Introduction à l informatique, à Python, et représentation des nombres en machine
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- Lucile Mongeau
- il y a 8 ans
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1 Introduction à l informatique, à Python, et représentation des nombres en machine Table des matières Qu est-ce-que l informatique? Qu est-ce-qu un ordinateur? 2 Principaux composants Programme Système d exploitation Langage de programmation Python : syntaxe de base 3. Types Variables Opérations Fonctions usuelles Interactivité Représenter des nombres en machine 7 2. Bits Représenter des entiers en machine Et les entiers relatifs? Représenter les réels en machine Préliminaires : nombres à virgule en binaire Première tentative L arithmétique flottante Arrondis et problèmes de précision Annexe : principales différences entre Python 2 et 3 3. Les entiers La commande print La commande input La division entière Qu est-ce-que l informatique?
2 Qu est-ce-qu un ordinateur? Principaux composants Programme Système d exploitation (OS) Langage de programmation 2
3 Python est un langage de programmation dont la première version est apparue en 99. Il s est fortement développé depuis, et est devenu un langage très utilisé. Il s agit d un langage libre et gratuit. Il existe plusieurs version de Python. Le cours est fait en version 3, mais vous pourrez être amenés à utiliser également la version 2 en TP. Vous trouverez en annexe les principales différences entre les 2. Il existe plusieurs environnement de développement libres et gratuits pour python. Il s agit de logiciel permettant de taper du code python, de l exécuter, d accéder à des pages d aide... La plupart des environnements de développement proposent 2 manières de taper du code : On peut exécuter une ligne de code en utilisant l invite de commande (en général matérialisée par >>>). Dès que l on appuie sur la touche entrée, la ligne est exécutée, et le résultat affiché. On peut taper plusieurs ligne à la suite dans un éditeur de texte. Il y a en général un bouton ou un raccourci clavier qui permet l exécution séquentielle de tout le programme écrit. Python : syntaxe de base. Types On peut travailler avec différents types de données en python : Les entiers Les nombres à virgule flottante Les complexes Des chaines de caractère Des booléens Des tuples 3
4 >>> >>> / >>> >>> On peut obtenir le type d un objet à l aide de la commande type. >>> type(2) <class int > >>> type(2.) <class float > >>> type(3>2) <class bool > >>> type(+2j) <class complex > >>> type((,2)) <class tuple > >>> type(2*3.) <class >.2 Variables Une variable permet de stocker une valeur pour la réutiliser par la suite. On utilise le symbole = pour affecter une valeur à une variable. >>> a=3 >>> a 3 >>> b=a >>> b >>> a=-.3 >>> b Il est possible de faire des affectations multiples en utilisant les tuples : 4
5 >>> (a,b)=(2,4) >>> a 2 >>> b 4 Exercice Qu affiche l exécution des lignes de code suivantes : >>> a= >>> b=2 >>> c=a >>> b=c >>> a=b >>> (a,b,c) >>> a= >>> b=2 >>> c=a >>> a=b >>> b=c >>> (a,b,c).3 Opérations Python permet d effectuer toutes les opérations usuelles sur les entiers et les flottants : +,-,*,/. L opérateur puissance est noté **, et la valeur absolue de x abs(x). La division entière est notée //, et le reste de la division entière de a par b a%b. Les priorités entre les opérations sont celles habituellement utilisées en mathématiques. Le résultat est automatique converti en flottant ou en complexe si nécessaire..4 Fonctions usuelles Les fonctions usuelles ne sont pas chargée par défaut dans Python. Il faut les importer (une fois pour toute) à l aide de la commande import math. Les constantes e et π sont alors définies : 5
