Chapitre 1 : Programmation linéaire

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1 Chapitre : Programmation linéaire I Rappels sur les équations de droites Théorème La forme générale des équations de droites est ax+by +c = 0 (avec a ou b non nul). On peut toujours se ramener à l un des deux cas suivants : y = mx+p pour les droites non parallèles à l axe des ordonnées. m est le coefficient directeur, p est l ordonnée à l origine. x = c pour les droites parallèles à l axe des ordonnées. Exemple : Donner l équation réduite de la droite D d équation 4x 5y + = 0. Réponse : D : y = 4 5 x+ 5. Remarque (Méthode pour tracer une droite) Pour tracer une droite dont on connaît l équation réduite, il suffit de construire deux points en prenant deux valeurs de x. Si on a l équation réduite de la droite y = mx + p, on place le point de coordonnées (0;p) et on utilise le coefficient directeur m (on avance de, on monte de m). Exemple : Tracer dans un repère orthonormé les droites suivantes : D : y = x+4, D : y = 3 4 x 3, D 3 : x = 4, et D 4 : x+3y +8 = 0. x 0 5 D : y 4 x 0 4 D : y 3 0 D 3 est parallèle à l axe des abscisses. Pour tracer D 4 : x+3y +8 = 0, il faut transformer son équation : x+3y +6 = 0 3y = x 6 y = 3 x 6 3 y = 3 x D 4 : x 0 3 y 4

2 y 4 3 D D 3 D x D 4-5 Théorème Soient A et B deux points avec x A x B. Le coefficient directeur de la droite (AB) est m = y B y A x B x A Théorème (Méthode pour déterminer l équation réduite d une droite) Si l on connaît deux points A et B :. Si A et B ont la même abscisse (x A = x B ), la droite (AB) est parallèle à l axe des ordonnées (Oy) et a pour équation x = x A.. Sinon, la droite a une équation du type y = mx+p. Le coefficient directeur de la droite est m = y B y A x B x A. Pour déterminer l ordonnée à l origine p, on remplace x et y dans l équation par les coordonnées d un point de la droite (par exemple A). Exercice Dans un repère orthonormé, on donne A(5; ), B( ;), et C( ; 4). Déterminer les équations réduites des droites (AB) et (BC). Réponse : Propriété Deux droites non parallèles à l axe des ordonnées sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.. (AB) a pour équation y = 3 x+ 4 3, et (BC) a pour équation x = (parallèle à (Oy)).

3 Exercice Les droites d et d d équations x 3y + = 0 et x y = 5 sont-elles parallèles? Réponse : II Régionnement du plan II. Activité Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O; i; j).. Construire la droite D d équation y + x 6 = 0 (on pourra chercher l équation réduite de D).. Placer sur le graphique précédent les points A(4; 3), B(; ), C( ; ), E( ; 5), F(4;). 3. Comparer y A et x A Répéter le même travail avec les points B, C, E, F. Que constatez vous? 5. Que peut-on conjecturer? II. Régionnement Théorème Une droite d équation y = mx+p partage le plan en 3 régions : le demi plan ouvert au-dessus de qui est l ensemble des points M de coordonnées (x;y) tels que y > mx+p; la droite, d équation y = mx+p; le demi plan ouvert en-dessous de qui est l ensemble des points M de coordonnées (x;y) tels que y < mx+p. y y = mx+p 3 y > mx+p y < mx+p x -3. Droite d : le coefficient directeur est m = 3 Droite d : le coefficient directeur est m =. Elles ne sont pas parallèles car elles ont des coefficients directeurs différents. 3

4 Remarque S il y a une inégalité large (y mx+p ou y mx+p), on parle de demi-plan fermé et la droite fait alors partie du demi-plan (on accepte la frontière). II.3 Exercices de régionnement du plan sur Euler Exercice 3. Caractériser un demi-plan par une inégalité : ressource Déterminer une caractérisation analytique d un demi-plan : ressource Représenter un demi-plan défini par une caractérisation analytique : ressource 47 III Problèmes d optimisation Théorème (Méthode pour les problèmes d optimisation). On traduit les contraintes de problème par un système d inéquations.. On représente le domaine des contraintes. 3. On écrit l expression à optimiser ax + by (bénéfice, dépense ou autre). 4. On trace une droite d équation ax+by = k, pour une valeur de k quelconque. 5. On cherche la parallèle qui coupe le domaine des contraintes, et qui a : l ordonnée à l origine la plus grande possible si c est un problème de maximum (bénéfice maximal) l ordonnée à l origine la plus petite possible si c est un problème de minimum (dépense minimale) 6. Ondétermine lescoordonnées x ety dupointquirendax+by maximal (ouminimal). IV Exercice corrigé (problème de minimum) Énoncé Le mobilier d une bibliothèque doit être changé. La bibliothèque doit contenir au moins 4400 livres de petit format et 600 livres de grand format. Un premier fournisseur propose des meubles de type A pouvant contenir 0 livres de petit format et 00 livres de grand format, pour le prix de 400 euros. Un second fournisseur propose des meubles de type B pouvant contenir 0 livres de petit format et 00 livres de grand format, pour le prix de 600 euros. Le responsable de la bibliothèque a pour consigne de ne pas passer de commande supérieure à 9600 euros chez un fournisseur. On note x le nombre de meubles de type A et y le nombre de meubles de type B commandés.. Traduire les contraintes que doit respecter le bibliothécaire sous forme d un système d inéquations.. Montrer que le système obtenu à la première question équivaut à 0 y 6 x+y 40 x+y 6 4

