Grandeurs et mesures Grenoble - 2 décembre 2009 Gérard Gerdil-Margueron IUFM-UJF Grenoble - INRP-Ermel

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1 «Donner à chaque enfant les clés du savoir et les repères de la société dans laquelle il grandit est la première exigence de la République et l unique ambition de l école primaire.» Grandeurs et mesures Grenoble - 2 décembre 2009 Gérard Gerdil-Margueron IUFM-UJF Grenoble - INRP-Ermel

2 Grandeurs et mesures Un thème complexe omniprésent la vie de tous les jours, «outil pour découvrir et comprendre le monde» Un thème qui peut très vite se réduire à des exercices de maths, virtuosités techniques déguisées en problèmes de vie quotidienne Un thème unificateur entre la connaissance des nombres, le calcul, la proportionnalité et même la géométrie. Un thème qui revient fréquemment dans les évaluations internationales, au travers de problèmes dits de vie courante.

3 Pisa culture mathématique

4 Pisa Culture mathématique

5 Grandeurs et mesures Comptages et mesures Comptages ou mesures

6 Comptages et/ou mesures De tout temps, les hommes ont compté toutes sortes de choses : des arbres, des moutons Ils ont appris à déterminer combien un ensemble fini d objets contient d unités En général, on ne peut pas partager un tel ensemble en parts égales De tout temps, les hommes ont manipulé des objets longs, lourds, volumineux un fil long n est pas naturellement divisé en parties que l on pourrait compter il est continu mais on sait le partager en autant de parties égales que l on veut

7 Comptages et/ou mesures Discret ou continu Compter un ensemble discret, c est le mesurer en caractérisant sa taille par un nombre Par contre, on ne sait pas mesurer une grandeur qui ne dispose pas d une unité naturelle On va choisir une unité de mesure arbitraire, mesurer la grandeur en se servant de cette unité et caractériser la grandeur par un nombre

8 Comptages et/ou mesures Des mesures pour inventer d autres nombres 1?? 1

9 La notion de grandeur Concept qui permet d appréhender, pour un objet, ce qui peut être «plus grand» ou «plus petit» Longueur, masse, aire, capacité/volume, durée, prix Pour construire le sens : Distinguer la grandeur en jeu d autres grandeurs Comprendre ce qu est la grandeur choisie pour l objet en question en appréhendant ses variations, notamment par comparaisons directes Percevoir la nécessité de mesures et donc d unités

10 La notion de grandeur Influence du perceptif Pour longueur, perceptif plus familier (taille) mais perturbé par l encombrement (cf deux rectangles dont l un est proche d un carré et l autre très allongé) Pour masse : obstacle poids / volume occupé Pour durée : perceptif totalement subjectif Importance des instruments les instruments masquent la grandeur pour remplacer le concept correspondant par un nombre et conduire à un travail sur les nombres (numérisation des grandeurs) nécessité de travailler en premier lieu des comparaisons pour reporter toute idée de mesure avec unités à plus tard.

11 Grandeurs et mesures Du côté des programmes 2008

12 Du côté des programmes 2008 cycle 1 «découvrir les formes et les grandeurs» «En manipulant des objets variés, les enfants repèrent d abord des propriétés simples (petit/grand, lourd/léger). Progressivement, ils parviennent à distinguer plusieurs critères, à comparer et à classer selon la forme, la taille, la masse, la contenance.» Aucune référence aux grandeurs dans les capacités attendues à la fin de l école maternelle.

13 Du côté des programmes 2008 cycle 2 Les élèves apprennent et comparent les unités usuelles de longueur (m et cm ; km et m), de masse (kg et g), de contenance (le litre) et de temps (heure, demi-heure), la monnaie (euro, centime d euro). Ils commencent à résoudre des problèmes portant sur des longueurs, des masses, des durées ou des prix.

