Matrices. Matrices. Paris Descartes Mathématiques et calcul 1. Matrices. 1 Matrices

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1 Matrices Matrices Matrices 1 Matrices Définitions Espace vectoriel des matrices n p Multiplication des matrices Inverse d une matrice Systèmes linéaires Applications linéaires Changement de bases

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3 Matrices Définitions Soit n, p N. On appelle matrice à n lignes et p colonnes à coefficients réels (ou complexes), np nombres réels (ou complexes) rangés dans un tableau à n lignes et p colonnes i π 3 e sin 15π e Matrices Définitions Si n = 1 : ( π) matrice ligne e Si p = 1 : 1 2 matrice colonne 2 Notation : M n,p (R) Ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients réels

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5 Matrices Écriture indexée Définitions Si M M n,p (R), l élément situé à l intersection de la i-ième ligne et de la j-ième colonne, est noté : a ij. a 11 a 12 a 1j a 1p a 21 a 22 a 2j a 2p a i1 a i2 a ij a ip = a ij 1 i n 1 j p a n1 a n2 a nj a np Matrices Matrice diagonale Définitions Si M est une matrice carrée (n = p), les coefficients a ii, 1 i n, s appellent les coefficients diagonaux de la matrice. Une matrice carrée telle que a ij = 0, si i = j, s appelle une matrice diagonale π

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7 Matrices Matrices triangulaires Définitions Soit M une matrice carrée. Si a ij = 0 pour i > j, on dit que M est triangulaire supérieure π Si a ij = 0 pour i < j, on dit que M est triangulaire inférieure Matrices Somme des matrices Espace vectoriel des matrices n p Soit M et M deux matrices de M n,p (R) : M = a ij 1 i n 1 j p et M = b ij 1 i n 1 j p On définit la somme des matrices M et M comme la matrice : π M + M = a ij + b ij 1 i n 1 j p = π + 1

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9 Matrices Espace vectoriel des matrices n p Multiplication des matrice par des scalaires Soient α R et M une matrice de M n,p (R) : M = a ij 1 i n 1 j p On définit la matrice α.m comme la matrice : α.m = α. a ij 1 i n 1 j p = αa ij 1 i n 1 j p ( 2) = Matrices Espace vectoriel des matrices n p Théorème : Avec l addition et la multiplication externe, l ensemble M n,p des matrices à n lignes et p colonnes est un espace vectoriel de dimension np. Le vecteur 0 de cet espace vectoriel est la matrice dont tous les coefficient sont nuls.

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11 Matrices Produit de 2 matrices Multiplication des matrices Soit M M n,p (R) et M M p,q (R) deux matrices : M = a ij 1 i n 1 j p et M = b ij 1 i p 1 j q On définit la matrice produit de M et M, comme la matrice : où : MM = c ij 1 i n 1 j q p c ij = a ik b kj k=1 Matrices Produit de 2 matrices Exemple Multiplication des matrices Soient : M = et M = MM 2 1 = Attention : Le produit de deux matrices M et M n existe que si le nombre de colonnes de M est égal au nombre de lignes de M.

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13 Matrices Cas des matrices carrées Multiplication des matrices Une matrice est carrée si n = p : le produit de 2 matrices carrées est toujours possible. Attention : Le produit des matrices n est pas commutatif, en général : Si M 1, M 2 M n, M 1 M 2 = M 2 M = = = Matrices Cas des matrices carrées Règles de calcul pour la multiplication Multiplication des matrices Si M 1, M 2, N 1, N 2 M n (M 1 + M 2 )(N 1 + N 2 ) = M 1 N 1 + M 1 N 2 + M 2 N 1 + M 2 N 2 (M 1 + M 2 ) 2 = M M 1 M 2 + M 2 M 1 + M 2 2 D une manière générale, la formule du binôme ne s applique pas aux matrices

