Matrices. 5 février 2018

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1 Matrices 5 février 218

2 Table des matières 1 Généralités 3 11 Généralités Définitions Notation Egalité entre deux matrices : Ensemble de matrices 3 12 Des cas particuliers Matrices lignes, matrices colonnes Matrices nulles Matrices carrées, diagonales, triangulaires Compléments : Matrices élémentaires, symbole de Kronecker 4 2 Opérations 5 21 Les opérations d un ensemble de vecteurs Produit par un scalaire Somme de deux matrices Combinaison linéaire Propriétés 6 22 Produit de deux matrices Introduction Définition Propriétés Loi non commutative, non intègre Cas particuliers Compléments : Opérations élémentaires 1 23 Puissance Définition Propriétés Cas particuliers Formule du binôme Formule de Bernoulli(Complément) 11 3 Matrice inversible Définition Deux résultats admis (pour l instant) Montrer qu une matrice n est pas inversible Montrer qu une matrice est inversible et déterminer son inverse Résoudre un système Utiliser une relation sur les puissances de la matrice Propriétés Régularité à gauche, à droite Matrice λa Inverse d un produit Cas particuliers Matrice diagonale Matrice triangulaire 15 1

3 363 Les matrices 2 2 Déterminant Matrice des opérations élémentaires 16 4 Matrice transposée Définition Propriétés Inverse Matrices symétriques, antisymétriques 18 2

4 1 Généralités Dans ce chapitre n, r, q et p sont des entiers naturels non nuls, Les éléments de R ou de C sont appelés nombres ou scalaires 11 Généralités 111 Définitions Définition : Une matrice de taille (n, p) est un tableau rectangulaire de nombres comportant n lignes et p colonnes Ces nombres sont appelés coefficients de la matrice 112 Notation ou encore : A (a i,j ) (i,j) [[ 1,n ]] [[ 1,p ]] ou A (a i,j ) 1 i n A a 1,1 a 1,2 a 1,j a 1,p a 2,1 a 2,2 a 2,j a 2,p a i,1 a i,2 a i,j a i,p a n,1 a n,2 a n,j a n,p Le premier indice indique la ligne, le second indice la colonne On notera parfois (A) i,j le coefficient de A se trouvant à la i-ème ligne et à la j-ième colonne (A) i,j a i,j 113 Egalité entre deux matrices : Deux matrices sont égales si, et seulement si, elles ont même taille et que leurs coefficients sont égaux (pour tout couple (i, j) [[ 1, n ]] [[ 1, p ]], a i,j b i,j ) 114 Ensemble de matrices On note : M n,p (R) l ensemble des matrices n p à coefficients réels, M n,p (C) l ensemble des matrices n p à coefficients complexes M n (R) l ensemble des matrices carrées n n 3

5 12 Des cas particuliers 121 Matrices lignes, matrices colonnes Si n 1, on dit que la matrice A est une matrice ligne Si p 1, on dit que la matrice A est une matrice colonne Pour A une matrice de M n,p (R) on appelle : i ième ligne de A est la matrice ligne (a i,1 a i,2 a i,p ) a 1,j j ième a 2,j colonne de A est la matrice colonne a n,j 122 Matrices nulles La matrice nulle à n lignes et p colonnes est la matrice de M n,p (R) avec que des coefficients nuls On les note : ou n,p 123 Matrices carrées, diagonales, triangulaires Si n p, on dit que la matrice A est une matrice carrée Lorsque A est une matrice carrée, on dit qu elle est : triangulaire supérieure lorsque (i, j) [1, n] 2, i > j a i,j, triangulaire inférieure lorsque (i, j) [1, n] 2, i < j a i,j, diagonale lorsque (i, j) [1, n] 2, i j a i,j, Cette matrice se note aussi : Diag(a 1,1 ; a 2,2 ; ; a n,n ) La matrice identité de dimension n (nécessairement une matrice carrée) notée I n est la matrice de M n (R) : I n Diag(1; 1; ; 1) 124 Compléments : Matrices élémentaires, symbole de Kronecker 4

