RTS n 42 mars 1994 Prévision du trafic à court terme par réseau de neurones

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1 RTS n 42 mars 994 Prévson du traf à ourt terme par réseau de neurones Therry Dohy,Mehd Daneh-Pajouh,Yves Lehevaller 2 INRETS-DART 2 av du Général Malleret-Jonvlle 944 Aruel 2 INRIA Domane de Volueau 7853 Roquenourt La onnassane du futur prohe en terme de traf, permet aux explotants d'amélorer et d'adapter le serve offert aux usagers. C'est pourquo toute reherhe permettant d'amélorer ette onnassane mérte d'être entreprse. Partant de là, l nous est apparu ntéressant de promouvor une méthode de prévson à ourt terme ssue d'une démarhe neuronale. L'objetf fxé est la réalsaton d'un modèle de prévson à ourt terme fondé sur l'utlsaton de réseaux de neurones à ouhes, albrés heure par heure. Les potentaltés de ette méthode sont évaluées par une applaton au traf autorouter pour laquelle on se fxz l objetf d un taux d'erreur nféreur à 0%. Le problème de la prévson à ourt terme peut être résolu de pluseurs manères, notamment à l'ade de séres temporelles. Cette noton mpose au nveau des nformatons une ontrante de ontnuté temporelle, 'est à dre une sute de mesures portant sur une pérode longue et ontnue. La prévson est alors réalsée à partr des proessus AR, ARMA, ARIMA, dont les paramètres peuvent être estmés à l'ade de la méthode défne par Box et Jenks [970]. Cependant l n'est pas toujours possble de respeter ette ontrante de ontnuté en rason des pannes de apteurs ou d' ndsponblté des données. A l'opposé des méthodes fondées sur les séres temporelles, l exste une approhe dans laquelle les mesures portent sur des ntervalles plus ourts pas forément ontnus. Dans e ontexte on peut ter la méthode ATHENA [Daneh et Aron, 990] qu ombne les outls de lassfaton et de régresson. Cette méthode repose sur une analyse horare du traf, 'est à dre que pour haque heure de la journée on estme les paramètres du modèle prévsonnel. Conrètement on extrat les données utles à la prédton de l'nstant t, on alule ensute des données profls - est à dre rapportées au total des débts sur une pérode que l on host - sur lesquelles on réalse une lassfaton. Pour haque groupe on effetue un ajustement par une régresson lnéare multple. Quant à la prévson l sufft d'effetuer une reonnassane de la lasse d'appartenane, pus d'utlser les oeffents de régresson de ette lasse sur les données dsponbles. page

2 Ben que l'applaton des réseaux de neurones au domane prévsonnel reste très réente, on trouve toutefos quelques travaux dont la partularté est d'utlser un seul réseau de neurones, à savor : -Prédton de onsommaton journalère de ourant à EDF [MANGEAS, 993] -Prédton de traf à l'unversté de Leeds [DOUGHERTY 993] et au LIAC[MONDE, 99] Quant à notre approhe, on peut dre qu'elle repose sur la même hypothèse qu'athena à savor une forte dépendane entre le traf et l'heure. Cependant à l'nstar d'athena elle néesste mons d'arbtrares omme le nombre de lasses, le nombre de oeffent en fonton des effetfs des lasses. A l'opposé des séres temporelles qu supposent la détermnaton des oeffents à partr de données ontguës, nous estmons les paramètres du réseau grâe à des mesures relevées sur des jours dfférents pour des nstants ommuns. A l'ade des vngt-quatre réseaux de neurones notre méthode proure un ajustement horare plus souple que elu proposé par les séres temporelles qu utlsent souvent les mêmes oeffents pour une journée. Rappel sur les réseaux de neurones Un réseau de neurones est aratérsé par pluseurs enttés : le neurone, oeur du réseau; 'est une ellule relée à des ellules vosnes, qu émet un sgnal en fonton des mpulson reçues. la topologe du réseau, est la façon dont sont relés les neurones ; ls peuvent être tous onnetés ou partellement onnetés. l'évoluton du réseau, on sous-entend la manère de modfer les lasons nterneuronales ou les pods des onnetons. le pods d'une onnexon pondère une lason entre deux neurones. la fonton de transfert matéralse la sorte d'un neurone en fonton des mpulsons reçues. Sot l'nde du neurone, on appelle e la somme pondérée des mpulsons reçues : n e = W S j on appelle S la sorte du neurone, ette sorte est fonton des mpulsons reçues en j= provenane des neurones j pondérées par les onnetons j W j. Cette fonto est traée en fgure. page 2

