CIFA 2004 Synthèse mixte H 2 /H par retour d état statique

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1 4 Snhèse mxe H /H par reor d éa saqe SLH SLH, ENS RZELER Laboraore d nalse e commandes des ssèmes, LS-EN amps nversare, P 37 Le belvédère ns - nse Laboraore d nalse e rchecre des Ssèmes, LS-NRS 7 vene d colonel Roche, 377 olose edex 4 - rance Résmé Le problème de snhèse mxe H /H es rès dffcle à résodre analqemen e rese jsq à manenan n domane rès largemen over. Nos abordons dans ce paper le cas de la snhèse mxe par reor d éa saqe por le cas des ssèmes L cerans e les ssèmes L ncerans avec srcres d ncerdes polopqes e nos proposons ne condon sffsane lsan des foncons de Lapnov dsnces por chaqe crère rédsan ans le conservasme nrod par l approche qadraqe lsaon de foncons de Lapnov nqe. ee condon abo à n algorhme éraf de pe descene coordonnée lsan ne nalsaon orgnal de pe reor d éa avec ne condon H mons conragnane permean ne mellere borne H d problème prncpal. Mos clés problème mxe H /H, reor d éa saqe, ncerdes polopqes, héore de Lapnov.. NROUON L objecf lors de la concepon d n ssème de commande es de garanr la sablé e n ceran degré de performance. La snhèse mxe H /H es n problème rès néressan psq l perme de garanr ne bonne performance nomnale caracérsée par la norme H sos ne conrane de performance robse exprmée par la norme H. Mas malgré les avancées consdérables dans le domane de la commande robse e ben qe les problèmes de snhèse H e H prs séparémen soen complèemen résols, le problème mxe H /H es ojors over e sels qelqes réslas analqes dans des cas parclers son dsponbles. ans [8] Roea e al. monre qe sos ceranes hpohèses le problème mxe par reor d éa a ne solon analqe nqe e d ordre égal à l ordre d ssème reor d éa dnamqe mas ce résla rese rès parcler e sa généralsaon n es pas encore possble. l a éé donc nécessare de développer des approches sos-opmales ransforman le problème nale en n problème de mnmsaon d ne borne spérere d coû H [],[7],[8]. ans [],[] on monre qe le correcer opmal es nqe e pe êre de dmenson nfne, ce résla mporan, jsfe d ne par le chox de la srcre d correcer a pror reor d éa - reor de sore e d are par l ordre d compensaer. Nos proposons dans ce arcle ne approche érave por la résolon d problème mxe par reor d éa saqe. ee approche développée nalemen por le cas d reor de sore saqe repose sr l nrodcon de varables de relaxaon spplémenares permean d lser des foncons de Lapnov dépendan des paramères e dsnces por chaqe crère de performance, rédsan ans le pessmsme nrod par les approches classqes mposan l lsaon d ne foncon de Lapnov nqe. Nos commençons o d abord par rappeler qelqes réslas générax relafs a problème mxe H /H,. Ense nos présenerons le résla prncpal de ce raval ans qe l algorhme correspondan. nalemen nos esons l effcacé de nore algorhme sr dex exemples ddacqes. Noaon : Nos lsons dans ce arcle les noaons svanes : - sm=. - [] =. - =. RESULS GENERU. Modélsaon générale La modélsaon lsée o a long de ce paper e dans la majoré des pblcaons, es celle nrode por la premère fos par ole en 983 [3] ps généralsée par Rdgel [7] q a consdéré dex ensembles de sgnax d enrée e de sore dsncs por défnr ndépendammen les dex pes de performances, H e H : P w w gre. Modélsaon générale d problème H /H

