Chapitre 11 : VECTEURS

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1 Chapitre 11 : VECTEURS Author Name March 21, 2018

2 Dans ce chapitre 1) Translation 2) Egalité de deux vecteurs 3) Somme de deux vecteurs 4) Direction, sens et norme d un vecteur 5) Coordonnées d un vecteur 6) Produit d un vecteur par un nombre réel 7) Vecteurs colinéaires

3 7) Vecteurs colinéaires Chapitre 11 : VECTEURS 1) Translation Plan du cours 1) Translation 2) Egalité de deux vecteurs 3) Somme de deux vecteurs 4) Direction, sens et norme d un vecteur 5) Coordonnées d un vecteur 6) Produit d un vecteur par un nombre réel

4 1) Translation 1.1) Transformation du plan Une fonction associe à tout nombre de son ensemble de définition un unique nombre appelé image. Définition De la même manière, une transformation du plan associe à tout point du plan un unique point image. Exemples de transformations du plan étudiées au collège : (1) les symétries axiales (2) les symétries centrales

5 1) Translation 1.2) Translation définie par les points A et B Définition Soient A et B deux points du plan La translation qui transforme le point A en le point B associe à tout point M du plan un unique point noté M. M est le seul point tel que les segments [MB] et [AM ] ont le même milieu. Le point M est appelé image du point M par cette translation.

6 1) Translation Exemple Comment construire le point M?

7 1) Translation Exemple On commence par construire le milieu de [BM]

8 1) Translation Exemple On construit ensuite le symétrique de A par rapport à ce milieu. Le point obtenu est M.

9 1) Translation Les flèches indiquent que : la translation transforme A en B la translation transforme M en M

10 1) Translation 1.3) Notations La translation transforme M en M L image du point M est le point M On écrit t AB (M) = M Cette écriture se lit : L image du point M par la translation de vecteur AB est le point M

11 1) Translation En particulier En particulier, l image du point A est le point B. On écrit t AB (A) = B

12 1) Translation 1.4) Parallélogramme Lorsque les points A, B et M ne sont pas alignés, les deux propositions suivantes sont équivalentes (lorsque l une est vraie, l autre est aussi vraie) : t AB (M) = M le quadrilatère ABM M est un parallélogramme

13 1) Translation Lorsque les points A, B et M sont alignés, on obtient la configuration suivante : Le point M est également aligné avec les points A, B et M. On dit que ABM M est un parallélogramme aplati

14 7) Vecteurs colinéaires Chapitre 11 : VECTEURS 2) Egalité de deux vecteurs Plan du cours 1) Translation 2) Egalité de deux vecteurs 3) Somme de deux vecteurs 4) Direction, sens et norme d un vecteur 5) Coordonnées d un vecteur 6) Produit d un vecteur par un nombre réel

15 2) Egalité de deux vecteurs 2.1) Vecteur La translation qui transforme le point A en le point B est aussi appelée translation de vecteur AB. Le vecteur AB se représente avec une flèche allant du point A vers le point B. Le point A est appelé origine du vecteur et le point B est appelé extrémité du vecteur.

16 2) Egalité de deux vecteurs 2.2) Vecteurs égaux On dit que deux vecteurs sont égaux s ils définissent la même translation

17 2) Egalité de deux vecteurs Dans ce cas, pour tout point M du plan : l image de M par la translation de vecteur AB est égale à l image de M par la translation de vecteur CD t AB (M) = t CD (M) On écrit AB = CD

18 2) Egalité de deux vecteurs Propriété Les cinq propositions suivantes sont équivalentes (lorsque l une est vraie, les autres sont aussi vraies): AB = CD ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati) les segments [AD] et [BC] ont le même milieu t AB (C) = D t CD (A) = B

19 2) Egalité de deux vecteurs 2.3) Représentants d un vecteur Lorsqu on a plusieurs vecteurs égaux, on peut noter cette famille de vecteurs avec une seule lettre (minuscule) : u = EF = CG = KN On dit que le vecteur EF est un représentant du vecteur u Le vecteur CG est un autre représentant du vecteur u... Dans ce cas, la translation de vecteur EF est aussi appelée translation de vecteur u.

