Partie I. Corrigé ESSEC MATHS II 9 mai /12. par équiprobabilité : i N N

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1 Parte I Corrgé ESSEC MATHS II 9 ma 0 / ) Partos du côté drot de l égalté demadée : = + T T = + T T = T + T T = T "domos". Pour tout comprs etre et, posto. représete le temps que met la carte C à passer de la posto + à la ) J trodus ue otato supplémetare : I est la varable aléatore égale à la place à laquelle a leu le ème serto. Avec cette otato : ( > ) = ( T > ) = ( I < ) ( I < ) ( I < ) : au cours de premères sertos, la carte C a pas été déplacée, o a doc jamas chos la posto. Par dépedace : P( > ) = P( I < ) P( I < ) P( I < ) ( ) ( ) ( ) par équprobablté :, m P I < = P I < = P I < = P( > ) = ( P( I < ) ) = = O a as P P( ) P = = > > = = * P( = ) = La varable aléatore sut ue lo géométrque de paramètre 3) a) L évéemet. > est réalsé s ue fos arrvée à la place +, la carte C reste à cette place plus de sertos ; la carte C reste à cette place s les sertos suvates se fot à ue place féreure ou égale à ; c'est-à-dre que les chox sot féreurs ou égaux à plus de fos : e gardat la otato trodute das la questo précédete : s ( ) ( a+ ) ( a+ ) ( a+ ) = > = I I < I < a T ω P( > ) = ( P( Ia ) ) =

2 Corrgé ESSEC MATHS II 9 ma 0 / P( = ) = P( > ) P( > ) = = * P( = ) = La varable aléatore sut ue lo géométrque de paramètre. = = = Et e utlsat les résultats du cours : E ; V 4) a) O sat, vor questo ) que T = + as : ( T = ) = (( = ) ( = ) ) ( ( = ) ( = ) ) ( ( = ) ( = ) ) = ( T = ) = (( = ) ( = ) ) = par compatblté: par dépedace: = ( = ) = (( = ) ( = )) PT P = = ( = ) = (( = )) (( = )) PT P P = b) Utlsos la formule de somme des sutes géométrques : q q q = q = = = = v

3 Corrgé ESSEC MATHS II 9 ma 0 3/ c) Reveos à la formule de la questo (a) = ( = ) = (( = )) (( = )) PT P P = = PT ( = ) = = = = PT ( = ) = = = = PT ( ) = = = 5) U pett schéma peut ader : Istat T Istat T Deux possbltés Stuato Stuato Stuato 3 Posto Carte C Carte C Posto Carte C y x Posto x x y O sat qu l y a eu serto e posto ou à l stat T : Pour passer de la stuato à la stuato, l faut avor chos l serto à la place ; pour passer de la stuato à la stuato 3, l faut avor chos l serto à la place ; ces deux sertos sot équprobables, les deux stuatos et 3 ot ue probablté de 0,5.

4 Corrgé ESSEC MATHS II 9 ma 0 4/ 6) O remarque que seules les stats T sot téressats, o fat de ouveau u tableau : Istat T Istat T Istat T 3 Stuato a Stuato b Stuato Stuato Stuato Stuato Stuato Stuato Carte C Carte C Carte C Carte C Carte C Carte C Posto Carte C Carte C a 3 a a a 3 a a Posto Carte C a a a a a 3 a a a 3 Posto a a a a a 3 a a a 3 a a) Il y a 6 stuatos possbles pour le trplet (a, a, a 3 ) b) ) La stuato a peut se trasformer e stuato, ou 3 de maère équprobable suvat la place de l serto T 3 :, ou ; comme o a motré que la stuato a a ue chace sur deux de se produre, o e dédut que les 6 stuatos suvates sot équprobables. 7) O mage qu o rétère le rasoemet des deux questos précédetes. A l stat T, la carte C est e haut du paquet et toutes les dstrbutos des cartes suvates sot équprobables ; à l stat T o pred la carte du dessus à savor la carte C et o la place au hasard das le paquet. Il est légtme de peser que toutes les dstrbutos sot alors équprobables. Parte II 8) O repred la défto de la varable aléatore T : T = T + = + Par léarté de l espérace : ET E ET = + = + = + = = H

