Econométrie et applications

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1 Econométrie et applications Ecole des Ponts ParisTech Département Sciences Economiques Gestion Finance Nicolas Jacquemet Université Paris 1 & Ecole d Economie de Paris N. Jacquemet (EEP Université Paris 1) Econométrie et applications ENPC ParisTech 1 / 136

2 Inférence Les MCO sous hypothèse de normalité 1 Inférence Les MCO sous hypothèse de normalité Le modèle linéaire normal Intervalles de confiance Test d hypothèses Conclusion : Robustesse de l hypothèse de normalité N. Jacquemet (EEP Université Paris 1) Econométrie et applications CJ-Chap 3 53 / 136

3 Le modèle linéaire normal Le modèle linéaire normal Chapitre III : moments de l estimateur déduites de restrictions sur les moments de u. Absence de biais = situation moyenne / valeur vraie Précision et efficacité = oscillations autour de cette valeur Forme de ces oscillations = distribution de l estimateur. Permet de probabiliser l écart entre la vraie valeur et l estimation obtenue. H MCO 5 : u N (0, σ 2 I N ). Le terme d erreur suit une loi normale (multivariée) d espérance nulle et de matrice de variance-covariance σ 2 I N.! Forme de la distribution est la seule contrainte nouvelle ; Termes d erreur indépendants, d où u i N (0, σ 2 ) u i. P[u i U] = P[ u i σ U σ ] = Φ( U σ ). N. Jacquemet (EEP Université Paris 1) Econométrie et applications CJ-Chap 3 54 / 136

4 RAPPELS Loi normale I Le modèle linéaire normal Loi normale de moyenne µ et de variance σ 2 : N (µ, σ 2 ). N. Jacquemet (EEP Université Paris 1) Econométrie et applications CJ-Chap 3 55 / 136

5 RAPPELS Loi normale II Le modèle linéaire normal Propriétés : Symétrique : P[N (µ, σ 2 ) µ + t] = P[N (µ, σ 2 ) µ t] Centrée sur sa moyenne : P[N (µ, σ 2 ) µ] = P[N (µ, σ 2 ) µ] = 0.5. Toute combinaison linéaire de lois normales suit une loi normale. Soit Z N (µ, σ 2 ) alors Z = Z µ σ N (0, 1) (loi normale centrée réduite tabulations connues) Soit Z N (0, 1), alors : Z = σz + µ N (µ, σ 2 ). Lois composées : χ 2 Si Z l N (0, 1) alors Z Z = L Student Z 1 N (0, 1) Z 2 χ 2 (ν) : l=1 Z 2 l χ 2 (dim(z )). Z 1 Z2 /ν T (ν). Fisher Q 1 χ 2 (q 1 ), Q 2 χ 2 (q 2 ), et Q 1 Q 2 : Z = Q 1/q 1 F(q 1, q 2 ). Q 2 /q 2 Notations Densité : φ(z 0 ) = 1 2π exp( (z 0 µ) 2 ) ; 2σ 2 Fonction de répartition Φ(z 0 ) = P[Z z 0 ]. N. Jacquemet (EEP Université Paris 1) Econométrie et applications CJ-Chap 3 56 / 136

6 Loi des observations I Le modèle linéaire normal Sous H1 MCO H5 MCO : y i X i N (X i b, σ 2 ) : loi (supposée) des observations, qui dépend de b. Loi des observations, si les données sont i.i.d : P(Y X, b ) = N φ(y i X i, b ) = L(Y, b X) i=1 fonction de vraisemblance de l échantillon b MV = ArgMaxL(Y, b X) Pour des raisons pratiques, on minimise l inverse du log. N. Jacquemet (EEP Université Paris 1) Econométrie et applications CJ-Chap 3 57 / 136

