(celles qui annulent les deux facteurs du 1 er degré) qui sont 1
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- Fabrice Alain
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1 2 de préparation au DS n 4 sur les équations/inéquations CORRECTION 1) Équations (5 pts) a) Résoudre les équations suivantes. E 1 : 2 x 1 2 = 2 x 1 3 x 2 E 1 s'écrit successivement 2 x x 1 3 x 2 =0 ; 2 x x 2 =0 ; 2 x x 2 =0 ; 2 x 1 3 x 3 =0 ; 3 2 x 1 x 1 =0. Il y a donc deux solutions (celles qui annulent les deux facteurs du 1 er degré) qui sont 1 2 et 1. E 2 : 25 x 2 30 x 7=0 E 2 s'écrit successivement 5 x x 3 7=0 ; 5 x =0 ; 5 x =0 ; 5 x =0 ; 5 x x 3 4 =0 ; 5 x 1 5 x 7 =0. Il y a donc deux solutions (celles qui annulent les deux facteurs du 1 er degré) qui sont 1 5 et 7 5. On peut aussi résoudre cette équation avec la formule = = =1600=40 2, d'où x 1 = = 10 = et x 2 = = 70 = x 2 E 3 : x x x 2 =0 x 2 x 2 x2 E 3 s'écrit successivement =0 ; x2 4 x 2 x x 2 x x 2 =0 ; 2 x2 2 x x 2 =0. Le dénominateur ne doit pas s'annuler (sinon la fraction n'est pas définie), donc x ne peut pas être égal ni à 0 ni à 2 (ce sont les valeurs «interdites»). Il y a deux solutions (celles qui annulent le dénominateur, qui s'écrit aussi 2 x 2 2 =2 x 2 x 2 ) à cette équation : 2 et 2, qui sont bien différentes des valeurs interdites. b) Soit f la fonction définie par f x =x 3 2 x 2 x 2. Calculer f 2, en déduire que f x = x 2 a x 2 b x c où a, b et c sont des nombres à déterminer, puis résoudre les équations en utilisant la forme la plus adaptée de f(x) : f 2 = = =0, donc on peut mettre x 2 en facteur dans f x, qui se transforme ainsi en f x = x 2 x 2 b x 1, les nombres a et c de l'énoncé se déduisent automatiquement par identification des termes de degré 3 (pour que x a x 2 =x 3, il faut que a soit égal à 1) et 0 (pour que 2 c= 2, il faut que c soit égal à 1). Pour déterminer b, on peut utiliser indifféremment le terme de degré 2 ( 2 b x 2 = 2 x 2 ) ou 1 ( 1 2b x= x ) : dans les deux cas, on trouve que b doit valoir 0. Ainsi, f x = x 2 x 2 1. E 4 : f x =0 On choisit ici, bien sûr, l'expression factorisée f x = x 2 x 2 1 =0. Seul le premier facteur de ce produit peut s'annuler, il n'y a donc qu'une seule solution à E 4 : 2. E 5 : f x = 2 On choisit ici, l'expression développée f x =x 3 2 x 2 x 2= 2. Cette équation devient x 3 2 x 2 x=0, soit x x 2 2 x 1 =0 ou encore x x 1 2 =0. Il y a donc deux solutions à E 5 : 0 et 1. 2) Inéquations (3 pts) Résoudre les inéquations suivantes. I 1 : 2 x 6 x x 0 Les valeurs de x qui annulent les facteurs sont 0, 1 6 et 1 5. Reclassées dans l'ordre croissant, ce sont 0, 1 6 et 1 5 (elles étaient dans l'ordre), plaçons les dans le tableau de signes que nous complétons, en utilisant x x x
2 le règle vue en cours (signe de a à droite de b a ), et en notant P x, le produit des 3 facteurs. L'inéquation I 1 a donc pour solution 2 x 1 I 2 : x Ici, il faut commencer par «factoriser» : il s'agit de faire tout passer du même côté et de mettre au même dénominateur. Attention de ne pas multiplier ou diviser par un nombre, sans connaître le signe de ce nombre x P x x ]0 ; 1 6 [ ] 1 5 ; [ x x x Q x L'inéquation se transforme donc successivement en 2 x 1 x x 1 2 x 2 ; 0 ; 3 x 2 6 x 3 2 x 4 4 x 7 0 ; 3 x 2 3 x 2 0. Passons maintenant à l'étude du signe de cette expression rationnelle que nous noterons dans le tableau Q x. Le dénominateur ne doit pas s'annuler, cela arriverait si x=2, donc nous mettons deux barres verticales pour montrer cela. L'autre valeur qui annule un des facteurs est 7 4. Les solutions de cette inéquation sont donc x [ 7 ;2[ 4. Les solutions entières possibles sont 1 et 0. 