MÉCANIQUE DES FLUIDES TRAVAUX DIRIGÉS

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1 MÉCANIQUE DES FLUIDES TRAVAUX DIRIGÉS PREMIÈRE ANNÉE - SÉRIE 1 STATIQUE DES FLUIDES PHÉNOMÈNES CAPILLAIRES RELATION DE BERNOULLI groupe A : groupe B : groupe C : groupe D :

2 Séance 1 : Statique des fluides 1 Mesure de la densité d un liquide dans un tube en U On considère un tube en forme de U. Le tube est partiellement rempli d eau de masse volumique connue, ρ e = 1000 kg.m 3. D un côté du tube est ajoutée une auteur = 20 cm d uile non miscible à l eau de masse volumique ρ inconnue. Une dénivellation e = 4 cm est mesurée entre les surfaces libres d uile et d eau. La masse volumique de l air est ρ a = 1,2 kg.m Quelle est la variation de pression statique p à la traversée de cacune des interfaces fluides (eau/air, air/uile et uile/eau)? 2. Quelle est la variation de pression ydrostatique, dont vous rappellerez l expression, à la traversée de cacune des interfaces fluides? 3. Rappelez la définition de la pression motrice p m? Retrouvez la relation exprimant le saut de pression motrice à la traversée des diverses interfaces fluides du problème? 4. Quelle est la variation de pression motrice dans l eau, dans l air et dans l uile? 5. En utilisant l expression du saut de pression motrice pour caque interface fluide, déterminer la masse volumique de l uile. 2 Alimentation en eau et en gaz naturel d un immeuble e Le dernier étage d un immeuble est situé à 80 m de auteur 1. Le gaz est en surpression p équivalente à 150 mm d eau, par rapport à l air extérieur au niveau du sol. Calculez la surpression au dernier étage. La masse volumique de l air au sol est ρ a = 1,225 kg.m 3 et celle du gaz est ρ g = 0,735 kg.m L eau doit être à une surpression de 3 bar au dernier étage. Quelle doit être la surpression d eau au niveau du sol? Expliquez le rôle des réducteurs de pression dans les immeubles de grande auteur. 3. Représentez la pression statique d air, de gaz et d eau en fonction de l altitude. Quel est l impact de la pression ydrostatique pour cacun des trois fluides? 3 Un vérin de Pascal Un vérin rempli d eau, de diamètre D = 50 cm et de auteur H = 30 cm, est fermé par un piston orizontal de masse négligeable. Un tube fin de longueur L = 5 m, de diamètre d = 0,5 cm et de masse négligeable est inséré verticalement dans le piston. Le tube se déplace avec le piston. L extrémité inférieure du tube est en contact avec l eau contenue dans le vérin. L extrémité supérieure du tube est en contact avec l atmospère ambiante. Une carge de masse m est déposée délicatement sur le piston. L accélération de la pesanteur sera prise égale à g = 9,81 m.s Décrire qualitativement l évolution du système suite à l ajout de la masse m 1 sur le piston (déplacement du piston, répartition du volume d eau). 2. Une fois que le piston a atteint sa position d équilibre quelle est la résultante des forces de pression F qui s exerce sur le piston (masse du piston et masse du tube négligée devant m 1 )? Pour répondre à cette question commencez par indiquez sur un scéma l ensemble des forces qui s exercent sur le piston. 3. En déduire la pression relative p r sur la surface inférieure du piston (on rappelle que la pression relative est égale à la pression statique absolue p moins la pression atmospérique p a ). 4. Exprimez la auteur 1 d eau dans le tube? Justifiez que le déplacement vertical e 1 du piston suite à l ajout de m 1 a pour expression e 1 = 1 s/s. 5. Quelle est la masse maximale m m que le dispositif peut supporter? Quel est l impact de du diamètre d du tube sur la valeur de m 6. On note p 0 la pression statique et p m0 la pression motrice en un point de coordonnées (x 0, y 0, z 0 ) dans l eau. Exprimer la pression statique p et la pression motrice p m en un point de coordonnées (x, y, z)? A quelle condition peut-on considérer la pression statique p comme uniforme sur l ensemble du volume d eau? m 2

