Chapitre VI Les lois générales de l électromagnétisme

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1 hapitre VI Les lois générales de l électromagnétisme Nous avons vu dans les chapitres précédents que les champs électrostatiques E et D et les champs magnétiques B et H, satisfont les équations suivantes: divd = ρ l ; divb = 0 (1) rot E = 0 ; rot H = J l (2) Dans le cas général, la densité volumique de courant libre J l peut avoir deux composantes J l = J c + J l où J c = σ E est la densité volumique de courant de conduction et J l est la densité volumique de courant libre dans le vide 1. Nous avons vu aussi que dans un milieu matériel, les champs D et H sont dans le cas général reliés respectivement aux champs E et B par les relations: D = 0 E + P (3) H = B µ 0 M (4) où P et M sont respectivement les vecteurs polarisation et aimantation du milieu. Nous avons vu aussi que dans les milieux l.i.h., la polarisation P et l aimantation M étaient reliées respectivement aux champs E et H par les relations suivantes: P = 0 χ e E D = E (5) M = χ m H H = B µ (6) où χ e et χ m représentent respectivement la susceptibilité électrique et la susceptibilité magnétique du milieu; = 0 r et µ = µ 0 µ r sont respectivement la permittivité électrique et la perméabilité magnétique absolues du milieu, avec r = χ e +1 et µ r = χ m +1 représentant respectivement la permittivité électrique et la perméabilité magnétique relatives du milieu. On en a déduit alors les quatre équations en E et B suivantes 2 : dive = ρ l ; divb = 0 (7) rot E = 0 ; rot B = µ J l (8) es quatre équations forment un ensemble de quatre équations différentielles par rapport aux coordonnées d espace. 1 harges libres en mouvements dans le vide. 2 Nous pouvons aussi réexprimer ces 4 équations dans les milieux l.i.h. en fonction du couple de champs D et H: divd = ρ l ; divh = 0 rot D = 0 ; rot H = J l Licence 2ème année 1 Mossadek Talby

2 VI.1 Loi de Faraday Nous avons vu dans le chapitre V que toute variation dans le temps du flux φ d un champ magnétique B à travers la surface d un circuit fermé se traduit par l apparition d une force électromotrice (f.e.m.) induite ξ ind. ette f.e.m. génère un courant induit I ind dans le circuit dont le sens de circulation est tel que les lignes du champ magnétique créées par ce courant s opposent à la variation du flux φ. Nous avons vu que l expression de cette f.e.m. ξ ind est donnée par: ξ ind = dφ dt Nous avons vu aussi que le travail W q produit par la f.e.m. ξ ind sur les charges q du circuit, créant le courant I ind, s écrit: (9) W q = q ξ ind (10) On en déduit donc que: ξ ind = W q q = 1 q = F q dl (11) E ind dl (12) où E ind est le champ électrique induit par la f.e.m., semblable à celui créé par un générateur de tension. Or on sait (cf. hapitre I, paragraphe I.4, équation (33)) que: E dl = 0 (13) pour tout champ électrique qui dérive d un potentiel scalaire i.e. pour tout champ E = gradv. Ici on a: ξ ind = dφ dt 0 E ind dl 0 (14) On a donc affaire à un champ électrique non conservé i.e. qui n est pas en 1/r 2 et qui ne dérive donc pas d un potentiel scalaire. On peut donc interpréter l existence d une f.e.m. induite comme une indication de la présence d un champ électrique induit non conservé: E ind dl = dφ (15) dt Pour généraliser l expression du champ électrique E qui tient compte à la fois du champ électrique conservé 3 Ec et du champ électrique non conservé E ind, nous pouvons l écrire sous la forme: 3 i.e. Ec = gradv. E = E c + E ind (16) Licence 2ème année 2 Mossadek Talby

