Couplage fluide-structure pour les structures tubulaires et les coques coaxiales

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1 Vrson Ttr : Couplag flud-structur pour ls structurs tubu[...] Dat : 7/0/05 Pag : /39 sponsabl : Hassan BEO Clé : évson : 896 Couplag flud-structur pour ls structurs tubulars t ls coqus coaxals ésumé : C documnt décrt ls dfférnts modèls d couplag flud-structur dsponbls à partr d l opératur CALC_FLUI_STU. Cs modèls prmttnt d smulr ls forcs d couplag flud-élastqu dans ls confguratons suvants : fascaux d tubs sous écoulmnt transvrs (ssntllmnt pour ls tubs d GV), passag tg d command / plaqu d logmnt (xclusvmnt pour ls grapps d command), coqus cylndrqus coaxals sous écoulmnt annular (spac cuv / nvlopp d cœur,...), fascaux d tubs sous écoulmnt axal (assmblags combustbls,...). Pour chaqu confguraton, l modèl d forcs flud-élastqus st d'abord présnté. La résoluton du problèm modal st nsut décrt. Ls méthods d résoluton mployés ntègrnt ls spécfctés ds dfférnts modèls d forcs flud-élastqus. Fasccul r4.07 : Couplag flud structur Copyrght 05 EDF &D - Documnt dffusé sous lcnc GNU FDL (

2 Vrson Ttr : Couplag flud-structur pour ls structurs tubu[...] Dat : 7/0/05 Pag : /39 sponsabl : Hassan BEO Clé : évson : 896 Présntaton général. appls Ls forcs fluds dynamqus s xrçant sur un structur n mouvmnt puvnt êtr classés n dux catégors : ls forcs ndépndants du mouvmnt d la structur, du mons dans la gamm ds ptts déplacmnts ; c sont prncpalmnt ds forcs aléators générés par la turbulnc ou la natur dphasqu d l écoulmnt, ls forcs fluds dépndants du mouvmnt d la structur, dts «forcs fludélastqus», rsponsabls du couplag flud-structur. Dans c documnt, on s ntérss aux quatr modèls d forcs flud-élastqus ntégrés dans l opératur CALC_FLUI_STU. Ls aspcts nformatqus lés à l ntégraton d cs modèls ont fat l objt d nots d spécfcatons [bb. ], [bb. ].. Modélsaton La dépndanc ds forcs flud-élastqus vs-à-vs du mouvmnt d la structur s tradut, pour ls fabls ampltuds, par un matrc d transfrt ntr la forc flud-élastqu t l vctur déplacmnt. La projcton d l équaton du mouvmnt du systèm couplé flud-structur sur la bas modal d la structur sul s écrt, dans l doman d Laplac : {[ M ] s + [ C ] s + [ K ] [ B ( U, s) ]}( q) ( Q ) éq..- où [ ], [ C ] [ K ] j t M t désgnnt rspctvmnt ls matrcs dagonals d mass, d amortssmnt t d radur structurlls n ar ; ( q ) désgn l vctur ds déplacmnts généralsés n ar ; Q st l vctur ds xctatons aléators généralsés (forcs ndépndants) ; ( t ) t Bj ( U, s) [ ] rprésnt la matrc d transfrt ds forcs flud-élastqus, projté sur la bas modal d la structur sul. Ctt matrc dépnd n partculr d U, vtss caractérstqu d l écoulmnt, ans qu d la fréqunc du mouvmnt par l'ntrmédar d la varabl d Laplac s. [ ] A pror, ( U s) nuls, ntrodusnt un couplag ntr mods. D'autr part, ls trms d B ( U s) B j, st un matrc qulconqu dont ls trms xtra-dagonaux, s'ls n sont pas manèr non lnéar avc la fréqunc complx s. [ ] j, évolunt d A chaqu modèl d forc flud-élastqu st assocé un matrc d transfrt spécfqu. Dans tous ls cas, la formulaton du problèm modal sous écoulmnt put êtr caractérsé par la rlaton [éq..-]. Pour ls dfférnts typs d confguratons pouvant êtr smulés à l ad d l opératur CALC_FLUI_STU, ls rprésntatons ds matrcs d transfrt ds forcs flud-élastqus sont xplctés dans la sut d c documnt. Fasccul r4.07 : Couplag flud structur Copyrght 05 EDF &D - Documnt dffusé sous lcnc GNU FDL (

3 Vrson Ttr : Couplag flud-structur pour ls structurs tubu[...] Dat : 7/0/05 Pag : 3/39 sponsabl : Hassan BEO Clé : évson : 896 Exctaton flud-élastqu agssant sur ls fascaux d tubs sous écoulmnt transvrs (ssntllmnt pour ls tubs d GV) Dux méthods d smulaton d l xctaton flud-élastqu sont dsponbls dans Cod_Astr. La prmèr rmont à la fn ds annés 70. Ell st très répandu dans la communauté scntfqu, au sn d laqull ll st connu sous la dénomnaton d «méthod d Connors». Ls résultats fourns par ctt méthod dépndnt n grand part d la valur qu l on attrbu à l un d ss prncpaux paramètrs d ntré : la «constant d Connors». Ds valurs consrvatvs ont donc du êtr détrmnés pour ctt constant sur la bas d nombrux ssas réalsés dans l mond. La méthod d Connors st bn adapté au dmnsonnmnt ds fascaux tubulars contr l rsqu vbrator au stad d la concpton. Ell st décrt c-après dans l paragraph.5. La scond ntègr davantag d physqu qu la méthod d Connors. Cpndant, la modélsaton complèt ds phénomèns étant trop complx par rapport aux connassancs actulls, ctt duxèm méthod dmur basé sur un nsmbl d corrélatons xpérmntals, dts corrélatons flud-élastqus. L ntégraton d c duxèm modèl d xctaton flud-élastqu dans l Cod_Astr a été abordé dans la not d spécfcatons [bb.]. La not d prncp du logcl FLUSTU [bb. 3] consttu la documntaton théorqu d référnc. Ell st rapplé dans ss grands lgns dans ls paragraphs. à.4 c-après.. Dscrpton d la confguraton étudé On consdèr un fascau d tubs xcté par un écoulmnt xtrn transvrs. Ls écoulmnts xtrns transvrss ont tndanc à déstablsr l systèm mécanqu lorsqu la vtss d l'écoulmnt augmnt. Un cas ndustrl st clu ds vbratons ds tubs d GV. Sur c composant, ls écoulmnts transvrss sont obsrvés n ntré du fascau d tubs (écoulmnt monophasqu lqud), t dans la part cntré ds tubs (écoulmnt dphasqu) [Fgur.-a]. Sort vapur Séparaturs Zon xcté par écoulmnt dphasqu Eau almntar tour d au Zon xcté par écoulmnt monophasqu Fascau d tubs Plaqu ntrtos Plaqu tubular Entré flud prmar Sort flud prmar Fgur.-a : Schéma d génératur d vapur Fasccul r4.07 : Couplag flud structur Copyrght 05 EDF &D - Documnt dffusé sous lcnc GNU FDL (