3 Séance 2 : Statique des fluides 4 Pression, gradient de pression, poussée d Arcimède La surface d un lac de montagne a pour altitude z s. L atmospère au voisinage de la surface du lac est à la pression p a. Le lac atteint une profondeur maximale m = 60 m. La masse volumique de l eau du lac est voisine en tout point de ρ e = 1000 kg.m Que signifie le mot altitude? Considérons un point immergé du lac que signifie la profondeur de ce point? Exprimer matématiquement la relation entre altitude et profondeur. 2. Quelle est l expression matématique de la pression absolue et de la pression relative en fonction de la profondeur? Quelle est la relation entre la pression relative et la pression ydrostatique? Donnez la valeur numérique de la pression relative à 10 cm, 1m, 10 m et 60 m de profondeur. Jusqu à quelle profondeur peut-on considérer la pression absolue comme constante (variation relative inférieure à 1%)? 3. Donnez l expression des composantes du vecteur gradient de pression. Ce vecteur dépend-il de la profondeur? Représenter dans un plan vertical quelques isobares (lignes de niveau de pression) et le vecteur gradient de pression. En réalité la masse volumique de l eau liquide ρ e dépend de la température T. Elle varie de quelque % entre 0 C et 30 C et présente un maximum ρ em 1000 kg.m 3 à la température T 4 C. 4. Représentez qualitativement la masse volumique en fonction de la température entre 0 C et 30 C. La température au fond du lac reste légèrement supérieur à 4 C toute l année. En première approximation on peut considérer que la température varie de manière monotone en fonction de la profondeur. En période estivale, la température de surface atteint 16 C. A la fin de l automne la température de surface cute brutalement en dessous de 4 C. 5. Représentez qualitativement la masse volumique ρ en fonction de la profondeur en période estivale. A l aide de cette courbe représentez grapiquement la pression relative en fonction de la profondeur. 6. Représentez qualitativement la masse volumique en fonction de l altitude en été et à la fin de l automne. Expliquez pourquoi on observe le «retournement du lac» à la fin de l automne. 5 Poussée d Arcimède Un récipient cylindrique de section D = 5 cm contient de l eau sur une auteur = 20 cm. Ce récipient est placé sur une balance. Une bille en acier de diamètre d = 2 cm est suspendue à une potence par une ficelle. On trempe entièrement la bille dans l eau. 1. Dans quel sens la balance est-elle déséquilibrée? 2. Quelle masse faudrait-il ajouter pour rétablir l équilibre? 3. Quelle était la pression relative exercée par l eau sur le fond du récipient au début, puis après immersion de la bille? 6 Soupape de sécurité Une marmite à pression du genre cocotte-minute est munie d une soupape de sécurité. Cette soupape est simplement constituée d une bille, de diamètre D = 2 cm et de masse négligeable, venant appuyer sur un trou du récipient de diamètre d = 1,5 cm par l intermédiaire d un ressort dont la raideur est k = 500 N.m 1 (F = k x). De quelle distance x doit-on comprimer le ressort pour que la bille se soulève lorsque la pression dans la marmite dépasse p l = Pa. 3