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15 Matrices Matrices inversibles Inverse d une matrice Dans M n on appelle matrice identité, la matrice diagonale dont tous les éléments diagonaux sont égaux à 1. Notation : I n I 2 = I 3 = etc. Une matrice M M n est inversible, s il existe une matrice N M n telle que : MN = NM = I n Notation : N = M 1 Matrices Matrices inversibles Inverse d une matrice Proposition : Si une matrice M M n est inversible : 1. Son inverse M 1 est unique. 2. M 1 1 = M 3. Si N M n est inversible : MN) 1 = N 1 M 1

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17 Matrices Inverse d une matrice Matrices inversibles Règles élémentaires Pour calculer l inverse d une matrice, on peut : Permuter des lignes Multiplier une ligne par un nombre non nul Ajouter à une ligne une combinaison linéaire des autres Ces opérations peuvent également se faire sur les colonnes On appelle ces règles : règles élémentaires Matrices Inverse d une matrice Matrices inversibles Calcul de l inverse Soit à calculer l inverse de la matrice : On écrit : Règle du jeu : Transformer la matrice de gauche en la matrice de droite, en n appliquant que des règles élémentaires.

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19 Matrices Matrices inversibles Calcul de l inverse Inverse d une matrice = = Matrices Systèmes linéaires On appelle système linéaires de n équations à p inconnues, un système du type : a 11 x 1 + a 12 x a 1p x p = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2p x p = b 2. a n1 x 1 + a n1 x a np x p = b n La matrice A = aij 1 i n s appelle la matrice du système. 1 j p Le n-uplet (b 1, b 2,, b n ) est le second membre du système..

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21 Matrices Écriture matricielle d un système Systèmes linéaires On pose : X = x 1 x 2. et B = b 1 b 2. x p b n Le système : a 11 x 1 + a 12 x a 1p x p = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2p x p = b 2. a n1 x 1 + a n1 x a np x p = b n. S écrit : A.X = B Matrices Systèmes linéaires Résolution d un système linéaire : cas d une matrice carrée Si la matrice A du système est inversible, le système a alors une seule solution : A.X = B X = A 1.B

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23 Matrices Systèmes linéaires Résolution d un système linéaire : cas d une matrice carrée Exemple Soit à résoudre le système : Écriture matricielle : x y + 2z = 5 3x + 2y + z = 10 2x 3y 2z = x y z = La solution est : (x, y, z) = (1, 2, 3) Matrices Application linéaire Applications linéaires Soit E un espace vectoriel de dimension p et B E = { a 1, a 2,, a p } un base de E. F un espace vectoriel de dimension n et B F = { b 1, b 2,, b n } un base de F. p x E : x = x i. a i i=1 Une application f : E F est dite linéaire si : x E, f ( x) = p x i.f ( a i ) i=1

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25 Matrices Applications linéaires Application linéaire Exemple Soit E = F = R 3, B = { e 1, e 2, e 3 } la base canonique et f : R 3 R 3, l application : f est linéaire. f : R 3 R 3 (x, y, z) (x + y, y + z, x 2z) f ( e 1 ) = f (1, 0, 0) = (1, 0, 1) = e 1 + e 3 f ( e 2 ) = f (0, 1, 0) = (1, 1, 0) = e 1 + e 2 f ( e 3 ) = f (0, 0, 1) = (0, 1, 2) = e 2 2. e 3 Soit : u = (x, y, z), f ( u) = (x + y). e 1 + (y + z). e 2 + (x 2z). e 3 = x.( e 1 + e 3 ) + y.( e 1 + e 2 ) + z.( e 2 2. e 3 ) Matrices Applications linéaires Proposition : Si f : E F est une application linéaire, 1. x, y E, f ( x + y) = f ( x) + f ( y) 2. x E, α R, f (α. x) = α.f ( x)

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27 Matrices Matrice d une application linéaire Applications linéaires Soit E un espace vectoriel de dimension p et B E = { a 1, a 2,, a p } une base de E. F un espace vectoriel de dimension n et B F = { b 1, b 2,, b n } une base de F. f : E F une application linéaire. p x E, f ( x) = x j.f ( a j ) j, (1 j p), f ( a j ) F α ij, (1 i n) : f ( a j ) = j=1 n α ij b i i=1 Matrices Matrice d une application linéaire Applications linéaires La matrice : α ij 1 i n 1 j p linéaire f. Important : Les nombres α ij dépendent : de l application linéaire f. s appelle la matrice de l application des bases choisies dans les espaces vectoriels E et F.