7 Loi des observations II Le modèle linéaire normal Exemple modèle linéaire normal lnl(y, b, σ 2 X) = 0.5N log(2π) 0.5N log(σ 2 ) 0.5(Y Xb) (Y Xb)/σ 2 b MV lnl b σ 2 MV lnl σ = 0 b MV = (X X) 1 X Y = 0 σ2 MV = û û N N. Jacquemet (EEP Université Paris 1) Econométrie et applications CJ-Chap 3 58 / 136

8 Loi des estimateurs I Le modèle linéaire normal Proposition Dans le modèle linéaire Y = Xb + u, sous H MCO, l estimateur des MCO de b suit une loi normale : b MCO N (b, σ 2 (X X) 1 ) ; Démonstration. Moments établis au Chapitre IV. Distribution : Y X est de loi normale. b MCO = (X X) 1 X Y : combinaison linéaire de lois normales loi normale. N. Jacquemet (EEP Université Paris 1) Econométrie et applications CJ-Chap 3 59 / 136

9 Loi des estimateurs II Le modèle linéaire normal Distribution de µ MCO de µ : N. Jacquemet (EEP Université Paris 1) Econométrie et applications CJ-Chap 3 60 / 136

10 Intervalles de confiance I Intervalles de confiance Definition On appelle intervalle de confiance du paramètre b au niveau 1 α, l intervalle : IC 1 α = [ b(y, X), b(y, X) ] tel que P (b IC 1 α ) = 1 α. Intervalle dans lequel la vraie valeur du paramètre a 1 α chances sur 100 de se trouver. b(y, X) et b(y, X) sont des fonctions des observations, des statistiques. Intervalle de confiance des MCO : Sous H5 MCO MCO, b k N (b k, σ 2 S k ), où S k désigne k ième élément diagonal (variance) de la matrice (X X) 1 ; MCO b k b k On a donc N (0, 1) ; σ2 S k N. Jacquemet (EEP Université Paris 1) Econométrie et applications CJ-Chap 3 61 / 136

11 Intervalles de confiance II Intervalles de confiance Soit N α seuil tel que : P[N (0, 1) N α ] = α 2 et P[N (0, 1) N α] = α 2 ou encore : P[ N α N (0, 1) N α ] = 1 α. Alors : 1 α = P[ N α N (0, 1) N α ] = P[ N α MCO b k b k N α ] σ2 S k [ bmco ] MCO = P k N α σ2 S k b k b k + N α σ2 S k [ bmco IC au seuil 1 α des MCO : IC1 α MCO = ] k ± N α σ2 S k N. Jacquemet (EEP Université Paris 1) Econométrie et applications CJ-Chap 3 62 / 136

12 Intervalles de confiance Intervalle de confiance estimé I Variance inconnue... estimée par σ 2 = û û/(n K 1) ; Proposition! û fonction de b MCO : variable aléatoire! Sous H MCO, (N K 1) σ2 σ 2 χ2 (N K 1) Démonstration. Loi de u i : u i N (0, σ 2 ) donc u i /σ N (0, 1). û = M X Y = M X u d où û /σû/σ = u M X u/σ 2 : somme de [N (0, 1)] 2. Dim(M) = N K 1 N K 1 termes û û/σ 2 χ 2 (N K 1) σ 2 = û û (N K 1) σ2 N K 1 χ 2 (N K 1). σ 2 N. Jacquemet (EEP Université Paris 1) Econométrie et applications CJ-Chap 3 63 / 136

13 Intervalles de confiance Intervalle de confiance estimé II Loi jointe des estimateurs Corrélation? Proposition (Théorème de Cochran). b MCO et σ 2 sont indépendants. Démonstration. On a : X b MCO = PY et (N K 1) σ 2 = û û = Y MY. Par définition, P et M orthogonaux. N. Jacquemet (EEP Université Paris 1) Econométrie et applications CJ-Chap 3 64 / 136