14 Premier palier pour la maîtrise du socle commun de connaissances Compétence 3 : les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique L élève est capable de : utiliser les unités usuelles de mesure ; estimer une mesure être précis et soigneux dans les tracés, les mesures et les calculs résoudre des problèmes très simples

15 Du côté du programme 2008 repères pour une progressivité des apprentissages CP : CE1 : Repérer des évènements de la journée en utilisant les heures et les demi-heures Comparer et classer des objets selon leur longueur et leur masse Utiliser la règle graduée pour tracer des segments, comparer des longueurs Connaître et utiliser l euro Résoudre des problèmes de vie courante Utiliser un calendrier pour comparer des durées Connaître la relation entre heure et minute, mètre et centimètre, kilomètre et mètre, kilogramme et gramme, euro et centime d euro Mesurer des segments, des distances Résoudre des problèmes de longueur et de masse

16 Du côté des programmes 2008 cycle 3 Du CE2 au CM1, dans les quatre grands domaines du programme, l élève enrichit ses connaissances, acquiert de nouveaux outils, et continue d apprendre à résoudre des problèmes La maîtrise des principaux éléments mathématiques aide à agir dans la vie quotidienne et prépare la poursuite d études au collège. Grandeurs et mesures Les longueurs, les masses, les volumes : mesure, estimation, unités légales du système métrique, calcul sur les grandeurs, conversions, périmètre d un polygone, formule du périmètre du carré et du rectangle, de la longueur du cercle, du volume du pavé droit.

17 Du côté des programmes 2008 cycle 3 Les aires : comparaison de surfaces selon leurs aires, unités usuelles, conversions ; formule de l aire d un rectangle et d un triangle. Les angles : comparaison, utilisation d un gabarit de l équerre ; angle droit, aigu, obtus Le repérage du temps : lecture de l heure et du calendrier Les durées : unité de mesure des durées, calcul de la durée écoulée entre deux instants donnés. La monnaie La résolution de problèmes concrets contribue à consolider les connaissances et capacités relatives aux grandeurs et à leur mesure, et à leur donner du sens. A cette occasion des estimations de mesure peuvent être fournies puis validées.

18 Deuxième palier pour la maîtrise du socle commun de connaissances Compétence 3 : les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique L élève est capable de : utiliser les unités usuelles de mesure ; utiliser des instruments de mesure ; effectuer des conversions résoudre des problèmes relevant des quatre opérations, de la proportionnalité, et faisant intervenir différents objets mathématiques : nombres, mesures, «règle de trois», figures géométriques, schémas.

19 Du côté du programme 2008 repères pour une progressivité des apprentissages CE2 : Connaître les unités de mesure suivantes et les relations qui les lient :. Longueur : le mètre, le kilomètre,le centimètre, le millimètre ;. Masse : le kilogramme, le gramme ;. Capacité : le litre, le centilitre ;. Monnaie : l euro et le centime ;. Temps : l heure, la minute, la seconde, le mois, l année. Utiliser des instruments pour mesurer des longueurs, des masses, des capacités, puis exprimer cette mesure par un nombre entier ou un encadrement par deux nombres entiers. Vérifier qu un angle est droit en utilisant l équerre ou un gabarit. Calculer le périmètre d un polygone. Lire l heure sur une montre à aiguilles ou une horloge. Problèmes. Résoudre des problèmes dont la résolution implique les grandeurs cidessus.

20 Du côté du programme 2008 repères pour une progressivité des apprentissages CM1: Longueurs: Connaître et utiliser les unités usuelles de mesure des durées, ainsi que les unités du système métrique pour les longueurs, les masses et les contenances, et leurs relations. Reporter des longueurs à l aide du compas. Formules du périmètre du carré et du rectangle. Aires Mesurer ou estimer l aire d une surface grâce à un pavage effectif à l aide d une surface de référence ou grâce à l utilisation d un réseau quadrillé. Classer et ranger des surfaces selon leur aire. Angles Comparer les angles d une figure en utilisant un gabarit. Estimer et vérifier en utilisant l équerre, qu un angle est droit, aigu ou obtus. Problèmes Résoudre des problèmes dont la résolution implique éventuellement des conversions.