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29 Matrices Applications linéaires Matrice d une application linéaire Calcul Soit : f : E F est une application linéaire, B E = { a 1, a 2,, a p } une base de E et B F = { b 1, b 2,, b n } une base de F. M (f,be,b F ) = f ( a 1 ) f ( a 2 ) f ( a p ) α 11 α 12 α 1p α 21 α 22 α 2p... α n1 α n2 α np b 1 b 2. b n Matrices Matrice d une application linéaire Applications linéaires Soit E = F = R 3, B = { e 1, e 2, e 3 } la base canonique et f : R 3 R 3, l application : f : R 3 R 3 (x, y, z) (x + y, y + z, x 2z) f ( e 1 ) = f (1, 0, 0) = (1, 0, 1) = e 1 + e 3 f ( e 2 ) = f (0, 1, 0) = (1, 1, 0) = e 1 + e 2 f ( e 3 ) = f (0, 0, 1) = (0, 1, 2) = e 2 2. e 3 f ( e 1 ) f ( e 2 ) f ( e 3 ) e 1 e 2 e 3

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31 Matrices Applications linéaires Soit E, F, G trois espaces vectoriels de bases respectives B E, B F, B G et f : E F et g : F G deux applications linéaires. Théorème : M (g f,be,b G ) = M (g,bf,b G )M (f,be,b F ) Matrices Changement de bases Dans R 2, base canonique : B = { e 1, e 2 } et x = 2 e e 2 B = { u 1, u 2 } avec u 1 = 2 e 1 + e 2, u 2 = 3 e e 2 x = α 1 u 1 + α 2 u 2 = α 1 (2 e 1 + e 2 ) + α 2 (3 e e 2 ) = (2α 1 + 3α 2 ) e 1 + (α 1 + 2α 2 ) e 2 2α1 + 3α 2 = 2 α 1 + 2α 2 = α1 α 2 2 = 3 Soit E un espace vectoriel, B et B deux bases de E Si un vecteur x E s écrit comme le vecteur colonne X dans B et le vecteur colonne X dans B il existe une matrice P telle que : X = PX

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33 Matrices Matrice de passage Changement de bases Soit E un espace vectoriel muni d une base B = ( a 1, a 2,, a n ). Soit une nouvelle base de E : B = ( a 1, a 2,, a n) On appelle matrice de changement de base, de la base B à la base B, la matrice de l identité : Id : (E, B ) (E, B) a 1 a 2 a n α 11 α 12 α 1p α 21 α 22 α 2p... α n1 α n2 α np a 1 a 2.. a n Matrices Matrice de passage Exemple 1 Changement de bases Soit E = R 3 [X], l espace vectoriel des polynômes de degré au plus 3 et B = {1, X, X 2, X 3 } sa base canonique. Soit : P 0 = 1 X, P 1 = 1 + X, P 2 = X 2 X 3, P 3 = X 2 + 2X 3 Exercice : B = {P 0, P 1, P 2, P 3 } est une base de E. La matrice de passage de B à B est :