6 >>> math.e >>> math.pi On a ensuite accés (entre autres) aux fonctions suivantes : >>> e=math.e >>> pi=math.pi >>> math.sqrt(2) >>> math.exp(2) >>> math.log(e).0 >>> math.cos(0).0 >>> math.sin(pi/4) >>> math.tan(pi/4) >>> math.asin() >>> math.acos(0) >>> math.atan() >>> math.cosh(0).0 >>> math.sinh(3) Interactivité La commande print permet d afficher des résultats lors de l exécution d un programme. a=3 print(a) print( a ) print( La valeur de a est,a) La commande input permet de demander une valeur à l utilisateur en cours d exécution. Elle renvoie une chaine de caractère, que l on doit convertir en entier ou en flottant le cas échéant. a=float(input( Entrez un réel : )) print( Le carré de votre réel est,a**2) 6
7 2 Représenter des nombres en machine 2. Bits La mémoire des ordinateurs est constituée de composants élémentaires organisés séquentiellement qui ne peuvent être que dans 2 états (sous tension ou pas). Un tel composant ne peut donc stocker que 2 valeurs : 0 ou. On parle d un bit d information. Ces bits, écrits les uns à la suite des autres, forment des mots binaires. Par exemple 00 et 00 sont deux mots écrits sur trois bits. On appelle octet une suite de 8 bits. Exercice 2 Combien y a-t-il d états possibles de la mémoire d un disque dur de T o? Exercice 3 On souhaite associer à chacun des 365 jours de l année un unique code (ou mot) binaire. De combien de bits doit-on disposer? Exercice 4 Quel problème intrinsèque pose la représentation des nombres en machine? 2.2 Représenter des entiers en machine Pour représenter des entiers naturels en machine, le plus simple est de leur associer leur écriture en base 2. Définition 2. Soit n N. Il existe p N, et des bits a 0... a p tels que n = a p... a 0 est appelé représentation en base 2 de n. On note parfois n = a p... a 0 2. p a i 2 i. i=0 Écriture décimale Écriture binaire Exercice 5 Comment passer d un nombre écrit en binaire à son successeur immédiat? Exercice 6 En posant les opérations (comme vous l avez appris à l école primaire), calculer 0 +, 0 0 et Exercice 7 Déterminer l écriture binaire de 527. Exercice 8 Quels sont les problèmes posés par l écriture binaire pour représenter des nombres entiers en machine? Des idées pour y remédier? 7
8 Une solution fréquemment adoptée consiste à décider d un nombre de bits fixés sur lequel représenter les entiers (par exemple 32 ou 64). C est ce qui se passe dans un processeur, qui est capable d effectuer des opérations sur des entiers de nombre de bit fixé on parle de processeur 32 ou 64 bits (ces derniers tendant à se généraliser depuis plusieurs années). Écriture décimale Écriture binaire sur 8 bits Exercice 9 Quel est l inconvénient de ce choix? Rem Ce n est pas le choix effectué en Python, qui utilise un mécanisme beaucoup plus complexe permettant de représenter des entiers de taille arbitraire (ou tout du moins de taille seulement limitée par la mémoire vive de l ordinateur...). Exercice 0 Une image numérique est un ensemble de pixels. Chaque pixel a une couleur qui se décompose comme somme de 3 canaux (rouge, vert et bleu). On veut disposer de 256 niveaux possibles pour chaque canal. Combien de place en mémoire va prendre une image de pixels? 2.2. Et les entiers relatifs? Exercice Proposer une solution pour représenter les entiers relatifs. Le complément à deux z Z Codage sur 4 bits Exercice 2. Sur 32 bits, quels sont les plus grands et plus petits entiers relatifs représentables avec la méthode proposée? 2. Même question pour les entiers naturels. Exercice 3 Que risque-t-il de se passer si l on prend le plus grand entier représentable, et qu on lui ajoute? 8