3 S=f(e) 0,5 0 mpulson reçue Fgure La fonton de transfert f ( e ) La plupart des réseaux utlsés pour les applatons prévsonnelles sont organsés en ouhes, on parle alors de réseaux à ouhes (fgure 2). Le transfert des nformatons s'effetue par propagaton, de la ouhe d'entrée vers la ouhe de sorte, ela sgnfe que les neurones d'une ouhe reçovent des nformatons en provenane de la ouhe -, pus renvoent leurs mpulsons aux neurones de la ouhe +. En terme de onnetons ela mplque qu'une ouhe n'est onnetée qu'à la ouhe +, à ela l faut ajouter que les neurones d'une même ouhe ne sont pas onnetés entre eux. Les réseaux à ouhes ouhe ahées Entrées haque neurone est onneté à tous les neurones de la ouhe suvante sortes Fgure 2 page 3

4 Le albrage des réseaux s'effetue par l'ntermédare d'un apprentssage dont l'objetf est de détermner la juste valeur des onnetons, de façon à e que la réponse d'un réseau à une entrée sot la plus prohe possble de la sorte réelle. L'apprentssage peut être effetué selon deux modes, supervsé ou non supervsé. L'apprentssage supervsé sgnfe que les onnetons sont mses à jour à partr d'une fonton oût E à l'ssue de la présentaton d'une entrée ou d'un ensemble d'entrées. Ce type d'apprentssage est fondé sur la punton lorsque l'erreur est élevée et sur la réompense en as d'erreur nulle. L'apprentssage non supervsé orrespond à la stuaton où le réseau détermne sa propre évoluton, on peut parler alors d'auto-organsaton du réseau (modèle de Hopfeld). Les premères mses à jours des onnetons furent réalsées à l'ade de la règle delta dans laquelle les pods étaent nrémentés de W où W = α. δ. S = α.( obervé S ). S j j j Cette règle état lmtée aux réseaux à deux ouhes. Pour les réseaux multouhes l a fallu attendre les travaux de généralsaton de ette règle par Le Cun [985]. Cette généralsaton porte le nom de rétropropagaton du gradent (ou rétropropagaton de l'erreur. j On dstngue pluseurs varantes de ette généralsaton, les prnpales sont les suvantes : gradent stohastque ; l fat ntervenr des termes aléatores au nveau de la fonton de transfert ou enore dans la règle de mse à jour des onnetons, gradent loal ; on modfe les onnexons de façon ndvduelle pour haque élément de l'ensemble d'apprentssage, gradent total, la mse à jour des onnexons s'effetue à l ssue de la présentaton de tous les ndvdus de l'ensemble d'apprentssage ; gradent onjugué ; la mse à jour s'effetue en fonton du gradent ourant et de elu alulé pour l'ndvdu préédent Le potentel d'un réseau de neurones s'évalue à l'ade d'une fonton oût mesurant l'erreur entre la sorte prévue et la sorte réelle. On pourra vor en enadré que l'érture de la formule de l'erreur n'ntervent qu'au nveau des onnetons de l'avant dernère ouhe. Cela sgnfe que l'on est lbre de hosr sa propre fonton oût, de façon à maxmser un rtère quelonque. Approhe neuronale pour la prévson Elle onsste à albrer un réseau heure par heure à partr d'un éhantllon ontenant des données explatves et à explquer, parfos appelées mesures et réponses. Nous effetuons un apprentssage horare ar nous supposons que le traf est surtout fonton de l'heure 'est à dre page 4