3 avec: E dl = E c dl + E ind dl = E ind dl = dφ dt (17) i la variation du flux φ est liée à la variation du champ B dans le temps, alors on a 4 : E dl = dφ dt = d B ds (18) dt B = ds (19) ar on considère que la surface du circuit ne varie pas dans le temps. Or comme (théorème de tokes): E dl = on a alors: et donc: rot E ds (20) rot E B ds = ds (21) rot E = B (22) ette expression représente la version différentielle de la loi de Faraday. On l appelle généralement loi de Faraday. ette nouvelle relation que nous venons d établir introduit un lien entre les champs E et B i.e. entre électricité et magnétisme. Elle exprime le fait que toute variation du champ magnétique dans le temps est une source de champ électrique. La relation (22) entre les champs E et B peut être exprimée d une autre manière. En effet comme B = rot A, on a alors: rot E = ( rot A) ( = rot ) A (23) ( rot E + A ) = 0 (24) soit donc E + A = gradv (25) E = gradv A (26) 4 On utilise la dérivée partielle sur la variable temps car le champ B dépend à la fois des coordonnées d espace et du temps. Licence 2ème année 3 Mossadek Talby

4 Or comme E = E c + E ind et que E c = gradv, on a donc: E ind = A (27) ette expression montre qu en général le champ E dépend de deux potentiels, un potentiel scalaire V ( r) et un potentiel vecteur A( r). Dans le cas statique, on a: A = 0 E = gradv (28) On retrouve ainsi l expression du champ électrique E en fonction du potentiel scalaire V dans le cas statique. VI.2 Equations de Maxwell Nous venons de rappeler et de voir que dans les milieux l.i.h., le champ électrique E et le champ magnétique B satisfont les équations suivantes: dive = ρ l rot E = B ; div B = 0 (29) ; rot B = µ J l (30) À coté de ces relations nous avons obtenu dans le chapitre III une équation reliant la densité volumique de courant libre J l et la densité volumique de charges libres ρ l i.e. l équation de continuité appelée aussi équation de conservation de la charge, donnée par: div J l + ρ l = 0 (31) Avant d aller plus loin, il est important de remarquer qu il existe une contradiction entre l équation en rot B et l équation de continuité. En effet si on calcul la divergence de rot B, on obtient: div( rot B) = µ divj l = µ ρ l 0 (32) Or on sait que div( rot X) = 0 quelque soit le champ vectoriel X. Nous avons donc une contraduction qui traduit tout simplement le fait que la relation rot B = µ J l est une équation incomplète. Nous allons donc reécrire l équation en rot B en supposant que rot B = µ J avec J = J l + J d où J d est le terme additionnel nécessaire pour compléter l équation en rot B et donc lever la contradiction. L expression de cette nouvelle composante qui correspond à une densité volumique de courant peut être obtenue à partir du calcul de la divergence de rot B. En effet on a: div( rot B) = µ(divj l + divj d ) (33) = µ ρ l + µ div J d = 0 (34) Licence 2ème année 4 Mossadek Talby

5 On en déduit alors que: div J d = ρ l (35) Or comme ρ l = div D, on obtient alors: soit donc: div J d = (div D) = div D (36) J d = D = E dans un milieu l.i.h. (37) Le sens physique de la densité volumique de courant J d est le suivant: un champ électrique variant dans le temps est une source de champ magnétique, au même titre qu un courant. e résultat est équivalent à celui que nous avons obtenu à travers la loi de Faraday à savoir que la variation d un champ magnétique dans le temps est une source de champ électrique. remarque 1: Jd est définie à un vecteur près. En effet si on la redéfinit en posant J d = D + rot G où G est un champ vecteur quelconque, alors divj d reste inchangé: divj d = ρ l + div( rot G) = ρ l = div J d (38) car div( rot G) = 0 G. remarque 2: La densité volumique de courant J d qui a été introduite par Maxwell a été appelée densité volumique de courant de déplacement. Il faut faire attention à cette dénomination qui peut être trompeuse car J d ne correspond pas à un déplacement de charges comme son nom peut le suggérer. remarque 3: Après l introduction de la densité de courant J d dans l expression de rot B, la forme intégrale de la loi d Ampère s écrit: B dl = rot B ds = µ ( J l + J d ) ds = µ(i l + I d ) (39) où I l et I d sont respectivement le courant libre et le courant de déplacement. En résumé nous avons obtenu quatre équations complètes en fonction du couple de champs E et B qui sont dans un milieu l.i.h données par 5 : dive = ρ l rot E = B ; div B = 0 (40) ; rot B = µ J l + µ E 5 es équations peuvent aussi être exprimées en fonction du couple de champs D et H: (41). div D = ρ l ; div H = 0 rot D = µ H ; rot H = J l + D Licence 2ème année 5 Mossadek Talby