5 Corrgé ESSEC MATHS II 9 ma 0 5/ Les varables aléatores ( ) sot mutuellemet dépedates, as V( T) = V + = V = V( ) = V( T) = (o rajoute u terme ul) V( T) = H = 9) a) La focto t est décrossate sur R +* as : t > 0 t t + + t Itégros cette double égalté etre et +, les bores sot das l'ordre crossat : + dt + t + ( + ) dt ( + ) + t b) O peut écrre l égalté c-dessus sous la forme : > 0 l( + ) l (*) u+ u = H+ H l + + l = l + + l ) + u u 0 ( vor égalté précédete) + + ) Das l égalté (*), remplaços par pus sommos les égaltés (*) pour varat de à : = = + ( l( ) l () ) l + = = = = l( ) l() ( ) H + H + et mateat sommos les égaltés (*) pour varat de à ( l( + ) l () ) + = = = = = = () H l l = l H l + ** E regroupat les deux égaltés : ( ) H ) Des égaltés précédetes o dédut que : > 0 l + l +

6 Corrgé ESSEC MATHS II 9 ma 0 6/ u = H l l + l 0 (par crossace de la foctol) c) As la sute u est décrossate et morée par 0 ; elle coverge vers u réel γ et γ0. > 0 H l + ** > 0 u lm u ; O sat de plus que : ous avos be motré que γ[0,]. + 0) a) ous savos que : H l l ( + ) H + l( + ) E( T) ( doc l 0) l l l ET = + ET + l l + > > l + l ET + l l l l + l+ l E( T) l l l + l + l ET + + l l l quad ted vers l'f Et par le théorème des ecadremets O sat que u γ ( u γ) lm = lm = 0 + Posos ε = u γ; lm ε = 0 + l l = l + γ + = l + γ + E T lm E T l + = l + + H = u + = + γ + ε E T ε E T o V T H b) = ; la sére de terme gééral = > 0 est ue sére de référece : elle est covergete et le

7 Corrgé ESSEC MATHS II 9 ma 0 7/ terme gééral > 0 strctemet postf ; as α et est postf ; o e dédut que la sute est crossate et coverge vers u réel α de plus l( + ) H l + ( + ) H as l l + = > 0 α sot V T V T α (par crossaces comparées) H par le théorème des ecadremets lm = V T lm α = avec α strctemet postf. V ( T) V T lm = α lm = α α V T ) a) Rappelos que ET = H = u + l T( ω) ET = T( ω) u l T( ω) l = ( T( ω) ET ) ( u) Supposos que par égalté tragulare ( ω) l ( ω) ( ω) ( ω) T T ET + u T l T ET + car 0 u ω ( T l c ) alors T( ω) l c alors ( ω) + alors ( ω) ( ) ( T ET ( c ) ) alors ω T ET c T ET c O peut e coclure l'cluso suvate : ( l ) ( ) T c T E T c

8 Corrgé ESSEC MATHS II 9 ma 0 8/ O sat que pour tout évéemet A et B o a : A B P( A) P( B) ( l ) ( ) Ic : ( l ) ( c ) Beaymé Tchebshev V( T) ( c ) P T c P T ET c P T c Ou ecore, ue probablté état postve 0 l α ecadremets lm P T l c = 0 c + P T c α ( c ) et par le théorème des ) Reveos à l égalté de la questo précédete et remplaços la costate c par ε l ( ).le résultat de la questo précédete est valable pour c strctemet supéreur à, ous preos strctemet supéreur à ( ε ) ε > e 0 P T l l ecadremets : ε lm P T l l = 0 + α ( εl ) ; et à ouveau par le théorème des e ε