5 dépendant de la varaton horare (heures reuses par rapport aux heures de pontes) et de la varaton alendare (jours ouvrables par rapport aux jours non ouvrables) dédute des profls. Cette méthode néesste tros étapes. La premère ommunément appelée extraton de données onsste à séletonner les données sgnfatves en vue de la phase d'apprentssage. La seonde phase appelée apprentssage a pour objetf de trouver la onfguraton optmale du réseau de façon à e que l'erreur de prévson sot la plus fable. Cette étape fournra pour haque heure un jeu de onnetons assoé à un réseau de neurones. La dernère parte appelée prévson onsste à prédre le traf pour un horzon donné à partr d'un réseau de neurones préalablement albré durant la phase d'apprentssage. Extraton d'un jeu de données Cette phase qu permet de onsttuer le jeu de données en vue de l'apprentssage, onsste à séletonner des données utles pour la prévson. En effet au ours de l'apprentssage supervsé, nous devons présenter au réseau un ensemble de ouples mesure/réponse dans lequel mesure représente les varables explatves et réponse la varable à prédre. La pluplart du temps es varables mesures sont ssues de relevés effetués par des apteurs à ntervalle réguler. On peut auss se demander quelle est la fréquene à laquelle les mesures dovent être effetuées : l'heure, la dem-heure... ayant à l esprt qu'une fréquene horare peut masquer ertans problèmes, alors qu'une fréquene élevée peut ndure trop de perturbatons. Toutefos l est préférable d'avor trop d'nformatons que pas assez, pusque l est toujours possble de proèder à un lssage des données de façon à atténuer la varaton (par exemple agrègaton des débts sx mnutes en débt horare). Pour meux omprendre quelles données sont extrates en vue de l'apprentssage on pourra se reporter au tableau. Pour amélorer l'estmaton l est préférable parfos d'ajouter des varables alulées. Ans dans ATHENA [DANECH-ARON] on utlse des varables profls. L'ntérêt du profl résde dans le fat qu'l permet d'élmner l'effet, mettant en évdene une ertane tendane pour un nstant donnée. En résumé pour un horzon de prévson h et selon la notaton du tableau, on reherhe une relaton R entre la réponse qt ( + h) et la mesure sahant que la mesure est omposée de varables brutes Qt () et de varables alulées Pt (). Cette relaton peut s'érre : qt ( + h) = RQt { ( ), Pt ( )} Cette formalsaton néesste de fxer la longueur du prohe passé k pour les données brutes ans que m l'étendue du profl. Ben souvent m est supéreur à k, pour la smple rason qu'au delà d'un ertan temps ou passé, les données brutes n'apportent plus d'nformaton pour la prévson de traf. Cependant l en va autrement du profl, qu tradut la varaton de traf sur quelques heures, laquelle a présément pour voaton de dsrmner les ndvdus. Pour que la dsrmnaton sot de bonne qualté l faut néessarement utlser des profls de pluseurs heures. Conrètement pour haque heure on onsttue un tableau à partr d'un fher arhve, lequel ontent un ensemble de débts et de varables alulées préédant l'nstant de prévson. page 5

6 Tableau exemple des données extrates en vue de la prévson de q(t+h) données brutes données alulées q(t+h) q(t) q(t-) q(t-2)... q(t-k) p(t) p(t-).. p(t-m-) q,t+h q,t q,t- q,t-2... q,t-k- p,t p,t-.. p,t-m- jours q2,t+h q 2,t q 2,t- q 2,t-2... q2,t-k- p 2,t p 2,t-.. p 2,t-m qj,t+h q j,t q j,t- q j,t-2... qj,t-k- p j,t p j,t-.. p j,t-m qn,t+h q n,t q n,t- q n,t-2... qn,t-k- p n,t p n,t-.. p n,t-m- On note : t h per k m d l'nstant ou l'on effetue la prédton, l'horzon de la prédton, le nombre de mesures par jour ( 24 pour un débt horare, 240 pour un débt sx mnutes), la longueur du passé pour les données brutes l'étendue ou la pérode ouverte par le profl le nombre de jours qj, t le débt du jour j à l'nstant t t [, per] Dans le tableau on trouve les données brutes suvantes : qt ( ) =< q,t, q2,t,...qj,t...qd,t>, le veteur mesure orrespondant aux débts relatfs à l nstant t qt ( + h) =< q,t+h, q2,t+h,...qj,t+h...qd,t+h>, le veteur réponse orrespondant aux débts relatfs à l nstant t+h, Qt ( ) = [ qt ( k+ )... qt ( ) q(t)], la matre mesure omposée des veteurs mesures des nstants omprs entre (t-k-) et t. On trouve également des données alulées : P jt, = t q jt, = t m q j,, la varable profl du jour j à l nstant t, P( t) =< P, t... P2, t... Pd, t >, le veteur profl des varables profls relatves à l nstant t, Pt ( ) = [ Pt ( ), Pt ( )... Pt ( m )], la matre profl des veteurs profls. Apprentssage Il s'effetue en temps dfféré, on utlse pour ela les données extrates du passé. Pour haque heure, l apprentssage néesste la réalsaton des phases suessves. page 6