4 Séance 3 : Statique des fluides 7 Contrainte de rupture d un tube Un tube d acier de diamètre intérieur D i = 56 mm et de diamètre extérieur D e = 60 mm est rempli d un fluide à la pression p. Sacant que la contrainte normale interne de l acier ne doit pas dépasser σ l = 100 N.mm 2 (on applique ici un facteur de sécurité pour se placer bien en deçà de la limite d élasticité de l acier d environ σ e = 300 N.mm 2 ), trouvez la pression maximale admissible dans le tuyau. 8 Vase d expansion On considère une installation de cauffage permettant la circulation d une masse m = 300 kg d eau dans différents radiateurs. Les radiateurs sont alimentés par des tubes de diamètre intérieur D i = 16 mm et de diamètre extérieur D e = 18 mm en acier (contrainte max Σ s = 100 N.mm 2 ). On mesure une différence de auteur de H = 10 m entre le point bas et le point aut de l installation. On considère que sur les gammes de température et de pression considérées, la masse volumique est faiblement modifiée selon la loi suivante : ρ = ρ 0 (1 + χ (p p 0 ) α (T T 0 )) avec α = 4, K 1 le coefficient de dilatation isobare et χ = 5, Pa 1 le coefficient de compressibilité isoterme. Les valeurs de référence sont la température T 0 = 20 C, la pression atmospérique p 0 = 10 5 Pa et la masse volumique ρ 0 = 998 kg.m 3. L accélération de la pesanteur sera prise égale à g = 10 m.s 2. Dans cet exercice on s intéresse au système avant mise en circulation du fluide. Le fluide est donc toujours à l arrêt. 1. En première approximation quel est l ordre de grandeur de la différence de pression entre le point aut et le point bas de l installation en supposant la température uniforme entre ces deux points? Est-ce que cette différence de pression a un impact sur la masse volumique du fluide? Quelle serait la surpression à exercer pour avoir une variation de 1% de la masse volumique? 2. Le système est rempli d eau et purgé à la température ambiante de 20 C puis porté à la température de fonctionnement de 60 C. Quelle est la surpressions dans les tuyaux en les considérant indéformables? Comparer cette surpression par rapport à la variation de pression ydrostatique. Les tuyaux vont-ils résister? Afin d éviter la surpression importante observée dans le cas d un système isocore, qui pourrait engendrer la rupture de l installation, il est nécessaire de monter sur le circuit un vase d expansion. 3. Une première solution consiste à monter un vase d expansion constitué d un récipient ouvert à l atmospère. Faites un scéma. Quel doit être le volume minimum du vase d expansion? Quelle sera la pression absolue dans le circuit en fonction de la auteur et du point d installation du vase d expansion. Où placeriez-vous le vase d expansion, quel critère utilisez-vous? Quels peuvent être les inconvénients de ce type de vase d expansion? 4. Une autre solution consiste à monter un vase d expansion fermé constitué d une bonbonne partiellement remplie de gaz sous pression (diazote). Le reste de la bonbonne est rempli par l eau de cauffage qui est séparée du gaz par une membrane souple. L eau de l installation est alors libre de se dilater dans le vase d expansion en comprimant le gaz par déformation de la membrane souple. Faites un scéma. Quelle est la variation de volume du gaz induite par la dilation de l eau de cauffage? 5. Le gaz considéré comme un gaz parfait est pressurisé à p p = 1 bar au dessus de la pression atmospérique à la température ambiante. Quel est le rapport volume de gaz à la température de fonctionnement sur volume de gaz à la température ambiante tel que la pression du gaz soit de p f = 3 bar au dessus de la pression atmospérique à la température de fonctionnement? 6. En déduire le volume minimal du vase d expansion pour respecter les conditions de fonctionnement? A votre avis où vaut-il mieux placer ce type de vase d expansion sur le circuit? 9 Tableau de variation (1) On considère le circuit ci-contre. En l absence d écoulement, tracez qualitativement le tableau de variation de la pression statique et de la pression ydrostatique lorsqu on se déplace le long du circuit de A à D. La pression motrice varie-t-elle? A B g D C 4

5 10 Aquarium Séance 4 : Statique, capillarité, débit Un musée océanograpique possède un aquarium qui comporte une paroi de verre carrée de coté L = 3 m inclinée d un angle α = 30 par rapport à la verticale de sorte que les visiteurs soient surplombés par l aquarium. Le niveau d eau s élève à une auteur = 1 m au dessus de l arête supérieure de la paroi. La paroi de verre est en appui sur cadre métallique carré dans les montants, de longueur L, seront considérés de faible épaisseur. 1. Représentez la plaque de verre de profil et tracez qualitativement les forces infinitésimales de pression s exerçant du côté air et du côté eau en fonction de la profondeur. 2. Calculer l intensité de la composante verticale de la résultante des forces de pression s exerçant sur la paroi. 3. Calculer l intensité de la composante orizontale de la résultante des forces de pression s exerçant sur la paroi. Bien préciser les étapes de calcul. 4. Déterminer l intensité de la résultante des forces de pression. 5. Quelle est l unité et la valeur f de la force par unité de longueur que le cadre métallique doit supporter pour maintenir la paroi de verre en place? 11 Camion citerne Un camion citerne transportant un fluide de masse volumique ρ accélère de manière rectiligne et uniforme sur une route orizontale. On note a son accélération. 1. Représentez la surface libre du fluide contenu dans la citerne quelques lignes isobares et le vecteur gradient de pression p. 2. Donnez l expression de p dans un repère cartésien correctement orienté. 3. Quel est l expression de la pente de la surface libre? 12 Film liquide Deux plaques planes orizontales, de surface S = 10 2 m 2, sont séparées d une distance e = 0.5 mm. L espace entre les plaques est rempli d un film d eau. On suppose que l eau mouille parfaitement cacune des plaques. La tension de l interface eau/air est σ = 72 mn.m 1. On néglige les pénomènes apparaissant dans le coins. 1. Faites un scéma en exagérant l espace entre les plaques. Quelle est la forme des interfaces eau/air? Quel est le nom donné à ces régions interfaciales? 2. Quelle est la pression relative p r dans le film liquide? Quelle force F faudrait-il exercer pour séparer les plaques? 13 Calcul de débit 1. Un tuyau de diamètre D est parcouru par un écoulement de vitesse uniforme v. Donnez l expression du débit volumique Q circulant dans le tuyau. 2. Un lavabo initialement rempli se vide par la bonde placée en position ouverte. L eau s écappe par une surface annulaire d épaisseur e et de rayon r à la vitesse v purement radiale d intensité uniforme. Faites un scéma et donnez l expression du débit volumique Q de vidange. 3. Un dispositif d analyse d eau est plongé dans une rivière. Le prélèvement de l écantillon à analyser se fait par une ouverture circulaire de rayon r. L axe de l ouverture forme un angle α par rapport à la vitesse v supposée uniforme de l eau de la rivière. Donnez l expression du débit volumique Q d eau qui rentre par l ouverture. 5