6 2 Opérations 21 Les opérations d un ensemble de vecteurs 211 Produit par un scalaire Définition : Soient A (a i,j ) 1 i n une matrice de M n,p (R) et α un scalaire La matrice αa est la matrice (α a i,j ) 1 i n 212 Somme de deux matrices Définition : Soient A (a i,j ) 1 i n et B (b i,j ) 1 i n deux matrices de M n,p (R) La matrice A + B est la matrice (a i,j + b i,j ) 1 i n 213 Combinaison linéaire Définition : Soient A (a i,j ) 1 i n et B (b i,j ) 1 i n La matrice αa + βb est la matrice (α a i,j + β b i,j ) 1 i n deux matrices de M n,p (R) et α, β deux scalaires Remarques : - pour tout couple (i, j) : (αa + βb) i,j (α a i,j + β b i,j ) - Pour pouvoir additionner deux matrices, elles doivent avoir la même taille Généralisation : Soient A 1, A 2,, A m des matrices de M n,p (R) et α 1, α 2,, α m des scalaires La matrice m α k A k est la matrice de M n,p (R) définie par : ( m ) α k A k i,j m α k (A k ) i,j 5

7 Définition : Dans M n,p (R), Dire que M est une combinaison linéaire de A et B signifie que : Il existe (α, β) R 2, tel que M αa + βb Généralisation : Dans M n,p (R), Dire que M est une combinaison linéaire des matrices A 1, A 2,, A m signifie que : (α 1, α 2,, α m ) R m : M m α k A k Propriétés Soit A, B et C trois matrices de même taille, k et k deux scalaires, on a alors : 1 (A + B) + C A + (B + C) 2 A + + A A ( matrice nulle de même taille que ces matrices ) 3 A + ( A) ( A) + A (où A est la matrice ( 1) A) 4 A + B B + A 5 k(a + B) ka + kb 6 (k + k )A ka + k A 7 (kk )A k(k A) 8 A 9 1A A Toute matrice a une matrice opposée ( A) ( a i,j ) 1 i n 22 Produit de deux matrices 221 Introduction 6

8 222 Définition b 1,1 b 1,j b 1,r b k,1 b k,j b k,r a 1,1 a 1,k a 1,q a i,1 a i,k a i,q b q,1 b q,j b q,r c 1,1 c 1,r c i,j a p,1 a p,k a p,q c p,1 c p,r Remarques : Pour pouvoir faire le produit AB, il faut que le nombre de colonnes de A soit égal au nombre de lignes de B Pour calculer le terme c i,j on utilise la i-ème colonne de A et le j-ème colonne de B Définition : Soient A (a i,j ) 1 i p 1 j q et B (b i,j ) 1 i q, 1 j r le produit AB est la matrice C (c i,j ) 1 i p 1 j r avec : (i, j) [[ 1, p ]] [[ 1, r ]] c i,j q a i,k b k,j Remarque : Pour tout (i, j) [1, n] [1, p], Exemples q (AB) i,j (A) i,k (B) k,j 7