7 Fgure 3 Normalsaton des entrées et des sortes On normalse les données de façon à les ramener sur un même ntervalle [0,]. On proède pour ela à une translaton sur les varables brutes à savor les débts. Une façon de ramener un q sur l ntervalle [0,] onsste à le dvser par Max ( Max orrespond à la débt, [0,max] j apaté maxmum d'un axe autorouter exprmée par un débt horare, 5000 véhules/h par exemple). En e qu onerne les profls on ne les normalse pas, ar par défnton ls sont déjà sur l ntervalle [0,]. La normalsaton dot églement porter sur la valeur observée relatve à l'horzon de prévson.en effet pour être ompatble et omparable ave la sorte de la fonton de transfert, elle- dot être normalser de la même manère que les données brutes. La normalsaton par Max onerne don les veteurs qt ( k )... qt ( ), qt ( ).. qt ( + h). Consttuton de l'ensemble test et d'apprentssage L'apprentssage du réseau néesste un jeu de données à partr duquel on albre le réseau; 'est à dre ses onnetons. Cet ensemble est appelé ensemble d'apprentssage. L'évaluaton du réseau s'effetue à partr de données dfférentes de elles utlsées durant l'apprentssage. Par défnton e derner jeu de données est appelé ensemble test. Sot AP l'ensemble d'apprentssage et TEST l'ensemble test, les proprétés ensemblstes sont les suvantes : AP TEST = AP TEST =Ω La onsttuton de es ensembles peut être effetuée de façon aléatore ou arbtrare, e en fonton de la talle du jeu de données dsponbles. page 7

8 Reherhe du réseau donnant une erreur de prévson mnmale Une fos la normalsaton et la onsttuton des ensembles test et d'apprentssage réalsées on peut laner la phase d'apprentssage. Le proessus d'apprentssage onsste à ntalser les onnetons de façon aléatore pus à présenter suessvement les ndvdus de l'ensemble d'apprentssage de façon à fare déroître l'erreur ndvduelle. Les onnetons sont mses à jour par un gradent loale e qu évte de rester bloquer sur un mnmum loal. Le réseau apprend jusqu'à e qu'l attegne en un ertan nombre d'tératons un optmum sur les deux ensembles d'apprentssage et de test. Cet optmum est fonton de l'ntalsaton mas auss de la topologe hose, e qu sgnfe que la séleton de l'optmum peut néesster pluseurs tentatves, à la fos pour erner la bonne topologe et la bonne ntalsaton. Mémorsaton des paramètres, L'optmum attent préédemment se tradut par un ensemble de valeurs pour les onnetons. Ces onnetons ne sont valables que pour un horzon de prévson égal à t+h, auss afn de pouvor réutlser le réseau ultéreurement on a beson de les mémorser. On reherhe essentellement les valeurs des onnetons orrespondant à un optmum obtenu sur les ensembles d'apprentssage et de test. En effet, la prnpale qualté d'un réseau est de ben s'adapter à l'ensemble d'apprentssage, e qu se tradut par une dérossane de l'erreur sur l'ensemble d'apprentssage lorsque le nombre d'tératons roît. L'erreur alulée sur l'ensemble test déroît pour sa part jusqu'en un ertan nombre d'tératons, mas on assste delà à une remontée de l'erreur (vor fgure 3). Or l'ajustement obtenu par un apprentssage maxmum n'est pas toujours satsfasant au regard de la populaton réelle. Pour tenter de détermner au meux un ajustement l faut proéder après haque yle d'apprentssage à une évaluaton du réseau de neurones à l'ade de l'ensemble test de façon à garder l'optmum attent sur es deux ensembles. L'optmum ans séletonné, se rapprohera plus falement de elu que l on reherhe pour la populaton réelle. Cette phase détermne les onnetons de façon à e que les sortes prévsonnelles du réseau orrespondent au meux aux valeurs réelles. Pour ela on utlse une fonton oût, généralement quadratque, qu mesure un éart entre la valeur prévue et observée. La mse à jour des onnetons s'effetue à l'ade d'une rétropropagaton du gradent de l'erreur (vor enadré). Prévson Cette phase, qu s'effetue en temps réel est nettement plus smple et plus ourte que l'étape d'apprentssage. Lorsque l'on souhate prévor un débt assoé à l'nstant t+h, on réalse pour ela les opératons suvantes : Chargement des paramètres du réseau retenu On réupère les valeurs des onnetons dédutes de l étape de l'apprentssage pour la tranhe horare h, ans que la longueur du passé k et la pérode du profl m. Consttuton des entrées du réseau page 8

