Analyse d'intervention et Prévisions. Problématique et Application à des Données de la RATP

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1 Analyse d'inervenion e Prévisions. Problémaique e Applicaion à des Données de la RATP Lauren FERRARA 1, Dominique GUEGAN 2 Juin 1999 RESUME. - Les séries chronologiques de rafic ou de venes de ires de la RATP son souven perurbées par des événemens spéciaux. Lors de la modélisaion d'une série, l'analyse d'inervenion (Box e Tiao (1975)) prend en compe ces inervenions exérieures e fourni une mesure de l'impac de celles-ci sur la série. Nous analysons les effes de cee echnique d'inervenion pour différenes foncions e nous appliquons cee approche sur des séries réelles. Mos clés : série chronologique, analyse d'inervenion, mesure d'impac. Inervenion Analysis and Forecasing. Problemaic and Applicaion o RATP Daa. ABSTRACT. - RATP's ime series of raffic or icke sales are ofen affeced by paricular evens. When modelling a ime series, he inervenion analysis (Box and Tiao (1975)) allows o ake ino accoun he various exernal inervenions and o give a measure of heir impac on he series. We analyze he effecs of his inervenion echnique for various funcions and we apply his approach o real series. Keys words : ime series, inervenion analysis, measure of impac. 1 Universié de Paris XIII, CNRS UMR RATP, Déparemen Commercial, LAC A73, 54 Quai de la Rapée, Paris Cédex 12, Lauren.Ferrara@rap.fr 2 Universié de Reims, UPESA ENSAE-CREST, Timbre J120, 3 Avenue Pierre Larousse, Malakoff Cédex (France), guegan@ensae.fr

2 1 Inroducion Lorsqu'on essaie de modéliser des séries chronologiques à caracère économique, on es amené à enir compe d'événemens de naure diverse, exérieurs au modèle, qui viennen perurber les séries. L'effe de ces événemens se fai senir soi par la présence d'un ou plusieurs poins dis aberrans (ouliers), qui occasionnen une rupure poncuelle dans la série, soi par un changemen sensible dans l'évoluion de la série. Dans le cas des séries de venes de ires e de rafic de la RATP, ces événemens peuven prendre pour forme aussi bien une grève du personnel don l'effe se répercue poncuellemen sur la série de rafic, qu'une promoion publiciaire pour un cerain ype de ire de ranspor, don l'impac se répercue pendan plusieurs mois sur la série des venes de ce produi. De même, des modificaions d'infrasrucure ou ceraines mesures prises par la Régie (mesures ani-polluion, ani-fraude,...) on un impac, plus ou moins durable dans le emps, sur ceraines séries de venes ou de rafic. Prendre en compe l'effe d'un événemen exérieur sur une série perme d'améliorer la modélisaion de cee série, mais surou de mesurer l'impac de ce événemen, ce qui peu êre inéressan pour quanifier l'effe d'une mesure ou d'une promoion publiciaire. Cee mesure de l'impac pourra égalemen êre uilisée pour éablir des séries corrigées des valeurs aberranes, avec lesquelles il es souven préférable de ravailler. Le bu éan bien sûr d'améliorer la modélisaion d'une série pour pouvoir fournir de meilleures prévisions sur cee série. Box e Tiao (1975) son à l'origine de la héorie die de "l'analyse d'inervenion" qui perme de prendre en compe différenes inervenions exérieures au modèle lors de la modélisaion d'une série chronologique. L'appor de l'analyse d'inervenion à une modélisaion de série de ype, par exemple, SARIMA (Box e Jenkins (1970)), se siue au niveau de l'informaion disponible au praicien pour modéliser cee série. En effe, l'approche de Box e Jenkins (1970) uilise simplemen l'informaion quaniaive conenue dans les données, alors que l'analyse d'inervenion perme d'ajouer de manière addiive une informaion de ype qualiaif, par le biais de variables binaires exogènes. De nombreux aueurs se son inéressés par la suie à l'analyse d'inervenion e ses applicaions e on compléé les ravaux de Box e Tiao; nous cierons en pariculier Bhaacharyya e Layon (1979), Tiao (1985), Tsay (1986), Brockwell e Davis (1987), Chang e al. (1988) e Box, Jenkins e Reinsel (1994). Le bu de nore éude es de mere en évidence l'inérê de la héorie de l'analyse d'inervenion pour la modélisaion des séries de rafic e de venes de ires de la RATP. Pour cela nous précisons les différens ypes d'inervenion que l'on peu envisager, nous les illusrons à parir de simulaions e d'exemples d'applicaions possibles, puis nous raions en déail une série de données réelles. Ce aricle se décompose donc en rois paries; nous présenons dans le premier paragraphe les bases de la héorie de l'analyse d'inervenion. Puis, dans le second paragraphe, nous nous inéressons à cerains ypes de modèles d'inervenion que nous développons e don nous monrons l'inérê à l'aide d'exemples réels e de simulaions. Enfin nous donnerons dans le dernier paragraphe un exemple d'applicaion : commen uiliser l'analyse d'inervenion pour mesurer l'impac des mesures ani-polluion e d'une grève des agens sur le rafic du Méro pendan le mois d'ocobre