14 Intervalles de confiance Intervalle de confiance estimé III Proposition Sous H MCO n, b k MCO b k σ 2 S k T N K 1 k Démonstration. Etant données les lois des composantes, et l indépendance : bmco k b k σ 2 S k = (N K 1) σ 2 (N K 1)σ 2 b k MCO b k σ 2 S k N (0, 1) χ 2 (N K 1) N K 1 T N K 1 N. Jacquemet (EEP Université Paris 1) Econométrie et applications CJ-Chap 3 65 / 136

15 Intervalles de confiance Intervalle de confiance estimé IV Intervalle de confiance estimé : N K 1 Soit tα seuil tel que : P[T t N K 1 α P[ T N K 1 t N K 1 ] = α Alors : P[ t α N K 1 α b k b k σ k N K 1 ] = P[T N K 1 tα ] = α 2 t Intervalle de confiance : IC MCO 1 α N K 1 α ] = 1 α = [ˆb MCO k ± ˆσ 2 S k t 1 α ]. ILLUSTRATION IC 95% du rendement de l éducation :. reg lnw adfe exp exp lnw Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] adfe exp exp _cons N. Jacquemet (EEP Université Paris 1) Econométrie et applications CJ-Chap 3 66 / 136

16 Intervalles de confiance APPLICATION Intervalles de prévision I Soit X p la valeur des exogènes pour un individu hors-échantillon ; GM Ŷ p = X p b MCO est l estimateur BLUE de Y p (Chap IV). Ŷ p Y p = X p b MCO X p b u p = X p ( b MCO b) u p Moments : E(Ŷ p ) = Y p et : V (Ŷ p ) = E[(Ŷ p Y p )(Ŷ p Y p ) ] = E [[X p ( b MCO b) u p][x p ( b MCO b) u p] ] (absence de corrélation) = E[X p ( b MCO b)( b MCO b) X p ] + σ 2 = E[X p ((X X) 1 X u)((x X) 1 X u) X p ] + σ 2 = E[X p (X X) 1 X uu X(X X) 1 X p ] + σ 2 = X p (X X) 1 X I N σ 2 X(X X) 1 X p + σ 2 = σ 2 [X p (X X) 1 X p + 1] Variance estimée : V (Ŷ p ) = σ 2 [X p (X X) 1 X p + 1]. N. Jacquemet (EEP Université Paris 1) Econométrie et applications CJ-Chap 3 67 / 136

17 Intervalles de confiance APPLICATION Intervalles de prévision II Loi : H5 MCO : Ŷ p combinaison linéaire de lois normales. Variance estimée Ŷ p Y p T V (Ŷ p N K 1. ) Intervalle de prévision : IP 1 α = [Ŷ p N K 1 ± tα V (Ŷ p )]. APPLICATION Salaire moyen à la fin de L3. reg lnw adfe exp exp2. scalar Vprev = 1.96*sqrt(_se[_cons]^2+e(rmse)^2). scalar lnwnoexp = _b[ _cons] + _b[adfe]*21. scalar winf0 = exp(lnwnoexp - Vprev). scalar wsup0 = exp(lnwnoexp + Vprev). display "IP à 95%, sortie de L3: [" winf0 "," wsup0 "]" IP à 95%, sortie de L3: [ , ]. scalar lnwnoexp = _b[ _cons] + _b[adfe]*21 + _b[exp]*10 + _b[exp2]*100. scalar winf10 = exp(lnwnoexp - Vprev). scalar wsup10 = exp(lnwnoexp + Vprev). display "IP à 95%, 10 ans d expérience: [" winf10 "," wsup10 "]" IP à 95%, 10 ans d expérience: [ , ] N. Jacquemet (EEP Université Paris 1) Econométrie et applications CJ-Chap 3 68 / 136