4 Vrson Ttr : Couplag flud-structur pour ls structurs tubu[...] Dat : 7/0/05 Pag : 4/39 sponsabl : Hassan BEO Clé : évson : 896 Du pont d vu du couplag flud-élastqu, l étud du comportmnt dynamqu ds dfférnts tubs d'un fascau soums à un écoulmnt transvrs st ramné à l'étud d'un tub équvalnt ; la défnton du tub équvalnt dépnd d l'nvronnmnt du tub à tratr. Lorsqu l tub consdéré possèd ds caractérstqus vbrators snsblmnt dfférnts d clls d ss vosns, c tub put êtr assmlé à un sul tub, vbrant au mlu d'un fascau d tubs rgds. Dans l cas contrar, l problèm st plus complx car on dot consdérr un systèm mécanqu avc couplag ntr tubs du fascau t comportant donc un grand nombr d dgrés d lbrté. Pour tratr c gnr d confguraton, un modèl a été dévloppé au Départmnt TTA, "l modèl global" [bb. 7] ; c modèl prmt la défnton d'un systèm équvalnt à un dgré d lbrté, qu rprésnt l systèm couplé complt. L'approch rtnu pour condur ls calculs put êtr résumé d la façon suvant [Fgur.-b] : Compt tnu d la natur flar ds structurs à étudr, l calcul du couplag flud-élastqu dans l fascau d tubs st réalsé n décrvant l tub par son abscss curvlgn. Dans l calcul, l'nvronnmnt flud du tub st caractérsé, à la fos par ls proprétés physqus du flud crculant à l'ntérur du tub (flud prmar), t par clls du flud crculant à l'xtérur du tub (flud scondar xctatur). Cs proprétés physqus, tll qu la mass volumqu, puvnt varr l long du tub, n foncton d l'abscss curvlgn. La vtss d'écoulmnt prs n compt pour l calcul d couplag flud-élastqu st la composant, normal au tub dans l plan du tub, d la vtss du flud scondar. Ctt vtss put varr l long du tub. Afn d pouvor prndr n compt ls dvrs typs possbls d'xctaton, plusurs zons d'xctaton puvnt êtr défns l long d la structur. Dans l cas du génératur d vapur, par xmpl, on a ntérêt à dstngur, d'un part ls zons où l'xctaton st xrcé par un flud à l'état monophasqu, qu s stunt n pd d tub, t d'autr part, la zon où l'xctaton st dphasqu à fort taux d vd, localsé dans la part cntré du tub. L calcul d couplag st réalsé à partr ds caractérstqus mécanqus d la structur n "flud au rpos". Ls forcs flud-élastqus d couplag sont stmés à partr d corrélatons admnsonnlls qu sont obtnus sur ds xpérncs analytqus n smltud. Sur chaqu zon d'xctaton, on put ans applqur ls corrélatons adéquats ; ls zons d'xctaton dovnt êtr dsjonts. Supports Zon Zon Zon 3 0 ax d la fbr nutr du tub X (abscss curvlgn) Fgur.-b : rprésntaton d la confguraton à étudr Pour ctt confguraton d couplag flud-élastqu, ls notatons suvants sront utlsés : L Longuur total du tub Fasccul r4.07 : Couplag flud structur Copyrght 05 EDF &D - Documnt dffusé sous lcnc GNU FDL (

5 Vrson Ttr : Couplag flud-structur pour ls structurs tubu[...] Dat : 7/0/05 Pag : 5/39 sponsabl : Hassan BEO Clé : évson : 896 L d d φ ( x) ( x) Longuur d la zon Damètr xtérur du tub Damètr ntérur du tub Déformé modal du mod ρ Mass volumqu du flud xtrn à l'abscss curvlgn x ρ Mass volumqu du flud ntrn à l'abscss curvlgn x ρ t ( x) Mass volumqu du tub (structur sul) ρ q Mass volumqu équvalnt à l'abscss curvlgn x U ( x) ( x) Vtss du flud xtrn spécfé par l utlsatur dans l opératur DEFI_FLUI_STU V Vtss du flud xtrn à l'abscss curvlgn x V Vtss du flud xtrn à l'abscss curvlgn x (zon d'xctaton ) défn par l produt d U t d un profl d vtss spécfé par l utlsatur dans l opératur DEFI_FLUI_STU U Vtss moynn du flud xtrn calculé à partr d V ( x) pour la U zon d xctaton θ Moynn ds vtsss U sur touts ls zons d xctaton. Étaps du calcul La prmèr étap du calcul consst à calculr ls caractérstqus d la structur n "flud au rpos". On procèd n consdérant un mass équvalnt du tub ; ctt mass équvalnt rgroup, d'un part la mass du tub sul, t d'autr part ls masss ajoutés par ls fluds ntrn t xtrn. Un mass volumqu équvalnt st ans défn l long du tub n foncton d l abscss curvlgn x par l'xprsson : ( ) [.( (x).d t d d ) ρ + ρ ρ(x).d q] ρ q(x) + d d éq..- avc d q éq..-.cm.d π Dans l'équaton [éq..-], l trm (x). ρ d q rprésnt la mass ajouté par l flud xtrn. C trm dépnd, par l'ntrmédar du paramètr C m, d l'arrangmnt du fascau d tubs (pas carré ou trangular), t du confnmnt du fascau (pas rédut). Pour ls calculs d couplag flud-élastqu ds fascaux d tubs soums à un écoulmnt transvrs, on utls courammnt, pour stmr l coffcnt C m, ds xprssons analytqus détrmnés à partr d résultats xpérmntaux. L nsmbl ds donnés nécssars à l'stmaton du coffcnt C m st rcull par l opératur DEFI_FLUI_STU. Connassant la mass volumqu équvalnt du tub, ls matrcs élémntars d mass t d radur n au au rpos sont nsut calculés au moyn du profl d mass volumqu Fasccul r4.07 : Couplag flud structur Copyrght 05 EDF &D - Documnt dffusé sous lcnc GNU FDL (