3 2 Le Modèle La héorie de l'analyse d'inervenion développée par Box e Tiao (1975) perme de prendre en compe, lors de la modélisaion SARIMA d'une série chronologique, des inervenions exérieures au modèle. On appore ainsi au modèle saisique une informaion supplémenaire de ype qualiaif, qui es inégrée de manière addiive au modèle à l'aide de variables déerminises exogènes de ype binaire. On espère ainsi fournir une "meilleure" modélisaion en erme d'ajusemen du modèle aux données, grâce à l'uilisaion d'un ensemble informaionnel plus grand. Nous allons suivre ici l'approche développée par Box e Jenkins (1970) pour la modélisaion SARIMA d'une série. On rappelle qu'une suie de variables aléaoires (N ) Z es modélisée par un processus SARIMA (p d q)(p D Q) S, si elle vérifie le sysème suivan : d S D S S ( 1 B) ( 1 B ) φ( B) Φ( B ) N = C + θ( B) Θ ( B ) ε (2.1) où B es l'opéraeur défini sur les variables aléaoires de la manière suivane : B(X )=X -1 e B b (X )=X -b pour b > 1, où φ(b) es un polynôme en B de degré p el que φ(b) = 1 - φ 1 B - φ 2 B² φ p B p, où Φ(B) es un polynôme en B de degré P el que Φ(B) = 1 - Φ 1 B - Φ 2 B² Φ P B P, où θ(b) es un polynôme en B de degré q el que θ(b) = 1 + θ 1 B + θ 2 B² θ q B q, où Θ(B) es un polynôme en B de degré Q el que Θ(B) = 1 + Θ 1 B + Θ 2 B² Θ Q B Q, où (ε ) Z es un processus brui blanc gaussien de variance σ 2, S représene la saisonnalié de la série, C es une consane e (d, D) IN 2. Les différences d'ordre d e les différences saisonnières d'ordre D doiven permere de rendre la suie de variables aléaoires faiblemen saionnaire. Pour illusrer une série que l'on peu ajuser par un modèle SARIMA, nous donnons (graphique 1) l'exemple de la série des venes mensuelles de Cares Orange Mensuelles (COM), de janvier 1990 à novembre 1995 sur l'ensemble du réseau RATP. Une éude effecuée sur cee série a permis de la modéliser par un processus SARIMA (2 0 1)(0 1 1), avec une saisonnalié S de 12 mois. Nous allons mainenan faire une présenaion héorique du modèle d'inervenion de Box e Tiao (1975), e nous présenons au paragraphe suivan des simulaions e des exemples réels originaux. On noe (X ) Z la suie de variables aléaoires à modéliser, perurbée par une inervenion exérieure. Le modèle d'inervenion proposé par Box e Tiao se présene alors sous la forme suivane: b ω( B) B X = C + ξ + N (2.2) δ ( B) 2

4 GRAPHIQUE 1 Evoluion mensuelle des venes de COM de janvier 1990 à novembre où (N ) Z es supposé suivre un modèle SARIMA sans consane de la forme (2.1), ω(b) es un polynôme en B de degré s el que ω(b) = 1 - ω 1 B - ω 2 B² ω s B s, δ(b) es un polynôme en B de degré r el que δ(b) = 1 - δ 1 B - δ 2 B² δ r B r e b es un enier qui représene un reard à déerminer. La foncion déerminise δ 1 ( B) ω( B) B b ξ représene l'effe de l'inervenion qui vien s'ajouer de manière addiive au brui (N ) Z, elle es appelée foncion d'inervenion. Dans l'équaion (2.2), la suie de variables aléaoires (ξ ) Z représene l'effe d'une inervenion exérieure à la dae ', mis sous la forme d'une variable déerminise qui prend pour valeur 1 ou 0 suivan la présence ou l'absence de l'inervenion. Cee variable es en général modélisée par deux classes de foncions : - une foncion en forme de sau : (') ξ = S = 0 si < ' = 1 si ', - une foncion en forme d'impulsion : (') ξ = P = 0 si ' = 1 si = '. On remarque cependan que grâce à l'égalié suivane : (1-B)S (') = P ('), on peu oujours passer d'un sau à une impulsion. Plus généralemen, la série chronologique peu êre perurbée par k inervenions de naures différenes. Avec les noaions précédenes, le modèle d'inervenion (2.2) a alors une représenaion plus générale donnée par : X k j j B B Tj = C + ω ( ) ( ) ξ + N δ ( B) j= 1 j b (2.3). 3

