérieure a 11 b 11?? 0 a T 1 T 2 = 22 b 2? 0 0 a nn b nn L ensemble T n + des matrices matrices triangulaires supérieures de M n (K) est stable par somme et produit De même, l ensemble Tn des matrices matrices triangulaires inférieuers de M n (K) est stable par somme et produit 74 Matrices inversibles Ensemble GL n (K) 741 Définition et propriétés Définition 741 Une matrice carrée A M n (K) est dite inversible lorsqu il existe une matrice carrée B M n (K) telle que AB = BA = I n Dans ce cas, la matrice B est unique et on note B = A 1 L ensemble des matrices inversibles est noté GL n (K) Proposition 741 Soient A, B GL n (K) alors (1) A 1 GL n (K) et (A 1 ) 1 = A (2) (AB) 1 = B 1 A Caractérisation d une matrice inversible Proposition 742 Soit A M n (K) et X un vecteur colonne à n lignes La matrice A est inversible si et seulement si l équation AX = 0 admet X = 0 pour unique vecteur solution Exemple 741 Soit A = A l aide de la caractérisation précédente, étudier l inversibilité de A

8 8 Matrices Proposition 743 Cas des matrices diagonales et triangulaires (1) Une matrice diagonale est inversible si et seulement si ses coefficients diagonaux sont non nuls (2) Une matrice triangulaire est inversible si et seulement si ses coefficients diagonaux sont non nuls 743 Méthode de calcul pratique de l inverse d une matrice (1) Si AB = I n alors A et B sont inversibles et inverses l une de l autre (2) Si pour tous X, Y K n, Y = AX X = BY alors A est inversible et A 1 = B Exemple 742 Soit A = Calculer A3 6A A et en déduire l inversibilité et l inverse de A Exemple 743 Montrer que la matrice A est inversible et calculer son inverse où A = Exercice 4 Soit A M n (K) une matrice à diagonale strictement dominante : n i 1, n, a ii > a i j Montrer que A est inversible (raisonner par l absurde) j=1 Proposition 744 Cas des matrices 2 2 Une matrice seulement si ad bc 0 et dans ce cas, ( ) a b = c d 1 ad bc ( ) d b c a ( ) a b est inversible si et c d Remarque ( 3 La ) condition ad bc 0 signifie simplement que les vecteurs colonnes de la a b matrice ne sont pas proportionnels c d ( ) cos θ sin θ Exemple 744 Soit θ R et A θ = On a cos θ cos θ + sin θ sin θ = 1 0 sin θ cos θ ( ) cos θ sin θ donc A θ est inversible et son inverse est la matrice A 1 θ = A θ = sin θ cos θ

9 75 Transposition 9 75 Transposition Proposition 751 La transposition est une application linéaire de M np (K) vers M pn (K) De plus, pour toute matrice A M np (K), t ( t A) = A Proposition 752 Quelque soient les matrices A M np (K), B M pq (K), t (AB) = ( t B)( t A) Proposition 753 Soit A M n (K) Alors A est inversible si et seulement si t A est inversible et dans ce cas, ( t A) 1 = t (A 1 ) Définition 751 Soit A M n (K) (1) La matrice A est symétrique si t A = A (2) La matrice A est antisymétrique si t A = A Le sous ensemble des matrices symétriques est noté S n (K) et et celui des matrices antisymétriques est noté A S n (K) 76 Exercices Exercice 5 Former le produit AB, lorsqu il est possible, dans chacun des cas ci-dessous : ( ) (a) A =, B = ( ) (b) A = 1 0, B = (c) A = 2 1 0, B = ( ) (d) A =, B = (e) A = ( ) , B =

