Coniques, quadriques, formes quadratiques

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1 ISA BTP, année ANNÉE UNIVESITAIE 3-4 CONTÔLE CONTINU Coniques, quadriques, formes quadratiques Durée : h3 Les calculatrices sont autorisées. Tous les eercices sont indépendants. Il sera tenu compte de la rédaction et de la présentation. Eercice épondre par VAI ou FAUX au questions suivantes on justifiera rapidement les réponses).. La signature d une forme quadratique quelconque est donnée par le signe des coefficients de ses termes carrés.. Toute conique admet un centre de symétrie. 3. Toute conique admet un ae de symétrie. 4. La méthode de Gauss donne les directions privilégiées d une quadrique.. La méthode de Gauss donne la signature d une forme quadratique. Eercice On se place dans le plan muni d un repère = O ; i, j ) orthonormé et l on note C la conique d équation E) : 4y + 8y 6 y + 8 =. Isoler la partie quadratique de E) et donner sa matrice A.. Montrer que les valeurs propres de A sont 3. Quelle est la nature de C? Justifier. λ = 4, λ = 9 4. Construire un repère orthonormé du plan fait de vecteurs propres de A.. Donner l équation de C dans le repère = O ; e, e ). ) 6. Montrer que le point Ω = est le centre de C. 7. Donner l équation de C dans le repère = Ω ; e, e ). 8. Donner les coordonnées dans des sommets de C. 9. Tracer une esquisse de C dans le repère ci-joint on fera apparaître les aes principau et les sommets de C).

2 Eercice 3 On se place dans l espace muni d un repère orthonormé = O ; i, j, k ). Dans ce repère, on note S la surface d équation 3 4y + 3y 3z =. Montrer que le centre O de est le centre de symétrie de S et que le plan Oy) est un plan de symétrie de S.. Donner la matrice associée à q, y, z) = 3 4y + 3y 3z. 3. Déterminer les valeurs propres de A et donner la signature de q. 4. Montrer que les vecteurs e =, e =, e3 = forment une base orthonormée de l espace constitué de vecteurs propres de A.. Donner sans calcul l équation de S dans le repère = O ; e, e, e 3 ). 6. Parmi les surfaces ci-dessous, laquelle correspond à S dans chacun des dessins ci-dessous, le vecteur e 3 est le vecteur vertical)? Justifier. S S S 3 S 4

3 ISA BTP année ANNÉE UNIVESITAIE 3-4 NOM :... Prénom :

4 Eercice : COECTION. FAUX. La signature est obtenue une fois que la forme quadratique est réduite.. FAUX. Les paraboles n ont pas de centre de symétrie. 3. VAI. C est l ae focal. 4. FAUX. La base obtenue par la méthode de Gauss n est pas orthonormée.. VAI. La méthode de Gauss fait disparaître les termes rectangles. Elle réduit donc la forme quadratique. Eercice :. q, y) = 4y + 8y et A =. 8 ). χ A λ) = deta λi) = λ 8 λ = λ)8 λ) 4 = λ 3λ + 36 On peut alors vérifier rapidement que χ A 4) = χ A 9) =. Le polynôme χ A λ) étant de degré, 4 et 9 sont ses seules racines. 3. Les deu valeurs propres de A étant positives, la signature de q est σq) =, ). C est donc une ellipse. 4. E 4 : AX = 4X { y = 4 + 8y = 4y y = Le sous espace propre E 4 est donc la droite d équation y =, dont un vecteur normé est ) e = E 9 :. AX = 9X { y = 9 + 8y = 9y + y = Le sous espace propre E 9 est donc la droite d équation y =, dont un vecteur normé est ) e =. On vérifie rapidement que les vecteurs e et e sont orthogonau. Ils forment donc la BON cherchée. 4

5 ) ). La matrice de passage de à est P =. Ainsi, si l on note y les coordonnées dans d un point quelconque du plan, on a ) ) { = = P y y + y ) y = y ) En introduisant ces epressions dans le polynôme p, y) = 4y +8y 6 y +8, on obtient : ) p, y) = p + y ), y ) = 4 + 9y 6 + y ) y ) + 8 = 4 + 9y y + 8 = p, y ) et l équation de C dans est p, y ) =. Note : pour la partie quadratique, les calculs peuvent être évités car le terme rectangle disparaît et les coefficients des termes carrés correspondent au valeurs propres. 6. Pour montrer que Ω est bien le centre de C, on y déplace le repère. Pour cela, on commence par calculer les coordonnées de ) Ω dans le repère. Or d après la formule de changement de repère, si l on note y les coordonnées de Ω dans, on a ) ) ) ) = P y y = P D autre part, P étant une matrice de passage entre deu repères orthonormés, elle vérifie P = t P. D où ) ) ) { y = = 3 y = En notant alors = Ω : e, e ), l équation de C dans s obtient en effectuant le changement de variables { X = 3 { Y = y + = X + 3 y = Y

6 dans p, y ) : p X + 3, Y ) ) ) =4 X Y ) ) 4 X Y + 8 ) =4 X + 6 X + 9 ) + 9 Y Y + ) ) 4 X Y + 8 =4X + 9Y L équation de C dans le repère est donc 4X +9Y =. Cette équation étant invariante par changement X, Y ) X, Y ), on en déduire que le centre Ω du repère est bien le centre de symétrie de C. 7. Le repère étant orthonormé, l équation ci-dessus donne directement les coordonnées des sommets de C dans : ) ) ) ) S =, S =, S 3 =, S 4 = 3 3 Pour obtenir ces coordonnées dans, on passe d abord dans : S = + 3 ), S = + 3 ) 3 ), S 3 =, S 4 = ) À l aide ) de la matrice P, on obtient alors les coordonnées cherchées via la formule i = P ) i, y i : y i S = ) = + ) + 3 De même, on trouve + ) S = + 8. On obtient le dessin suivant : ) = ) ) =, S 3 = + ) ), S 4 = ) + + ) 3 )) 6

7 .... Eercice 3 :. Soit M = est M = y z y z un point de S. Son symétrique par rapport au centre O du repère. Or l équation de S étant invariante par le changement, y, z), y, z), si M est sur S, M est également sur S. Cela montre la symétrie par rapport au centre du repère. De même, si M = y est un point de S, son symétrique par rapport au plan Oy) z est M = y. Là encore, la symétrie de S par rapport à ce plan est donnée par z l invariance de l équation par le changement, y, z), y, z) seul z apparaissant dans cette équation). 7

8 . 3. A = χ A λ) = deta λi) = λ 3 λ 3 λ = 3 λ) 3 λ) 4 ) = 3 + λ) λ) λ) Les valeurs propres de A sont donc 3, et. La signature de q est donc σq) =, ). 4. On obtient ces trois vecteurs en résolvant les trois systèmes AX = λx associés au trois valeurs propres trouvées ci-dessus. Note : il est également possible de répondre à la question en calculant les produits A e i pour chacun des e i proposés.. E red : X + Y 3Z = 6. La signature de q étant, ) et l équation étant de la forme q, y, z) =, la surface S est un hyperboloïde à une nappe. Par ailleurs, la valeur propre négative correspondant à e 3, l ae de la cheminée de S est vertical. Enfin, les deu valeurs propres positives étant différentes, la section horizontale de S est une ellipse non circulaire. Il s agit donc de la surface S. 8