20 2) Egalité de deux vecteurs 2.4) Le vecetur nul On appelle identité du plan la translation pour laquelle tout point M est égal à son point image : t(m) = M (c est une translation immobile ) Le vecteur associé à cette translation est appelé vecteur nul. Il est noté 0

21 7) Vecteurs colinéaires Chapitre 11 : VECTEURS 3) Somme de deux vecteurs Plan du cours 1) Translation 2) Egalité de deux vecteurs 3) Somme de deux vecteurs 4) Direction, sens et norme d un vecteur 5) Coordonnées d un vecteur 6) Produit d un vecteur par un nombre réel

22 3) Somme de deux vecteurs 3.1) Définition On peut composer deux translations. Exemple : On cherche l image (notée P) du point M par la translation de vecteur u Puis l image (notée T ) du point P par la translation de vecteur v

23 3) Somme de deux vecteurs On obtient la construction suivante :

24 3) Somme de deux vecteurs En enchainant la translation de vecteur u puis la translation de vecteur v on obtient la translation de vecteur w Le point T est l image du point M par la translation de vecteur w

25 3) Somme de deux vecteurs Le vecteur w est le vecteur somme du vecteur u et du vecteur v On écrit w = u + v Une somme de deux vecteurs s interpréte donc comme une succession de deux translations

26 3) Somme de deux vecteurs 3.2) Construction Pour construire le vecteur somme de u et de v : on construit un représentant de chacun de ces deux vecteurs de telle sorte que le point extrémité de u est égal au point origine de v

27 3) Somme de deux vecteurs 3.3) Propriétés Pour tous vecteurs u, v et w : Dans une somme, l ordre des vecteurs est sans importance : u + v = v + u Dans une somme, il n y a pas de priorité : ( u + v ) + w = u + ( v + w ) u + 0 = u

28 3) Somme de deux vecteurs 3.4) Relation de Chasles Pour tous points A, B et C du plan, on peut écrire : AB + BC = AC Cette égalité de vecteurs (entre trois points) est appelée relation de Chasles

29 3) Somme de deux vecteurs 3.5) Vecteur opposé Définition L opposé du vecteur u est le vecteur noté u tel que : u + ( u ) = 0

30 3) Somme de deux vecteurs En particulier L opposé du vecteur AB est le vecteur BA On écrit donc : (1) BA = AB (2) AB = BA (3) AB + BA = AA = 0 (avec la relation de Chasles)

31 3) Somme de deux vecteurs 3.6) Soustraire un vecteur Rappel : pour soustraire un nombre, on peut additionner son opposé Par exemple : 2 5 = 2 + ( 5) =... De même, pour soustraire un vecteur, on additionne son vecteur opposé. u v = u + ( v ) Exemple : AB CB = AB + ( CB) = AB + BC = AC

32 7) Vecteurs colinéaires Chapitre 11 : VECTEURS 4) Direction, sens et norme d un vecteur Plan du cours 1) Translation 2) Egalité de deux vecteurs 3) Somme de deux vecteurs 4) Direction, sens et norme d un vecteur 5) Coordonnées d un vecteur 6) Produit d un vecteur par un nombre réel

33 4) Direction, sens et norme d un vecteur 4.1) Définition La direction du vecteur AB est donnée par la droite (AB) Le sens du vecteur AB est : de A vers B La norme du vecteur AB est égale à la longueur AB

34 4) Direction, sens et norme d un vecteur 4.2) Exemples

35 4) Direction, sens et norme d un vecteur 4.2) Exemples Les vecteurs AB et GH ont la même direction mais des sens opposés Les vecteurs CD et EF ont la même norme mais des directions différentes Les vecteurs AB et CD ont même direction et même sens mais des normes différentes

36 4) Direction, sens et norme d un vecteur 4.3) Remarques Un vecteur peut être caractérisé par ces trois informations : deux vecteurs égaux ont même direction, même sens et même norme. Deux droites parallèles définissent la même direction Pour une direction donnée, deux sens sont possibles

37 4) Direction, sens et norme d un vecteur 4.4) Cas particulier Un vecteur et son vecteur opposé ont : La même direction Des sens opposés La même norme

38 7) Vecteurs colinéaires Chapitre 11 : VECTEURS 5) Coordonnées d un vecteur Plan du cours 1) Translation 2) Egalité de deux vecteurs 3) Somme de deux vecteurs 4) Direction, sens et norme d un vecteur 5) Coordonnées d un vecteur 6) Produit d un vecteur par un nombre réel

39 5) Coordonnées d un vecteur 5.1) Définition On se place dans un repère du plan (0, I, J) Définition A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ) sont deux points du plan. Par définition : l abscisse du vecteur AB est égale à x B x A l ordonnée du vecteur AB est égale à y B y A On écrit : ( xb x AB A y B y A )

40 5) Coordonnées d un vecteur 5.2) Exemple A(1; 4) et B(4; 2) ( ) xb x AB A = y B y A ( ) = ( 3 2 Le vecteur AB a pour abscisse 3 et pour ordonnée 2 )