6 es quatre équations s appellent équations de Maxwell. e sont des équations différentielles linéaires. Par conséquant si deux ou plusieurs champs électromagnétiques sont solutions de ces équations, alors leur somme ou de façon générale toute combinaison linéaire de ces solutions est aussi une solution. ette propriété n est autre que ce que l on appelle principe de superposition. VI.3 Théorème de Poynting Nous avons vu dans le chapitre V consacré aux considérations énergétiques des champs électrique E et magnétique B que les énergies électrique U e et magnétique U m sont données par: U e = u e dv (42) IR 3 U m = u m dv (43) IR 3 avec u e = E 2 D = 2 B et u 2 2 m = 2 = B H H = µ 2 sont respectivement la densité 2µ 2 2 volumique d énergie électrique et la densité volumique d énergie magnétique. 2 = E D Nous allons maintenant généraliser ces notions d énergie en introduisant la notion d énergie électromagnétique. Vecteur de Poynting: Nous avons vu que: et rot E = B rot H = J l + D (44) (45) i l on multiplie à gauche scalairement la première équation par H et la deuxième par E et on fait la somme, on obtient: } H rot E {{ E rot H } + H B + E D = J l E (46) div( E H) En posant P = E H et en réécrivant les termes H B et E D sous la forme suivante: H B ( ) ( = B H + 1 H B 2 2 B H ) (47) et E D = u m + P Hm (48) ( ) ( = E D + 1 E D 2 2 D E ) (49) = u e + P H e (50) Licence 2ème année 6 Mossadek Talby

7 On obtient l équation suivante: div P + (u e + u m ) + P He + P Hm = J l E (51) où P est le vecteur de Poynting et les termes P He et P Hm sont des termes énergétiques relatifs aux phénomènes d hystérésis électrique et magnétique 6 donnés par: ( P Hm = 1 H B 2 B H ) (52) ( P He = 1 E D 2 D E ) (53) remarque: Il est facile de voir que dans les milieux l.i.h., on a P He = 0 et P Hm = 0. omme on ne s interesse qu aux milieux l.i.h., on a donc: div P + (u e + u m ) = J l E (54) avec u e = E 2 B et u 2 m = 2 2µ En posant u = u e + u m, on obtient après un réarrangement des termes l équation finale suivante: où u est la densité d énergie électromagnétique. u = J l E + div P (55) ette équation s appelle équation de conservation de l énergie. i l on intègre cette équation sur le volume V contenant la densité volumique de courant libre J l et les champs E et B, on a 7 : u V dv = u dv = J l E dv + div P dv (56) V V V U = J l E dv + P ds (57) où U est l énergie électromagnétique totale dans le volume V. La signification physique de cette expression est la suivante: Le taux de décroissance de l énergie électromagnétique totale U dans le volume V est due en partie à la conversion de l énergie en chaleur représentée par le premier terme et l autre partie correspond à l énergie quittant le volume V par la surface représentée par le deuxième terme. remarque 1: Le vecteur de Poynting P est homogène à une puissance par unité de surface. En effet on a: V [ P] = [ E] [ H] = V m A m = Joule s m 2 = Watt m 2 (58) 6 Les phénomènes d hystérésis électrique et magnétique traduisent l apparition de non-linéarité dans les relations P = f( E) et M = g( H). En d autres termes ils correspondent à la persistance des phénomènes de polarisation et d aimantation en l absence des champs E et H respectivement. 7 On considère que le volume V ne varie pas dans le temps. Licence 2ème année 7 Mossadek Talby