6 Vrson Ttr : Couplag flud-structur pour ls structurs tubu[...] Dat : 7/0/05 Pag : 6/39 sponsabl : Hassan BEO Clé : évson : 896 équvalnt, par l opératur CALC_MAT_ELEM ; on utls ls optons MASS_FLUI_STU t IGI_FLUI_STU. L opératur CALC_MODES prmt, après assmblag ds matrcs élémntars, d calculr drctmnt ls mods n au au rpos d la structur étudé. Ls forcs flud-élastqus d couplag sont calculés par l opératur CALC_FLUI_STU à partr ds corrélatons admnsonnlls établs sur ds maqutts analytqus n smltud. Cs forcs d couplag, [ B j ( U, s) ], dépndants du mouvmnt d la structur sont nsut prss n compt dans l'équaton général du mouvmnt [éq..-] pour calculr ls caractérstqus du systèm couplé écoulmnt-structur pour un vtss donné d'écoulmnt..3 Exprsson d la matrc d transfrt ds forcs flud-élastqus Dans l cas ds fascaux d tubs xctés par un écoulmnt transvrs, ls forcs flud-élastqus d couplag sont ds forcs réparts l long d la structur. Ells sont caractérsés par ds coffcnts admnsonnls lnéqus d'amortssmnt t d radur ajoutés, dénommés rspctvmnt Cd t C. L xprsson ds coffcnts d la matrc d transfrt ds forcs fludélastqus projté sur la bas modal d la structur n "flud au rpos" st alors la suvant : L j ( U,s) B + éq..3- L ρ ρ ( x) V ( x) d Cd ( x, s ) φ ( x) ( x) V ( x) C ( x,s ) φ ( x) r r dx s δ dx La dépndanc ds coffcnts Cd t C vs-à-vs du mouvmnt d la structur t d la vtss d l écoulmnt du flud st tradut par lur évoluton n foncton d la fréqunc rédut complx s r, défn par : sd s r U éq..3- L xprsson [éq..3-] montr qu l'on rtnt un matrc d transfrt dagonal. Cla mplqu : ls dfférnts mods proprs d la structur sont assz élognés ls uns ds autrs pour qu l'on puss supposr qu'l n'y a pas couplag ntr mods. ls déformés modals d la structur n "flud au rpos" n sont pas prturbés par la ms n écoulmnt du flud. Cs dux hypothèss ont pu êtr vérfés xpérmntalmnt sur ls fascaux d tubs soums à un écoulmnt transvrs. En pratqu, compt tnu ds dfférnts zons d'xctaton prss n compt l long d la structur, ls coffcnts dagonaux d la matrc d'fforts flud-élastqus projté sur bas modal s'écrvnt : B ( U,s) éq..3-3 L + ρ L sd U UU ( ) ( ) x V x d Cd φ ( x) ρ sd U UU ( ) ( ) x V x C φ ( x) j dx s dx Fasccul r4.07 : Couplag flud structur Copyrght 05 EDF &D - Documnt dffusé sous lcnc GNU FDL (

7 Vrson Ttr : Couplag flud-structur pour ls structurs tubu[...] Dat : 7/0/05 Pag : 7/39 sponsabl : Hassan BEO Clé : évson : 896 où Cd t C désgnnt rspctvmnt ls coffcnts d couplag admnsonnls, UU d'amortssmnt t d radur, rtnus pour la zon d'xctaton. La vtss flud U ntrvnant dans la fréqunc rédut complx n argumnt ds coffcnts d couplag V x, corrspond à la vtss moynn sur la zon d xctaton, après rnormalsaton du profl ( ) d sort qu sa moynn sur touts ls zons d xctaton vall U. Il st par allurs très mportant d notr qu chaqu déformé modal prs n compt dans ls équatons.3-,.3-3, tc. l'st n réalté unqumnt par l'ntrmédar d sa composant n translaton suvant la drcton d la portanc. Cc st du au fat qu ls coffcnts d'amortssmnt t d radur ajoutés qu apparassnt dans cs équatons ont été détrmnés (xpérmntalmnt) unqumnt pour la drcton d la portanc. Ctt rmarqu s'applqu à touts ls méthods d calcul d'nstabltés flud-élastqus d tubs d GV présntés dans c documnt, y comprs à la méthod d Connors présnté aux paragraphs.5. t.5.. Il n résult notammnt qu ls matrcs généralsés d mass, d'amortssmnt t d radur qu apparassnt dans ls équatons assocés aux calculs d'nstablté fludélastqu ds tubs d GV (comm par xmpl l'équaton.4-) n sont pas ds matrcs généralsés au sns habtul du trm, c'st à dr s'appuyant sur ls tros composants n translaton t sur ls tros composants n rotaton, mas ds matrcs généralsés qu l'on put qualfr d'«orntés suvant un drcton prvlégé» dans la msur où lls sont touts calculés sur la bas d la sul composant n translaton ds déformés modals slon la drcton d la portanc. Ctt rmarqu s'applqu unqumnt à l'applcaton «vbratons ds tubs d GV» t, à l'ntérur d ctt applcaton, au calcul ds nstabltés flud-élastqus. Fasccul r4.07 : Couplag flud structur Copyrght 05 EDF &D - Documnt dffusé sous lcnc GNU FDL (