10 10 Matrices Exercice 6 On considère les deux matrices de M 3 (R) : A = et B = Calculer A + B, (A + B) 2, A 2, B 2, AB et BA En déduire que (A + B) 2 A 2 + 2AB + B Exercice 7 Soit A = Montrer qu il n existe aucune matrice M M 2,3 (R) telle que AM = I 3 mais qu il existe une infinité de matrices N M 2,3 (R) telles que NA = I 2 Exercice 8 Pour toute matrice A = (a i, j ) 1 i, j n de M n (R), on définit la trace de A par n tr(a) = a i,i i=1 (a) Montrer que pour toutes matrices A et B de M n (R), tr(a + B) = tr(a) + tr(b) (b) Montrer que pour toutes matrices A et B de M n (R), tr(ab) = tr(ba) Exercice 9 Dans cet exercice, n et p désignent deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 1 et A un élément de M n,p (R) Montrer que t AA = 0 si et seulement si A = 0 Exercice 10 On dit qu une matrice A = (a i j ) 1 i, j n M n (R) est stochastique si pour tout (i, j) {1, 2,, n} 2, a i j 0, n pour tout i {1, 2,, n}, a i j = 1 j=1 Montrer que le produit de deux matrices stochastiques est une matrice stochastique Exercice 11 Calculer les matrices inverses des matrices suivantes : ( ) A =, B = , C = D = 0 0 1, E = 1 3 1, F =

11 76 Exercices Exercice 12 Soit A = Du calcul de (A + I 3) 3, déduire que A est inversible Exercice 13 Montrer que la matrice n n A = est inversible et calculer son inverse Exercice 14 Soit la matrice n n A = Du calcul de A 2, montrer que A est inversible et donner son inverse On pourra introduire la matrice J dont tous les coefficients sont égaux à 1 Exercice 15 Soit A une matrice carrée n n telle que A 3 = 2I n Montrer que la matrice B = A 2 2A + 2I n est inversible Exercice 16 Soit A = (a) Calculer et exprimer A 2 en fonction de A et I 3 (b) En déduire que A est inversible et exprimer A 1 en fonction de A et I 3 (c) Montrer qu il existe deux suites (a n ) et (b n ) telles que pour tout n N, A n = a n A + b n I 3 Exprimer a n+1 et b n+1 en fonction de a n et b n (d) Déterminer l expression de a n et b n en fonction de n et donner l expression de A n en fonction de n, A, I 3 Exercice 17 Soit A une matrice telle que ka k+1 = (k + 1)A k Simplifier la somme 1 + 2x + 3x kx k 1 Montrer que A I n est inversible

12 12 Matrices Exercice 18 Soient A et B deux matrices telles que AB = I n + B 2 A 2 et A 3 = B 3 Montrer que BA = I n + A 2 B 2 Exercice 19 On pose F 0 = 0, F 1 = 1 et pour tout n N, F n+2 = F n+1 + F n ( ) 1 1 En considérant la matrice M =, montrer que F 1 0 m+n+1 = F m+1 F n+1 + F m F n Que vaut F n+1 F n 1 Fn 2? x 1 0 Exercice 20 Soit P R[X] et A = 0 x 1 Montrer que 0 0 x P(x) P (x) P (x)/2 P(A) = 0 P(x) P (x) 0 0 P(x) Exercice 21 On appelle graphe fini tout couple G = (S, A) formé d ensemble de sommets numérotés S = {1, 2,, p} et d un ensemble d arêtes A formé de paires de points {i, j} où i j On représente un graphe en considérant p points du plan ou de l espace en traçant une arête entre les points des paires de A Par exemple, le couple (S, A) où S = {1, 2, 3, 4} et A = {{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}} correspond au graphe suivant : A tout graphe G = (S, A), on asocie sa matrice d adjacence M = (m i, j ) 1 i, j p définie par { 1 si {i, j} A m i, j = 0 sinon Un chemin entre deux sommets a et b est une suite (x 0, x 1,, x n ) telle que x 0 = a, x n = b et pour tout i {1, 2,, n 1}, {x i, x i+1 } A L entier n est alors appelé longueur du chemin (1) Cas du graphe triangulaire : G = (S, A) où S = {1, 2, 3} et A = {{1, 2}, {2, 3}, {3, 1}} (a) Donner la matrice M d adjacence du graphe G et vérifier que m k,l est le nombre de chemins de longueur 1 reliant les sommets k et l

