PROPRIETE DE PYTHAGORE

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1 PROPRIETE DE PYTHAGORE I- Carré d'un nombre: 1) Définition: On appelle carré d'un nombre le produit de ce nombre par lui-même. Exemple: Le carré de 5 est 25 car 5 x 5 = 25 2) Notation: Le carré du nombre a se note a 2 Exemple: 2,7 2 = 7,29 ( car 2,7 x 2,7 = 7,29) II- Racine carrée d'un nombre: 1) Exemple et définition: Le nombre positif ayant pour carré 81 est 9 (car 9 x 9 = 81) On dit que 9 est la racine carrée de 81 2) Notation: 81 = 9 De même, en utilisant la calculatrice (taper d'abord le nombre puis appuyer sur la touche "racine carrée", ou inversement, selon le mode d'emploi de la calculatrice), on trouve: 31,36 = 5,6 4, 9 2,2 III- Propriété de Pythagore: 1) Découverte: 2) Propriété: Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB= 4 cm et AC = 3 cm En mesurant on trouve BC = 5 cm Calculons alors: AB 2 = 4 2 = 16 AC 2 = 3 2 = 9 BC 2 = 5 2 = 25 Or 25 = Donc: BC 2 = AB 2 + AC 2 Si ABC est un triangle rectangle en A, alors: BC 2 = AB 2 + AC 2 Remarque: Pour être capable d'utiliser cette propriété dans le cas où le triangle est rectangle en un autre sommet que A ou lorsqu'il ne s'appelle pas ABC, il faut penser que dans l'égalité ci-dessus [BC] est l'hypoténuse et [AB] et [AC] les deux côtés de l'angle droit. La propriété de Pythagore peut donc s'énoncer de la manière suivante: Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égale à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. 1

2 3)Exemples d'utilisation: Exemple 1: RS = 2, 5 cm; RT = 4,6 cm Calculer ST (arrondi au millimètre) Exemple 2: IJ = 3,7 cm; JK = 5, 3 cm Calculer IK (arrondi au millimètre) D'après la propriété de Pythagore : ST 2 = RS 2 + RT 2 ST 2 = 2, ,6 2 ST 2 = 6, ,16 ST 2 = 27,41 ST = 27, 41 5,2 cm D'après la propriété de Pythagore : JK 2 = IJ 2 + IK 2 5,3 2 = 3,7 2 + IK 2 28,09 = 13,69 + IK 2 IK 2 = 28,09-13,69 IK 2 = 14,4 IK = 14, 4 3,8 cm IV- Réciproque: 1) Découverte: On veut construire un triangle ABC tel que AB= 3,6 cm; AC = 4, 8 cm et BC 2 = AB 2 + AC 2 1) Calculer BC BC 2 = 3, ,8 2 BC 2 =12, ,04 BC 2 = 36 BC = 6 2) Construire ce triangle : On connaît les longueurs des 3 côtés du triangle ABC. On peut donc construire ce triangle en utilisant le compas. (Nous laissons au lecteur le soin d'effectuer cette construction) On constate que ABC est un triangle rectangle en A 2) Réciproque de la propriété de Pythagore: Si BC 2 = AB 2 + AC 2, alors le triangle ABC est rectangle en A Remarque: Pour être capable d'utiliser cette réciproque dans le cas où le triangle ne s'appelle pas ABC, il faut penser qu'elle peut s'énoncer de la manière suivante: Si, dans un triangle, le carré de la longueur d'un côté (le plus long) est égale à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle 2

3 3) Exemple d'utilisation: FG 2 = 6,5 2 = 42,25 EF 2 + FG 2 = 3, ,2 2 = 15, ,04 = 42,25 FG 2 = EF 2 + FG 2 Donc, d'après la réciproque de la propriété de Pythagore, le triangle EFG est rectangle en E EF = 3,9 cm; EG = 5,2 cm; FG = 6,5 cm Montrer que le triangle EFG est rectangle en E V- Montrer qu'un triangle n'est pas rectangle: Exemple : LM = 4,2 cm; MN = 5,6 cm; LN = 7,1 cm Montrer que ce triangle n'est pas rectangle LN 2 = 7,1 2 = 50,41 LM 2 + MN 2 = 4, ,6 2 = 17, ,36 = 49 LN 2 LM 2 + MN 2 Attention: on ne peut pas appliquer la réciproque de la propriété de Pythagore. En effet, celle-ci annonce la conclusion que l'on peut tirer s'il y a égalité entre le carré d'un côté et la somme des carrés des deux autres côtés, mais elle n'annonce rien pour le cas où il n'y a pas égalité. Il faut donc impérativement rédiger de la façon suivante: Si le triangle LMN était rectangle en M, on aurait: LN 2 = LM 2 + MN 2 (d'après la propriété de Pythagore). Comme LN 2 LM 2 + MN 2, alors le triangle LMN n'est pas rectangle. 3

4 VI- Exercices: Exercice 1 : BC = 4, 8 cm; CD = 3,6 cm; BD = 6 cm 1) Montrer que le triangle BCD est un triangle rectangle 2) Soit O le centre du cercle circonscrit au triangle BCD. Préciser la position de O (Justifier). Exercice 2 : Soit C un cercle de diamètre 7 cm, [HI] un diamètre de ce cercle, et J un point de ce cercle tel que HJ = 5,8 cm. 1) Montrer que le triangle HIJ est un triangle rectangle. 2) Calculer IJ (arrondi au mm) Exercice 3 : LM = 4,7 cm; LN = 6,2 cm; MN = 7,8 cm Le triangle LMN est-il rectangle? 4

5 Exercice 1 : BC = 4, 8 cm; CD = 3,6 cm; BD = 6 cm 1) Montrer que le triangle BCD est un triangle rectangle 2) Soit O le centre du cercle circonscrit au triangle BCD. Préciser la position de O (Justifier). Exercice 2 : Soit C un cercle de diamètre 7 cm, [HI] un diamètre de ce cercle, et J un point de ce cercle tel que HJ = 5,8 cm. 1) Montrer que le triangle HIJ est un triangle rectangle. 2) Calculer IJ (arrondi au mm) Exercice 3 : LM = 4,7 cm; LN = 6,2 cm; MN = 7,8 cm Le triangle LMN est-il rectangle? PROPRIETE DE PYTHAGORE CORRECTION DES EXERCICES 1) BD 2 = 6 2 = 36 BC 2 + CD 2 = 4, ,6 2 = 23, ,96 = 36 BD 2 = BC 2 + CD 2 Donc, d'après la réciproque de la propriété de Pythagore, le triangle BCD est rectangle en C 2) O est le milieu de [BD] car le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour centre le milieu de l'hypoténuse 1) Le triangle HIJ est rectangle en J car il est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre l'un de ses côtés. 2) D'après la propriété de Pythagore: HI 2 = HJ 2 + IJ = 5,8 2 + IJ 2 49 = 33,64 + IJ 2 IJ 2 = 49-33,64 IJ 2 = 15,36 IJ = 15, 36 3,9 cm MN 2 = 7,8 2 = 60,84 LM 2 + LN 2 = 4, ,2 2 = 22, ,44 = 60,53 MN 2 LM 2 + LN 2 Si le triangle LMN était rectangle en L, on aurait: MN 2 = LM 2 + LN 2 (d'après la propriété de Pythagore). Comme MN 2 LM 2 + LN 2, alors le triangle LMN n'est pas rectangle. 5

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