3) Problèmes (3 pts) a) On cherche à déterminer trois entiers consécutifs qui soient les côtés d'un triangle rectangle. Traduire l'énoncé par une équation, résoudre cette équation et conclure en répondant notamment à la question «combien de solution(s) a ce problème?» La meilleur idée pour traduire cet énoncé est de nommer x le nombre du milieu. On peut alors écrire x 1 2 x 2 = x 1 2. Cela se transforme successivement en x 2 2 x 1 x 2 = x 2 2 x 1 ; x 2 4 x=0 ; x x 4 =0. Les solutions de cette équation sont 0 et 4. La solution 0 ne conduit pas à un triplet solution car ce serait et ( 1,0,1) mais les longueurs doivent être positives ; la solution 4 conduit au seul triplet solution : (3,4,5) qui est bien connu... b) Trouver, s ils existent, deux nombres dont la somme est 6 et le produit 1. En notant x un de ces nombres, l'autre doit valoir 6 x pour que la somme fasse 6. Il faut avoir x 6 x =1 et donc x 2 6 x 1=0 ou encore x 2 6 x 1 =0 ou aussi x =0 ou x =0, donc finalement x 3 8 x 3 8 =0. On trouve deux solutions x=3 8= ,828 et x=3 8= ,172 qui sont en fait les deux nombres cherchés. Méthode de Diophante : on introduit une 3 ème variable, notée z, qui répond à la double condition : x= 6 z=3 z et y= 6 z=3 z 2 2. Le produit xy vaut alors x y= 3 z 3 z =1. Cela conduit à l'équation 9 z 2 =1 qui conduit à z 2 =8 et donc z=± 8 ce qui nous ramène aux deux solutions trouvées. c) Discuter, selon la valeur de c, le nombre de solutions de l'équation E : x 2 10 x c=0. Donner, lorsqu'elles existent, les solutions en fonction de c. E s'écrit successivement x c=0 ; x c =0. Il y a donc deux solutions si 25 c 0, soit pour c 25. Ces solutions sont 5 25 c e 5 25 c t car alors l'expression du membre de gauche de l'équation se factorise en x 5 25 c x 5 25 c. Il y a une seule solution si 25 c=0, soit pour c=25. Cette solution est 5 car alors l'expression du membre de gauche de l'équation se factorise en x 5 2. Il n'y a aucune solution si 25 c 0, soit pour c 25 car alors, l'expression du membre de gauche de l'équation ne se factorise pas (c'est la somme d'un nombre positif et d'un nombre supérieur à 0, donc cela ne pourra pas s'annuler).
3 2 de Résolution d'une équation de type f(x)=0 à l'aide d'une méthode approchée Lorsqu'on ne sait pas résoudre techniquement une équation du type f(x)=0 (f est une fonction), on peut utiliser des méthodes approchées. 1. Méthode graphique. Le tracé de la courbe de la fonction f à l'aide d'une calculatrice graphique donne de précieuses informations quant-à l'existence et au nombre des solutions de l'équation ainsi que leurs valeurs approchées que l'on peut préciser en zoomant (en modifiant les paramètres de la fenêtre d'affichage). Exemple : On veut résoudre graphiquement l'équation 0,05x 5 30x 3 +10x 1=0. Taper l'expression de la fonction dans la calculatrice, puis tracer le graphique (c'est fait à droite, mais vérifier que vous savez le faire), Observer la courbe et conclure pour les solutions. Il y en a trois entre 1 et 1: >La plus petite approximativement égale à 0,6 dans l'intervalle [ 1; 0,5] où la fonction f est décroissante (lire le sens de variation sur le graphique), >la moyenne approximativement égale à 0,1 dans l'intervalle [0 ; 0,3] où la fonction f est croissante, et >La plus grande approximativement égale à 0,5 dans l'intervalle [0,4 ; 1] où la fonction f est décroissante NB : toutes ces déterminations étant graphiques, donc approximatives, nous essaierons de tenir compte d'erreurs éventuelles dans nos algorithmes. 2. Méthode algorithmique : la dichotomie Lorsque, sur un intervalle, le sens de variation d'une fonction f est constant et qu'il existe sur cet intervalle, une solution à l'équation f(x)=0, on peut s'en approcher autant que l'on veut en utilisant une méthode algorithmique comme la dichotomie. Utilisons la dichotomie pour préciser les solutions de 0,05x 5 30x 3 +10x 1 = 0. Recherche de la plus petite solution : Dans l'intervalle [A;B] où la fonction f garde le même sens de variation et où f(a) et f(b) n'ont pas le même signe, on a f(a) f(b)<0 et la solution de f(x)=0 appartient à l'intervalle. On calcule le centre C de l'intervalle : C= A B 2 et son image f(c). Si f(a) f(c)<0, f(a) et f(c) n'ayant pas le même signe, la solution cherchée appartient à [A;C] et on met la valeur de C dans B, sinon la solution appartient à [C;B] et on met la valeur de C dans A. On recommence et on continue ce procédé jusqu'à ce que la différence entre A et B soit inférieure à une valeur donnée d'avance (appelée précision). Voici un algorithme, adapté pour les calculatrices, qui met en pratique cette méthode : NB : ous avons modifié les noms des variables X;Y;Z est remplacé par D;E;F (pour éviter les confusions). 