21 Du côté du programme 2008 repères pour une progressivité des apprentissages CM2 : Longueurs: Calculer une durée à partir de la donnée de l instant initial et de l instant final. Formule de la longueur d un cercle. Formule du volume du pavé droit (initiation à l utilisation d unités métriques de volume). Aires Calculer l aire d un carré, d un rectangle, d un triangle en utilisant la formule appropriée. Connaître et utiliser les unités d aire usuelles (cm 2, m 2 et km 2 ). Angles Reproduire un angle donné en utilisant un gabarit. Problèmes Résoudre des problèmes dont la résolution implique des conversions. Résoudre des problèmes dont la résolution implique simultanément des unités différentes de mesure.

22 Du côté des programmes 2008 cycle 3 «La pratique des mathématiques développe le goût de la recherche et du raisonnement, l imagination et les capacités d abstraction, la rigueur et la précision.» Pierre Anne Jacques Paul

23 Le gâteau de madame Originale Pierre Anne Jacques Paul

24 Grandeurs et mesures Pour découvrir les grandeurs Comparer des grandeurs

25 Comparer des longueurs Les tiges ou les segments sont des modèles d objets ayant une longueur Dans une série de tiges, on peut reconnaître si une tige a la même longueur qu une autre, ou si elle est plus petite (courte) ou plus grande (longue). Mais d autres objets sont moins maniables : non rectilignes souples comme une ficelle enroulée ou non rectilignes rigides comme une rampe d escalier en colimaçon, un anneau ou le contour d une table ; non manipulables comme un fleuve, le parcours d un avion

26 Comparer des longueurs Construction en actes de deux propriétés essentielles des comparaisons de grandeurs : dans toute comparaison de longueurs, on peut toujours remplacer une tige pas une tige de même longueur (équivalence) si une tige est plus courte qu une autre et celle-ci plus courte qu une troisième, alors la première est plus courte que la troisième (transitivité)

27 Comparer des masses Masse ou poids? Les programmes de l école primaire retiennent masse Masse d un corps : «sa quantité de matière» (invariant) Poids : force qui l attire vers le centre de la Terre (variable) Dans le quotidien, cette distinction ne se justifie pas. Les physiciens tiennent cependant à cette rigueur précoce

28 Comparer des masses Y a-t-il des analogies entre la comparaison des masses et la comparaison des longueurs?

29 Comparer des masses Construction de la grandeur par comparaison d objets, par sériations. Première approche perceptive du caractère «lourd» puis procédure instrumentée pratiquée à l aide d une balance à plateau. Le premier usage d une balance à plateau n est pas de mesurer des masses mais bien de déterminer si deux objets ont la même masse ou si l un est plus lourd que l autre. Pour des objets quelconques, volume et masse ne varient pas forcément dans le même sens.

30 Comparer des aires L aire est une grandeur associée aux surfaces, difficile à faire percevoir et souvent confondue avec la longueur du pourtour. Une première image de l aire : deux surfaces qui ont même aire sont deux surfaces qui demandent la même quantité de papier pour être reproduites.

31 Du côté des aires Une surface privilégiée pour aborder la notion d aire : le rectangle Comparaison d aires de rectangles

32 Du côté des aires

33 Du côté des aires Inclusions directes ou indirectes Une idée forte à installer la stabilité au découpage/recollement D : 19x8 et E : 10x16

34 Du côté des aires Sur des surfaces moins évidentes

35 Comparer des volumes Pour comparer deux volumes d eau contenus dans des récipients de formes différentes : transvasement dans des récipients de même forme et de comparaison des niveaux. Mais cela nécessite d avoir acquis la conservation des volumes de liquides au sens de Piaget Pour comparer deux solides selon leur volume : immersion des deux solides dans des vases identiques contenant la même quantité d eau.