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35 Matrices Changement de bases Matrice de passage Remarque : Si on conserve la même base, la matrice de passage est la matrice identité. Soit E un espace vectoriel muni d une base B = ( a 1, a 2,, a n ) et B = ( a 1, a 2,, a n) une nouvelle base de E Soit P 1 la matrice de passage de la base B à la base B et P 2 la matrice de passage de la base B à la base B. P 1 est la matrice de l application Id : (E, B ) (E, B) P 2 est la matrice de l application Id : (E, B) (E, B ) Donc P 1 P 2 est la matrice de Id : (E, B) (E, B) P 1 P 2 = I n Matrices Changement de bases Matrice de passage Théorème : Si B = ( a 1, a 2,, a n ) et B = ( a 1, a 2,, a n) sont deux bases d un espace vectoriel E de dimension n, La matrice P, ayant pour colonne i les coordonnées du vecteur a i sur la base { a j } (1 j n) est inversible. P = M (id,b,b) P 1 = M (id,b,b ) Si X est la matrice colonne des coordonnées dans la base B d un vecteur x E et X est la matrice colonne des coordonnées dans la base B du même vecteur x : X = PX et X = P 1 X

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37 Matrices Matrice de passage Exemple 2 Changement de bases Soit l espace vectoriel R 3 rapporté à sa base canonique { e 1, e 2, e 3 }. Soit les trois vecteurs : e 1 = (2, 1, 1) e 2 = (1, 2, 1) e 3 = (1, 1, 3). Exercice 1 : B = { e 1, e 2, e 3} forment une base de R 3 Exercice 2 : Trouver les coordonnées du vecteur u = (2, 3, 4) dans la base : { e 1, e 2, e 3} La matrice de passage de la base canonique à la base B est : P = Matrices Matrice de passage Exemple 2 Changement de bases Exercice 3 : L inverse de la matrice P est : P 1 = u = (2, 3, 4). Soit (x, y, z ) les coordonnées de u dans la base B, x y z = P = =

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39 Matrices Changement de bases Matrice de passage Effet sur une matrice Soit E un espace vectoriel de dimension n, muni d une base B = ( a 1, a 2,, a n ) et B = ( a 1, a 2,, a n) une nouvelle base de E Soit M la matrice d une application linéaire f de E dans E dans la base B Proposition : Si P est la matrice de passage de la base B à la base B, la matrice : M = P 1 MP est la matrice de l application f dans la base B. Matrices Changement de bases Rang d une matrice On appelle rang d une matrice M : Le rang du système de vecteurs colonnes de M. Le rang du système de vecteurs lignes M. Pour calculer le rang d une matrice, on applique les règles élémentaires au système de vecteurs colonnes (ou lignes). Une matrice carrée de dimension n est de rang n si et seulement si elle est inversible.

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41 Calcul de déterminants Calcul de déterminants Calcul de déterminants 1 Déterminants Définition Propriétés des déterminants Déterminant d une matrice carrée Calcul des déterminants

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43 Calcul de déterminants Définition Soit : E espace vectoriel de dimension 2 et B = ( e 1, e 2 ) une base de E. u = x 1 e 1 + y 1 e 2 et v = x 2 e 1 + y 2 e 2 deux vecteurs de E. On appelle déterminant de ( u, v) dans la base B le nombre réel : Det B ( u, v) = 1 2 y 1 y 2 = x 1y 2 y 1 x 2 Calcul de déterminants Définition Proposition : Le déterminant vérifie les assertions suivantes : 1. Pour tout vecteur u = x 1 e 1 + y 1 e 2 de E, Det B ( u, u) = 0 x 1 x 1 y 1 y 1 = x 1y 1 y 1 x 1 = 0

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45 Calcul de déterminants Définition 2. Pour tous vecteurs u = x 1 e 1 + y 1 e 2, v = x 2 e 1 + y 2 e 2 de E, Det B ( u, v) = Det B ( v, u) x x 2 1 y 2 y 1 = x 2y 1 y 2 x 1 = x 1 x 2 y 1 y 2 Calcul de déterminants Définition 3. Soient : u = x 1 e 1 + y 1 e 2, v = x 2 e 1 + y 2 e 2 et w = x 3 e 1 + y 3 e 2 E, α et β R : Det B ( u, α v + β w) = α Det B ( u, v) + β Det B ( u, w), Det B (α u + β v, w) = α Det B ( u, w) + β Det B ( v, w); x αx + βx y 1 αy 2 + βy 3 = x 1 (αy 2 + βy 3 ) y 1 (αx 2 + βx 3 ) = α(x 1 y 2 y 1 x 2 ) + β(x 1 y 3 y 1 x 3 ) = α x 1 x 2 y 1 y 2 + β x 1 x 3 y 1 y 3