1. Entrer A et B (B>A), entrer N (N est un entier positif qui indiquera la précision, sous la forme 10 N ). 2. Calculer D=f(A) et E=f(B) 3. Tant que B A>10 N : Calculer C=(A+B)/2 et F=f(C) Si D F<0 (f(a) et f(c) sont de signes contraires) : B=C et E=F Sinon : A=C et D=F 4. Afficher C (la solution approchée avec une erreur inférieure à la précision demandée) a) Faire fonctionner l'algorithme pas-à-pas, en remplissant le tableau ci-dessous pour les 4 premières étapes : N A B D= f A E= f B C= A B F = f C Signe de D F B A ,95 2,25 0,750 4,14 + 0,5 2-0, ,14 2,25 0,625 0, ,25 3-0, , ,288 0,13 4-0, , ,66 0,0625 b) Programmer cet algorithme sur votre calculatrice ou en langage Python sur votre ordinateur. Pour une calculatrice Casio, on peut entrer le programme suivant (ne pas entrer les commentaires!!) :? A? B (il faudra entrer B>A pour que cela fonctionne correctement)? N (il faudra entrer N positif, par exemple 5 pour une précision de 10 5 )
4 A X (on utilise la touche X,θ,t pour cette mémoire) Y 1 D (Y 1 est calculé à partir de la fonction qui a été entrée dans le menu de saisie des fonctions ; en mode graphique, on s'en sert pour tracer la courbe d'équation Y 1 =f(x) ; nombre noté A' dans l'algorithme ou f(a) ; pour entrer Y 1 en mode Prgm, il faut taper Vars F 4 F 1 1 (les 3 premières touches sont pour trouver le Y qui correspond au X,θ,t car ce n'est pas Alpha Y, le dernier 1 est le chiffre 1), avec une TI voir p.62 de votre manuel ; sur ma vieille calculatrice Graph25, il fallait entrer Vars > F 2 F 1 1) B X Y 1 E (E est l'image de B par f ; c'est le nombre f(b)) While B A>10^ N (A+B) 2 C C X Y 1 F If D F<0 Then C B F E Else C A F D IfEnd WhileEnd C Ce programme est sans doute à adapter pour différent modèles. Les utilisateurs de TI traduirons : l'entrée des données se fait avec Input ou Prompt, je crois, l'affichage avec Disp et les fins de While ou de If sont toutes des End). >>>Tester ce programme avec une précision de 10-5 (entrer A= 1, B= 0.5, N=5). Conclusion : x (arrondir le résultat à 10-5 près). Donner, en changeant la valeur de N, un résultat à 10-8 près : on entre N=8 et on obtient x b) Trouver, par cette méthode (avec le même programme) les deux autres solutions de l'équation f(x)=0. La solution moyenne (on entre A=0, B=0,2 et N=5) est x La plus grande solution (on entre A=0,2, B=1 et N=5) est x De A à Z : Résoudre l'équation x 5 50 x 5000=0 par la méthode proposée (graphique+dichotomie). On commence par tracer la courbe, avec les bons paramètres d'affichage : Pour voir la solution il faut aller jusqu'à 6 au moins pour X. On voit qu'il y a une solution dans [5;6] donc on peut compléter le tableau à la main (aidé par la calculatrice) et/ou utiliser le programme (après avoir changé la fonction dans l'éditeur des expressions de fonctions (ici Y1). n a b f a f b a b 2 f a b 2 b a , , , ,5 3 5,25 5, , ,25 4 5,375 5, , , ,375 5, , , , , , , , , , , , , , ,007813
5 On arrête l'algorithme dès que la précision demandée est atteinte. On voit ici qu'à la 8 ème ligne l'écart b a atteint 0,007 soit un peu moins de 0,01. Si on choisit comme valeur approchée de la solution la moyenne a b 2 entre a et b, on ne risque pas de faire une erreur supérieure à 0,01. Une solution approximative à 0,01 près est donc 5, Les derniers chiffres sont très certainement faux. Si on veut 7 chiffres de précision, il faut entrer dans notre algorithme A=5, B=6 et N=7. On trouve alors une valeur dont les 7 chiffres après la virgule seront corrects x 5, (une valeur plus précise est 5, donc le 8 est arrondi par excès à 10 2 près, le chiffre correct est un 7).