6 14 Formule de Torricelli Séance 5 : Equation de Bernoulli Le fond d un récipient est percé d un orifice de vidange. Le récipient est rempli d une auteur maintenue constante d un fluide inviscide. 1. Calculer la vitesse de sortie du jet de fluide. 2. On lâce une bille d acier au niveau de la surface libre en deors du récipient et on note les valeurs de sa vitesse. Quelle sera sa vitesse quand elle passera à l altitude du fond du réservoir? 3. Représenter en fonction de z, la vitesse de la bille et celle d une particule fluide dans le récipient. Que peut-on en déduire sur l ordre de grandeur des accélérations au voisinage de l orifice? 15 Vidange : différentes configurations On considère la vidange de quatre réservoirs contenant une auteur d eau. Dans le premier cas la vidange se fait au travers d un tube orizontal placé au fond du réservoir à la profondeur. Dans les trois derniers cas l orifice, au niveau du réservoir, est à la profondeur /4. Dans le dernier cas l orifice de section s débouce directement à l air libre. Les tubes sont tous de section s. Dans caque cas, quelle est la vitesse au point A? Dans caque cas, quel est le débit de l écoulement? Q bille A A A A 16 Mesure de vitesse sondes de Pitot Une conduite d évacuation est reliée au fond d un réservoir. La vitesse de l eau dans la conduite est mesurée à l aide d un ensemble constitué d une sonde de Pitot statique et d une sonde de Pitot d arrêt. A B 1. Exprimez le niveau d eau dans cacun des tubes placés au-dessus des sondes de Pitot. C 2. La différence de niveau d eau entre la sonde statique et la sonde d arrêt est = 20 cm. Quelle la vitesse de l écoulement? Quelle est la différence de niveau entre la surface libre du réservoir et l extrémité aval de la conduite? 6

7 17 Pénomène de Venturi, trompe à eau Un écoulement d eau passe dans un dispositif nommé «Venturi» qui consiste en un convergent suivi d un divergent. Le diamètre du tube est D t, le diamètre du col du Venturi est D c. On brance sur le tube et sur le col des prises de pression qu on relie aux deux brances d un manomètre. Ce dernier est rempli d air dans sa partie supérieure. Trouvez la dénivellation mesurée sur le manomètre en fonction du débit d eau volumique Q dans la conduite. z t z c Q z 0 Le système de Venturi est monté à l extrémité d un robinet et l écoulement sort du système à l air libre. Un récipient est connecté via un tuyau au col du Venturi. Dessinez le système de «trompe à eau» ainsi réalisé. Montrez que ce système permet de faire un vide partiel dans le récipient. Quelle est l expression de la dépression en fonction de Q, D t, D c? Séance 6 : Equation de Bernoulli 18 Siponage d un réservoir L évacuation d un réservoir d eau est réalisée à l aide d un sipon constitué d un tuyau, qui a été amorcé (rempli d eau). 1. Trouver la relation qui fournit le débit volumique Q v à partir du diamètre D du tuyau, et de la dénivellation 1 entre la surface libre du réservoir et la sortie inférieure du tuyau. 2. Quelle est la pression statique en caque point du tube? 3. Peut-on utiliser ce système comme trompe à vide (voir exercice 17) en connectant un réservoir au point aut du sipon? Le système cesse de fonctionner lorsque 2 dépasse une auteur critique 2c. 4. Qu observe-t-on lorsque 2 dépasse 2c? 5. Exprimez 2c en fonction de 1 et de la pression de vapeur saturante p v. En jouant sur la section de la conduite, peut-t-on modifier 2c? 19 Ecoulement en sortie de robinet 2 1 Q On considère le filet d eau qui sort d un robinet de diamètre D = 10 mm et de vitesse v0 = 1 cm.s 1. L accélération de la pesanteur est g = 10m.s 2. 1) Quelle est la pression statique juste à la sortie du robinet? 2) Comment évolue la pression statique quand on descend dans le filet d eau? 3) Comment évolue la vitesse du jet en fonction de la distance à la sortie du robinet? 4) Donnez l expression de la section du jet et du profil du jet en fonction de la distance depuis la sortie du robinet 5) La section du jet peut-elle réellement tendre vers 0, que va-t-il se passer? 7

