Partie I - Généralités P(E) et P n

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1 Centrale 003 PSI Maths page 1 MATHÉMATIQUES II Filière PSI Dans tout le problème, n est un entier naturel supérieur ou égal à 1 On considère un espace euclidien E de dimension n On note x y le produit scalaire de deux vecteurs x et y et x x la norme associée Pour u L(E), on note u son adjoint, χ u son polynôme caractéristique et Sp (u) l ensemble de ses valeurs propres On note π u le générateur de l idéal des polynômes annulateurs de u dont le coefficient de plus haut degré est égal à 1 π u est appelé polynôme minimal de u L endomorphisme u de E est dit antisymétrique lorsque u = u On note S(E), A(E) et O(E) les sous-ensembles de L(E) formés respectivement des endomorphismes symétriques, antisymétriques, orthogonaux Si F est un sous-espace de E stable par u, on note u F l endomorphisme de F induit par u On note P(E) l ensemble des endomorphismes u de E tels que u soit un polynôme en u et N (E) l ensemble des endomorphismes u de E qui commutent avec leur adjoint, donc : P(E) = {u L(E) u R[u]}, N (E) = {u L(E) (u u = u u )} Le but du problème est d étudier et comparer les deux ensembles P(E) et N (E) On note M n (R) l ensemble des matrices carrées réelles de taille n et S n, A n et O n les sous-ensembles de M n (R) formés respectivement des matrices symétriques, antisymétriques, orthogonales Pour A M n (R), on note χ A son polynôme caractéristique et π A son polynôme minimal, c est-à-dire le polynôme minimal de l endomorphisme de R n canoniquement associé à A On note t A la transposée de A Deux matrices A et B sont dites orthogonalement semblables lorsqu il existe P O n tel que B = P 1 AP On note P n l ensemble des matrices A de M n (R) telles que t A peut s exprimer comme un polynôme en A, donc : P n = { A M n (R) t A R[A] }, et de manière analogue N n = { A M n (R) t AA = A t A } Les parties I et II sont indépendantes IA - IB - IA1) Partie I - Généralités P(E) et P n Soient A et B les deux matrices d un même endomorphisme de E rapporté à deux bases orthonormales Montrer que A et B sont orthogonalement semblables IA) Soit u un endomorphisme de E et A sa matrice sur B, une base orthonormale de E Établir un rapport entre l appartenance de u à P(E) (resp N (E)) et l appartenance de A à P n (resp N n ) Dans la suite du problème, on pourra exploiter ce rapport pour répondre à certaines questions IA3) Montrer que P(E) N (E) et que P n N n IB1) Vérifier que S(E) P(E) et A(E) P(E)

2 Centrale 003 PSI Maths page IC - IB) Quelles sont les matrices triangulaires supérieures qui appartiennent à P n? En déduire que si n, on a P(E) L(E) IB3) IB4) IC1) IC) IC3) IC4) Soit u L(E) admettant, sur une certaine base B de E, une matrice triangulaire supérieure Montrer qu il existe une base orthonormale B de E, telle que les matrices de passage de B à B et de B à B soient triangulaires supérieures Montrer que la matrice de u dans B est triangulaire supérieure En déduire les éléments u P(E) qui sont trigonalisables On suppose que u est un automorphisme de E ; montrer que u admet un polynôme annulateur P tel que P (0) 0 En déduire que u 1 peut s écrire comme un polynôme en u En déduire que O(E) P(E) Montrer que si A P n et A 0, alors il existe un unique polynôme réel que l on note P A, tel que degré (P A ) < degré (π A ) et P A (A) = t A Si A est la matrice nulle, on convient que P A est le polynôme nul Énoncer le résultat correspondant pour u P(E) Déterminer les matrices A de P n pour lesquelles P A est un polynôme constant Déterminer les matrices A de P n pour lesquelles P A est du premier degré On rappelle que toute matrice carrée s écrit comme somme d une matrice symétrique et d une matrice antisymétrique Soient A et B deux matrices orthogonalement semblables Montrer que si A P n alors B P n et P A = P B ID - Décrire les éléments A de P et calculer les P A correspondants ( ) A1 0 IE - Soit A = avec A 0 A 1 P n1, A P n IE1) On suppose que π A1 et π A sont premiers entre eux Montrer l existence de deux polynômes U et V tels que : P A1 (P A1 P A ) Uπ A1 = P A + (P A1 P A ) V π A Calculer A m pour m entier positif quelconque, puis P (A) pour P = P A1 (P A1 P A ) Uπ A1 En déduire que A P n1 +n IE) Expliciter π A en fonction de π A1 et π A Comment trouver P A connaissant π A1, π A et le polynôme P défini par P = P A1 (P A1 P A ) Uπ A1? IF - Soit A = Vérifier que A P 4 et calculer P A avec la méthode précédente