6 2 de CORRECTION TD : Débuter en Python CORRECTION 1.1. Installation / lancement de Python a) Utilisation de Python au Lycée : Python est installé sur le serveur commun (\\Scribe) (T:) du Lycée. Dans le répertoire «travail», choisir le dossier «Informatique», puis le dossier «pyzo2013b» dans lequel il faut double-cliquer sur «ZePyzo». b) Pour utiliser Python chez soi, sur un ordinateur personnel, en dehors du Lycée, il faut télécharger une de ses multiples distributions. Pour simplifier, télécharger la même version que celle du Lycée ( en sélectionnant, parmi les cinq possibilités commençant par «pyzo_distro-2013b», celle qui correspond à votre ordinateur (32 ou 64 bits) et son système d'exploitation (linux, mac/apple ou windows). Décompresser l'archive si nécessaire et installer l'application sur l'ordinateur avec les options par défaut. Sous windows vous devriez voir apparaître l'icône «Ze Pyzo» sur votre bureau. Lancer cette application Principes de base a) IEP (Interactive Editor for Python) est constitué de deux composants principaux : en haut à droite, le shell (la console) dans lequel on peut exécuter directement des commandes ; à gauche, l'editor (l'éditeur) où l'on va écrire les programmes. Dans la version téléchargée, il y a un programme «tables.py» qui est ouvert dans l'éditeur. Faire un clic droit sur l'onglet et choisir «Exécuter le fichier» pour lancer ce programme. On peut aussi choisir «Exécuter» dans la barre de menu et ensuite «Exécuter le fichier». Le programme qui s'exécute dans le shell demande de répondre à des questions sur les tables... Répondre à 2 ou 3 questions et puis sortir pour retrouver le curseur après >>> qui attend vos commandes. Tester les commandes suivantes dans le shell (valider avec la touche «Entrée») et compléter : 8*7 1-2*3 2**5 10** **45 1/8 1/3 1//3 1%3 1/ e-15= Traceback (most recent call last): File "<console>", line 1, in <module> ZeroDivisionError: division by zero Que font les opérations notées : ** : l'élévation à la puissance ; / : la division décimale (le résultat est arrondi à près) ; //: division euclidienne, cette opération donne le quotient entier, la partie entière du quotient décimal ; % : division euclidienne, cette opération donne le reste (fonction notée mod dans d'autres langages) Que fait la flèche vers le haut ( ) : rappel des instructions précédentes ; la flèche vers le bas ( ) : rappel des instructions suivantes (on se déplace dans une pile d'instructions). b) Affectations/entrées et affichages/sorties L'affectation en Python se fait avec le symbole «=». Pour tester si a=b on doit écrire a==b avec deux «=». Entrer dans le shell les instructions suivantes et noter ce qui se passe : a a=1 a b=a b b==a b=2 b==a Traceback (most recent call last): File "<console>", line 1, in <module> ZeroDivisionError: division by zero (il ne se passe rien, la valeur de a est enregistrée, égale à 1) 1 (il ne se passe rien, la valeur de b est enregistrée, égale à celle de a) 1 True (il ne se passe rien, la valeur de b est enregistrée, égale à 2) Les noms de variable ne sont pas limités à une lettre. Vous pouvez appeler des variables «hauteur», «base» et «aire_triangle» et écrire : hauteur=5 ; base=3 ; aire_triangle=base*hauteur/2 Pour afficher le contenu de la variable aire_triangle dans le shell, on peut taper «aire_triangle» tout simplement, mais en général, un affichage se fait avec la fonction «print()». Dans un programme, il faudra écrire : print(aire_triangle). On peut ajouter du texte et d'autre variables sur une même ligne, par exemple : print(' base=', base, 'hauteur=', hauteur, 'aire=', aire_triangle). Créer un nouveau programme en choisissant «Nouveau» dans le menu «Fichier» False