9 223 Propriétés Propriétés Pour tout A M p,q (R) : Pour tout A M p,q (R) et (B, B ) M q,r (R) 2 : Pour tout (A, A ) M p,q (R) 2, B M q,r (R) : AI q I p A A A(B + B ) AB + AB (A + A )B AB + A B Pour tout A M p,q (R), B M q,r (R) et pour tout α R : (αa)b α(ab) A(αB) Pour tout A M p,q (R), B M q,r (R) et C M r,s (R) on a : A(BC) (AB)C Démonstration de A(BC) (AB)C pour i et j deux entiers respectivement dans [1, p] et dans [[1, s], (A(BC)) i,j q (A) i,k (BC) k,j q h1 r h1 r (A) i,k (B) k,h (C) h,j q (A) i,k (B) k,h (C) h,j ( r q ) (A) i,h (B) h,k (C) k,j h1 r (AB) i,k (C) k,j ((AB)C) i,j On a montré que tous les coefficients sont égaux donc : A(BC) (AB)C 224 Loi non commutative, non intègre - La multiplication des matrices carrés n est pas une loi commutative ( ) ( ) Exemple : en prenant A et B on a AB BA L égalité AB n entraîne pas nécessairement A ou B (On dit que la multiplication n est pas une loi intègre) ( ) ( ) Exemple : en prenant A et B on a : AB et pourtant A et B Propositions : ➊ Pour tout k R et tout A M n,p (R), ka équivaut à k ou A ➋ Pour tout A M n (R), si ( X M n,1 (R), AX ) alors A Démonstration de ➋ : On suppose que ( X M n,1 (R), AX ), on a alors a fortiori A 8 1

10 or A 1 est la première colonne de A donc la première colonne de A est nulle, on recommence avec pour montrer que toutes les colonnes de A sont nulles et ainsi que la matrice A est nulle Ce qui montre que lorsqu on suppose ( X M n,1 (R), AX ) on a nécessairement A Remarque : Ce résultat est encore vrai lorsque A n est pas carrée 225 Cas particuliers Avec les matrices nulles : A M p,n (R), A n,r p,r et r,p A r,n Avec les matrices identités : A M p,n (R), A I n A et I p A A Produit d une matrice et d une matrice colonne a 1,1 a 1,2 a 1,n x 1 a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n x 2 x a 2,1 1 + x a 2, x a 2,n n a p,1 a p,2 a p,n x n a p,1 a p,2 a p,n }{{} a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n a p,1 a p,2 a p,n Produit d une matrice et d une matrice ligne x 1 x 2 x n Combinaison linéaire des colonnes de A a 1,1 x 1 + a 1,2 x a 1,n x n a 2,1 x 1 + a 2,2 x a 2,n x n a p,1 x 1 + a p,2 x a p,n x n 1,, 1 ( ) x1 x 2 x p a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n a p,1 a p,2 a p,n x ( ) ( ) 1 a1,1 a 1,2 a 1,n + + xn ap,1 a p,2 a p,n }{{} Combinaison linéaire des lignes de A Produit d une matrice par une matrice diagonale A droite : a 1,1 a 1,2 a 1,n λ 1 a 2,1 a 2,2 a 2,n λ 2 a p,1 a p,2 a p,n λ n λ 1 a 1,1 λ 2 a 1,2 λ n a 1,n λ 1 a 2,1 λ 2 a 2,2 λ n a 2,n λ 1 a p,1 λ 2 a p,2 λ n a p,n Multiplier à droite par une matrice diagonale, revient à multiplier les colonnes C j de A par λ j A gauche : λ 1 a 1,1 a 1,2 a 1,n λ 1 a 1,1 λ 1 a 1,2 λ 1 a 1,n λ 2 a 2,1 a 2,2 a 2,n λ 2 a 2,1 λ 2 a 2,2 λ 2 a 2,n λ p a p,1 a p,2 a p,n λ p a p,1 λ p a p,2 λ p a p,n Multiplier à gauche par une matrice diagonale, revient à multiplier les lignes L i de A par λ i Produit de deux matrices diagonales λ 1 λ 2 µ 1 µ 2 λ 1 µ 1 λ 2 µ 2 λ n µ n λ n µ n 9