5 où, pour j=1,...,k, ω j (B) es un polynôme en B de degré l j, δ j (B) es un polynôme en B de degré r j e b j es un enier qui représene un reard à déerminer. Une hypohèse fondamenale lors de l'uilisaion de l'analyse d'inervenion es que la srucure du modèle, par exemple SARIMA, soi la même avan e après l'inervenion. Ainsi, après avoir déerminé la dae d'inervenion (problème sur lequel nous revenons à la fin du paragraphe 3), on fixe alors les deux sous-ensembles de données correspondan à l'évoluion du processus avan e après l'inervenion. On ajuse ensuie le même modèle sur chacun de ces deux sous-ensembles. Dans nore cadre, comme nous nous inéressons aux processus linéaires, nous chercherons à ajuser un processus SARIMA à l'aide des ouils classiques que son les foncions d'auocorrélaion e d'auocorrélaion parielle. En ce qui concerne la forme de la foncion d'inervenion, il n'exise pas de méhode auomaique fiable permean de la déerminer. Cependan Box e Tiao (1975) on proposé différens ypes de foncions permean de s'adaper à la forme graphique que prend la série, suie à l'effe de l'inervenion exérieure, d'où l'imporance d'une analyse graphique ou géomérique de la série à éudier. Cee analyse graphique nécessie donc une approche locale de la série qui s'éloigne de l'analyse souven globale uilisée quand on fai une modélisaion paramérique d'un processus. Dans le paragraphe suivan, nous allons nous inéresser à quelques ypes de foncions d'inervenion que l'on renconre en praique. Une fois le modèle d'inervenion correcemen spécifié, l'esimaion des paramères du modèle se fai alors par la méhode des moindres carrés non linéaire qui nécessie l'uilisaion d'une des méhodes de gradien, qui son des algorihmes iéraifs de minimisaion. Pour effecuer nos calculs nous avons uilisé le logiciel RATS qui uilise l'algorihme de Gauss-Newon. De plus ce logiciel perme l'esimaion simulanée de l'ensemble des paramères du modèle d'inervenion. On se propose de présener dans le paragraphe suivan rois ypes classiques de foncions d'inervenion que nous illusrerons. Nous raions en déail un exemple de série au paragraphe 4. 3 Exemples e Simulaions Nous avons souligné dans le paragraphe 2 que le choix a priori d'une foncion d'inervenion es assez subjecif car il dépend de la forme graphique e des propriéés géomériques de la série. Cependan, il exise plusieurs foncions d'inervenion "ype", qui permeen de modéliser la plupar des phénomènes d'inervenion que nous avons renconrés dans les séries chronologiques de rafic ou de vene de ires de ranspor de la RATP. Dans ce paragraphe, nous allons présener rois ypes de modèles d'inervenion différens, uilisan chacun une foncion d'impulsion comme variable exogène déerminise. Afin de mieux visualiser le phénomène, nous avons illusré chaque ype d'inervenion d'un schéma local e d'une simulaion de série. Pour souligner l'inérê de chacun de ces rois modèles d'inervenion, nous fournissons pour chacun des cas un 4