8 Vrson Ttr : Couplag flud-structur pour ls structurs tubu[...] Dat : 7/0/05 Pag : 8/39 sponsabl : Hassan BEO Clé : évson : ésoluton du problèm modal sous écoulmnt Dans la confguraton "Fascau d tubs soums à un écoulmnt transvrs", l problèm st résolu sur la bas modal caractérsant la structur n "flud au rpos". D'un manèr général, ls caractérstqus du systèm couplé écoulmnt-structur sont obtnus n rchrchant ls solutons d l'équaton : {[ M ] s + [ C ] s + [ K ] [ B ( U, s) ]}( q) ( 0) où éq..4- [ ], [ C ] [ K ] d amortssmnt t d radur caractérstqus d la structur n "flud au rpos" ; ( q ) désgn l vctur ds déplacmnts généralsés n "flud au rpos". M t désgnnt rspctvmnt ls matrcs dagonals d mass, Comm la matrc d'fforts flud-élastqus rtnu st dagonal, t qu ls déformés modals sont supposés n pas êtr modfés sous écoulmnt, l problèm d couplag flud-élastqu s ramèn à la résoluton d N problèms scalars, N désgnant l nombr d mods prs n compt dans la bas modal. Pour chaqu mod t chaqu vtss d'écoulmnt U, l problèm à résoudr s'écrt : M s + C L ρ sd U UU ( ) ( ) x V x d Cd φ ( x) dx s + K éq..4- L ρ sd U UU ( ) ( ) x V x C φ ( x) dx 0 On notra qu l'équaton [éq..4-] st non-lnéar n s ; ss solutons sont obtnus à l'ad d'un méthod tératv d typ Broydn. Pour chaqu mod, on obtnt un soluton s d l'équaton [éq..4-]. On dédut nsut d s, pour c mod, la pulsaton utlsant la rlaton : ω t l'amortssmnt ξ du systèm couplé écoulmnt-structur, n s.4-3 ξ ω + Jω ξ avc J éq. L systèm couplé dvnt dynamqumnt nstabl lorsqu l'un ds coffcnts d amortssmnt ξ dvnt négatf ou s'annul. Fasccul r4.07 : Couplag flud structur Copyrght 05 EDF &D - Documnt dffusé sous lcnc GNU FDL (

9 Vrson Ttr : Couplag flud-structur pour ls structurs tubu[...] Dat : 7/0/05 Pag : 9/39 sponsabl : Hassan BEO Clé : évson : Méthod d Connors.5. Cas d un zon unqu d xctaton flud En 978, H.J. Connors propos d détrmnr la vtss crtqu d ordr n d un tub d Génératur d Vapur (GV) suvant la rlaton [0] : V cn assocé au mod Vcn fnd K m δn ρsd Dans ctt rlaton : V cn désgn la vtss crtqu ntr-tubs d'nstablté pour l mod n, f n désgn la fréqunc propr d ordr n du tub, D désgn l damètr xtérur du tub, K désgn la constant d Connors, m désgn la mass lnéqu d référnc du tub ncluant ls ffts d mass ajouté, δ n désgn l décrémnt logarthmqu du mod n n flud au rpos, c st à dr ncluant l amortssmnt d la structur t clu apporté par l flud xtrn au rpos, t ρ s désgn la mass volumqu d référnc du flud scondar. On rappll qu l décrémnt logarthmqu δ n s défnt comm : δn π ξn ξ n Où ξ n désgn l amortssmnt modal rédut du mod n. ξ n étant d l ordr du pour cnt, l st légtm d posr ξ n, t donc l approxmaton : Vcn fnd K πm ξn ρsd La constant d'nstablté K st détrmné xpérmntalmnt à partr d résultats d ssas d'nstablté. Dans ls étuds d dmnsonnmnt vbrator ds fascaux d tubs d GV, ls valurs adoptés usullmnt pour ctt constant sont : K 4 n cas d'écoulmnt transvrs dphasqu au nvau du chgnon, K,9 n cas d'écoulmnt transvrs monophasqu au dssus d la plaqu tubular. En consdérant comm mass lnéqu d référnc du tub m sa mass lnéqu moynn, on put détrmnr m sous la form : π m 4 ( D D ) Ltub ρ (s)ds tub q En tout rguur, on dvrat consdérr la valur d fn sous écoulmnt. Cpndant, la méthod d Connors n prévot pas l calcul d la varaton d fréqunc mputabl à l écoulmnt. En prmèr approxmaton, on consdèr donc pour au rpos. Copyrght 05 EDF &D - Documnt dffusé sous lcnc GNU FDL ( f n la valur d la fréqunc n flud Fasccul r4.07 : Couplag flud structur

10 Vrson Ttr : Couplag flud-structur pour ls structurs tubu[...] Dat : 7/0/05 Pag : 0/39 sponsabl : Hassan BEO Clé : évson : 896 Où D désgn l damètr ntérur du tub, L tub désgn sa longuur, s désgn l abscss curvlgn l long du tub t ρq (s ) désgn la mass volumqu équvalnt du tub à l abscss s : D C D ρ ( s) (s) q ρt + ρp + ρs (s) D D π D D Où ρ t désgn la mass volumqu du tub supposé ndépndant d l abscss curvlgn, ρ p (s ) t ρs (s ) désgnnt rspctvmnt la mass volumqu du flud prmar t du flud scondar à l abscss curvlgn s, t C st défn par : ( / D ) + ( / D ) C π, où désgn un damètr équvalnt donné par ls rlatons : ) ) P P D D / pour un pas carré (C vaut nvron,0 pour ls GV franças) D P P / D D pour un pas trangular (C vaut nvron, pour ls GV D franças) D mêm, n consdérant comm mass volumqu d référnc du flud scondar ρ s sa mass volumqu moynn, on put détrmnr ρ s sous la form : ρ s ρ (s)ds Ltub tub s L mod n st nstabl s la vtss crtqu mod n, ans défn : V cn st nférur à la vtss ffcac V n assocé au V n ( s) ρs V tub ρs m( s) ϕ n tub m ( s) ϕ ( s) n ( s) ds ds Où ϕ n (s ) désgn la déformé modal du mod n, V(s) désgn la vtss d l'écoulmnt n fonctonnmnt ( m/ s ), m (s) désgnnt la mass lnéqu du tub ncluant ls ffts d mass ajouté ( g /m ) supposé varr l long du tub, obtnu comm : m(s) π (D D ) q (s) 4 ρ On défnt l rapport d'nstablté pour l mod n au sns d Connors comm étant l rapport : Fasccul r4.07 : Couplag flud structur Copyrght 05 EDF &D - Documnt dffusé sous lcnc GNU FDL (