11 Proposition : Le produit de deux matrices triangulaires supérieures est une matrice triangulaire supérieure Démonstration Soient A et B deux matrices triangulaires supérieures de taille n, ( on a ainsi j < i a i,j b i,j ) Soient i et j deux entiers entre 1 et n, tels que j < i, { Montrons que (AB) i,j } n (AB) i,j a i,k b k,j j a i,k b k,j car pour k > j, b k,j car comme j < i pour k j on a k < i donc a i,k donc on a montré que si j < i, alors (AB) i,j La matrice AB est triangulaire supérieure Et pour i j : (AB) i,i n a i,k b k,i i a i,k b k,i car pour k > i, b k,i a i,i b i,i car comme pour k < i on a a i,k Les coefficients diagonaux de AB sont les a i,i b i,i 226 Compléments : Opérations élémentaires 23 Puissance Attention dans ce paragraphe tous les matrices sont carrées 231 Définition Définition des puissances d une matrice carrée Soit A une matrice de M p (R) A I p n N, A n+1 A A n 232 Propriétés n N, A n+1 A n A Démonstration : A n A A A }{{} n facteurs A n1 commute avec A n2, A n1 A n2 A n2 A n1 A n1+n2 Théorème Identités remarquables Soit A M p (R) et B M p (R) deux matrices carrées telles que AB BA (On dit que A et B commutent ), (A + B) 2 A 2 + 2AB + B 2 (A B) 2 A 2 2AB + B 2 A 2 B 2 (A B)(A + B) Démonstration : 1

12 233 Cas particuliers Puissance de I p (la matrice identité) et de O p (la matrice nulle) n N, I n p I p O p I p n N, O n p O p Matrices diagonales n N, λ 1 λ 2 λ p n λ 1 n n λ 2 n λ p 234 Formule du binôme Théorème Formule du binôme Soit A M p (R) et B M p (R) deux matrices carrées telles que AB BA (On dit que A et B commutent ), pour tout n N (A + B) n n k ( ) n A k B n k k n k ( ) n A n k B k k Illustration avec du dénombrement, presque une démonstration : Commençons par développer sans utiliser l hypothèse AB BA : (A + B) n AAA AAA }{{} n facteurs + BAA AAA }{{} n facteurs + + BBB BBA }{{} n facteurs + BBB BBB }{{} n facteurs } {{ } 2 n termes Dans cette somme il y a 2 n termes qu on peut assimiler à un élément de {A; B} n Parmi ces termes : - il y a 1 terme avec que des A - il y a n termes avec exactement un B - il y a ( n 2) termes avec exactement 2 B - il y a ( n k) termes avec exactement k B - - il y a ( n n) terme avec exactement n B Si de plus on suppose que AB BA lorsque un terme contient exactement k B, il vaut : A n k B k Cas particuliers : avec la matrice identité La matrice I p commute avec toutes les matrices donc n k ( ) n A k (I p + A) n k n k ( ) n ( 1) k A k (I p A) n k 235 Formule de Bernoulli(Complément) Théorème Soit A M p (R) et B M p (R) deux matrices carrées telles que AB BA (On dit que A et B commutent ), pour tout n N n n A n+1 B n+1 (A B) A k B n k (A B) A n k B k k k 11

13 3 Matrice inversible Dans ce paragraphe toutes les matrices sont carrées 31 Définition Définitions Soit A une matrice de M n (R) (une matrice carrée) Dire que A est inversible signifie qu il existe une matrice B M n (R) telle que : AB BA I n (où I n est la matrice identité) La matrice B est alors unique et est appelée inverse de la matrice A on la note A 1 Démonstration de l unicité Remarques et notations : Si A est inversible on a alors : A A 1 A 1 A I n Ne pas parler de A 1 avant d avoir justifier que A est inversible On note : GL n (R) l ensemble des matrices n n inversibles Une matrice carrée non inversible est appelée matrice singulière La matrice I n est inversible et I 1 n I n La matrice nulle de M n (R) n est pas inversible Si une matrice carrée A est inversible alors A 1 est inversible et son inverse est A 32 Deux résultats admis (pour l instant) Théorème Soit A M n (R), ➀ Si M M n (R) : AM I n alors A est inversible et M A 1 ➁ Si M M n (R) : MA I n alors A est inversible et M A 1 Théorème Soient A une matrice de M n (R) et Φ l application : M n,1 (R) M n,1 (R) X AX La matrice A est inversible si, et seulement si, l application Φ est bijective et alors Φ 1 : M n,1 (R) M n,1 (R) X A 1 X 12