6 exemple original de série sur lequel il semble inéressan d'ajuser le modèle d'inervenion concerné Modèle avec inervenion poncuelle Supposons que l'on observe X 1,..., X n,... une rajecoire. On suppose qu'elle es la réalisaion d'un processus SARIMA (X ) Z. Supposons d'aure par qu'à la dae unique =' l'évoluion de cee rajecoire soi perurbée par une inervenion exérieure, c'es l'exemple de la présence d'un poin aberran dans la série, que l'on a schémaisé par le graphique 2. GRAPHIQUE 2 Représenaion locale de l'inervenion ω 0 Le modèle d'inervenion s'écri alors sous la forme suivane : ' X = C + P + N ω 0 (3.1) ' où (N ) Z sui un processus SARIMA défini par (2.1) sans consane e où P es une impulsion au emps ='. Le paramère ω 0 représene l'impac de l'inervenion exérieure sur la série. Son esimaion perme de donner une mesure de ce impac. Dans la liéraure anglo-saxonne ce modèle es appelé de ype AO (addiive oulier) (Box, Jenkins e Reinsel (1994)). Nous examinons à l'aide d'une simulaion l'influence d'un el impac. Pour cela, on a simulé une série (Y ) Z générée par le sysème suivan; 100 ( 1+ θ 1B) Y = C + ω 0 P + ε ( 1 φ B) 1, = 1,..., 500, (*) où C = 50, ω 0 = -49, e où P 100 = 1 si = 100 e 0 sinon. La série (ε ) Z des perurbaions aléaoires es obenue en effecuan un irage aléaoire parmi les réalisaions d'une variable gaussienne de moyenne nulle e de variance égale à 1. La valeur des deux paramères du processus SARIMA es arbirairemen choisie, mais ces paramères son els que le processus créé soi saionnaire ( φ 1 < 1) e inversible ( θ 1 < 1). On choisi donc φ 1 = θ 1 = 0.5. La série obenue es représenée sur le graphique 3. 5

7 GRAPHIQUE 3 Simulaion de la série Y() Considérons mainenan à ire d'exemple une série observée sur laquelle ce ype de modélisaion peu s'appliquer. Le graphique 4 représene la série du rafic journalier sur le Méro pour les voyageurs possédan un ire de ranspor "Paris-Visie", pour le mois de juin Ce ire de ranspor, desiné principalemen aux ourises visian la Capiale, perme d'effecuer plusieurs rajes par jour sur le réseau de la RATP avec le même ire. En raison de l'afflux de ourises en fin de semaine, on observe une périodicié de sep jours avec un pic le samedi. Parou en France a lieu le 21 juin la "Fêe de la Musique". A cee occasion la RATP édie un ire spécial permean d'effecuer un voyage aller-reour dans la soirée du 21 juin au 22 juin, sur l'ensemble du Méro, du RER e du réseau SNCF. Pour des raisons informaiques, ce ire éai codé en juin 1997 comme un ire de ranspor "Paris-Visie" e ne pouvai donc pas êre disingué des aures ires "Paris-Visie" classiques uilisés ce même jour. Après une éude aenive de la série, on consae qu'elle peu êre modélisée à l'aide d'un modèle muni d'une inervenion poncuelle à la dae du dimanche 21 juin pour obenir l'impac sur le rafic du Méro de l'opéraion sur le ire "Paris-Visie", liée à la Fêe de la Musique. La mesure de ce impac sera fournie par la valeur esimée du paramère ω 0. 6

8 GRAPHIQUE 4 Evoluion du rafic journalier pour le ire "Paris-Visie" dans le Méro, pour le mois de juin Modèle avec inervenion à effe rémanen Nous supposons mainenan, en uilisan les mêmes noaions qu'au débu du paragraphe 3.1., que l'inervenion au emps = ' vien perurber l'évoluion de la série avec un effe qui décroî progressivemen dans le emps, de façon exponenielle. Cee inervenion es schémaisée par le graphique 5. GRAPHIQUE 5 Représenaion locale de l'inervenion ω 0 Le modèle d'inervenion s'écri alors sous la forme suivane : X ω 0 C B P ' = + N + 1 λ (3.2) ' où (N ) Z sui un processus SARIMA de la forme (2.1) sans consane e où P es une impulsion au emps ='. Le paramère ω 0 représene l'impac de l'inervenion exérieure sur la série (son esimaion fournira une mesure de ce impac) e λ es un paramère sricemen compris enre 0 e 1 qui mesure la viesse de décroissance de l'effe de 7