8 20 Impact sur une cible On considère à nouveau un écoulement radial résultant cette fois d un jet cylindrique dévié par une cible de petite dimension en forme de disque. Le niveau moyen de l écoulement radial est considéré comme constant. On s intéresse à la région liquide au-delà d un rayon r 0 où les lignes de courant sont quasi-radiales. On considère que l épaisseur e du film liquide est faible et que la pression ydrostatique est constante 1. Représentez sur un scéma les lignes de courant. Pourquoi distingue-t-on la région centrale d injection de la région située au-delà de r 0? 2. Comment évolue la vitesse radiale? 3. Quel est l expression de l épaisseur e en fonction du rayon? 4. L épaisseur e peut-elle diminuer indéfiniment, que va-t-il se passer au delà d un certain rayon? p a Q 21 Tableau de variation On reprend le circuit de l exercice 9. Cette fois on a un écoulement d un fluide parfait dans le circuit. Tracez le tableau de variation de la pression dynamique, de la pression ydrostatique, de la pression statique et de la pression motrice, lorsque l on se déplace de A à D en passant par l élargissement E. La pression totale varie-t-elle? A E B g D C 8

9 Quelques exercices de plus Mesure de la densité d un liquide On dispose d un tube en U. On verse du mercure au fond du tube, puis d un côté, on verse de l eau sur une auteur e = 96 mm. Ensuite, on verse de l autre côté le liquide à mesurer jusqu à ce que les deux surfaces libres soient sur une même orizontale. On mesure la auteur du liquide inconnu et on trouve = 103 mm. Sacant que ρ eau = 1000 kg.m 3 et ρ mercure = kg.m 3, trouver la densité du liquide inconnu (rapport entre sa masse volumique et celle de l eau). eau inconnu e mercure 23 Aréomètre Un aréomètre ou pèse-liquide ou densimètre est un appareil pour déterminer la densité des liquides. Il est constitué d une tige cylindrique de section s (graduée) qui surmonte un corps renflé qui sert de lest. La masse totale de l appareil est m. Quand on trempe l appareil dans l eau, il se stabilise en position verticale sur la graduation 0. Lorsqu on le trempe dans un liquide de masse volumique ρ, l appareil se stabilise à une distance par rapport au 0 précédent. Déterminer la relation entre la masse volumique du liquide et la auteur. 24 Ludion confiné Dans un récipient fermé, se trouve de l eau et un ludion constitué par une capsule ouverte délestée par une bulle d air. Le ludion est en équilibre indifférent. 1. Par l intermédiaire d un aimant, on monte le ludion de la auteur. Calculer la variation de pression dans la bulle d air. Expliquez le pseudo paradoxe qui en découle. 2. En réalité le récipient fermé possède une paroi souple. Expliquer comment on peut faire monter ou descendre le ludion en écrasant plus ou moins le réservoir. 25 Autre démonstration de la loi de Jurin En partant de l équilibre mécanique d une colonne de liquide dans un capillaire, retrouvez l expression de la loi de Jurin. Montrez que le volume retenu par le ménisque joue un rôle secondaire. 26 Remontée capillaire dans un tube On considère un tube fin, vertical, de diamètre d = 2 mm dont une des extrémités est plongée dans l eau. On suppose que le verre est très propre et que le liquide mouille parfaitement les parois. Calculer la remontée capillaire H dans le tube. A.N. σ = N.m 1 Même question si l eau ne mouille pas parfaitement le verre (angle de contact 30 ). Quelle serait la auteur pour un tube dans du mercure, non mouillant parfait (σ = N.m 1 ). 27 Force sur une vanne spérique Une vanne a la forme d une émispère de rayon R = 2 m. Elle est posée au fond (cimenté) d un bassin de profondeur d eau H = 5 m. Dans la cloce ainsi formée, il y a de l air à la pression atmospérique. Quelle est la résultante verticale des forces exercées par l eau sur la demi-spére? 9