41 5) Coordonnées d un vecteur 5.3) Egalité de deux vecteurs Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées : même abscisse et même ordonnée En particulier, tous les représentants d un vecteur u ont les mêmes coordonnées Pour déterminer les coordonnées de u on utilise donc l un (quelconque) de ses représentants

42 5) Coordonnées d un vecteur 5.4) Vecteur nul et vecteur opposé Le vecteur nul 0 a pour coordonnées ( 0 0 ) Soit u ( x y ) un vecteur dans un repère Alors son vecteur opposé u a pour coordonnées ( x y )

43 5) Coordonnées d un vecteur 5.5) Coordonnées de la somme et de la différence ( ) ( ) Soient x u et x v y y deux vecteurs dans un repère. ( Le vecteur u + x + x v a pour coordonnées y + y ( Le vecteur u x x v a pour coordonnées y y ) )

44 7) Vecteurs colinéaires Chapitre 11 : VECTEURS 6) Produit d un vecteur par un nombre réel Plan du cours 1) Translation 2) Egalité de deux vecteurs 3) Somme de deux vecteurs 4) Direction, sens et norme d un vecteur 5) Coordonnées d un vecteur 6) Produit d un vecteur par un nombre réel

45 6) Produit d un vecteur par un nombre réel 6.1) Définition On se place dans un repère du plan (0, I, J) Définition Soit u ( x y ) Le ( vecteur ) k u k x k y un vecteur et k un nombre réel. est le vecteur dont les coordonnées sont

46 6) Produit d un vecteur par un nombre réel Exemple Le vecteur u a pour coordonnées ( 4 1 ) ) w = 0, 5 u. Alors le vecteur w a pour coordonnées ( 2 0, 5 v = ( 2) u. Alors le vecteur v a pour coordonnées ( 8 2 )

47 6) Produit d un vecteur par un nombre réel 6.2) En particulier Si k = 1 : Le vecteur ( 1) u est( le vecteur opposé ) ( de u.) ( 1) x x Ses coordonnées sont = ( 1) y y Si k = 2 : Le vecteur 2 u est égal ( à la somme ) ( u + u ). x + x 2x Ses coordonnées sont = y + y 2y

48 6) Produit d un vecteur par un nombre réel 6.3) Propriétés u et v sont deux vecteurs tels que v = k u (avec k un nombre réel non nul). Si k > 0 alors les vecteurs u et v ont la même direction ont le même sens norme( v ) = k norme( u )

49 6) Produit d un vecteur par un nombre réel 6.3) Propriétés u et v sont deux vecteurs tels que v = k u (avec k un nombre réel non nul). Si k > 0 alors les vecteurs u et v ont la même direction ont le même sens norme( v ) = k norme( u ) Si k < 0 alors les vecteurs u et v ont la même direction ont des sens opposés norme( v ) = ( k) norme( u )

50 7) Vecteurs colinéaires Chapitre 11 : VECTEURS 7) Vecteurs colinéaires Plan du cours 1) Translation 2) Egalité de deux vecteurs 3) Somme de deux vecteurs 4) Direction, sens et norme d un vecteur 5) Coordonnées d un vecteur 6) Produit d un vecteur par un nombre réel

51 7) Vecteurs colinéaires 7.1) Définition Définition On dit que deux vecteurs non nuls sont colinéaires lorsqu ils ont la même direction. Par convention, on admet que le vecteur nul 0 est colinéaire à tous les vecteurs.

52 7) Vecteurs colinéaires 7.2) Propriétés Deux vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si il existe un nombre k tel que u = k v ou v = k u

53 7) Vecteurs colinéaires 7.3) Vecteurs colinéaires et coordonnées D après la propriété précédente, deux vecteurs u et v sont colinéaires lorsque l un est le produit de l autre par un nombre k Dans ce cas, leurs coordonnées u proportionnelles ( x y On peut donc écrire : x y = x y ) et v Ce qui est équivalent à : x y x y = 0 ( x y ) sont

54 7) Vecteurs colinéaires 7.4) Vecteurs colinéaires et points alignés Propriété Les trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires. Exemple Dans un repère du plan (0, I, J) : 1) A( 2, 1), B(1, 2) et C(16, 7) sont-ils alignés? 2) R( 3, 2), T (8, 6) et H(12, 7) sont-ils alignés?

55 7) Vecteurs colinéaires 7.5) Vecteurs colinéaires et droites parallèles Propriété Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB et CD sont colinéaires. Exemple Dans un repère du plan (0, I, J), on considère les points M( 2, 1), N(6, 4), S(9, 8) et T ( 4, 0) Les droites (MN) et (ST ) sont-elles parallèles?