9 On extrat de la base ourante les données néessares pour onsttuer les données brutes et pour aluler les données profls de la pérode m. Il reste ensute à normalser les données brutes. Calul de la sorte prévsonnelle du réseau S pour une observaton t, on souhate prévor le débt à t+h, ela suppose de présenter en entrée les données onsttuées préédemment, pus propager les sortes des neurones d'une ouhe vers les neurones de la ouhe supéreure, jusqu'au neurone de la dernère ouhe. Celu- fournt la valeur prévsonnelle qu appartent à l'ntervalle [0,]. Pour que ette dernère sot ompatble ave un débt, on la dénormalse en la multplant par Max. Le alul de la prévson s'effetue selon la séquene suvante : sot x le veteur mesure présenté en entrée, x s'ért : x x x x x x =<, 2... l, l+... n > ave 2 les varables profls. On alule la sorte des neurones d'entrée de la ouhe - : x, x... x l les varables brutes normalsées et x... l+ x n =, = n S x On alule la sorte des neurones de la ouhe ahée n j j j= =, n S = f[ W. S ] On alule la sorte du neurone de la ouhe de sorte + n S = f[ W. S ] + j j j= On dénormalse la sorte du réseau de façon obtenr un débt prévsonnel pour l'nstant t+h qt h S Max ( ) C + + =. APPLICATIONS On a utlsé des mesures dem-horares relevées en mleu autorouter (vor fgure 4). Il s'agssat de prévor le débt du poste de omptage de Beaune dans le sens Pars-Provne, pour un horzon d' une heure. Les données portent sur les postes de omptage suvants : Beaune (autoroute A6 en provenane de Pars, pk ) page 9

10 Avallon (autoroute A6 en provenane de Pars, pk 2.8 ) Baume les dames (autoroute A36 en provenane de Mulhouse, pk 9.0) Langres (autoroute A3 en provenane de Nany, pk 98.8) Beaune est le pont sur lequel porte la prévson, alors que Avallon, Baume les dames et Langres sont des postes amonts dont les données sont rhes d nformaton pour la prévson. Pour l apprentssages on a utlsé les données enregstrées durant les mos de Jullet et Août des années 984 à 989, dont on a éarté les jours aberrants (trop de données nulles ou nertanes). Les mesures des mos de Jullet et Août 990 onsttueront l'ensemble test. Dsposant de données dem-horares, on aurat pu envsager de albrer quarante-hut réseaux de neurones. Cependant on admet que la varaton d une dem-heure à l autre n est pas sgnfatve. On onserve don le même réseau pour l heure entère et la dem-heure suvante. Ce a pour onséquene de doubler les effetfs des ensembles d'apprentssage et test e qu ne peut que rendre plus robuste les résultats. page 0

11 Le réseau hos C est un réseau à tros ouhes mun d'une ouhe d'entrée ou rétne, d'une ouhe ahée (omposée de 5 neurones) et d'une ouhe de sorte (fgure 5). Le nombre de neurones sur la ouhe d'entrée est fonton du prohe passé k des données brutes et de la pérode m du profl. Pour quatre postes de omptage, n=4.k+m Pour mettre à jour les onnetons, nous utlsons un gradent loal, dont on trouve la desrpton détallée en enadré. Ce type d'apprentssage a l'avantage d'ndvdualser la mse à jour des onnetons. Cependant nous aurons pu adopter un gradent total, qu aurat sans doute perms d'aélérer la vtesse de albrage du réseau. Le hox de la règle de mse à jour onsttue une perspetve d'améloraton sahant qu'l exste des tehnques d'aélératon pour le gradent [FAHLMAN, 989]. Etant donné que le réseau ne omporte qu'un neurone de sorte, ela ndut une smplfaton de la mse à jour des onnetons de la ouhe d'entrée vers la ouhe ahée. Nous avons hos une valeur fable pour α (onstante de pondératon du gradent), nous l'avons fxé à 0.0. Il est ependant envsageable de donner à α une valeur élevée au début de l apprentssage, aélérant par voe de onséquene la onvergene du réseau, pus de fare déroître ette valeur ave le nombre d'tératons e qu modfe de façon nfme les onnexons. augmente, α déroît e qu modfe de façon nfme les onnetons. réseau utlsé données brutes 4*k données profls m Entrées (rétne) ouhe de aluls Fgure 4 le réseau hos sorte page

12 La fonton de transfert est une sgmoïde f ' ( x) = f( x).( f( x)) f( x) = dont la dérvée est x + e On utlse en entrée les grandeurs -dessous normalsées : débts du pont QP(t)...QP(t-k-) débts amont QA (t)...qa (t-k-) débts amont 2 QA 2 (t)...qa 2 (t-k-) débts amont 3 QA3(t)...QA3(t-k-) varables alulées (profl) Z...Zm et l on herhe en sorte la grandeur QP(t+) dénormalsée pour être ompatble ave le débt prédt. Les varables Z à Zm sont alulées pour haque nstant de la prédton (rappellons que la pérode m est ben souvent plus longue que k le prohe passé des données brutes). En résumé le réseau de neurones herhe une approxmaton d une fontonnelle la prévson sot la plus prohe possble du débt réel. QP( t s) QA ( t s) QP( t + ) = Max. R{,, Z, Z 2... Z m} MPax Max Pour [,3], s [0,k-], Max étant la onstante de normalsaton. de sorte que Dans ette applaton on dspose de statons stuées en amont de Beaune, e qu permet d'amélorer la prévson ar les véhules passant par es amonts arrveront à Beaune envron une heure plus tard. De plus en fonton du type de rulaton flude ou ongestonné, e ne sont pas les mêmes mesures au nveau des amonts qu ntervennent dans la prédton. Ans en stuaton flude, l est rasonnable de penser que les mesures de l'heure préédente ntervennent dans la prévson, tands qu'en stuaton ongestonné l faut remonter à plus d'une heure. On peut penser que le réseau utlse l'nformaton profl du pont pour dsrmner les types de stuaton de traf. page 2