10 28 Couronne fluide On observe une fontaine constituée d un jet liquide émis radialement à partir d une buse centrale de rayon r 0. En sortie de buse, le jet à une petite épaisseur e par rapport à r 0. On obtient donc une couronne fluide. 1. Profil de la couronne fluide : appliquez le principe fondamental de la dynamique sur une goutte de fluide supposé indéformable 2. Représentez un zoom d une coupe de la couronne fluide. 3. De combien de relation a-t-on besoin pour déterminer la forme de la couronne? 4. En utilisant la conservation de la masse, écrire la relation entre la vitesse et l épaisseur du jet (mesurée dans la direction normale à la vitesse) en fonction du rayon. On supposera l épaisseur du jet négligeable devant le rayon. 5. Quelle est la pression dans la couronne fluide? 6. En utilisant le téorème de Bernoulli et en négligeant l impact de la courbure déterminez l évolution de l épaisseur du film en fonction de la auteur 29 Réservoir conique On considère la vidange d un réservoir conique. La section de sortie s est de 1 cm2 et la section d entrée S est 1 m2. La auteur du réservoir est 1 m. Etablir l expression donnant le temps de vidange du réservoir en fonction de S, s, Calculer le temps nécessaire pour abaisser le niveau de 0,6 m. D après Ouziaux et Perrier, Mécanique des fluides appliqués 30 Vase de Tantale Le vase de Tantale est un exemple classique de système qui présente des oscillations de relaxation. C est un dispositif constitué d une arrivée continue d eau et d un vase qui se vide périodiquement à l aide d un sipon, si le débit d alimentation est plus faible que le débit de vidange. L objectif de cet exercice est de déterminer l évolution de la auteur d eau dans le vase en fonction du temps pendant le remplissage et la vidange ainsi que le débit de vidange Q v. 1. Donnez l expression de en fonction du temps pendant la période de remplissage lorsque le sipon est désamorcer. La section du bassin est S = 0,1 m 2. Le débit d alimentation est Q a = 0,1 L.s-1 2. Une fois le sipon amorcé, donner l expression du débit Q v de vidange par le sipon en fonction de la auteur dans le réservoir comprise entre 0 = 30 cm et a = 40 cm. La section du tube de sortie est s = 10 cm 2. Le système a-t-il bien un fonctionnement oscillatoire? 3. Déterminer l équation permettant de calculer l évolution de la auteur en fonction du temps. Simplifiez cette équation après avoir comparer le débit d évacuation Q v par le sipon par rapport au débit d alimentation Q a du réservoir (quelle que soit la auteur comprise entre 0 et a ). Donnez l expression de en fonction du temps. 4. Représenter l évolution oscillatoire de en fonction du temps. 5. Quelle est la durée de la vidange? Commentez le terme «relaxation». 6. Pour les courageux reprendre la question 3 sans négliger Q a. 31 Mesure de la pression dans une conduite par un trou pariétal Q a a 0 On considère une conduite verticale de diamètre D = 5 cm. Sur cette conduite on a percé deux trous en deux points A et B dont la dénivellation est H. Les deux trous sont raccordés aux brances d un manomètre en U inversé rempli d air. La dénivellation sur le manomètre est. Montrer que la dénivellation mesure la différence de pression motrice entre A et B. En déduire que si la conduite entre A et B est de section constante, la dénivellation permet de mesurer la perte de carge entre E et F. v Q v 10

11 32 Verre tournant Un verre, à moitié rempli d eau, est mis en rotation à la vitesse angulaire ω = 1 rd.s 1. Le niveau atteint au repos était = 10 cm, le diamètre du verre est D = 15 cm. Dans quel repère a-t on le droit d appliquer l équation de la statique? Quelle est en caque point à la distance r de l axe, la pesanteur apparente? Trouver l équation de la surface libre après mise en rotation du verre. 33 Loi de Laplace, deux approces Loi de Laplace dans le cas d une bulle dans un liquide, avec une interface de tension de surface σ. Rappeler l approce vectorielle fondée sur un bilan de force sur une moitié de bulle. Utiliser une seconde approce, scalaire cette fois, fondée sur l équilibre entre travail élémentaire des forces de pression et travail élémentaire des forces de tension de surface sur l ensemble de la bulle. 11