7 Écrire dans le fichier <tmp 1> ouvert dans l'éditeur, les lignes de code suivant : nom='votre nom' prenom='votre prénom' print('bonjour ',prenom,' ',nom,', tu vas bien?') Exécuter votre programme comme précédemment décrit pour le programme «tables.py». Vous remarquerez que Python ajoute des espaces entre les variables qu'il affiche. On peut aussi utiliser un format qui affiche les choses plus proprement : print('bonjour {} {}, tu vas bien?'.format(prenom,nom)). Pour qu'un programme Python demande d'entrer une variable, on utilise la fonction «input()» en affectant la valeur à la variable. Par exemple : h=input(). Le problème est que Python va transformer un nombre entré en chaîne de caractères. Il faut le convertir en nombre avec la fonction «int()» si c'est un entier qu'on veut, «float()» si c'est un nombre décimal. On peut donc écrire l'instruction : h=float(input()) qui entre un décimal dans h, ou mieux h=float(input('hauteur=')) qui fait la même chose, mais en affichant le message «hauteur=» qui nous indique ce qu'il faut entrer. Écrire un programme qui demande la hauteur et la base d'un triangle et qui affiche son aire. La notation int(input()) oblige à entrer un entier. Si on doit entrer un nombre flottant (avec une virgule), il faut modifier ce programme sinon on va obtenir un message d'erreur. On va donc modifier et écrire float(input()) pour entrer des nombres flottants ou entiers (pas de message d'erreur dans ce cas). c) Principe de l'indentation et instruction conditionnelle D'une façon générale, le séparateur d'instructions est le retour à la ligne. Mais lorsqu'une série d'instructions forment un bloc, celui-ci est marqué par une indentation (tabuler avec ), la même pour chacune des instructions du bloc. La sortie du bloc est marquée par le retour à la normale de l'indentation. L'instruction conditionnelle se note «if [test] : [instruction]» mais dès lors qu'il y a plusieurs instructions, il faut aller à la ligne en respectant l'indentation. Examiner ces quatre situations >>>if a!=b : a=b... il ne se passe rien, la syntaxe est correcte, comme a b (car a=1 et b=2 selon les instructions passées avant), a vaut maintenant 2, comme b. >>>if a!=b : a=b : b=b+1... File "<console>", line 1 if a!=b : a=b : b=b+1 ^ SyntaxError: invalid syntax Python n'accepte pas cette syntaxe car il ne sait pas où s'arrête le if >>>if a!=b :... a=b... b=b+1... File "<console>", line 2 a=b ^ IndentationError: expected an indented block Python n'accepte pas cette syntaxe car il n'y a pas d'indentation (de décalage) >>>if a!=b :... a=b... b=b+1... il ne se passe rien, la syntaxe est correcte (l'indentation est respectée), comme a=b (car a=b=2 selon les instructions passées avant), rien n'a changé (les deux instructions qui suivent auraient été exécutées si a b), a et b valent toujours 2.