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47 Calcul de déterminants Définition 4. Si B = ( e 1, e 2) est une autre base de E, alors : Det B ( u, v) = Det B ( u, v) Det B ( e 1, e 2 ) u = x 1 e 1 + y 1 e 2 et v = x 2 e 1 + y 2 e 2 Det B ( u, v) = Det B (x 1 e 1 + y 1 e 2, x 2 e 1 + y 2 e 2) = x 1Det B ( e 1, x 2 e 1 + y 2 e 2) + y 1Det B ( e 2, x 2 e 1 + y 2 e 2) = x 1y 2Det B ( e 1, e 2) + y 1x 2Det B ( e 2, e 1) = Det B ( u, v) Det B ( e 1, e 2) Calcul de déterminants Définition Corollaire : Si B = { e 1, e 2 } est une base de E : deux vecteurs, u et v sont colinéaires si, et seulement si : Det B ( u, v) = 0

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49 Calcul de déterminants Définition Soit B = { e 1, e 2, e 3 } une base de l espace vectoriel E. Soient u 1, u 2 et u 3 des vecteurs de E. Pour i {1, 2, 3}, on note (x i, y i, z i ) des coordonnées de u i dans la base B. On appelle déterminant de ( u 1, u 2, u 3 ) dans la base B le nombre réel : Det B ( u 1, u 2, u 3 ) = x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 z 1 z 2 z 3 = x 1 y 2 z 3 + x 2 y 3 z 1 + x 3 y 1 z 2 z 1 y 2 x 3 z 2 y 3 x 1 z 3 y 1 x 2 y = x 2 y 3 1 z 2 z 3 y x 2 x 3 1 z 2 z 3 + z x 2 x 3 1 y 2 y 3 Calcul de déterminants Définition Proposition : Une base étant choisie dans E, de dimension 3, le déterminant de trois vecteurs de E vérifie : 1. Soient u et v des vecteurs de E. Det B ( u, u, v) = Det B ( u, v, u) = Det B ( u, v, v) = 0 2. Soient u, v et w des vecteurs de E. Det B ( u, v, w) = Det B ( v, u, w) = Det B ( v, w, u) 3. Soient u, v, w et x des vecteurs de E, α et β des nombres réels : Det B (α u + β v, w, x) = α Det B ( u, w, x) + β Det B ( v, w, x) Det B ( u, α v + β w, x) = α Det B ( u, v, x) + β Det B ( u, w, x) Det B ( u, v, α w + β x) = α Det B ( u, v, w) + β Det B ( u, v, x). 4. Si B = ( e 1, e 2, e 3) est une autre base de E, pour tout ( u, v, w) de vecteurs de E, Det B ( u, v, w) = Det B ( u, v, w) Det B ( e 1, e 2, e 3 )

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51 Calcul de déterminants Définition Corollaire : Soit B = ( e 1, e 2, e 3 ) une base de E : trois vecteurs u, v, w, sont coplanaires si, et seulement si : Det B ( u, v, w) = 0 Calcul de déterminants Définition Soit B = { e 1, e 2, e 3 } une base de l espace vectoriel E. Soient u 1, u 2 et u 3 des vecteurs de E. Pour i {1, 2, 3}, on note (x i, y i, z i ) des coordonnées de u i dans la base B. On appelle déterminant de ( u 1, u 2, u 3 ) dans la base B le nombre réel : Det B ( u 1, u 2, u 3 ) = x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 z 1 z 2 z 3 = x 1 y 2 z 3 + x 2 y 3 z 1 + x 3 y 1 z 2 z 1 y 2 x 3 z 2 y 3 x 1 z 3 y 1 x 2 y = x 2 y 3 1 z 2 z 3 y x 2 x 3 1 z 2 z 3 + z x 2 x 3 1 y 2 y 3