9 l'inervenion. En clair, si λ es proche de 0, cela signifie que l'impac es quasimen poncuel (on se ramène alors au cas précéden) e si λ es proche de 1, cela signifie que l'impac se prolonge dans le emps. Dans la liéraure anglo-saxonne ce modèle es appelé de ype TC (emporary or ransien change) (Box, Jenkins e Reinsel (1994)). Il es à noer que pour modéliser un choc don l'effe se répercue dans le emps, le modèle suivan es parfois uilisé : Y θ( B) ' = C + ω 0 P + N φ( B) où (N ) Z sui un processus SARIMA (p 0 q)(0 0 0) de la forme (2.1) sans consane, où ' P es une impulsion au emps =' e φ(b) e θ(b) son les polynômes en B de la srucure SARIMA. Dans la liéraure anglo-saxonne ce modèle es appelé de ype IO (Innovaion Oulier) (Box, Jenkins e Reinsel (1994)). Nous allons monrer sur une simulaion l'effe rémanen de ce ype d'inervenion décri en (3.2). Pour cela, on a simulé une série (Y ) Z générée par le sysème suivan; Y ω 0 C B P 100 ( 1+ θ 1B) = + + ε 1 λ ( 1 φ B) 1, = 1,..., 500, où C = 50, ω 0 = -49, λ = 0.7 e où P 100 = 1 si = 100 e 0 sinon. La série (ε ) Z des perurbaions aléaoires es obenue en effecuan un irage aléaoire parmi les réalisaions d'une variable gaussienne de moyenne nulle e de variance égale à 1. La valeur des paramères du processus SARIMA es la même que dans le modèle (*). La série que l'on obien es représenée sur le graphique 6. GRAPHIQUE 6 Simulaion de la série Y() 8

10 Considérons mainenan à ire d'exemple une série observée sur laquelle ce ype de modélisaion peu s'appliquer. La série des venes de billes sur le réseau ferré a éé foremen perurbée, comme l'ensemble des séries de rafic ou de vene de ires de la RATP, par les grèves des agens de la RATP qui a eu lieu duran le mois de décembre 1995 sur la oalié du réseau. A la fin de la grève, la reprise des venes de billes s'es alors effecuée de manière progressive. Le graphique 7 représene l'évoluion des venes hebdomadaires de billes sur l'ensemble du réseau ferré enre le 1 er sepembre 1995 e le 4 avril GRAPHIQUE 7 Evoluion des venes hebdomadaires de Billes sur le réseau ferré du 1 er sepembre 1995 au 4 avril Cee série peu êre modélisée à l'aide d'un modèle avec inervenion à effe rémanen à parir de la semaine 14. La mesure de l'impac de la grève sur les venes hebdomadaires de Billes sera fournie par la valeur esimée du paramère ω Modèle avec inervenion à effe rémanen e changemen de niveau Nous supposons mainenan, en uilisan les mêmes noaions qu'au débu du paragraphe 3.1., que l'inervenion au emps = ' vien perurber l'évoluion de la série avec un effe rémanen suivi d'un changemen de niveau. Cee inervenion es schémaisée par le graphique 8. GRAPHIQUE 8 Représenaion locale de l'inervenion ω 1 ω 0 9

11 Le modèle d'inervenion s'écri alors sous la forme suivane : X ω 0 ω 1 C B B P ' = + ( + ) N + 1 λ 1 (3.3) ' où (N ) Z sui un processus SARIMA de la forme (2.1) sans consane e où P es une impulsion au emps ='. Le paramère ω 1 représene la différence de niveau consécuive au choc, ω 1 sera donc posiif si le niveau observé après le choc es supérieur au niveau observé avan le choc, e négaif sinon. La somme de ω 0 e ω 1 représene l'impac de l'inervenion exérieure sur la série, son esimaion fournira une mesure de l'impac de l'inervenion. De même que précédemmen, λ mesure la viesse de décroissance de l'effe de l'inervenion. Dans la liéraure anglo-saxonne ce modèle es appelé de ype LS (level shif) (Box, Jenkins e Reinsel (1994)). Il se peu cependan que la série soi affecée par un changemen de niveau consécuif à un choc, sans pour auan que l'effe rémanen du choc décroisse progressivemen. Nous illusrons ce cas par le graphique 9. GRAPHIQUE 9 Représenaion locale de l'inervenion ω + ω 0 1 Cee siuaion, qui es plus spécifique que celle décrie en (3.3), es alors modélisée par l'équaion suivane (λ=1) : ω 0 + ω 1 ' Y = C + ( ) P + N. (3.4) 1 B Nous allons monrer sur une simulaion l'effe de ce ype d'inervenion décri en (3.3). Pour cela, on a simulé une série (Y ) Z générée par le sysème suivan; Y ω 0 ω 1 C B B P 100 ( 1+ θ 1B) = + ( + ) + ε 1 λ 1 ( 1 φ B) 1, = 1,..., 500, où C = 50, ω 0 = -30, ω 1 = -20, λ = 0.7 e où P 100 = 1 si = 100 e 0 sinon. La série (ε ) Z des perurbaions aléaoires es obenue en effecuan un irage aléaoire parmi les réalisaions d'une variable gaussienne de moyenne nulle e de variance égale à 1. La valeur des paramères du processus SARIMA es la même que dans le modèle (*). La série que l'on obien es représenée sur le graphique