5 3. On se place dans un repère orthonormé (unité graphique 5 mm, c est-à-dire cm=). Représenter graphiquement l ensemble des points M(x; y) dont les coordonnées vérifient le système précédent. On hachurera la zone qui ne convient pas. 4. Si l on commande 0 meubles du type A, combien de meubles du type B peut-on acheter? (Donner toutes les possibilités) 5. Exprimer la dépense d occasionnée par l achat de x meubles de type A et y meubles de type B en fonction de x et y. 6. Quelle est la dépense si l on commande 0 meubles du type A et 4 du type B? 7. Tracer sur le graphique précédent la droite correspondant à une dépense de 5600 euros. 8. Déterminer graphiquement le nombre de meubles à commander chez chaque fournisseur pour que la dépense soit minimale, en précisant la méthode utilisée. 9. Quelle est alors la dépense en euros? Correction. Traduire les contraintes que doit respecter le bibliothécaire sous forme d un système d inéquations. Il faut pouvoir contenir au moins 4400 livres petit format, ce qui se traduit par 0x+0y Il faut pouvoir contenir au moins 600 livres grand format, ce qui se traduit par 00x+00y 600. Il est clair que x et y sont des nombres entiers positifs. De plus, on ne peut pas commander plus de 9600 euros chez chaque fournisseur = 4. Donc = 6 Donc 0 y Les contraintes se traduisent par le système 0 y 6 0x+0y x+00y 600. Montrer que le système obtenu à la première question équivaut à 0 y 6 x+y 40 x+y 6 L inéquation 0x+0y 4400 équivaut à x+y 40. L inéquation 00x+00y 600 équivaut à x+y 6. On retrouve donc le système cherché : 0 y 6 x+y 40 x+y 6 5

6 3. On se place dans un repère orthonormé (unité graphique 5 mm, c est-à-dire cm=). Représenter graphiquement l ensemble des points M(x; y) dont les coordonnées vérifient le système précédent. On hachurera la zone qui ne convient pas. Les droites d équation x = 0 et x = 4 sont parallèles à l axe des ordonnées. Les droites d équation y = 0 et y = 6 sont parallèles à l axe des abscisses. Soit D la droite d équation x+y = 40. Son équation réduite est y = x+0. D x 0 4 y 0 8 Soit D la droite d équation x+y = 6. Son équation réduite est y = x+6. D x 0 4 y 6 Le point 0 n est pas dans le demi-plan d inéquation x+y 40 car ses coordonnées ne vérifient pas l inéquation. Le demi-plan d inéquation x+y 40 est le demi-plan de frontière D qui ne contient pas le point O. De même, les coordonnées de O(0;0) ne vérifient pas l inéquation x+y 6. Donc le demi-plan x+y 6 est le demi-plan de frontière D ne contenant pas O. Le domaine des contraintes est la région non hachurée, frontières comprises. 6-4 y x Si l on commande 0 meubles du type A, combien de meubles du type B peut-on acheter? (Donner toutes les possibilités) Graphiquement, si l on commande 0 meubles du type A, il est possible de commander 0,,, 3, 4, 5 ou 6 meubles du type B. 5. Exprimer la dépense d occasionnée par l achat de x meubles de type A et y meubles de type B en fonction de x et y. L expression de la dépense est d = 400x+600y. 6. Quelle est la dépense si l on commande 0 meubles du type A et 4 du type B? On remplace x par 0 et y par 4. D D 6

7 = = La dépense serait alors de 6400 euros. 7. Tracer sur le graphique précédent la droite correspondant à une dépense de 5600 euros. Il s agit de tracer la droite d équation 400x+600y = 5600, qu on note. 400x+600y = x+6y = 56 6y = 4x+56 y = 4 56 x+ 6 6 y = 3 x+6 Donc : y = 3 x+6. x 0 4 y Déterminer graphiquement le nombre de meubles à commander chez chaque fournisseur pour que la dépense soit minimale, en précisant la méthode utilisée. Pour trouver la dépense minimale, on cherche la droite parallèle à qui a la plus petite ordonnée à l origine et qui coupe le domaine des contraintes. Graphiquement, cette droite coupe le domaine des contraintes au point de coordonnées (, 4). Cela signifie que la dépense est minimale lorsque l on commande meubles du type A et 4 du type B. 9. Quelle est alors la dépense en euros? = = 300. Si l on commande meubles du type A et 4 du type B, la dépense est de 300 euros. La dépense minimale est de 300 euros. Exercice 4 Un commerçant dispose d un stock de 90 tee-shirts unis (U), et 70 tee-shirts imprimés qu il vend par lots : le lot A contient 4 tee-shirts unis et 8 imprimés. Il coûte e. le lot B contient 3 tee-shirts unis et 5 tee-shirts imprimés, et coûte 9e. Combien de lots de chaque type doit-il vendre pour obtenir un chiffre d affaire maximal? 7