14 33 Montrer qu une matrice n est pas inversible Remarques : ➊ Trouver une relation linéaire non triviale entre les colonnes de A revient à trouver une colonne X non nulle telle que : AX a 1,1 a 1,2 a 1,n x 1 a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n x 2 x a 2,1 1 + x a 2, x a 2,n n a n,1 a n,2 a n,n x n a n,1 a n,2 a n,n }{{} Relation linéaire entre les colonnes de A ➋ Si on trouve M telle que AM, A ne peut pas être inversible En effet : Si A était inversible alors AM entraînerait M On en déduit : Si deux colonnes sont identiques ou proportionnelles alors A n est pas inversible S il existe une relation linéaire entre les colonnes de A alors A n est pas inversible Si une colonne de A est combinaison linéaire d autres colonnes de A alors A n est pas inversible Si A a une colonne nulle alors A n est pas inversible ➌ On peut énoncer les mêmes propositions sur les lignes de A Attention : - Ce n est pas parce que vous ne parvenez pas à trouver simplement une relation sur les colonnes que la matrice est inversible - En revanche, si vous démontrez qu il n y a pas de relation linéaire triviale entre les colonnes, alors la matrice est inversible (Nous démontrerons ce résultat plus tard) 34 Montrer qu une matrice est inversible et déterminer son inverse 341 Résoudre un système Théorème Soit A M n (R), A est inversible si, et seulement si, M M n (R) : (X, Y ) M n,1 (R) 2, A X Y X M Y et alors M est égale à A 1 Démonstration : Remarque : En cherchant à résoudre : AX Y si on ne trouve pas une unique solution c est que la matrice n est pas inversible Théorème Soit A M n (R), Démonstration : Remarque : A est inversible si, et seulement si, X M n,1 (R), A X X Ce théorème permet juste d établir que A est inversible, mais ne permet pas de trouver l inverse de A 13

15 342 Utiliser une relation sur les puissances de la matrice Soit A M r (R), s il existe des nombres a, a 1,, a n tels que : a et a I r + a 1 A + + a n A n, alors A est inversible et A 1 1 ( a1 I r + + a n A n 1) a 35 Propriétés 351 Régularité à gauche, à droite Proposition : Soit A une matrice M n (R) (une matrice carrée) et (M, N) (M n,p (R)) 2, Si A est une matrice inversible, alors on a l équivalence : AM AN M N Proposition : Soit A une matrice M n (R) (une matrice carrée) et (M, N) (M p,n (R)) 2, Si A est une matrice inversible, alors on a l équivalence : MA NA M N Attention : On n écrit jamais un quotient de matrices!! 352 Matrice λa Proposition : Soient λ R et A M n (R), λa est inversible si, et seulement si, λ et A est inversible et alors (λa) 1 1 λ A 1 Attention (2ème fois) : On n écrit jamais un quotient de matrices!! 353 Inverse d un produit Théorème : Soient M et N deux matrices carrées de M n (R), M et N sont inversibles si, et seulement si, le produit M N est inversible et alors : (MN) 1 N 1 M 1 Démonstration Remarques : L implication directe peut se dire autrement : L ensemble GL n (R) est stable par produit La réciproque est plutôt un exercice qu un résultat du cours Attention : La somme de deux matrices inversibles n est pas toujours inversible 14