2 La marce de ransfer Ps es sellemen paronnée svan les sgnax d enrée e de sore. P P P P s = P P P P P P La réalsaon mnmale assocée à la marce de ransfer Ps es défne par : P s =. Le problème H /H En défnssan les marces de ransfer obenes comme les ransformaons fraconnares lnéares de sr la paron adéqae de P : = P P P P 3 Z w = P P P P Z w e l ensemble des correcers de reor d éa saqe sablsan de manère nerne la bocle par, le problème sandard H /H es le svan : Problème : problème H /H Ean donnée n nvea de performance H ssble, déermner n correcer ssble solon de : nf sos w 4 w où. e. désgnen respecvemen les normes H e H.. Hpohèses, es sablsable. jw es de rang plen por o w R. jw 3 es de rang plen por o w R. L hpohèse garan l exsence d n conrôler sablsan P de manère nerne. Les hpohèses e 3 assren qe les problèmes H e H prs séparémen on des solons ssbles e non snglères.. Exsence des solons ans cee secon nos allons lser les noaons svanes : - = arg[ nf = ] - w α = w w = - = arg[ nf ] Le problème es éroemen lé ax problèmes H e H,. ans ce sens n résla mporan sr l exsence de la solon d problème a éé donné par Wells e Rdgel dans [] q perme de fare la lason enre le problème e les problèmes H e H prs séparémen. héorème : [] En lsan les noaons précédenes - por, l n exse pas de correcers résolvan le problème mxe. - por, alors la conrane H es de redondane. - = mx - α = α = - - por, le problème mxe pr es n problème d opmsaon en dmenson nfne. La régon défne par es donc la pls néressane e nécesse par conséqen ne dscsson pls approfonde. E. Problème en bocle fermée S nos consdérons le ssème décr par la représenaon d éa, le ssème en bocle fermée avec n reor d éa saqe s écr : P = s : : = 5 Por ce ssème nos allons énoncer ne condon nécessare e sffsane por l exsence d n gan de reor d éa por le problème mxe H /H. Lemme [9] Les condons svanes son éqvalenes : - l exse n gan de reor d éa saqe solon d problème. - l exse dex marces smérqes défnes posves, e n gan de reor d éa saqe solon d problème d opmsaon : mn race,,, sos sm l es possble de réécrre les condons précédenes sos forme LM en lsan le changemen de varable sel [9] en mposan ne conrane spplémenare sr les marces de Lapnov devan êre prses denqes por l expresson des 6

3 crères e des dfférenes conranes. e changemen de varable corammen conn dans la lérare sos le nom d Lapnov shapng paradgm [9] perme ceres de résodre le problème mas génère n conservasme des condons proposées. e façon à aller a delà de ce conservasme nos proposons dans la secon svane ne méhode mplqan l lsaon de foncons de Lapnov ndépendanes.. MEHOE ERVE POUR L SYNHESE ME PR REOUR E. as ceran ans cee secon nos allons présener ne paramérsaon présenée par reler e al. dans [] por le cas de reor de sore saqe. ans ce q s on va présener cee paramérsaon por le cas d reor d éa saqe. Posons les noaons svanes : = [ ] 7 sm N L = [] [][ ] [][ ] héorème [] : Les condons svanes son éqvalenes : - l exse n gan de reor d éa saqe solon d problème de snhèse mxe. - l exse des marces smérqes défnes posves,, des marces Z,,,, solons d problème d opmsaon svan : mn,, Z,,, sos race N sm [ ] Z 9 L sm [ ] Z alors n gan de reor d éa saqe sos opmal por le problème mxe e ne borne sr la norme H opmale son donnés par : 8 = Z e β = race. as nceran avec srcre d ncerdes polopqes ans cee secon nos allons consdérer le problème de snhèse robse par reor d éa saqe por des ssèmes L ncerans avec srcre d ncerdes polopqes convexes donnée par la représenaon d éa svane : δ δ δ δ δ δ δ N δ = M δ δ = M = =,..., N N δ = δ,..., δ, δ = δ = δ = ; δ N 3 = Le problème consdéré c es de rover n conrôler par reor d éa saqe mnmsan le coû H dans le pre des cas mn max,, mn, w =,. s s w δ = p c w δ 4 sos ne conrane de mnmsaon d coû H dans le pre des cas : = max s,, δ 5 w w, p. c δ l es mporan de remarqer là ass q on pe se ramener à ne écrre LM en lsan l approche qadraqe. Mas se resrendre à ne chercher q ne foncon de Lapnov nqe por o l ensemble d ncerdes nrod nécessaremen n mporan degré de conservasme. On pe donc s aendre à ce qe les bornes sr le coû H obene dans ce cadre so relavemen pessmse. L approche proposée dans cee secon consse à lser des foncons de Lapnov dépendan des paramères e dfférenes por chaqe crère de performance. N = δ = δ ; δ = δ 6 Por ce fare nos avons beson de relaxer la paramérsaon 9 de façon à povor séparer les marces de Lapnov e les marces nceranes d ssème d ne par e les marces nceranes enre elles d are par. ela nos perme d abor à la condon sffsane svane : héorème 3 S l exse N marces smérqes défnes posves, N marces smérqes défnes posves, ne marce défne posve e doe marces G, G, E, E, e, Z,,,, 3, e solons, =,,N, de : sos onrane H mnβ race β G sm G N = [ ]