3 Centrale 003 PSI Maths page 3 IIA - IIB - IIC - IID - IIE - Partie II - Étude de N (E) et N n Montrer que si u N (E) et P R[X], alors P (u) N (E) Soient u N (E) et x E Montrer que u(x) = u (x) En déduire que u et u ont le même noyau Soit m un entier, m > 0 On suppose donné un endomorphisme f antisymétrique inversible de l espace R m muni de son produit scalaire canonique IIC1) Comparer les déterminants de f et f En déduire que m est pair IIC) On considère les applications n et g définies sur R m par n(x) = x et g(x) = f(x) et l application q : U = R m \ {0} R définie par q(x) = f(x) x Montrer que n et g sont de classe C 1 sur R m et que leurs différentielles en x fixé sont les formes linéaires h x h et h f(x) f(h) Montrer que l application q est de classe C 1 sur R m \ {0} et déterminer sa différentielle en x, en calculant dq(x)(h) au moyen de produits scalaires et de normes On note S = {x U x = 1} Montrer que l ensemble des valeurs prises par q sur S coïncide avec l ensemble des valeurs prises par q sur U Montrer que la fonction q admet un maximum sur R m \ {0} et que ce maximum est atteint en un point x 0 S Montrer que, pour tout h, on a f(x 0 ) f(h) = f(x 0 ) x 0 h En déduire que Π = Vect (x 0, f(x 0 )) est un plan stable par f Donner une base orthonormale de Π et exprimer la matrice de f Π relative à cette base IIC3) Montrer qu il existe une base orthonormale B de R m telle que : τ M B (f) = 0 τ 0 avec τ i = 0 0 τ m ( ) 0 bi et b b i 0 i 0 pour i = 1,, m Soit u L(E) et E 1 E un sous-espace stable par u et u On note E le supplémentaire orthogonal de E 1 IID1) Montrer que E est stable par u et u IID) Montrer que ( u E1 ) = u E1 IID3) Montrer que si, en outre, u N (E), alors u E1 N (E 1 ) et u E N (E ) Jusqu à la fin de la partie II, u désigne un élément de N (E) Soient λ R et x E ; montrer que u(x) λx = u (x) λx En déduire que u et u ont les mêmes sous-espaces propres et que ceux-ci sont en somme directe orthogonale Si λ est une valeur propre de u, on note E u (λ) le sous-espace propre associé Soit F le supplémentaire orthogonal du sous-espace : E u (λ), où la somme porte sur l ensemble des valeurs propres de u λ Montrer que F est stable par u et u En considérant la restriction de u à F, montrer que la dimension de F ne peut être impaire On notera dim F = p

4 Centrale 003 PSI Maths page 4 IIF - On suppose que p est non nul Soit v N (F ) On pose s = v + v et a = v v IIF1) Justifier que le polynôme caractéristique de s est scindéon le note : χ s (X) = k (λ i X) n i i=1 IIF) Montrer que s a = a s et s v = v s Montrer qu il existe une base orthonormale B de F telle que la matrice de v dans B soit diagonale par blocs : M M B (v) = 0 M M k avec, pour i = 1,, k, M i de la forme λ i I ni + A i où A i est antisymétrique IIF3) On suppose en outre que v n admet aucune valeur propre réelle Montrer que les A i sont inversibles IIG - Montrer qu il existe une base orthonormale B de E telle que : D 0 0 M B (u) = 0 τ ( ) 1 0 avec D matrice diagonale, τ ai b i = i et b b i a i 0 i 0 0 τ p pour i = 1,, p IIH - Donner une caractérisation des matrices A N n III - IIIA - IIIA1) IIIA) Préciser la matrice obtenue dans IIG quand u O(E) Soit P R[X] Partie III - Relation entre P n et N n Soit M = 0 M 0 une matrice réelle diagonale par blocs M k Montrer que P ( ) = t si et seulement si P (M i ) = t M i, pour i = 1,, k Donner les expressions de P A (, χ A et ) π A pour une matrice a b A = où b 0 b a Montrer que P (A) = t A si et seulement si P (a + ib) = a ib et P (a ib) = a + ib Dans les questions qui suivent, on fixe A N n D après IIH, A est orthogonalement semblable à une matrice B telle que celle représentée dans IIG

5 Centrale 003 PSI Maths page 5 IIIA3) Montrer que P (A) = t A si et seulement si : { P (λ) = λ pour toute valeur propre réelle λ de A P (z) = z pour toute racine complexe non réelle z de A IIIA4) Montrer qu il existe P C[X], de degré minimal, vérifiant les conditions ci-dessus (sur P (λ) et P (z)) et que ce polynôme est, en fait, à coefficients réels En déduire que N n = P n IIIB - Montrer que le polynôme P trouvé dans IIIA4 est, en fait, P A Retrouver, avec la méthode précédente, le polynôme P A de la question IF IIIC - Dans cette question, on suppose n 3 et on note C (α 0, α 1,, α n 1 ) M n (R) la matrice circulante α 0 α 1 α α n 1 α n 1 α 0 α 1 C (α 0, α 1,, α n 1 ) = α et J = C(0, 1, 0,, 0) α α0 α 1 α 1 α α n 1 α 0 IIIC1) Montrer que J P n En déduire que toute matrice circulante appartient à P n IIIC) À toute matrice circulante non nulle A = C (α 0, α 1,, α n 1 ), on associe les polynômes P (X) = n 1 α i X i et Q(X) = α 0 + n 1 α i X n i i=0 Donner l expression de π J Comparer Q et le reste de la division euclidienne de P A P par π J En déduire les étapes d une méthode de calcul de P A Détailler le calcul pour A = C(1, 1, 0) IIID - Soit P (X) = a 0 + a 1 X + a X avec a 0 Montrer qu il existe un entier n 3 et une matrice A P n telle que P = P A si et seulement si (a 1 1) 4a 0 a [0, 4[ Indication : montrer que, si n et A existent, χ A admet au moins une racine réelle et exactement deux racines complexes, conjuguées l une de l autre i=1 FIN