16 Propositions Généralisation ➀ Soient A 1, A 2,, A p, p matrices de M n (R), i [1, p], A i GL n (R) si, et seulement si, le produit A 1 A 2 A p est inversible et alors : (A 1 A 2 A p ) 1 A 1 p A 1 p 1 A 1 1 ➁ Soit p un entier naturel et A une matrice de M n (R), A est inversible si, et seulement si, A p est inversible, et alors (A p ) 1 ( A 1) p (noté A p ) Démonstration 36 Cas particuliers 361 Matrice diagonale Matrices diagonales Soient (α 1,, α n ) R n et A diag(α 1,, α n ) i [1, n], α i si, et seulement si, A est inversible ( ) 1 et alors A 1 1 diag,, α 1 α n Démonstration : Remarque : on retrouve que la matrice identité est inversible et I 1 n I n 362 Matrice triangulaire Théorème : Soit T M n (R) une matrice triangulaire (supérieure ou inférieure), T est inversible si, et seulement si, les coefficients diagonaux de T sont tous non nuls et alors T 1 est une matrice triangulaire (supérieure ou inférieure) Admis pour l instant 15

17 363 Les matrices 2 2 Déterminant ( ) a b Pour A, c d A est inversible si, et seulement si, ad bc et sous cette condition : A 1 1 ad bc ( d ) b c a Démonstration ( ) ( ) ( ) a b d b 1 (ad bc) c d c a 1 Définition : (uniquement pour les matrices 2 2 ) ( ) a b On appelle déterminant de la matrice, le nombre : ad bc c d ( ) a b On note : det ad bc ou c d a c b d ad bc 364 Matrice des opérations élémentaires Les matrices associées aux opérations élémentaires sont toutes inversibles 16

18 4 Matrice transposée Dans ce paragraphe les matrices ne sont pas toujours carrées 41 Définition Définition Soit A une matrice de M n,p (R), on appelle transposée de A la matrice B de M p,n (R) (notée t A ) telle que : (i, j) [1; p ] [1; n] b i,j a j,i Remarques : Certains notent A la matrice transposée de A Si A est une matrice de M n,p (R) alors t A est une matrice de M p,n (R) On a : ( t A) i,j (A) j,i t O O et t I n I n Si A est diagonale alors t A A Les lignes de t A sont les colonnes de A Les colonnes de t A sont les lignes de A 42 Propriétés Proposition : Soient A et B deux matrices et un scalaire k alors : ➀ t ( t A) A ➁ t (ka) k ( t A) ➂ t (A + B) t A + t B Si A et B sont de mêmes tailles ➃ t (AB) t B t A Si le produit AB est définie Remarques : ➁ et ➂ peuvent s écrire en une fois : (α, β) R 2, (A, B) M n,p (R) 2, t (αa + βb) α t A + β t B A t A est involutive (donc bijective) et linéaire 17

19 Démonstration de ➃ : (non faite en classe) On prend A dans M n,p (R) et B dans M p,r (R) Pour tout couple (i, j) dans [1, n] [1, r ], ( t (AB) ) i,j (AB) j,i p A j,k B k,i p ( t A) k,j ( t B) i,k p ( t B) i,k ( t A) k,j (t B t A ) i,j comme ceci est vrai pour tout (i, j) on a bien : t (AB) t B t A 43 Inverse Théorème : Transposée de l inverse d une matrice Soit A une matrice carrée, A est inversible si, et seulement, si t A est inversible et alors ( t A) 1 t ( A 1) Démonstration : (Remarque : il suffit de montrer l implication Si A est inversible alors t A est inversible ) 44 Matrices symétriques, antisymétriques Définitions : Soit A une matrice carrée, dire que A est symétrique, signifie que dire que A est antisymétrique, signifie que t A A t A A Remarques : L ensemble des matrices symétriques S n (R) est stable par combinaison linéaire L ensemble des matrices antisymétriques est stable par combinaison linéaire Les coefficients diagonaux des matrices anti-symétriques sont nuls Un exercice : (exemple ultra-classique d analyse-synthèse) Montrer que : Toute matrice carrée peut s écrire comme somme d une matrice symétrique et d une matrice antisymétrique 18

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