12 GRAPHIQUE 10 Simulaion de la série Y() Considérons mainenan à ire d'exemple une série observée sur laquelle cee modélisaion peu s'appliquer. La série mensuelle de rafic par jour ouvrable sur l'ensemble du Méro a éé foremen perurbée par les grèves de décembre 1995, mais aussi par les aenas e les aleres à la bombe qui on eu lieu dans Paris duran les mois de juille à ocobre Les grèves on perurbé le rafic de manière poncuelle au mois de décembre 1995, mais on observe que par la suie, la reprise du rafic s'es effecuée à un niveau inférieur à celui observé avan les grèves. Le graphique 11 représene cee série désaisonnalisée ainsi que sa endance. GRAPHIQUE 11 Evoluion mensuelle du rafic sur le Méro par jour ouvrable du mois de janvier 1990 au mois d'avril jan-90 jan-91 jan-92 jan-93 jan-94 jan-95 jan-96 jan-97 jan-98 11

13 Cee série peu êre modélisée à l'aide d'un modèle avec inervenion à effe rémanen e changemen de niveau à parir du mois décembre La mesure de l'impac de la grève sur le rafic du Méro pour le mois de décembre 1995 sera fournie par la valeur esimée des paramères (ω 0 + ω 1 ). La mesure de la baisse de rafic due à ces événemens sera fournie par la valeur esimée du paramère ω 1. Remarque : Dans le cadre des exemples que nous avons proposés, les daes des données aberranes son connues au débu de l'éude. Mais il se peu que dans cerains cas, ces daes soien inconnues ou connues de manière imprécise; il fau alors déecer les poins aberrans dans la série d'éude. Plusieurs approches on éé développées pour déecer les poins aberrans d'une série e caracériser le ype d'inervenion à uiliser (AO, IO, LS ou TC), à l'aide de procédures iéraives. Pour une descripion approfondie de ces procédures de déecion que nous ne considérons pas dans ce papier, voir Denby e Marin (1979), Tiao (1985), Chang e al. (1988), Chen e Liu (1990), Box, Jenkins e Reinsel (1994). 4 Applicaion à des données de rafic de la RATP On se propose de mere en praique l'analyse d'inervenion sur un exemple original. On s'inéresse donc à la série de rafic journalier sur le Méro, enre le 1 er sepembre 1997 e le 31 ocobre Le graphique 12 représene cee série que l'on noera (Y ) Z par la suie. On se propose de modéliser dans un premier emps cee série, l'ensemble d'apprenissage de la série éan consiué par les données du 1 er sepembre au 26 ocobre 1997, puis on effecuera ensuie des prévisions sur la période du lundi 27 au vendredi 31 ocobre Une première analyse graphique perme de consaer la présence de deux poins aberrans dans la série aux daes du 1 er ocobre e 8 ocobre. L'hisorique des événemens pariculiers de la RATP révèle que ces daes corresponden aux événemens suivans : Mercredi 1 er ocobre : alere à la polluion de niveau 3 en Ile de France, ce qui a enraîné des resricions de circulaion (plaques d'immariculaion paires ou impaires) ainsi que la grauié de ous les modes de ranspor en commun. Mercredi 8 ocobre : grève parielle des agens de la Régie sur l'ensemble du réseau de la RATP. 12

14 GRAPHIQUE 12 Evoluion du rafic journalier sur le Méro du 1 er sepembre 1997 au 31 ocobre oc oc 01-sep 08-sep 15-sep 22-sep 29-sep 06-oc 13-oc 20-oc 27-oc Il semble donc judicieux d'uiliser un modèle à deux inervenions poncuelles aux daes du 1 er ocobre e du 8 ocobre pour modéliser cee série, c'es à dire le modèle défini par l'équaion (2.3), avec k = 2. On suppose de plus que ces deux événemens poncuels on peu de chances de modifier durablemen les habiudes des voyageurs du Méro, on néglige ainsi la présence évenuelle d'un effe rémanen de ces deux événemens sur la série. Nore éude s'effecue en 5 éapes : Eape1 : Recherche de la srucure du modèle SARIMA En uilisan les foncions d'auocorrélaion e d'auocorrélaion parielle sur l'ensemble des données d'apprenissage (voir graphes 14 e 15 en appendice), on reien un modèle de la forme SARIMA (1 0 0)(1 1 1) sans consane e de saisonnalié égale à 7. Eape 2 : Esimaion du modèle SARIMA On esime alors le modèle obenu par la méhode des moindres carrés non linéaire, e on obien les résulas suivans : ( B)( 1 B )( B ) Y = ( B ) ε ( ) ( ) ( ) Les paramères de la parie AR, saisonnière e non saisonnière, son significaivemen égaux à 0, d'après le es de Suden avec un risque α de 5%, mais on suppose que cela es dû aux 2 poins aberrans de la série. Afin de comparer la qualié d'ajusemen des modèles aux données, on uilise comme crière à minimiser le RMSE (Roo Mean Squared Error), défini par : RMSE = T p = 1 ( X X$ ) 1 T 2 13