8 Remarque : Pour traduire un «sinon», on peut ajouter un bloc d'instructions à effectuer si le test est False en écrivant sur une nouvelle ligne «else : [instruction]» ou «else :» suivi d'un retour à la ligne, et d'un bloc d'instructions respectant l'indentation. Analyser l'extrait du programme «tables.py» suivant pour avoir un exemple complet (les parenthèses sont inutiles autour du test). La variable bonne_reponse est mal imprimée (il y a _ un «underscore» entre les deux mots sinon cela ne serait pas reconnu comme un nom de variable) mais l'instruction bonne_reponse+=1 est une contraction acceptée par Python de bonne_reponse=bonne_reponse+1. Le message qui est affiché «Faux La réponse est»+str(reponse) est construit comme une concaténation de deux textes «Faux La réponse est» et str(reponse). Comme reponse est une variable contenant un entier, Python refuserait de concaténer ce nombre tel quel. Il faut d'abord le traduire en texte, ce qui est fait avec l'instruction str(reponse), «str» étant l'abréviation de «string» qui signifie texte (chaîne de caractères pour être plus correct). Concernant la syntaxe du «if. :.. puis du else :.» vous voyez les deux types de syntaxe acceptée : une instruction seule suivant les «:» ou bien plusieurs instructions, mais dans ce cas le «:» n'est suivi que d'un retour à la ligne et puis l'indentation (un saut de tabulation) est strictement répétée. Pour résumer tout ce que l'on vient de dire, écrire le programme qui traduise cet algorithme : Entrer trois nombres a, b et c qui sont les trois côtés d'un triangle. Tester si le triangle existe, et s'il n'existe pas afficher «impossible». Dans le cas ou le triangle existe, tester s'il est isocèle. S'il est isocèle tester s'il est équilatéral. Afficher dans tous les cas la nature du triangle. Remarque : pour faire des tests composés, on peut utiliser les mots «and» et «or» qui traduisent le «et» et le «ou». Par exemple, pour tester si le triangle existe, on peut écrire : if a+b c and a+c b and b+c a :... mais on aurait pu tester si le triangle n'existait pas, en écrivant : if a+b>c or a+c>b or b+c>a :... Tester ensuite votre programme avec ces triplets (2 ; 3 ; 4), (2 ; 3 ; 3), (2 ; 3 ; 6), (3 ; 3 ; 3). Le but du programme est limité, on s'en tient à la consigne même si elle est imparfaite. Bien sûr qu'un triangle de côtés 3, 4 et 5 n'est pas quelconque (il est rectangle) et un triangle de côtés 1,2,3 n'est pas quelconque non plus (il est aplati). Le programme qui suit corrige en partie ces défauts même si, en entrant des nombres entiers, il ne se produira jamais le cas du triangle isocèle et rectangle (car un des côtés au moins doit être irrationnel). Ce qui est important ici est la construction des tests et surtout la gestion de l'indentation qui est la véritable information que l'on donne à Python sur le début et la fin des blocs d'instructions à exécuter après les «if» et les «else». Enregistrer ce programme sous le nom «nature.py», en sélectionnant «Enregistrer sous» dans le menu «Fichier». Au Lycée, il faut choisir le dossier «Mes documents», mais vous pouvez aussi l'enregistrer sur une clef USB pour le réutiliser chez vous (ou réciproquement). L'ouverture d'un fichier existant se faisant avec la commande «Ouvrir» du menu «Fichier».