4 [ ] [ ] Z sm E E sm e onrane H [ ] [ ] 3 Z sm sm 7 alors n gan de reor d éa saqe sos-opmal por le problème es donné par : = - - Z 8 émonsraon En mlplan à droe l négalé 7 par e à gache par son ransposé on ara : ] [ ' ' 3 - sm En fasan la somme sr les N sommes d polope on ara : - ] [ ' ' 3 sm δ mlplan manenan à droe e à gache cee négalé par e par son ransposé on ara : ' ' ' δ δ sm q n es are qe la condon d coû H.. lgorhme de descene coordonnée Por résodre les problèmes d opmsaon des héorèmes e 3 nos proposons ne procédre érave de relaxaon crosée por conorner les problèmes de blnéaré apparassan dans les paramérsaons 9 e 7. chaqe éraon l algorhme réso n problème LM par rappor à n ensemble de varables alors qe l are ensemble de varables rese fxé. lgorhme : - Eape d nalsaon k= : chosr n gan de reor d éa sablsan ; e = =, =. - Eape k premère pare : résodre le problème d opmsaon LM 9 o 7 par rappor,, Z, o par rappor à,, Z,, E, E, G, G,,, 3 respecvemen. β k, 3- Eape k dexème pare : résodre le problème d opmsaon LM 9 o 7 par rappor,, e,, o par rappor à,, e,,, E, E, G, G,,, 3 respecvemen. β k, 4- Eape fnale : s β k, - β k, ε alors on arrêe les éraons =- - Z. snon k k e reor à l éape.. nalsaon L nalsaon es ne éape crcale ass ben por la convergence qe por la borne H vers laqelle converge l algorhme. Nos avons chos d nalser nore algorhme avec n conrôler mxe H /H par reor d éa saqe en lsan l approche d Lapnov shapng paradgm avec ne conrane H n spérer à la conrane H d problème prncpal. Problème nal : problème H /H nal Ean donnée n nvea de performance H ssble n srcemen spérer à déermner n correcer ssble. solon de : nf w sos n w n > 9 en lsan l approche d Lapnov shapng paradgm.