11 Vrson Ttr : Couplag flud-structur pour ls structurs tubu[...] Dat : 7/0/05 Pag : /39 sponsabl : Hassan BEO Clé : évson : 896 Cn Vn Vcn.5. Cas d plusurs zons d xctaton flud La démarch d applcaton d la méthod d Connors mért d êtr précsé dans l cas où l tub st soums à un xctaton multform d la part du flud, n partculr, s ctt drnèr st monophasqu n bas d fascau t dphasqu dans l chgnon. On rappll qu un tll stuaton st prs n compt dans l logcl GEVIBUS []. Pour xtrapolr la méthod d Connors à c cas général, on procèd n généralsant l établssmnt d la démarch proposé par Connors [0]. Sot W n l énrg ajouté par l écoulmnt au cours d un cycl à un tub vbrant dans son mod n : Nx ρ W n C s (s) V (s) ϕ n (s)ds Lx Où, par rapport à l xposé d Connors, la dépndanc d la constant C à la zon d xctaton st ajouté, Nx désgn l nombr total d zons d xctaton, t Lx désgn la longuur d la - èm zon d xctaton. Sot E n l énrg dsspé au cours d un cycl par l tub vbrant dans son mod n : E n C f n δn m(s) ϕ n (s)ds tub En égalant W n t E n, c st à dr n s plaçant à l nstablté, n ntrodusant comm Connors ls varabls d référnc ρ s t m (bn qu lls n parassnt pas ndspnsabls), n posant C C K, où K désgn la constant d Connors assocé à la -èm zon d xctaton, t n chrchant à far apparaîtr la vtss ffcac V n tll qu Connors la défnt, on obtnt tous calculs fats l xprsson : ρs(s) V (s) ϕ (s)ds Nx tub ρ n s m(s) (s)ds ϕ tub m n K (s) ρs V (s) ϕ n (s)ds Lx m n (s) δ V (s) (s)ds f D ρs ϕ n n ρs D tub D où : ρs (s) V (s) ϕ (s)ds tub ρ n s m(s) ϕ (s)ds tub m n (s) ρs V (s) ϕ n (s)ds m Nx f nd δ n (s) ρ (s) (s)ds D V s s n K ρ ϕ Lx ( ) tub Vn ( ) On n dédut dans l cas d un xctaton multform l xprsson d la vtss crtqu au mod d ordr n : Copyrght 05 EDF &D - Documnt dffusé sous lcnc GNU FDL ( V cn assocé Fasccul r4.07 : Couplag flud structur

12 Vrson Ttr : Couplag flud-structur pour ls structurs tubu[...] Dat : 7/0/05 Pag : /39 sponsabl : Hassan BEO Clé : évson : 896 Vcn f n D (s) ρs V (s) ϕ n (s)ds tub Nx (s) s V (s) n (s)ds K ρ ϕ Lx m δn ρ s D On vérf qu, lorsqu l xctaton st d mêm natur sur l nsmbl ds zons xctés K (,Nx ) K, la rlaton c-dssus rtrouv la form proposé par Connors : Vcn fnd K m δn ρsd.5.3 Varant d la méthod Un varant d la méthod présnté aux paragraphs.5. t.5. consst à calculr l rapport d'nstablté n du mod «n» (dans l cas d'un zon unqu d'xctaton) sous la form : Où V moy désgn la moynn d la vtss sur la zon d'xctaton consdéré, M n désgn la mass généralsé (non ornté suvant un drcton prvlégé t prnant donc n compt à la fos ls tros composants n translaton t ls tros composants n rotaton) du mod n, t n désgn la déformé modal du mod n. Par n Vmoy n Πξ f D K n Mn L ρd 0 r n ( ) ( ) s u s ϕ ( s) ds on ntnd c la somm ds carrés ds tros composants n translaton d n. Ls tros composants n rotaton n sont pas prss n compt dans l calcul d n. L calcul du rapport slon ctt varant st systématqumnt ffctué par Cod_Astr quand on dmand la ms n œuvr d la méthod d Connors. L rapport d'nstablté calculé slon ctt varant st fourn à côté du rapport d'nstablté calculé slon la méthod précsé aux paragraphs.5. t.5.. La plupart du tmps, ls dux résultats sont dntqus. S'l xst un écart, la rason d ct écart dot êtr rchrché dans la contrbuton ds composants n rotaton du mod consdéré, par xmpl dans la contrbuton ds rotatons ds parts drots ds tubs autour d lur ax. On adoptra alors l résultat l plus pénalsant ds dux. Fasccul r4.07 : Couplag flud structur Copyrght 05 EDF &D - Documnt dffusé sous lcnc GNU FDL (