36 Comparer des durées Les durées se rapportent davantage à des évènements qu à des objets. Rien de plus subjectif que le temps qui passe Difficile de réaliser des superpositions de durées! Une solution : comparaison indirecte avec l usage du sablier.

37 La notion de grandeur Quand on s intéresse aux grandeurs et non aux modalités pratiques de comparaison d objets, on va toujours retrouver les deux propriétés caractéristiques : équivalence et transitivité. Cela dégage donc un processus commun de Cela dégage donc un processus commun de construction de ces concepts qui débute par comparaisons directes pour longueur, masse, aire et par comparaisons indirectes pour volume et même durée.

38 Grandeurs et mesures Mesurer une grandeur dans une unité donnée

39 Mesurer une grandeur Comment comparer deux longueurs inaccessibles par comparaisons directes ou indirectes? On choisit une troisième longueur facilement transportable comme objet étalon On cherche combien de fois cet objet est compris dans les longueurs en jeu. Cet objet constitue ainsi une unité de mesure. C est le principe des unités anciennes de type toise ou pied

40 Mesurer une grandeur Comment communiquer entre personnes de communautés différentes? Nécessité d unifier les étalons Principe du système métrique décimal qui, associé aux nombres décimaux, a permis la révolution des mesures. Généralisation aux masses, aux aires, aux volumes

41 Mesurer une durée C est plus compliqué! L année et le jour ont fourni des unités naturelles mais le jour est divisé en 24 heures, l heure en 60 minutes et la minute en 60 secondes. Les multiples de l année et les sous-multiples de la seconde utilisent le système décimal Le bureau international des Poids et Mesures définit la seconde comme unité de base. C est fois la période d une certaine oscillation d un atome de césium.

42 Des grandeurs aux mesures Pour les grandeurs usuelles de l école une progression commune, quel que soit le niveau de classe où elles sont introduites : comparaison directe : comparaison indirecte à l aide de gabarits mesurage avec un étalon mesurage en référence à des unités

43 Grandeurs et mesures Mesurer une longueur : progression

44 De la grandeur vers l idée de mesure en GS Découverte de la longueur en MS : travail sur la toise En GS : classement d objets déplaçables / comparaison directe des rectangles : de différents formats pour décider du critère de classement (encombrement ou longueur) ; quel est le plus grand? le plus petit? classement? Objets non déplaçables / comparaison indirecte à l aide de gabarits : des scotchs de couleur en différents lieux du préau ; on ne peut les voir tous en même temps ; quel est le plus grand? le plus petit? (Utilisation de matériels différents )

45 De la comparaison à l usage de la règle graduée en CP Importance de l étalon Situation émission-réception Commander une bande de papier avec pour seuls outils des tiges de bois (émetteurs et récepteurs ayant des tiges de longueur différentes) Constat de la nécessité de référents de même longueur pour communiquer Un référent particulier : le centimètre Du centimètre -étalon à la grande règle du tableau Il y a des petits traits, des moyens traits et des grands traits avec les nombres ; on ne regarde que les grands traits avec les nombres. Entre les grands traits, c est comme le petit carton que l on avait.

46 Du centimètre au mètre en CE1: Classements de grands objets (ficelles non déplaçables) selon leurs longueurs avec pour outils des «centimètres-étalons», des règles graduées courtes, des tiges non graduées de 1m de long, des mètres-ruban La variété de matériels selon les groupes et les besoins de comparaisons vont conduire à «1mètre, c est 100 centimètres» Par l expérience, on va développer l idée d ordre de grandeur d une longueur

47 Evaluations CE1 - juin 2009

48 Evaluations CE1 - juin 2009

49 Evaluations CE1 - juin 2009

50 Au CE2, mesurages et liens avec le calcul Dessiner des serpents de 1m dans une feuille A4; centrer une petite feuille dans une grande feuille Mesurer avec des règles extraordinaires (cassées, avec le 0 au milieu Problèmes divers utilisant les unités : additifs, comparaison, partage. Occasion d introduire de nouvelles unités en lien avec la règle graduée - le millimètre - ou avec la vie courante - le kilomètre -. Les conversions : approche implicite de l aspect «fois plus» de la proportionnalité.