8 remarque 2: Dans un milieu diélectrique parfait i.e. un milieu où J l = 0, l équation (54) s écrit: div P + u = 0 (59) ette équation de conservation de l énergie qui relie le vecteur de Poynting P à la densité volumique d énergie électromagnétique, ressemble à l équation de conservation de la charge qui relie la densité volumique de courants J à la densité volumique de charges ρ: div J + ρ = 0 (60) remarque 3: omme dans le cas de la densité volumique de courants J qui peut être exprimée comme une densité volumique de charge ρ animée d une vitesse v, J = ρ v, on peut aussi exprimer le vecteur de Poynting P comme une densité volumique d énergie électromagnétique u animée d une vitesse v, P = u v. VI.4 Les potentiels scalaire et vecteur Nous avons vu que les relations liants les champs électrique E et magnétique B aux potentiels scalaire V et vecteur A sont données par: E = grad V A (61) B = rot A (62) D autre part nous avons les quatre équations de Maxwell que nous venons d établir: dive = ρ l rot E = B ; div B = 0 (63) ; rot B = µ J l + µ E (64) avec J l = J c + J l = σ E + J l. i on remplace les champs E et B dans les équations en dive et en rotb par leurs expressions en fonction des potentiels, on obtient (le faire à titre d exercice): ( V + A ) = ρ l (65) A µσ A µ 2 A ( ) A V + µ 2 + µσ V = µ J l (66) On peut donner à la première équation la même forme que la deuxième en y ajoutant et en y retranchant le terme: µ 2 V V + µσ 2 (67) Licence 2ème année 8 Mossadek Talby

9 On obtient alors: V µσ V µ 2 V 2 + A µσ A µ 2 A 2 ( ) A V + µ + µσ V ( ) A V + µ + µσ V = ρ l (68) = µ J l (69) Etant donné qu on est libre de choisir 8 div A, le choix le plus judicieux est: div A = µ V µσ V (70) Avec ce choix qui s appelle condition de Lorentz, on obtient les équations suivantes pour les potentiels scalaire et vecteur: V µσ V µ 2 V 2 = ρ l (71) A µσ A µ 2 A 2 = µ J l (72) L avantage de ce choix est qu on obtient deux équations différentielles indépendantes et similaires, une pour le potentiel scalaire V et une pour le potentiel vecteur A. i le milieu considéré est un milieu non conducteur i.e. avec la conductivité σ = 0, alors dans ce cas les équations pour les potentiels scalaire et vecteur s écrivent: et la condition de Lorentz devient: V µ 2 V 2 = ρ l (73) A µ 2 A 2 = µ J l (74) A + µ V = 0 (75) remarque: Les équations pour les potentiels, dans le cas où σ = 0, peuvent s écrire de façon plus compacte en définissant un nouvel opérateur différentiel: 2 = µ 2 2 (76) et opérateur différentielle s appelle le d Alembertien. Les équations pour les potentiels s écrivent alors: 2 V = ρ l (77) 2 A = µ J l (78) 8 En effet comme le potentiel vecteur A est défini au gradient d une fonction scalaire près, div A n est pas nécessairement nulle comme on l a vu dans le cas du potentiel crée par un circuit filiforme (cf. chapitre III, paragraphe 5). Licence 2ème année 9 Mossadek Talby

10 VI.5 Invariance de Jauge Nous avons vu dans le chapitre III (paragraphe 5) que le potentiel vecteur A était défini au gradient d une fonction scalaire près. En effet nous avons vu que B = rot A et que si A = A + gradχ, alors B = rot A = rot A. χ est une fonction scalaire qui dépend à la fois du temps et des coordonnées d espace, χ( r, t). Nous avons vu que E = grad V A, or comme A = A grad χ, on a alors: E = grad V ( A E = grad ( V χ grad χ) (79) ) A (80) En posant V = V χ, on obtient: E = grad V A (81) eci implique qu on obtient les mêmes champs E et B que l on utilise le couple de potentiels (V, A) ou (V, A ). Le passage du couple (V, A) au couple (V, A ) s appelle transformation de jauge. On dit que les équations de Maxwell sont invariantes par transformation de jauge. Il y a cependant une restriction sur la fonction χ( r, t) qui n est pas complétement arbitraire. En effet, en partant de la condition de Lorentz: A + µ V = 0 (82) et en faisant la transformation (V, A) (V, A ), on obtient (le faire à titre d exercice): A + µ V χ + µ 2 χ 2 = 0 (83) 2 χ µ 2 χ 2 = 0 i.e. 2 χ = 0 (84) Pour rappel dans le cas statique, on avait obtenu (cf. hapitre III, paragraphe 5) χ = 0. Résultat qu on retrouve ici, si on se place dans le cas static: dχ = d2 χ = 0. dt dt 2 Il est très facile de vérifier aussi que le couple de potentiels (V, A ) satisfait les relations (le faire à titre d exercice): 2 A = µ J l et 2 V = ρ l (85) Licence 2ème année 10 Mossadek Talby