18 Test d hypothèses Tests d hypothèses : définitions I On dispose d un estimateur θ de la vraie valeur d un paramètre, θ. Inférence : loi de l estimateur (distribution de probabilité) en fonction de la valeur vraie IC : Ensemble de valeurs susceptible de contenir la valeur vraie Test d hypothèses : probabilité que la valeur vraie soit égale à une valeur particulière. Structure d un test : Hypothèses sur la valeur vraie du paramètre : H 0 (θ) (Hypothèse nulle) contre H 1 (θ) (Hypothèse alternative) ; { H0 : θ = θ Par exemple, test d égalité : 0 H 1 : θ θ 0 N. Jacquemet (EEP Université Paris 1) Econométrie et applications CJ-Chap 3 69 / 136

19 Test d hypothèses Tests d hypothèses : définitions II On cherche à prendre une décision : d 0 l hypothèse H 0 n est pas rejetée par l estimation fournie par les données ; l hypothèse H 0 est rejetée, H 1 est vraie. d 1 A partir d un estimateur du paramètre, θ, un test repose sur une statistique de test S( θ) = S(Y, X). La loi de S dépend de celle de θ, donc de la vraie valeur θ : L S (θ). La loi de S( θ) sous H 0 (i.e. sous l hypothèse que H 0 est vraie) est L S (H 0 (θ)) = L 0 S ; Soit s une valeur calculée de la statistique On peut calculer la probabilité d observer s si la loi de S est L 0 S Probabilité faible : s est une observation improbable de L 0 S il est improbable que L 0 S soit la loi qui a produit s d 1. La région critique correspond à l ensemble des valeurs de θ (i.e. des échantillons) conduisant à la décision d 1 : { } W = (Y, X) S(Y, X) > S N. Jacquemet (EEP Université Paris 1) Econométrie et applications CJ-Chap 3 70 / 136

20 Test d hypothèses Tests d hypothèses : définitions III Un test n est jamais parfait conclusion probabiliste (décision vraisemblable au regard des faits) entre les deux décisions. Caractéristiques d un test : Risque de première espèce rejeter H 0 alors que H 0 est vraie α(w ) = P[ d 1 H0 ] = P[ W H0 ] Probabilité de condamner un innocent ; Risque de deuxième espèce accepter H 0 alors que H 1 est vraie β(w ) = P[ d 0 H1 ] = 1 P[ W H1 ] Probabilité de relâcher un coupable ; Puissance rejeter H 0 quand H 1 est vraie γ(w ) = P[ d 1 H1 ] = P[ W H1 ] = 1 β(w ) Probabilité de condamner un coupable. N. Jacquemet (EEP Université Paris 1) Econométrie et applications CJ-Chap 3 71 / 136

21 Test d hypothèses Tests d hypothèses : critères de sélection I On souhaite minimiser les deux risques...! Min α(w ) = Min P[d 1 H0 ] =... = d 0 S(Y, X) W W! Min β(w ) = Min P[d 0 H1 ] =... = d 1 S(Y, X) W W... et maximiser la puissance.! Max γ(w ) = Max [1 β(w )] = Min β(w ) = d 1 S(Y, X) W W W Principe de Neyman : choisir le test qui maximise la puissance à risque de première espéce donné. Niveau d un test = risque de première espèce maximum. Test de niveau α 0 (5%,... ) : test (région critique) qui conduit à rejeter à tord l hypothèse nulle dans au plus α 0 % des cas. Règle alternative : Probabilité critique α c (p-value) Probabilité qu un tirage dans la loi de S sous H 0 fournisse une statistique au moins égale à celle obtenue. α c = P[L S( θ)] N. Jacquemet (EEP Université Paris 1) Econométrie et applications CJ-Chap 3 72 / 136

22 Test d hypothèses Test sur la valeur d un paramètre I On sait que ˆb k MCO b k ˆσ 2 S k T N K 1. Si b k = b 0 alors ˆb k MCO b 0 ˆσ2 S k T N K 1 ; Si b k b 0 alors ˆb k MCO b 0 ˆσ2 S k ne suit pas T N K 1 Loi de Student : N. Jacquemet (EEP Université Paris 1) Econométrie et applications CJ-Chap 3 73 / 136