15 où T es le nombre d'observaions, p es le nombre de paramères du modèle, ( X ) Z es la série à modéliser e ( X $ ) Z es la série esimée. On obien ici une valeur du RMSE égale à que l'on essaiera de diminuer par la suie. Eape 3 : Srucure de la foncion d'inervenion On suppose donc que la série es générée par un processus qui sui l'équaion (2.3) avec k égal à 2. Si on noe P 0110 la variable qui vau 1 à la dae du 1 er 0810 ocobre e 0 sinon, e P la variable qui vau 1 à la dae du 8 ocobre e 0 sinon, le modèle es alors donné par : ( 1 + θ 1B ) Y = ω P + P + 1 ω 2 ε 7 7 ( 1 φ B)( 1 B )( 1 φ B ) 1 2 Eape 4 : Esimaion du modèle d'inervenion On esime les paramères du modèle par la méhode des moindres carrés non linéaire, e on obien les résulas suivans : 7 ( B ) ( ) Y = P P + ( 45593) ( 46196) 7 7 ( B)( 1 B )( B ) ε ( ) ( ) Les paramères du modèle son ous significaivemen différens de 0, d'après le es de Suden avec un risque α de 5%. La valeur du RMSE es égale , ce qui représene un gain de 79,2% sur la qualié d'ajusemen du modèle aux données sans inervenion. Ainsi, on esime que les mesures ani-polluion on généré pour la journée du 1 er ocobre 1997 un appor de voyageurs supplémenaires sur le Méro e que la grève des agens du mercredi 8 ocobre a enraîné la pere de voyageurs sur le Méro pour cee journée. La série corrigée de rafic sur le Méro s'obien alors en reranchan l'impac esimé des événemens : Dae Série Impac Série Corrigée Mercredi 1 er Ocobre Mercredi 8 Ocobre Nous donnons (graphique 13) les deux ypes d'esimaions obenues soi par la méhode classique de Box e Jenkins, soi par l'analyse d'inervenion sur les deux daes. 14

16 GRAPHIQUE 13 Esimaions du rafic journalier sur le Méro (En rai plein, la série observée e en rai poinillé, la série esimée.) Eape 5 : Impac sur les prévisions Il es clair que la possible prise en compe d'événemens exérieurs par l'analyse d'inervenion améliore la modélisaion d'une série, on peu alors se demander s'il en es de même pour la qualié des prévisions. On va donc essayer de prévoir le rafic journalier sur le Méro pour la période du lundi 27 ocobre au vendredi 31 ocobre 1997 en uilisan les deux différenes méhodes de modélisaion. On uilise comme crière de comparaison le RMSE(f) défini par : où h es l'horizon de prévision e X$ T ( i) i=1,...,h. ( X X i ) T + i T h 1 2 RMSE( f ) = $ ( ) h i= 1 es la prédicion obenue pour X T + i, pour Le ableau 1 donne les valeurs obenues en prévision e perme de comparer, à l'aide des écars relaifs, les données réelles e les données esimées par chacune des méhodes., 15