9 d) La boucle «Tant que» C'est la boucle la plus facile à mettre en place. Sous Python, il suffit d'écrire «while [test] : [instruction]». On peut écrire un bloc d'instructions après les «:», en respectant le principe de l'indentation exposé pour l'instruction conditionnelle. Tant que le test est True (vrai), on effectue les instructions. Dès lors que le test est False (faux), on sort de la boucle et on exécute le programme qui suit le retour à l'indentation initiale. Voici deux exemples. Essayer de prévoir ce qui va être affiché. a=1 s=1 while a<10 : a=a+1 s=s+a**2 print(s) n=10 i=0 while n!=1 : i=i+1 if n%2==0 : n=n/2 else : n=3*n+1 print(i) Le 1 er programme (celui qui est au centre), calcule et affiche la somme des carrés d'entiers de 1 à 10. L'algorithme n'est pas forcément très clair, mais en initialisant s à 1, on entre 1²=1. Ensuite, en initialisant a à 1, puis en incrémentant a de 1, a vaut alors 2, on va ajouter à la ligne suivante 2² à la somme s. La dernière valeur acceptée pour a est a=9 (car le test est strict, a<10 refuse 10) et dans la boucle, a est incrémenté de 1, a vaut alors 10 et on va ajouter à la ligne suivante 10² à la somme s. La sortie de la boucle affiche donc le résultat de 1²+2²+3²+4²+5²+6²+7²+8²+9²+10², c'est à dire 385. Le 2 d programme (celui qui est à droite), effectue des opérations sur le nombre n qui vaut, au départ, 10. On entre dans une boucle qui ne s'arrêtera que quand n vaudra 1 (ce qui pourrait très bien ne jamais arrivé, sauf si ce qu'on fait dans la boucle arrive nécessairement toujours sur 1). Le compteur i ne sert qu'à déterminer combien de fois on passe dans la boucle. C'est d'ailleurs ce qu'affiche le programme à la fin. Examinons l'évolution de la valeur de n : en entrant la 1ère fois dans la boucle, n vaut 10, mais comme n est pair (n %2==0 est True) on divise sa valeur par 2. n vaut donc 5. On entre à nouveau dans la boucle car 5 1 et comme 5 est impair on va affecter 3 5+1=16 à n. On entre une 3 ème fois dans la boucle car 16 1 et comme 16 est pair on divise sa valeur par 2. n vaut donc 8. On entre une 4 ème fois dans la boucle car 8 1 et comme 8 est pair on divise sa valeur par 2. n vaut donc 4. On entre une 5 ème fois dans la boucle car 4 1 et comme 4 est pair on divise sa valeur par 2. n vaut donc 2. On entre une 6 ème fois dans la boucle car 2 1 et comme 2 est pair on divise sa valeur par 2. n vaut donc 1. On sort alors de la boucle et affiche la valeur de i : 6. Pour information, il s'agit de la fameuse conjecture de Syracuse (aussi appelée conjecture de Collatz ou d'ulam) qui conduit toujours à 1, en tout cas on n'a jusqu'à aujourd'hui pas trouvé de contre-exemple, ni de preuve que cela arrive bien toujours. 2 de TD : Niveau 2 en Python 3.1. La boucle «Pour» a) Syntaxe de base Pour traduire «Pour i allant de 1 à 10», il suffit d'écrire «For i in range(10)». La notation range(10) crée un tableau de 10 entiers, mais au lieu de prendre {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10}, cela commence à 0 et la liste est {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9}. Pour certains algorithmes cela ne posera pas de problème, mais pour d'autres il faudra plutôt écrire «For i in range(1,11)» si on veut utiliser des valeurs de i allant vraiment de 1 à 10. Examiner le programme ci-contre et dire si on trouve bien la somme des 10 s=0 for i in range(10) : s=s+(i+1)**2 print('somme=',s) premiers carrés 1²+2² ²=385. Le programme ressemble à celui qui était dans la feuille précédente : son but est le même, mais il utilise une boucle «for» alors que l'autre utilisait un «while», ce qui est moins adapté. On veut une somme de 10 termes, donc il est naturel d'utiliser une boucle «for» avec un compteur, noté ici i, allant de 0 à 9 ou de 1 à 10, ce qui revient au même pour ce qui est de faire 10 tours de boucle. Mais cela change l'instruction qui est dans la boucle. Si a va de 0 à 9 (c'est ce qui se passe avec range(10)) et qu'on veut les carrés de 1 à 10, il faut écrire (i+1)² au lieu de i². Si a allait de 1 à 10 (c'est ce qui se passerait avec range(1,11)) et qu'on veut les carrés de 1 à 10, il faut écrire i². On pourrait faire autrement, par exemple en initialisant i à 1 comme dans la feuille précédente. Dans ce cas, il suffit d'utiliser range(9) ou range(1,10) bien range(2,11) en veillant à corriger l'instruction de la boucle pour que ce soient les bons termes qui soient utilisés.