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53 Calcul de déterminants Définition z 1 y 2 x 3 x x x x 1 z 2 y 3 y y y y 1 x 2 z 3 z z z x x x y y y x 1 y 2 z 3 y 1 z 2 x 3 z 1 x 2 y 3 Calcul de déterminants Définition Soit E un espace vectoriel de dimension n, muni d une base B = { e 1, e 2,..., e n }. Soit une famille de n vecteurs de E : F = { u 1, u 2,, u n }, On admet : Théorème : Il existe une application φ E R qui vérifie : 1. i (1 i n), v E, α R : φ( u 1, u 2,, α. u i + v,, u n ) = αφ( u 1, u 2,, u i,,, u n ) + φ( u 1, u 2,, v,, u n ) 2. Si pour i = j, u i = u j, φ( u 1,, u i,, u j,, u n ) = 0 3. φ( e 1, e 2,..., e n ) = 1 Le nombre φ( u 1, u 2,, u n ) s appelle le déterminant de la famille F dans la base B. Noté : det B F.

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55 Calcul de déterminants Propriétés des déterminants Déterminants et opérations élémentaires Soit E un espace vectoriel de dimension n, muni d une base B = { e 1, e 2,..., e n }. Soit une famille de n vecteurs de E : F = { u 1, u 2,, u n }, 1. Si on permute 2 vecteurs de la famille, le déterminant est multiplié par Si on multiplie un vecteur par α, le déterminant est multiplié par α. 3. Si la famille F est liée, det B F = 0 Si on ajoute à un vecteur une combinaison linéaire des autres, le déterminant est inchangé. Calcul de déterminants Déterminant d une matrice carrée Soit M M n (R). On appelle déterminant de la matrice M, le déterminant des vecteurs colonnes de la matrice M, dans la base canonique de R n. Notation : det(m) Si M = a ij 1 i n : 1 j n det(m) = a 11 a 12 a 1j a 1n a 21 a 22 a 2j a 2n a i1 a i2 a ij a in a n1 a n2 a nj a nn = a ij 1 i n 1 j n

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57 Calcul de déterminants Déterminant d une matrice carrée Théorème : Pour tout déterminant D = a 1 i n ij, on a : 1 j n j, (1 j n), D = n ( 1) i+j a ij ij i=1 Où ij est le déterminant obtenu en supprimant de D la i-ième ligne et la j-ième colonne. Calcul de déterminants Déterminant d une matrice carrée Application : Les déterminants des matrices diagonales et des matrices triangulaires sont égaux aux produits des éléments diagonaux de ces matrices. det(i n ) = 1

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59 Calcul de déterminants Déterminant d une matrice carrée Soit M et M deux matrices de M n et I n la matrice identité. Proposition : Le déterminant du produit de deux matrices est égal au produit des déterminants de chaque matrice. det(mm ) = det(m) det(m ) Corollaire : M est inversible si et seulement si det(m) = 0 Si M est inversible : det(m 1 1 ) = det(m) Calcul de déterminants Calcul d un déterminant 4 4 Calcul des déterminants C 2 C 2 2C 1 C 3 C 3 C 1 C 4 C 4 3C

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61 Calcul de déterminants Calcul des déterminants ( 1) 1+2 ( 2) = 4 Calcul de déterminants Calcul des déterminants Exercice : Calculer 0 a 1 a 2 a 3 a 4 a 1 0 a 2 a 3 a 4 a 1 a 2 0 a 3 a 4 a 1 a 2 a 3 0 a 4 a 1 a 2 a 3 a 4 0

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