23 Test d hypothèses Test sur la valeur d un paramètre II Test d égalité d un paramètre : { H0 : b k = b k 0 H 1 : b k b k 0 Statistique de test : t(b0 k) = ˆb k MCO b0 k. ˆσ 2 S k Région critique : Sous H 0 : t(b0 k) T N K 1. Loi de student : P[T N K 1 t N K 1 α ] = α P[t(b0 k) H0 N K 1 tα ] = α = risque de première espèce. Région critique de niveau α 0 : W = { (Y, X) : t(b k 0 ) } > t N K 1 α 0 En pratique : Choix d un niveau : α 0 ( 10%, 5%, 1%) ; Connaissant b MCO, on peut calculer t(b0) k ; Si t(b 0) k N K 1 t α 0 ou P[ T N K 1 t(b k 0 ) ] < α0 très improbable que cette statistique soit un T N K 1 i.e. on a au plus α 0 % de chances de se tromper en rejettant H 0 rejet. N. Jacquemet (EEP Université Paris 1) Econométrie et applications CJ-Chap 3 74 / 136

24 Test d hypothèses APPLICATION Test de nullité d un paramètre I Dans le modèle Y = Xb + u, Test de nullité : { H0 : b k = 0 H 1 : b k 0 Test de significativité des paramètres : la valeur vraie est elle différente de 0? La variable correspondante est-elle pertinente dans le PGD vrai? Statistique de test : t = b k MCO ; σ 2 S k Sous H 0 : t T N K 1 Région critique : rejet de H 0 dès lors que t > tα Probabilité critique : p telle que P[ T N K t ] = p N K 1. N. Jacquemet (EEP Université Paris 1) Econométrie et applications CJ-Chap 3 75 / 136

25 Test d hypothèses APPLICATION Test de nullité d un paramètre II ILLUSTRATION Mincer : t de Student et probabilités critiques.. reg lnw adfe exp exp lnw Coef. Std. Err. t P> t [95% Conf. Interval] adfe exp exp _cons Test de nullité à 5% : N K 1 lim t 5% = 1.96 N K 1 Tous coefficients significatifs à 5% Probabilités critiques : également à 1% Tests d égalité. t(b adfe = 0.065) = = < 1.96 accepté à 5% ; t(b adfe = 0.064) = = > 1.96 rejeté à 5% ; t(b adfe = 0.082) = = < 1.96 accepté à 5% ; t(b adfe = 0.083) = = < 1.96 rejeté à 5% ; L intervalle de confiance à 95% recouvre la région critique des tests à 5%! N. Jacquemet (EEP Université Paris 1) Econométrie et applications CJ-Chap 3 76 / 136

26 Conclusion : Robustesse de l hypothèse de normalité Robustesse de l hypothèse de normalité Connaissant la loi de u i, inférence (i.e. conclusions probabilistes) sur la vraie valeur des paramètres.! Tous résultats vrais ssi la loi supposée pour les résidus est vraie. Hypothèse simplificatrice : Théorème de la limite centrale : pour toute suite de N variables aléatoires i.i.d., la moyenne tend vers une distribution normale lorsque N tend vers l infini. Illustration : Simulations On suppose une loi quelconque pour une variable aléatoire Z i ; On tire un échantillon de 6 observations ; On calcule la moyenne Z Z 1 ; On répète R fois l opération méta -échantillon de R moyennes ; Tracé de la distribution. N. Jacquemet (EEP Université Paris 1) Econométrie et applications CJ-Chap 3 77 / 136

27 TCL Loi bimodale Conclusion : Robustesse de l hypothèse de normalité Variable aléatoire de loi bimodale : non centrée, non symétrique ; Distribution de la moyenne : N. Jacquemet (EEP Université Paris 1) Econométrie et applications CJ-Chap 3 78 / 136

28 TCL Loi exponentielle Conclusion : Robustesse de l hypothèse de normalité Variable aléatoire de loi exponentielle : non centrée, non symétrique, strictement décroissante ; Echantillons de 6 observations ; Distribution de la moyenne : N. Jacquemet (EEP Université Paris 1) Econométrie et applications CJ-Chap 3 79 / 136