13 Vrson Ttr : Couplag flud-structur pour ls structurs tubu[...] Dat : 7/0/05 Pag : 3/39 sponsabl : Hassan BEO Clé : évson : Exctaton flud-élastqu agssant sur la tg d command au nvau d la plaqu d logmnt (xclusvmnt pour ls grapps d command) Ls forcs flud-élastqus agssant sur c typ d confguraton ont été dntfés sur la maqutt GAPPE du départmnt TTA. Ls aspcts théorqus d l dntfcaton d cs sourcs sont dévloppés n référnc [bb. 4]. L ntégraton du modèl GAPPE dans Cod_Astr st abordé dans la not d spécfcatons [bb. ]. 3. Dscrpton d la confguraton étudé La maqutt GAPPE rprésnt la tg d command, la part supérur du gud d grapp, t la manchtt thrmqu d un réactur d typ 900 ou 300 MW [Fgur 3.-a]. Manchtt thrmqu Tub nvlopp Am cntral Plaqu d logmnt Fgur 3.-a : Schéma d prncp d la maqutt GAPPE Ctt maqutt st ssntllmnt consttué d un tub cylndrqu crux d fabl épassur, fxé sur un âm cntral cylndrqu pln. L tub crux st ntèrmnt mmrgé dans d l au à tmpératur ambant. Un plaqu, rprésntant la plaqu d logmnt, prmt d rprodur l confnmnt annular. L écoulmnt à travrs la plaqu put êtr ascndant ou dscndant. La tg d command put êtr cntré ou xcntré (50% du ju moyn) au nvau d la plaqu d logmnt. Quatr confguratons xpérmntals sont donc possbls, n foncton du sns d l écoulmnt t du cntrag ou pas d la tg d command. Ls coffcnts d forcs flud-élastqus ont été dntfés pour chacun d cs confguratons t sont dsponbls dans l Cod_Astr. La maqutt GAPPE a été dmnsonné n smltud géométrqu, hydraulqu t d fréqunc rédut par rapport à la confguraton réactur. La sul donné du damètr d la tg d command prmt donc, n partculr, d dédur l nsmbl ds autrs grandurs géométrqus. 3. Étaps du calcul La prmèr étap du calcul consst à calculr la bas modal d la structur n au au rpos, ls ffts d mass ajouté nduts localmnt au nvau du confnmnt d la plaqu d logmnt étant néglgés. Ctt étap st réalsé par l opératur CALC_MODES. Pour c far, un mass volumqu équvalnt homogèn st affcté à l nsmbl d la structur, afn d prndr n compt la mass apparnt ajouté par l flud, à l xcpton d cll ndut par ls ffts d confnmnt au nvau d l spac annular. Ctt mass volumqu équvalnt st défn par : Fasccul r4.07 : Couplag flud structur Copyrght 05 EDF &D - Documnt dffusé sous lcnc GNU FDL (

14 Vrson Ttr : Couplag flud-structur pour ls structurs tubu[...] Dat : 7/0/05 Pag : 4/39 sponsabl : Hassan BEO Clé : évson : 896 où : π ρ q α ρ f + ρ S α tub éq. 3.- désgn un coffcnt admnsonnl d confnmnt dépndant d la confguraton étudé ; st la valur utlsé pour ls calculs d grapps d command. Ell corrspond à un cylndr vbrant dans un doman flud llmté. désgn l rayon xtérur du tub, S désgn l'ar d la scton drot du tub, ρ désgn la mass volumqu du matérau consttuant l tub vbrant. tub La scond étap st la prs n compt du couplag avc l écoulmnt flud. Ell st réalsé à l'ad d l opératur CALC_FLUI_STU. 3.3 présntaton d l xctaton flud-élastqu fˆ c Sot x la drcton d la fbr nutr du tub. L xctaton flud-élastqu dntfé sur la maqutt GAPPE st rprésnté par un forc t un momnt résultants, applqués n un mêm pont d abscss x o, corrspondant à la zon cntral du passag d la tg d command à travrs la plaqu d logmnt. L xctaton st ans défn, dans la bas physqu, par la rlaton : ( x, s) F ( s) ( x x ) M ( s) δ '( x ) où c δ 0 c x 0 éq δ ' désgn la dérvé par rapport à x d la dstrbuton d Drac δ. La forc résultant, F c, agt ans sous l fft ds déplacmnts transvrss d la tg d command ; t l momnt résultant, M c, agt sous l fft d la rotaton d ctt drnèr. On not X ( s) l vctur ds déplacmnts transvrss t ( s) T défns par : Θ l vctur ds rotatons assocés, X T 3.3- ( s) u y ( x0, s) u ( x, s) z 0 0 éq. Θ ( s) Fc 0 u y (x0,s) éq x uz (x0,s) x Ls rlatons suvants sont utlsés pour calculr ls forcs t ls momnts flud-élastqus résultants à partr ds masss ajoutés Cm, Cm, ds amortssmnts ajoutés Cd ( Vr ), Cd ( V r ) t ds radurs ajoutés C ( Vr ), C ( V r ), coffcnts admnsonnls dntfés sur la maqutt GAPPE : ( s) D L Cm s + ρ DUL Cd ( V ) s + ρ U L C ( V ) X ( s) ρ f p f p r f p r T éq Copyrght 05 EDF &D - Documnt dffusé sous lcnc GNU FDL ( Fasccul r4.07 : Couplag flud structur

15 Vrson Ttr : Couplag flud-structur pour ls structurs tubu[...] Dat : 7/0/05 Pag : 5/39 sponsabl : Hassan BEO Clé : évson : M c( s) ρ f D Lp Cms + ρ f DULp Cd ( Vr ) s + ρ f U L p C ( Vr ) Θ( s) éq Afn d smplfr l'écrtur ds équatons, on not par la sut : ( s) H ( s) X ( s) c( s) H ( s) ( s) F c T t M Θ La vtss rédut admnsonnll V r st c défn à l ad d la rlaton la varabl d Laplac. U V r, où s désgn sd Ls xprssons [éq ] t [éq ] font ntrvnr l épassur L p d la plaqu d logmnt. Ctt épassur s dédut d la valur du damètr d la tg d command, D, du fat d la smltud géométrqu avc la confguraton réactur. L ffort flud-élastqu fˆ c ( x, s) st ans complètmnt caractérsé par la donné ds grandurs suvants : ρ Mass volumqu du flud, f U Vtss d l écoulmnt moyn dans l spac annular ntr tg d command t plaqu d logmnt, D Damètr d la tg d command, Cm Coffcnt d mass ajouté assocé au mouvmnt d translaton, Cd ( V r ) Coffcnt d amortssmnt ajouté assocé au mouvmnt d translaton, C ( V r ) Cm Cd ( V r ) C ( V r ) Coffcnt d radur ajouté assocé au mouvmnt d translaton, Coffcnt d mass ajouté assocé au mouvmnt d rotaton, Coffcnt d amortssmnt ajouté assocé au mouvmnt d rotaton, Coffcnt d radur ajouté assocé au mouvmnt d rotaton. Ls coffcnts admnsonnls d mass ajouté, Cm t Cm, prmttnt la prs n compt ds ffts nrtls nduts par l confnmnt local d la tg d command au nvau d la plaqu d logmnt. Cs ffts sont stmés comm sut. Sot H l épassur d l écoulmnt annular au nvau du confnmnt, dédut d D par smltud géométrqu par rapport à la confguraton réactur ; α désgn l coffcnt admnsonnl d confnmnt ntrodut par la rlaton [éq. 3.-]. On obtnt alors [bb. 4] : ρ f D ρ f D L L p 3 p Cm Cm ρ f θ ρ 3 πd 8H f πd 4 α ρ f D H πd 4 α L Lp p θ ρ f πd 4 ( x x ) o D H dx ρ f α L πd 4 p D H 3 p L α θ 3 On n dédut ls valurs d Cm t Cm par : π D Cm α H éq Cm π D Cm α 3 6 H éq Fasccul r4.07 : Couplag flud structur Copyrght 05 EDF &D - Documnt dffusé sous lcnc GNU FDL (