9 2.3 Représenter les réels en machine La représentation des réels se heurte aux même difficultés, auxquelles s ajoute le fait qu un réel a une infinité de décimales, qui ne vont pas pouvoir toutes être préservées. Sur un nombre de bits donnés, on peut donc seulement représenter des approximations de nombres réels Préliminaires : nombres à virgule en binaire Exercice 4. Donner l écriture décimale de, 2 et de 0, Donner l écriture en base 2 de 9, 75. Tout nombre réel admet une écriture en base 2 parfois avec une infinité de chiffres après la virgule. Par exemple, 0, 6 est représenté par 0, Exercice 5 Calculer les 4 premiers chiffres après la virgule dans l écriture en binaire de 0, 6. Exercice 6 Calculer tous les autres! Première tentative Exercice 7 On propose la représentation suivante pour représenter des réels positifs, sur 64 bits : On pose b = 0, 000, et la séquence de 64 bits a a 0 code alors le réel b a a 0 2. Quels sont les réels représentables de cette façon? Quel inconvénient voyez-vous à cette méthode? L arithmétique flottante L idée suivante (une légère simplification d une norme très utilisée) permet de représenter à la fois des nombres très petits et très grands : Un nombre réel est décomposé sous la forme sm2 n où s est son signe (représenté par un bit : 0 pour +, pour ) n est l exposant il s agit d un entier relatif représenté sur bits en complément à deux (et donc compris entre 024 et 023) m est la mantisse il s agit d un nombre réel compris dans [, 2[, représenté par son écriture binaire à virgule. Comme son chiffre des unités est toujours, on peut l omettre, et ainsi coder 52 chiffres après la virgule. Rem On parle nombre à virgule flottante, la virgule pouvant être déplacée en utilisant l exposant. C est à mettre en parallèle avec l écriture scientifique :.234E 4 =, = 0, E5 =, = Exercice 8. Quel est le plus grand nombre réel représentable à l aide de cette méthode? 2. Quel est le plus petit nombre réel strictement positif représentable à l aide de cette méthode? Exercice 9 Quel est l inconvénient de cette méthode par rapport à la méthode sur 64 bits évoquée dans la section précédente? Exercice 20 Comment est représenté 3 avec cette méthode? Arrondis et problèmes de précision Python utilise une norme proche de l arithmétique flottante décrite ci-dessus pour représenter les réels. Tous les réels ne sont pas représentables, et il faut donc arrondir le résultat de chaque calcul au réel représentable le plus proche. Exercice 2 Quel est la représentation de 0, 4 avec cette convention? 9
10 >>> >>> -2**(-52) >>> -2**(-54).0 >>> -2**(-52) == False >>> -2**(-54) == True >>> +2**(-54)- 0.0 >>> -+2**(-54) e-7 Rem Il ne faut jamais utiliser de tests d égalité entre flottants. Pour comparer a et b, on teste si a b ɛ, où ɛ est un petit réel strictement positif. 0
11 3 Annexe : principales différences entre Python 2 et 3 Pour référence, voici sous forme d exemples les différences qui nous concernent entre Python 2 et 3. (Il y a de nombreuses autres différences, mais qui dépassent le cadre du cours...) 3. Les entiers En python 2, il y a deux types d entiers : Les int, codés sur un nombre fixe de bits (32 ou 64 selon le processeur et le système d exploitation). Les long qui peuvent représenter des entiers de taille arbitraire. Python 2 passe des int aux long lorsque c est nécessaire. Il ajoute alors un L à la fin d un entier pour signifier qu il s agit d un long. En Python 3, tout est géré de façon transparente pour le développeur, et il n y a qu un seul type : int. Python 3 Python 2 >>> type(l) <type long > >>> type() <type int > >>> 2** >>> 2** >>> type(2**64) <type int > >>> type(2) <type int > >>> 2** >>> 2** L >>> type(2**64) <type long > >>> type(2) <type int > 3.2 La commande print Par de parenthèses en Python 2. Python 3 >>> print( Bonjour., a vaut, 2) Bonjour. a vaut 2 Python 2 >>> print( Bonjour, a vaut, 2) ( Bonjour., a vaut, 2) >>> print Bonjour, a vaut, 2 Bonjour. a vaut La commande input La conversion en entier ou en flottant est faite automatiquement :
12 Python 3 >>> n=input( Entrez un entier ) Entrez un entier 3 >>> type(n) <class str > Python 2 >>> n=input( Entrez un entier ) Entrez un entier 3 >>> type(n) <class int > 3.4 La division entière Si les opérandes sont entières, la divion / est une division entière en Python 2. Python 3 >>> 3/2.5 >>> 3//2 >>> 3/2.0.5 >>> 3 // Python 2 >>> 3/2 >>> 3//2 >>> 3/2.0.5 >>> 3 //
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