9 Corrgé ESSEC MATHS II 9 ma 0 9/ Parte III 3) Volà le programme tel qu o peut le compléter PROGRAM ESSEC0 ; TYPE Paquet=ARRAY[..3] OF ITEGER ; VAR Jeu : Paquet ; S, : ITEGER ; PROCEDURE IIT ( VAR Jeu : Paquet) ; VAR : ITEGER ; BEGI FOR := TO 3 DO Jeu[] := ; ED ; PROCEDURE Iserto(VAR Jeu : Paquet) ; VAR,, cartedessus : ITEGER ; BEGI := RADOM(3)+ ; cartedessus := Jeu[] ; IF > THE FOR := TO DO Jeu[] :=jeu[+] ; Jeu[] :=cartedessus ; ED ; FUCTIO T(Jeu :Paquet) : ITEGER ; VAR : ITEGER ; BEGI It(Jeu) ; :=0 ; WHILE Jeu[]<>3 DO BEGI Iserto(Jeu) ; := + ; ED ; T := ; ED ; BEGI S :=0 ; FOR := TO 00 DO S := S + T(Jeu) ; WRITEL( moyee des valeurs prses par T, S/00) ; ED. c) La focto T smule des sertos et revoe le ombre (aléatore) d sertos écessares à ameer la carte du dessous e premère place.

10 Corrgé ESSEC MATHS II 9 ma 0 0/ Parte III 4) a) S o sat que la codto T, e vertu de la remarque de la questo 7, à l stat, le paquet est dstrbué de sorte que toutes les cofguratos sot équprobables as : P ( E ) π ( A) T = P( E ( T ) ) E reveat à la défto des probabltés codtoelles : PT ( E) = = π ( A) PT ( ) P( E ( T ) ) = π ( A) PT ( ) b): ( E ( T > ) ) ( T > ) P( E ( T > ) ) PT ( > ) c) µ ( A) = µ ( { σ} ) = P( E) σ A = ( ( > )) + ( ( )) ( > ) + π ( ) ( > ) + π ( A) PT ( > ) + ( A) P E P E T P E T P E PT A PT PT A µ π formule des probabltés totales µ A = µ A 5) a) µ A π A = π A µ A = µ A π A π( A) = π( A) b) L égalté de la questo ) est valable pour toute parte A doc auss pour A : ( A) PT ( > ) + ( A) ( A) ( A) PT ( > ) µ π µ π ( A) ( A) PT ( A) ( A) PT PT µ ( A) π( A) PT ( A) ( A) PT π µ > µ π > > > µ π > 6) La majorato précédete est valable pour toutes les partes A, et le ombre de partes A état f, o peut écrre que : 0 d( µ, π) PT ( > ) Parte III 7) La varable aléatore S est la varable aléatore costate égale à, car o est sûr d avor u ouveau tmbre au premer achat. 8) Pour, la varable aléatore S est le temps d attete d u ouveau tmbre quad o a tmbres dfférets. S est la varable aléatore égale au temps d attete du premer succès quad le succès est d obter u tmbre o

11 Corrgé ESSEC MATHS II 9 ma 0 / ecore das la collecto (l y e a ( ) La varable aléatore S sut ue lo géométrque de paramètre ) la probablté de succès est égale à : ( ) 9) La varable aléatore S S = S = S + S3+ + S est as ue somme de varables aléatores dépedates suvat des los géométrques de paramètres :. 3,,,,, c est exactemet ce qu se passe pour la varable aléatore T as S sut la même lo que T et S sut la même lo que T. 0) a) 3 S > m = B B B B B b) L évéemet m ( j ) P B c) = m m m m m m B j est réalsé s au cours des m premers trages, o a pas acheté le tmbre j : m S > m = B B B B B m m m m m 3 m P( S > m) P( Bj ) = ) a) O peut étuder rapdemet la focto l( ) argumet de cocavté. b) m PT ( > m) = P( S > m) m m = = e e PT ( > m) e O fat remarquer que ], [ + ) a) 0 ( µ, π) d PT > e m ml m m x + x x sur l tervalle ],+ [ ou utlser u S l + c, l + c ( l + c ) ( µ π) 0 d, PT > e e ( µ π) ( l + c ) e = e e e = e = e c 0 d, e ( l + c ) ( l + c) l c c c.

12 Corrgé ESSEC MATHS II 9 ma 0 / e = 0, c= l 0, c= l = l5 0, c b) Applcato umérque : =3 ; et 3l( 3) + ( l53 ) = 3l( 60). ;