16 Vrson Ttr : Couplag flud-structur pour ls structurs tubu[...] Dat : 7/0/05 Pag : 6/39 sponsabl : Hassan BEO Clé : évson : 896 Ls coffcnts Cd, C, Cd t C sont drctmnt déduts d la msur t xprmés sous form d corrélatons admnsonnlls. Fasccul r4.07 : Couplag flud structur Copyrght 05 EDF &D - Documnt dffusé sous lcnc GNU FDL (

17 Vrson Ttr : Couplag flud-structur pour ls structurs tubu[...] Dat : 7/0/05 Pag : 7/39 sponsabl : Hassan BEO Clé : évson : Projcton sur bas modal t xprsson ds trms d la matrc d transfrt d ffort flud-élastqu Décomposton du mouvmnt sur bas modal On not Φ j ( x) la déformé modal du j èm mod d la structur. La décomposton du vctur ds déplacmnts dans la bas modal s xprm sous la form : DX j ( x) N N u ( x, s) Φ j ( x) q j ( s) DY j ( x) ( ) j j q j s éq DZ j ( x) Où DX j, DY j t DZ j corrspondnt aux tros composants d translaton caractérsant ls déformés modals calculés à l ad d Cod_Astr. Calcul d l xctaton généralsé assocé au mod L xctaton généralsé ( s) L ( s) fˆ ( x, s). ( x)dx 0 Q assocé au mod st défn par la rlaton : Q c Φ éq où L désgn la longuur d la structur sur laqull on vut mposr ls xctatons GAPPE. Ls fonctons d transfrt H ( s) t ( s) H étant défns à partr ds rlatons [éq ] t [éq ], on n dédut, compt tnu ds xprssons [éq. 3.3-], [éq ] t [éq ] : Q L ( s) H ( s) DY j ( xo ) j 0 DZ ( x ) N N L H j 0 ' ( s) DY j ( xo ) ' DZ ( x ) 0 j 0 j o o q q j j ( s) δ ( x xo ). DY ( x) DZ ( x) ' ( s) δ ( x xo ). DY ( x) DZ ( x) 0 0 dx dx éq D où, après ntégraton : Q N { [ ] ( s) H( s) DY ( xo ). DY j ( xo ) + DZ ( xo ). DZ j ( xo ) j + H N B j [ ] } q ( s) ' ' ' ' ( s) DY ( x ). DY ( x ) + DZ ( x ). DZ ( x ) j marqu : ' ( s) q ( s) DY o j o j o o ( x ) DZ ( x ) t ' DZ ( x ) DY ( x ) o o o o j éq Fasccul r4.07 : Couplag flud structur Copyrght 05 EDF &D - Documnt dffusé sous lcnc GNU FDL (

18 Vrson Ttr : Couplag flud-structur pour ls structurs tubu[...] Dat : 7/0/05 Pag : 8/39 sponsabl : Hassan BEO Clé : évson : ésoluton du problèm modal sous écoulmnt L problèm modal st résolu n supposant, n prmèr approxmaton, qu ls trms dagonaux d la matrc d transfrt ds fforts flud-élastqus [ B ( s) ] sont prépondérants par rapport aux trms xtra-dagonaux. La matrc [ ( s) ] B étant ans rédut à sa dagonal, ls déformés modals n sont pas prturbés par la prs n compt du couplag flud-élastqu ; ls suls paramètrs modfés sont ls fréquncs proprs t ls amortssmnts réduts modaux. L problèm modal sous écoulmnt s décompos alors n N problèms scalars ndépndants, résolus par un méthod d typ Broydn : aj aj aj ( + M ) s + ( C + C ( s) ) s + ( K + K ( s) ) 0 M éq où aj aj M désgn la mass généralsé ajouté par l flud, ( s) ( s) aj C désgn l'amortssmnt généralsé ajouté par l flud, aj K désgn la radur généralsé ajouté par l flud. M, C aj ( s) t aj ( s) K sont calculés à l'ad ds rlatons : { ( ) ( )} ' ' DY x + DZ x + L Cm DY ( ) + ( ) x DZ x aj M + ρ f D Lp Cm o o p o o éq { } ( ) ' ' + L Cd V DY ( ) + ( ) x DZ x aj C ( s) ρ f DULp Cd( Vr ) DY ( xo ) + DZ ( xo ) p r o o éq { } ( ) ' ' + L C V DY ( ) + ( ) x DZ x aj K ( s) ρ f U Lp C ( Vr ) DY ( xo ) + DZ ( xo ) p r o o éq aj C t aj U K dépndnt mplctmnt d s par l ntrmédar d la vtss rédut V r. sd Ls tros grandurs nécssars pour dmnsonnr cs trms sont donc unqumnt U, L p étant déduts d D grâc à la proprété d smltud géométrqu. ρ f, D t Comm cla a été ndqué précédmmnt, ls coffcnts admnsonnls Cd ( Vr ), C ( Vr ), Cd ( Vr ) t C ( V r ) sont ssus ds corrélatons mprqus dntfés xpérmntalmnt sur la maqutt GAPPE. Fasccul r4.07 : Couplag flud structur Copyrght 05 EDF &D - Documnt dffusé sous lcnc GNU FDL (