13 Résultats Pour évaluer la méthode dérte, nous utlsons deux rtères d erreur. Le premer ndquant un taux global d erreur quadratque moyenne, est alulé à l ade de la formule suvante : n = ( prévu observé ) n = (observé ) Le seond, donne une erreur globale en terme de nombre de véhules, est alulé par : 2 2 n = ( prévu observé ) Sgnalons que d autres utlsent des formules dfférentes, e qu rend délate la omparason. n 2 Données horares Pour notre premère expérene nous avons agrège les données de façon à onsttuer des données horares (profls et débts horares). Les ensembles néessares aux albrages des réseaux omprenaent respetvement pour l apprentssage les mos de jullet et août des nq années 984 à 988 pour le te les mos de jullet et août 989. L'horzon de prévson a été fxé à une heure (h=), tands que la pérode de profl état de sx heures (m=6). Nous avons fat varer la longueur du prohe passé pour les données brutes d une à quatre heures ( k [,4] ) et examné l nfluene de sa varaton à m fxé. Evoquant préédemment le problème de la topologe, nous avons lassé entendre que les résultats étaent fonton des paramètres h,m,k mas auss de la topologe du réseau de neurones. Ce est le seond élément que nous avons fare varer, en utlsant pour la prévson pluseurs types de réseaux dfférant pour par le nombre de neurones sur la ouhe ahée. Nous avons testé les typologe M, M2, M3 ave respetvement nq, quatre et tros neurones sur la ouhe ahée. par onséquent en plus de la varaton de k (k [..4]), on utlsera pour la prévson. Le résultat de es expérenes sont présentés dans le tableau 2. On remarque que le melleur résultat est obtenu ave la typologe M, elle dsposant du plus grand nombre de neurones sur la ouhe ahée. Globalement la topologe M donne de melleurs résultats au nveau de l'ensemble test pour k appartenant à à 3. On ne peut pas en dre autant pour l'ensemble d'apprentssage, mas ela n'est pas sgnfatf ar l est très dffle de départager des réseaux à partr d'un ensemble d'apprentssage en rason même de leur apaté d'apprentssage. page 3

14 Pour k=2 (un prohe passé de deux heures) on obtent un taux d'erreur global de 7% pour l'apprentssage et 8,78% pour l'ensemble test (tableau 2). Nous en dédusons que montre que deux heures suffsent pour ben prédre le débt de Beaune. Erreur globale pour un profl de 6 sx heures prohe passé de heure M M2 M3 Apprentssage 7,32 7,2 7,63 Test 9,05 9,06 0,08 prohe passé de 2 heures M M2 M3 Apprentssage 6,99 6,89 6,9 Test 8,78 9,2 9,2 prohe passé de 3 heures Apprentssage M M2 M3 Test 6,92 6,83 6,8 9,48 9,7 9,8 M3 3 neurones ouhe ahúe M2 4 neurones ouhe ahúe M 5 neurones ouhe ahúe prohe passé de 4 heures M M2 M3 Apprentssage 6,76 6,69 6,87 Test 9,77 9,42 9,39 Tableau 2 L'nfluene de la topologe semble mnme omme le montre les résultats. L'apprentssage réalsé sur la topologe M2 est de melleure qualté que sur les autres topologes. Cependant les résultats sur les ensembles tests sont melleurs pour la topologe M. C'est pourquo on aorde une plus grande onfane à ette dernère. La fgure 6 retrae les résultats globaux obtenus par la topologe M. On onstate que l'augmentaton de la longueur du passé se tradut par améloraton de l'erreur sur l'ensemble d'apprentssage, alors qu'au nveau de l'ensemble test on note un gan jusqu'à deux heures, tands qu au delà l'erreur remonte. Ce orrespond à un phénomène de saturaton, de la part du réseau qu n'arrve plus à dsrmner l'nformaton utle. page 4