5 ee nalsaon es néressane psq elle perme de conorner le pessmsme de l approche qadraqe. En effe, le chox d ne conrane H n d problème nal dfférene de la conrane H d problème prncpal perme de dssocer l approche proposée de l approche qadraqe e donc l exsence de la solon d problème prncpal ne dépend pls de l exsence d ne solon qadraqe. are par ce chox perme d abor à ne meller borne H psqe l algorhme, lorsq l converge, commence à érer à parr d ne borne H nférere comme l sera llsré sr les dex exemples nmérqes proposés c-dessos. V. EEMPLES NUMERQUES. Exemple onsdérons le ssème lnéare nvaran défn par le modèle svan [] : = ; = = ; = ; = = [ ]; = ; = ; = La solon d problème de snhèse opmal H es donnée par : α =. 484 e [.44.9] =. Le problème es de rover n compensaer par reor d éa saqe vérfan le problème. S nos chosssons à re d exemple ne spécfcaon sr le coû H =.. Les réslas son regropés dans le ablea svan. gre. borne H en foncon de n. Exemple l s ag d n exemple proposé dans [6]. Nos consdérons le modèle nceran polopqe défn par les qare sommes svans : M = M 3 = Où M = M = M 4 = Nos sohaons par n reor d éa saqe mnmser de façon robse la norme H d ransfer Z W enre w e en conragnan le coû H d ransfer. La spécfcaon Z W sr le coû H es donnée par = 5. Les réslas son regropés dans le ablea svan : pproche lgorhme qadraqe oû H On llsre ben sr ce exemple l effcacé de la procédre développée dans ce arcle par rappor à l approche qadraqe. ans nore cas, la borne garane H converge praqemen vers le problème opmal H.qand la conranes sr la norme H agmene. e résla es éroemen lé à la conrane H d problème nal d où l mporance de l nalsaon ass ben sr la convergence de l algorhme qe sr la borne garane d problème prncpal. Nos llsrons sr la fgre. l évolon de la borne H en foncon de la conrane H d problème nal. pproche lgorhme qadraqe oû H L exemple proposé monre claremen les améloraons sgnfcaves d coû garan H de l algorhme par rappor a cadre de raval proposé par l approche qadraqe por le cas nceran. ec es encore ne fos llsré sr la fgre.3. L mporance de l nalsaon dans l algorhme e la décrossance d coû H d problème cenral qand le problème nal es mons conragnan en coû H. gre 3. borne H en foncon de n

6 V. onclson On a proposé dans ce arcle ne méhode érave e sos-opmale d problème mxe H /H par reor d éa saqe. ee approche abo à n algorhme éraf offran plsers degrés de lberé apporés par des varables addonnelles e par ne nalsaon nellgene. e algorhme s es avéré rès sasfasan en erme de performance obene sr des exemples de la lérare e on pe monrer q l converge dans de nombrex cas vers la solon opmal. Un ceran nombre d élémens rese o de même à approfondr. Noammen la caracérsaon exace de l ensemble des correcers nax permean la convergence de ce algorhme es l axe prncpal de recherche fre. V. REERENES []. reler,. Peacelle, R. ra, «ne méhode érave por la snhèse mxe H /H par reor de sore saqe» dans onférence nernaonale rancophone d omaqe,, Nanes, rance, jlle. [].S. ernsen, W.M. Haddad, «LQG conrol wh an H performance bond : a rcca eqaon approach», EEE ransacons on omac conrol, Vol 34, No.3, pp , 988. [3] J.. ole, «nalss of feedback ssems wh srcred nceranes», EEE ransacons on omac conrol, Vol 6, No.6, pp , 98. [4].Peacelle e.reler. «New LM-ased ondons for Robs H Performance nalss». ans mercan onrol onference, hcago llnos, Jn. [6].Peacelle. «ormlaon générqe de problèmes en analse e commande robse par les foncons de Lapnov dépendan des paramères». hèse LS d NRS, jlle. [7].. Rdgel, L. Vavan, M. ahleh e G. Sen, «Solon o he general mxed H /H opmsaon problem». ans mercan onrol onference, 99, pp [8] M. Roea, P. hargonekar, «H opmal conrol wh an H consran: he sae feedback case». ans omaca, Vol 7, pp 34-39, 99. [9]. Scherer, P. Gahne e M.hlal. «Mlobjecve Op-eedback onrol va LM opmsaon». EEE rans. on oma. onrol, vol. 4, no. 7, Jlle 997. [] R.E.Skelon,.waak and.grgorads. «n nfed approach o lnear conrol desgn». alor and rancs seres n Ssems and onrol,997. [] S.R. Wells,.. Rdgel, «Usng ncreased order conrollers n mxed H /H opmsaon». ans mercan onrol onference, 99. []. Walker,.. Rdgel, «Unqeness of he general mxed H /H opmal conroller». ans proceedng of he mercan onrol onference, 995, pp

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