12 34 Diffuseur en sortie de turbine ydraulique On s intéresse à la géométrie d un diffuseur montée à l aval d une turbine ydraulique. On considère la vitesse uniforme dans une section de la canalisation. Donnée l expression de la différence de pression entre l entrée et la sortie de la conduite en fonction du débit et des sections d entrée S e et de sortie S s (pertes de carge négligées). 1. Comment évolue la pression dans le cas d une section constante (S e = S s )? 2. Comment évolue la pression et la vitesse moyenne dans le cas d un divergent (S e < S s )? 3. Que se passe-t-il si le débit est nul? 4. Justifiez le terme d aspirateur employé pour désigner le divergent monté généralement en sortie d une turbine ydraulique? En quoi ce dispositif est-t-il intéressant? 5. Quelle devrait être la section de sortie pour que le dispositif soit optimal? Est-ce concevable? S e, p e Q S s,p s 35 Sustentation d une balle de ping-pong par un jet d air On dispose d un sèce ceveux qui peut fournir un jet d air bien régulier. Tournant le jet à 45 vers le aut, on arrive à maintenir en sustentation une balle de ping-pong. Quelles sont les trois forces qui agissent sur la balle? Expliquer comment on peut obtenir un équilibre. 36 Effet Coandă On réalise deux expériences, la première fondée sur un jet d eau la seconde sur un jet d air : On fait une expérience avec un jet issu d un robinet et une cuillère à café. On tient la cuillère entre deux doigts, pendue par le mance, et on amène au contact du jet le côté convexe de la cuillère. Quand on s éloigne, on constate que la cuillère a tendance à rester coller au jet. Une feuille dont on maintient l une des extrémités entre ses deux mains a tendance à être aspirée vers le aut lorsqu on souffle à sa surface supérieure depuis le bord maintenu en direction de l extrémité libre. jet d eau cuillère Expliquez ces deux pénomènes. Qu ont-t-ils en commun? Qu ont-t-ils de distinct? A l aide de la seconde expérience expliquez le pénomène de flux plaqué (ou effet de plafond) utilisé en climatisation. jet d air bord maintenu feuille de papier 37 Mesure d une faible surpression On souaite mesurer une très faible surpression par rapport à la pression atmospérique. On utilise pour cela un manomètre à grande sensibilité qui est composé par un tube en U dont caque brance est surmontée d un réservoir contenant cacun un liquide différent. La section S des réservoirs est très grande devant la section s des tubes. Les deux liquides, non miscibles, ont des masses volumiques très voisines : eau, ρ e = 1000 kg.m 3 aniline, ρ a = 1024 kg.m 3 Dans un premier temps, les pressions sont identiques de part et d autre. On repère le niveau z 0 de l interface entre l eau et l aniline. Dans un deuxième temps, on applique une surpression p à la brance de droite (cf. figure). L interface se déplace de la valeur. Trouver la relation entre la auteur et la surpression p. p eau z 0 p + p aniline 12