15 évoluton de l'erreur en fonton de la longueur du passé heures 2 heures 3 heures 4 heures longueur du passé apprentssage test fgure 6 Données dem-horares Pour la dernère expérene l'ensemble d'apprentssage ontenat les mos de Jullet et d'août des années 984 a 989, tands que l'ensemble test ontenat Jullet et Août 990. I la prévson ontrarement à l'expérene préédente a été réalsée ave les données dem-horares et des profls dem-horares, les paramètres m, k valant 8, et 2. Cela représente un profl de 4 heures et un passé de deux dem-heures ( Qh ( ) et Q(h-/2)) (Q(h). Nous espérons que le passage d'un modèle horare à un modèle dem-horare pourrat amélorer les résultats. A ttre de référene nous donnons les résultats obtenus par ATHENA lors de son applaton en Jullet et Août 990 sur la staton de omptage de Beaune. Ben que l on ne pusse omplètement omparer notre démarhe neuronale et ATHENA. En effet le albrage d'athena est ndépendant de l'ensemble test, alors que le albrage d'un réseau de neurones néesste un ensemble d'apprentssage et un ensemble test pour fxer l'optmum des onnetons. Cependant les résultats obtenus sur les ensembles d'apprentssage et de test à savor 8,5% et 8,2% tendent à montrer que la méthode semble robuste et permettent d'envsager une vértable omparason dans le future. La fgure 7 ompare les taux d erreur moyenne par mos sur les prédtons obtenues par la méthode neuronale et par ATHENA, tans que la fgure 8 donne les erreurs en terme de nombre de véhules. page 5

16 Erreur globale pour la prévson de Beaune sens Pars-Provne ,70% 7,50% 0,70% 9,40% 8,70% 8,20% Jullet Aout Jullet et prévson à heure Aout ATHENA NEURONALE fgure 7 Erreur globale pour la prévson de Beaune sens Pars-Provne Jullet Aout Jullet et prévson à heure Aout 52 ATHENA NEURONALE fgure 8 Perspetves et onluson Les perspetves d'améloraton du modèle prévsonnel par réseaux de neurones résdent sot dans une réduton du nombre de réseaux, sot dans les tehnques d'aélératon du gradent. On peut envsager par exemple de proéder à une lassfaton des profls, de façon à effetuer un traval dsrmnant avant d'ntrodure en entrée d'un réseau généralsé le résultat de ette lassfaton, ans que les mesures et les profls. Pour l'utlsaton temps réel ela suppose de page 6

17 reonnaître la lasse d'appartenane du profl avant de propager le veteur d'entrée à travers le réseau. Cependant l est déjà possble d amélorer notre modèle en onservant les sortes des prévsons antéreures à t, que l on ntrodurat dans le réseau pour la prévson à l'nstant t du traf t+h. Ce aurat pour avantage de onsttuer un réseau ave une mémore qu pourrat onentrer l'nformaton. Grâe à e type de réseau l est possble d'ntrodure les erreurs prévsonnelles de manère à en tenr ompte pour les prévsons futures. Ce type de réseau étant largement utlsé pour le tratement de la parole dans les réseaux de neurones ave retard temporel [Wabel, 989]. Pour onlure, on peut dre que les expérenes nous ont perms de montrer l'ntérêt que peut présenter une approhe neuronale pour une applaton prévsonnelle. L'avantage de ette démarhe résde dans le fat que l'on smplfe onsdérablement le albrage qu se résume smplement en une phase d'apprentssage d' un réseau de neurones. De plus la prévson est très smple pusqu'l ne s'agt que d'une propagaton d'un veteur de profls et de débts. Globalement ette méthode permet d'effetuer de bonnes prévsons pusque l'erreur obtenue sur l'ensemble test est de 8,2% e qu répond au rtère de qualté que nous nous étons fxé. De plus, sahant que l'analyse a porté sur les jours les plus hargés de l'année, on peut attendre de la méthode un omportement enore melleur pour les autres jours de l'année. BIBLIOGRAPHIE Bourret P., Regga J., Samueldes M. Réseau Neuronaux, Tekena éd., 99. Box G. et Jenks G. - Tmes Seres Analyss, Foreastng and Control, Holden Day ed., 970 Daneh-Pajouh M., Aron M., ATHENA, une méthode de prévson à ourt terme du traf autorouter, Reherhe Transports et Séurté N 28, déembre 990. Dougherty M., Analyss of the Utreht Traff Data Usng Neural Network, Tehnal Note 344, May 993. Le Cun Y., une proédure d'apprentssage pour réseau à seul asymétrque, Pro. of Cogntva Cesta-Afet 985. Le Monde, Neurones : la lyonnase se jette à l'eau", Le Monde Informatque 4 Novembre 99 Mangeas M., Adavantages of Multlayer Pereptron for Modellng an Foreastng Tmes Seres : Applaton To The Daly Eletral Consumpton In Frane, Proedngs de Neuro-Nmes 993. Sott E., Fahlman ---Faster Learnng Varatons of Bakp-Propagaton : "An empral Study Proeedngs o the 988 Connetonst Models Summer Shool, Morgan Kaufman ed., 989. Wabel A. Phoneme Reognton Usng Tme-Delay Neural Network, IEEE Transatons on Aousts, Vol 37 N 3, Mas 989 page 7