10 Application : Écrire un programme qui calcule 4 k n, la n ème approximation rationnelle de π donnée par la formule de Leibniz (voir DM n 1), selon l'algorithme ci-contre. Vérifier à l'aide de votre programme les valeurs : 4 k 1 2, ; 4 k 2 3, ;...; 4k 6 3, ; etc. Enregistrer votre programme sous le nom «leibniz.py» Ici on va utiliser des nombres flottants (float) car les valeurs que l'on affecte à la variable K ne sont pas des entiers (int). Mais cela se fait tout seul, la conversion est automatique dès lors que l'on utilise le symbole / on a déjà vu que cela produisait un flottant. On pourrait modifier légèrement l'algorithme et initialiser K à 0. Dans ce cas, il faut prendre i allant de 0 à N en écrivant range(n+1). K=1 Lire N Pour I allant de 1 à N K=K+ 1 I 2I 1 fin de la boucle «Pour» K=4 K Afficher K Résumé : l'ensemble range(1, n+1) contient les entiers de 1 à n. C'est comme si on prenait les entiers de l'intervalle [1; n+1[ où n+1 est exclu. L'écriture raccourcie range(n) signifie en réalité range(0, n). b) While ou For? On peut toujours écrire une boucle For avec l'instruction While, mais la réciproque n'est pas vraie. Certaines boucles While ne se traduise pas facilement avec une boucle For (car on ne sait pas à l'avance le nombre de tours qu'il faut faire). Traduire le programme de gauche avec une boucle For et celui de droite avec une boucle While. a=1 s=1 m=int(input('max=')) while a<m : a=a+1 s=s+a**2 print('somme=',s) s=1 m=int(input('max=')) for i in range(2,m+1) : s=s+i**2 print('somme=',s) P=0 n=int(input('max=')) for i in range(n) : P=P+1 (i+1) print('somme=',p) i=0 P=0 n=int(input('max=')) while a<n : i=i+1 P=P+1/i print('somme=',p) Que font ces programmes? Le 1 er, on l'a déjà vu, effectue la somme des premiers carrés d'entiers (jusqu'à max²) Si on entre 10, on retrouve 358. On a déjà proposé des variantes avec s=1 au début, et aussi avec s=0 (ce qui est tout de même plus naturel puisqu'on veut faire la somme des termes, c'est normal de ne rien mettre au début plutôt que de mettre le 1 er terme 1²=1. Pourquoi pas commencer à s=1²+2²=5 ou s=1²+2²+3²=14?). Le 2d programme effectue la somme des premiers inverses d'entiers (jusqu'à 1/max) Si on entre 2 on trouve somme=1,5 qui est égal à et si on entre 10, on trouve somme= qui est égal à Le principe n'étant pas très différent du programme précédent, on peut effectuer la traduction avec un «while» sans difficultés. Le plus difficile est de régler les paramètres pour que cela compte bien la même chose que l'autre programme. En mettant i à 0, et en ajoutant l'incrémentation de i avant l'augmentation de P, il faut changer le 1+i en i. Pour ceux que cela aurait dérangé, le fait d'avoir un compteur i au lieu d'un compteur a ne change rien et la somme peut s'appeler s ou P ou somme ou xpty, le résultat sera toujours le même. Généralement on conseille d'utiliser des noms de variables qui soient parlant Suite de Fibonacci Cette célèbre suite de nombres s'obtient à partir des deux premiers termes : 0 et 1, chaque terme étant obtenu en ajoutant les deux termes précédents. Le début de cette suite est donc : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, etc. Si on considère que les deux 1 sont le 1 er et le 2 ème terme, on voit que 21 est le 8 ème terme. a) Calcul d'un terme quelconque On veut calculer le n ème terme de la suite de Fibonacci. Par exemple, le terme de rang 100. Traduire cette situation par un algorithme puis un programme Python. On va utiliser une boucle «for» puisqu'on connait à l'avance de tours de boucle. Connaissant le terme de rang 1, on va dans la boucle pour calculer le terme de rang 2 et on doit y rester jusqu'à calculer le terme de rang n.
11 a=0 b=1 c=0 (NB:en Python on peut ne pas écrire cette initialisation) n=int(input('quel rang de la suite voulez-vous?')) for i in range(1,n) : c=a+b a=b b=c print('terme=',c) Tester votre programme sur N=8, puis déterminer le terme de rang 100 : b) Calcul du rang du 1 er terme supérieur à une valeur quelconque On aimerait savoir à partir de quel rang N les termes de cette suite dépasse une certaine valeur M. Par exemple, on dépasse la valeur M=10 à partir de la valeur N=7 ou on dépasse la valeur M=30 à partir de la valeur N=9. Traduire cette situation par un algorithme puis un programme Python. Ici, on ne sait pas jusqu'où aller, c'est un test qui nous le dira. Il faut donc employer une boucle «while». a=0 b=1 c=0 n=1 max=int(input('quel nombre voulez-vous dépasser avec un terme de la suite?')) while c<max : c=a+b a=b b=c n=n+1 print('vous le dépassez avec le terme de rang {} qui vaut {}'.format(n,c)) Tester votre programme sur M=10, puis M=30, puis déterminer le rang du 1er terme supérieur à 1000 : c'est le terme de rang 17 qui vaut 1597.
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