13 38 Amplificateur de mouvement et de force On considère deux cylindres, comportant cacun un piston mobile, connectés par un tube. Le premier cylindre a une section S 1 le second une section S 2. Le volume compris entre les deux cylindre est rempli d uile de masse volumique ρ 1. Représentez le système. 2. La pression dans l uile en un point de coordonnées (x 0, y 0, z 0 ) vaut p. Quelle est la pression en un point de coordonnées (x, y, z)? A quelle condition peut-on considérer la pression comme uniforme sur l ensemble du volume d uile? 3. En considérant la pression comme uniforme, quelle est la force F 2 à appliquer sur le piston 2 lorsque l on applique une force F 1 sur le piston 1. En supposant S 1 S 2, donnez des exemples d utilisation, suivant qu on appuie sur S 1 ou sur S 2. Vérin, amplificateur de mouvement? 39 Les émispères de Magdebourg Le Bourgmestre de la ville de Magdebourg à la Renaissance avait réfléci sur la statique des fluides. Il soutint en public que quatre cevaux ne pourraient séparer deux émispères de diamètre D = 1 m environ dans lequel on aurait fait le vide et qui seraient simplement jointifs sans serrage supplémentaire. Certains notables de la ville relevèrent le pari et l expérience fut exécutée. Le maire gagna-t-il son pari? 40 Force sur un barrage verticale On considère un barrage de largeur L = 10 m et de auteur = 5 m. Sur une face du barrage, l eau affleure jusqu en aut, sur l autre face, le barrage est au contact de l air. 1. Représenter le système 2. Calculer la résultante des forces de pression sur le barrage. 3. Calculer le point d application de la force. 4. Si le barrage est incliné vers l eau d un angle de 30, que devient la force orizontale sur ce barrage? Cas d un barrage de forme quelconque? 41 Poids, force et pression On considère deux récipients posés sur une table présentant cacun deux faces verticales trapézoïdales, dont les bords forment un angle α par rapport à l orizontal. La base de ces deux récipients, identique, a pour largeur l et pour longueur L (dans la direction perpendiculaire aux faces trapézoïdales). La auteur d eau dans les deux récipients est identique. α α 1. Quelle est la pression au fond de cacun des récipients? 2. Quelle est la force exercée par cacun des récipients sur la table? l l 42 Jet entre deux plaques planes On considère un jet d air soufflé verticalement avec un débit Q au travers du centre percé d un premier disque placée à une distance e au dessus d un second disque. L espace entre les deux disque est le siège d un écoulement orizontal purement radial. Le diamètre a du jet est petit par rapport au diamètre extérieur D des plaques et on ne s intéresse à l écoulement que dans la région de diamètre supérieur à a. On considère que l épaisseur e est petite par rapport à D. Le système est dans une atmospère à la pression atmospérique p a. p a Q 13

14 1. A votre avis, les plaques ont-elles tendance à se repousser ou à s attirer? Que doit-on calculer pour répondre quantitativement à cette question? 2. On utilisera pour cela le téorème de Bernoulli. N oubliez pas de préciser les ypotèses que vous faites concernant la forme des lignes de courant, en particulier au niveau de l injection dans la région centrale. 3. Donnez l expression quantitative de la force d interaction entre les deux plaques, on précisera pour cela les ypotèses nécessaires à faire sur la forme des lignes de courant. 4. Que se passe-t-il si e est petit par rapport à a? Si e devient grand par rapport à a? Si e augmente encore de sorte que e et D deviennent commensurables, peut-on continuer d appliquer le raisonnement précédent, pourquoi? 5. Conclusion. A la limite, que faudrait-il faire pour que le pénomène soit le plus spectaculaire? Quelle ypotèse est ici fondamentale pour comprendre ce résultat? Dans le cas d un fluide réel quel pénomène limitant n a-t-on pas pris en compte? A quel paramètre pysique ce pénomène est-il associé? 43 Ligne de courant dans un coude Un réservoir dont la surface libre à la pression atmospérique p a est maintenue à auteur constante se vide par une canalisation de section rectangulaire (de grande dimension dans la direction perpendiculaire au dessin) présentant un coude à 90. On néglige les pertes de carges. 1. Quelle est la pression totale p t dans la canalisation. Est-ce que la pression totale est la même sur toute les lignes de courant? 2. Comment évolue la pression motrice p m de l intérieur vers l extérieur du coude? Est ce que la pression motrice est la même sur toute les lignes de courant? Est ce que la vitesse v est la même sur toute les lignes de courant? Comment évolue v de l intérieur vers l extérieur du coude? 3. Faites un zoom du coude avec deux portions de canalisation rectiligne. Représentez qualitativement les lignes de courant en amont et en aval du coude, puis complétez le scéma en représentant qualitativement les lignes de courant au milieu du coude, on fera attention en particulier à l entrée et à la sortie du coude. 44 Dissymétrie amont-aval dans la vidange d un réservoir On considère un réservoir d air maintenu à pression constante p c par un compresseur. Ce réservoir est relié à l atmospère extérieure à pression p a par un trou profilé. 1. Calculer la pression dans le jet extérieur. 2. Montrer que le voisinage amont du trou est le siège d un fort gradient de pression. Expliquer le rôle de ce gradient de pression. 3. Dessiner l allure des lignes de courant en amont et en aval du trou. Quel pénomène est responsable de la dissymétrie des lignes de courant entre l amont et l aval du trou? p c p a 14

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