13 77 Indications pour les exercices 13 (b) Calculer M 2 On note (2) m k,l le coefficient d indice (k, l) de M 2 Vérifier que (2) est le nombre de chemins de longueur 2 reliant les sommets k et l (c) Soit n N On note (n) m k,l le coefficient d indice (k, l) de M n Montrer que (n) est le nombre de chemins de longueur n reliant les sommets k et l (d) Quel est le nombre de chemins de longueur n reliant les sommets 2 et 3? (2) Tracer le graphe de matrice d adjacence M = m k,l m k,l Exercice 22 Pour n N, on note S n l ensemble des matrices A = (a i, j ) M n (R) telles que, pour tout i 1, n, n a i, j = 1 j=1 S + n l ensemble des matrices de S n à coefficients positifs ou nuls J n la matrice de M n (R) dont tous les coefficients valent 1 ( ) a 1 a (1) Pour tout (a, b) [0, 1] 2, on pose M a,b = Étudier l inversibilité de M b 1 b a,b et calculer son inverse lorsqu elle existe (2) (a) Soit A M n (R) Montrer que A S n si et seulement AJ n = J n (b) Vérifier que S n est stable pour la multiplication (c est à dire que le produit de deux éléments de S n est un élément de S n ) (c) Soit A S n inversible Montrer que A 1 S n (d) Vérifier que S + n est stable pour la multiplication Soit A S + n inversible A-ton A 1 S + n? (3) Soit σ une permutation de {1, 2,, n} On note M σ la matrice n n dont le coefficient d indice (i, j) est δ 0,i σ( j) (a) Vérifier que M σ S + n (b) Justifier que M σ est inversible et déterminer son inverse en fonction de σ Vérifier que M 1 σ S + n (4) Soit A S + n inversible telle que A 1 S + n On note A 1 = (b i, j ) 1 i, j n (a) Montrer que pour tout (i, j, k) 1, n 3 on a : (i j) = b i,k a k, j = 0 (b) En déduire que chaque colonne de A contient un unique élément non nul (c) En déduire qu il existe une permutation σ de {1, 2,, n} telle que A = M σ 77 Indications pour les exercices Indication pour l exercice 9 Etablir t AA = a 2 i, j

14 14 Matrices Indication pour l exercice 12 Former une matrice B telle que AB = I 3 78 Correction des exercices ( ) Correction de l exercice 5 (a) A =, B = ( ) (b) A = 1 0, B = (c) A = 2 1 0, B = ( ) (d) A =, B = (e) A = ( ) , B = Correction de l exercice 6 Correction de l exercice 7 NA = I 2 ssi A + B, (A + B) 2, A 2, B 2, AB et BA AM = I 3 ssi Correction de l exercice 8 (a) Pour toutes matrices A et B de M n (R), tr(a + B) = tr(a) + tr(b) (b) Pour toutes matrices A et B de M n (R), tr(ab) = tr(ba) Correction de l exercice 9 Correction de l exercice 10 On a t AA Soient A, B deux matrices stochastiques Correction de l exercice 11 ( ) A =, B = D 1 = , E 1 = Correction de l exercice 12 (A + I 3 ) 3 = 1 1 1, C 1 = , F 1 = Correction de l exercice 13 A 1 Correction de l exercice 14 A 2

15 78 Correction des exercices 15 Correction de l exercice 15 B = A 2 2A + 2I n Correction de l exercice 16 (a) Calculer et exprimer A 2 en fonction de A et I 3 (b) En déduire que A est inversible et exprimer A 1 en fonction de A et I 3 (c) Montrer qu il existe deux suites (a n ) et (b n ) telles que pour tout n N, A n = a n A+b n I 3 Exprimer a n+1 et b n+1 en fonction de a n et b n (d) Déterminer l expression de a n et b n en fonction de n et donner l expression de A n en fonction de n, A, I 3 Correction de l exercice x + 3x kx k 1 Correction de l exercice 18 A 3 + B 3 = 0

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