29 TCL Loi normale Conclusion : Robustesse de l hypothèse de normalité! Propriétés asymptotiques échantillons de taille importante. Variable aléatoire de loi normale ; Echantillons de 6 observations Distribution de la moyenne : N. Jacquemet (EEP Université Paris 1) Econométrie et applications CJ-Chap 3 80 / 136

30 Conclusion : Robustesse de l hypothèse de normalité Inférence sans l hypothèse de normalité Sous H3 MCO et H4 MCO, les résidus sont i.i.d. ; b MCO = (X X) 1 X Y = b + (X X) 1 X u = b + ( X X N ) 1 X u N b MCO est une fonction de la moyenne des X u. Pour toute distribution de u, TCL s applique. Permet de retrouver les résultats de distribution sans supposer la normalité.! Vrai lorsque l échantillon est grand Propriétés asymptotiques des MCO. Econométrie linéaire M1 (Chap. 2-3). N. Jacquemet (EEP Université Paris 1) Econométrie et applications CJ-Chap 3 81 / 136

31 Conclusion : Robustesse de l hypothèse de normalité ABOWD, J. M., F. KRAMARZ, ET D. N. MARGOLIS (1999) : High Wage Workers and High Wage Firms, Econometrica, 67(2), ANGRIST, J. D., ET G. W. IMBENS (1999) : Comment on James J. Heckman, "Instrumental Variables : A Study of Implicit Behavioral Assumptions Used in Making Program Evaluations", Journal of Human Resources, 34(4), ANGRIST, J. D., ET A. B. KRUEGER (1991) : Does Compulsory School Attendance Affect Schooling and Earnings?, Quarterly Journal of Economics, 106(4), ASHENFELTER, O., ET A. KRUEGER (1994) : Estimates of the Economic Return to Schooling from a New Sample of Twins, American Economic Review, 84(5), BECKER, G. S., ET N. TOMES (1986) : Human Capital and the Rise and Fall of Families, Journal of Labor Economics, 4(3), S1 S39. BLACK, S. E. (1999) : Do Better Schools Matter? Parental Valuation of Elementary Education, Quarterly Journal of Economics, 114(2), CARD, D. (1995) : Using Geographic Variation in College Proximity to Estimate the Return to Schooling, in Aspects of Labour Market Behavior : Essays in Honour of John Vanderkamp, ed. by L. N. Christofides, E. K. Gran, et R. Swidinsky, pp University of Toronto Press, Toronto. DEZHBAKHSH, H., ET J. M. SHEPHERD (2006) : The Deterrent Effect of Capital Punishment : Evidence from a "Judicial Experiment", Economic Inquiry, 44(3), N. Jacquemet (EEP Université Paris 1) Econométrie et applications CJ-Chap / 136

32 Conclusion : Robustesse de l hypothèse de normalité GALTON, F. (1886) : Regression Towards Mediocrity in Hereditary Stature, Journal of the Anthropological Institute, 15, LONGLEY, J. W. (1967) : An Appraisal of Least Squares Programs for the Electronic Computer from the Point of View of the User, Journal of the American Statistical Association, 62(319), MINCER, J. (1958) : Investment in Human Capital and Personal Income Distribution, Journal of Political Economy, 66(4), (1974) : Schooling Experience and Earnings. National Bureau of Economic Research, New York. SOLON, G. (1992) : Intergenerational Income Mobility in the United States, American Economic Review, 82(3), TREISMAN, D. (2000) : The causes of corruption : a cross-national study, Journal of Public Economics, 76(3), WOLFERS, J., ET J. J. DONOHUE (2005) : Uses and Abuses of Empirical Evidence in the Death Penalty Debate, Stanford Law Review, 58, N. Jacquemet (EEP Université Paris 1) Econométrie et applications CJ-Chap / 136

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