51 Mesure et mesurage Quelle la forme qui a le plus grand périmètre?

52 Du côté des périmètres Réponses du type : 47 cm; 47cm et 5mm; 48cm,5; 43cm et 49mm ; 43,49cm Idée de fourchettes de mesures Des mesures sont visiblement à éliminer Quelle est la bonne réponse? Des fourchettes de mesure peuvent permettre de résoudre le problème

53 Mesure et mesurages Quelle la forme qui a le plus grand périmètre? Les mesures d un opérateur : F3 : 124,2cm ; F4 : 124,9cm et F5 : 131,1cm? Conclusion? Autres procédures?

54 Mesures et mesurages Une marge d erreur d un millimètre par côté est tolérée.

55 Mesures et mesurages Quel est le périmètre de ce jardin?

56 Et les formules? Formule du périmètre du carré, formule du périmètre du rectangle Elles s appuient sur les propriétés géométrique de ces figures Difficulté : passage de «Le périmètre du carré, c est 4 fois le côté» à P = C x 4 Longueur du cercle Il s agit d un travail sur la proportionnalité À partir de mesurages sur de vrais cylindres, relevés de mesures du périmètre du disque de base et d un diamètre (plus grande corde) Observation des données et premiers constats Calcul des quotients avec la calculatrice Introduction du coefficient

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58 Et les conversions? Convertir 3hm 2dam 4dm en mètres. Que doit-on savoir? 1 hm = 100 m 1 dam = 10 m 1 dm = 0,1m ou 1 m = 10 dm En conséquence : 3 hm = 300 m 2 dam = 20 m 4 dm = 0,4 m 3hm 2dam 4dm = 320,4 m Convertir 320,4 m en hectomètres 1 hm = 100 m ou 1 m = 0,01 hm ou 1 m = 1 : 100 hm 320,4 m = 320,4 x 0,01 hm??? 320,4 m = 320,4 : 100 hm = 320,4 hm

59 Grandeurs et mesures Du côté des aires en cycle 3

60 Du côté des aires M

61 Du côté des aires

62 Du côté des aires

63 Du côté des aires

64 Du côté des aires Des surfaces sur quadrillage

65 Du côté des aires Et si chaque carreau du quadrillage a 1cm de côté?

66 Du côté des aires Un cm 2 est-il toujours carré?

67 Calcul d aire

68 Aire et apprentissage de la multiplication d un décimal. par un décimal 4,7 cm 2,3 cm 0,1 x 0,1 =?

69 Grandeurs et mesures Quand l aire se mélange au périmètre

70 Quand l aire se mélange au périmètre

71 Quand l aire se mélange au périmètre

72 Quand l aire se mélange au périmètre

73 Quand l aire se mélange au périmètre

74 Quand l aire se mélange au périmètre

75 Grandeurs et mesures Unités de volumes en CM2

76 Vous avez dit capacités En CM2 : Formule du volume du pavé droit (initiation à l utilisation d unités métriques de volume). Retour sur les unités conventionnelles connues (litre, ses multiples et ses sous-multiples) à partir de problèmes Ranger des sucres dans une boîte : combien de sucres dans une boîte parallélépipédique ; et si les sucres sont des cubes de 1cm d arête? Et si la boîte est un cube de 1 dm d arête? 1 dm 3 = 1000 cm 3 Un litre, un décimètre-cube, qui contient le plus? Combien de litres dans un mètre-cube?

77 «Donner à chaque enfant les clés du savoir et les repères de la société dans laquelle il grandit est la première exigence de la République et l unique ambition de l école primaire.» Grandeurs et mesures Grenoble - 2 déceembre 2009 Gérard Gerdil-Margueron IUFM-UJF Grenoble - INRP-Ermel