17 TABLEAU 1 Prévisions du rafic sur le Méro du lundi 27 ocobre 1997 au vendredi 31 ocobre 1997 Daes Données réelles Box e Jenkins sans inervenion Analyse d'inervenion lundi 27/10/ (2.94%) (-1.19%) mardi 28/10/ (4.54%) (0.40%) mercredi 29/10/ (10.96%) (0.49%) jeudi 30/10/ (4.15%) (-0.51%) vendredi 31/10/ (1.88%) (-2.04%) Moyenne des 4.89% % écars relaifs RMSE(f) (Les valeurs enre parenhèses son les écars relaifs journaliers). L'écar relaif journalier nous indique que les prévisions journalières son de meilleure qualié (sauf pour le vendredi) lorsqu'on uilise l'analyse d'inervenion. Sur l'ensemble des cinq jours ouvrables on observe égalemen une diminuion de l'erreur de prévision RMSE(f) de 81,1%, ainsi qu'une fore baisse de la moyenne des écars relaifs. Ceci monre que l'analyse d'inervenion perme une nee amélioraion de la qualié des prévisions. 5 Conclusion Cee éude avai pour objecif de présener l'analyse d'inervenion, de monrer les différens effes qu'elle perme de mesurer e de mere en évidence son inérê pour le praicien qui désire modéliser des séries à caracère économique, souven perurbées par des phénomènes exérieurs. Nous avons souligné au ravers de plusieurs exemples l'efficacié de cee méhode pour modéliser ceraines séries d'inérê pour la RATP e fournir une mesure de l'impac d'une ou plusieurs inervenions exérieures sur la série. Or, pouvoir mesurer de manière fiable l'impac d'une grève ou d'une promoion sur un ire de ranspor fai parie du rôle du Déparemen Commercial au sein de la RATP. L'analyse d'inervenion perme d'améliorer l'ajusemen du modèle de Box e Jenkins aux données d'une série chronologique car elle prend en compe dans la consrucion du 16

18 modèle un plus grand ensemble informaionnel. De plus, l'applicaion que nous avons raiée a permis de consaer une nee amélioraion sur les prévisions effecuées à parir d'une série perurbée lorsqu'on uilise l'analyse d'inervenion de préférence au modèle classique de Box e Jenkins sans inervenion. Cee propriéé n'éai pas évidene au dépar, car on a consaé par expérience qu'un modèle fournissan le meilleur ajusemen aux données d'une série (selon le crière du RMSE) ne fourni pas forcémen les meilleures prévisions (selon le crière du RMSE(f)). Cependan, les limies de l'analyse d'inervenion son aeines en même emps que celles de la héorie de Box e Jenkins. Ainsi, il serai inéressan d'observer le comporemen de cee héorie sur des processus non linéaires, en pariculier sur des processus présenan des propriéés de longue mémoire; ce que nous compons développer dans un prochain aricle. De même, il serai inéressan d'envisager une uilisaion a priori de l'analyse d'inervenion, qui permerai de prévoir différens scénarii d'évoluion d'une série consécuivemen à un choc. APPENDICE Graphique 14 Foncions d'auocorrélaion (ACF) e d'auocorrélaion parielle (PACF) de la série de rafic journalier sur le Méro : Y(). 17

19 Graphique 15 Foncions d'auocorrélaion (ACF) e d'auocorrélaion parielle (PACF) de la série de rafic journalier sur le Méro différenciée saisonnièremen : (1-B 7 )Y() Références bibliographiques Bhaacharyya, M.N. and Layon, A.P. (1979), "Effeciveness of sea bel legislaion on he Queensland road oll - an Ausralian case sudy in inervenion analysis", Journal of he American Saisical Associaion, 74, Box, G.E. and Jenkins, G.M. (1970), Time Series Analysis, Forecasing and Conrol, Holden-Day, San Francisco. Box, G.E., Jenkins, G.M. and Reinsel, G.C. (1994), Time Series Analysis, Forecasing and Conrol (Third Ediion), Prenice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey. Box, G.E. and Tiao, G.C. (1975), "Inervenion analysis wih applicaions o economic and environmenals problems", Journal of he American Saisical Associaion, 70, Brockwell, P.J. and Davis, R.A. (1987), Time Series : Theory and Mehods, Springer-Verlag, New- York. Chang, I., Tiao, G. and Chen, C. (1988), "Esimaion of Time Series Parameers in he Presence of Ouliers", Technomerics, 30, 2, Chen, C. and Liu, L.M. (1990), "Join Esimaion of Models Parameers and Oulier Effecs in Time Series", Journal of he American Saisical Associaion, 88, 421, Denby, L. and Marin, R. (1979), "Robus Esimaion of he Firs Order Auoregressive Parameer", Journal of he American Saisical Associaion, 74, Tiao, G.C. (1985), "Auoregressive moving average models, inervenion problems and oulier deecion in ime series", Handbook of Saicics, Vol. 5, Hannan E.J., Krishnaiah P.R. and Rao M.M. ediions. Tsay, R.S. (1986), "Time series model specificaion in he presence of ouliers", Journal of he American Saisical Associaion, 81,

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