18 Enadré Règle de mse à jour des onnetons à l ade d un gradent loal Dans la phase de rétropropagaton la modfaton des pods se fat de la façon suvante : W E = W + α () j j Wj ouhe - ouhe ouhe + W - j W j propragaton du sgnal rétropropragaton de l'erreur + 2 E = ( S Observé ) (2) La rétropropagaton du gradent se alule dfféremment selon que l'on modfe les pods relés à la dernère ouhe ou ben les pods des ouhes préédentes. On parle de rétropropagaton ar la mse à jour des onnexons d une ouhe utlse une parte du gradent de l erreur des ouhes préédentes. Pour un neurone appartenant à la dernère ouhe : La fonton de oût E se ompose de pluseurs fontons (f,s,e). Auss pour exprmer orretement la gradent déompose-t-on tout d abord E W j à l ade de e + entrée avew. j n+ + Wl. Sl e l= =. =. + + j j j E E E W e W e W La déomposton de (3) s ért : (3) page 8

19 E E = S W e + j. j (4) Il faut à nouveau déomposer E e + C+ E E S + ' + =. = ( observé ). ( ) C S f e e e e La règle de mse à jour des onnexons est don fnalement : ar E est fonton de S +, lu-même ssu de e + (5) W W observé S f e S + ' + j = j + α( ). ( ) j Pour un neurone appartenant aux autres ouhes : Comme dans l équaton (3), on déompose le gradent de W. j E W j à l ade de l entrée e à partr E E e E.. S W e W e = = j j j (6) L entrée érre E e e est utlsée au nveau des entrées des ouhes supéreures, de sorte que l on peut E E e e e e à l ade des gradents des entrées n+ + l =. + l= l E e + déjà alulé en (5). (7) On déompose la gradent e e + à partr de la sorte S ntervenant dans le alul de e + : page 9

20 e e S + + l l ' =. = Wl. f ( e ) e S e (8) Car e S + l n j= W S lj j = = W S On rapporte le gradent e e + lj et S e dans (7) : = f( e ) e nv+ E E ' = + W l f e e l= el. ( ) (9) Fnalement le gradent E W j s ért : W n+ E E ' (. ). ( ). W l f e S = + j j l= el (0) La règle de mse à jour des onnexons des neurones des autres ouhes est don : E W W W f e S n + ' j = j + α (. ). ( ). + l j l= el page 20

21 Résumé Cet artle présente les résultats de travaux vsant à ntrodure une approhe neuronale dans une méthode de prévson de traf à ourt terme. Cette approhe repose sur l'hypothèse d'une forte dépendane entre l'heure et le traf autorouter. Partant de ette hypothèse, on déoupe l'éhantllon hstorque de façon à attrbuer à haque réseau une tranhe horare partulère. Les paramètres du réseau sont ensute estmés par le bas d'un apprentssage supervsé. Grâe au modèle neuronal la prévson n'est qu'une propagaton d'un sgnal d'entrée (débts, profls) au travers d'un réseau de neurones. Cette méthode est évaluée à l'ade de mesures autoroutères relevées durant les mos de jullet et d'août de pluseurs années. Sur es données, on attent une erreur globale satsfasante, e qu ouvre omme perspetve de reherhe la généralsaton du modèle. Abstrat Ths paper presents the results of researh amed at applyng a neural approah to short term traff foreastng. Ths work s based on the hypothess that there s a strong lnk between tme of day and levels of motorway traff. On ths bass the hstoral sample was splt up so as to assgn a spef perod of tme to eah network. Vaules for network parameters were then found by means of supervsed tranng. Wth the neural model foreastng s merely a queston of propagatng n nput sgnal (flows, profles) through a neural network. Ths approah was evaluated by usng motorway measurements gathered durng July and August over several years. The results provded a level of general error whh was satsfatory and open up possbltes for future researh, for example the more general applaton of ths model. page 2