19 Cod_Astr Vrson Ttr : Couplag flud-structur pour ls structurs tubu[...] Dat : 7/0/05 Pag : 9/39 sponsabl : Hassan BEO Clé : évson : Exctaton flud-élastqu agssant sur dux coqus cylndrqus coaxals sous écoulmnt annular (xmpl : spac cuv / nvlopp d cœur) L ntégraton d c modèl d xctaton flud-élastqu dans Cod_Astr a été abordé dans la not d spécfcatons [bb. ]. La not d prncp du modèl MOCCA_COQUE [bb. 5] consttu la documntaton théorqu d référnc. 4. Dscrpton d la confguraton étudé La confguraton matérll étudé st composé d dux coqus cylndrqus coaxals, séparés par un spac annular dans lqul s écoul un flud monophasqu ncomprssbl vsquux [Fgur 4.-a]. L écoulmnt s fat dans la drcton d l ax d révoluton ds cylndrs ; pour fxr ls notatons, on suppos dans la sut du documnt qu l s agt d l ax x. On not : L la longuur commun ds dux coqus cylndrqus, ( θ, x, t ) l rayon ntérur d l spac annular, ( θ, x, t ) l rayon xtérur d l spac annular, ( θ, x, t ) + ( θ, x, t ) ( θ, x, t ) l rayon moyn ( θ, x, t ), H ( θ, x, t ) l ju annular ( H ( θ, x, t ) ( θ, x, t ) ( θ, x, t ) ), r, θ, x ls vcturs d la bas d coordonnés cylndrqus. L Coqu xtrn Coqu ntrn 4. Étaps d calcul Fgur 4.-a : schéma d prncp coqus coaxals La prmèr étap d calcul consst à détrmnr la bas modal n ar d la structur. Ctt opératon st réalsé par l opératur CALC_MODES. C calcul st nécssar car la décomposton d la matrc d transfrt ds forcs flud-élastqus [ B ( s) ] st xprmé dans ctt bas. La scond étap concrn la prs n compt ds forcs flud-élastqus. Ell ntrvnt dans l opératur CALC_FLUI_STU. Ctt étap s décompos n hut sous-tâchs : Fasccul r4.07 : Couplag flud structur Copyrght 05 EDF &D - Documnt dffusé sous lcnc GNU FDL (

20 Vrson Ttr : Couplag flud-structur pour ls structurs tubu[...] Dat : 7/0/05 Pag : 0/39 sponsabl : Hassan BEO Clé : évson : Pré-tratmnts / Détrmnaton ds grandurs géométrqus caractérstqus, à partr d la topolog du mallag : longuur commun ds dux coqus, rayon moyn, ju annular moyn. / Caractérsaton ds déformés modals n ar : détrmnaton ds ordrs d coqu, ds plans prncpaux, ds nombrs d ond t ds coffcnts d déformés d poutr assocés à chacun ds mods d la structur, tant pour la coqu ntrn qu pour la coqu xtrn. 4.. ésoluton du problèm modal n au au rpos 3 / Calcul d la matrc d mass ajouté par l flud [ M aj ] dans la bas modal d la structur n ar 4 / Calcul ds caractérstqus modals d la structur n au au rpos n résolvant : {([ M ] + [ Maj ]) s + [ K ]}( q) 0 On obtnt ls nouvlls caractérstqus d la structur n au au rpos M,K, f (mass t radur généralsés, fréqunc propr du mod ) ans qu ls déformés modals ψ, xprmés dans la bas n ar. 5 / Calcul ds déformés n au au rpos dans la bas physqu, par changmnt d bas : a φ φ. ψ [ ] [ ] [ ] 4..3 ésoluton du problèm modal sous écoulmnt Pour chaqu vtss d écoulmnt : 6 / Calcul d [ ( s) ] B dans la bas modal n ar. C calcul st réalsé n résolvant l problèm flud nstatonnar suvant la méthod précsé au paragraph / Calcul ds forcs flud-élastqus nduts par ls ffts d amortssmnt t d radur ajoutés, dans la bas modal n au au rpos. t [ B ( s) ] [ ψ ] B( s) {[ ] [ Maj ] s }[ ψ ] 8 / ésoluton du problèm modal n néglgant ls trms xtra-dagonaux d ctt drnèr matrc, par la méthod d Broydn (boucl sur ls sous-tâchs 6 t 7 ). M s + C s + K B s ( ) 0 Ls caractérstqus modals d la structur : c c c M, f, ξ (mass généralsé, fréqunc propr t amortssmnt du mod, sous écoulmnt) sont détrmnés. Ls déformés modals sont supposés êtr dntqus à clls n au au rpos. Fn d boucl sur ls vtsss d écoulmnt Fasccul r4.07 : Couplag flud structur Copyrght 05 EDF &D - Documnt dffusé sous lcnc GNU FDL (

21 Vrson Ttr : Couplag flud-structur pour ls structurs tubu[...] Dat : 7/0/05 Pag : /39 sponsabl : Hassan BEO Clé : évson : 896 marqus : L calcul ds trms d la matrc d transfrt ds forcs flud-élastqus nécsst la résoluton du problèm flud nstatonnar (sous-tâch 6 ). Ctt résoluton n st ll-mêm possbl qu s l on a préalablmnt détrmné crtans grandurs géométrqus caractérstqus d la confguraton, ans qu ls coffcnts ds forms analytqus ds déformés modals ds structurs (pré-tratmnts t ). S l utlsatur chost d réalsr la prmèr étap (calcul d la bas modal par l opératur CALC_MODES) n prnant drctmnt n compt ls ffts d mass ajouté, cux-c n dovnt plus êtr prs n compt par l opératur CALC_FLUI_STU. Pour cla, l mot-clé MASS_AJOU d la command DEFI_FLUI_STU dot êtr rnsgné par 'NON'. Ls sous-tâchs 3 à 7 dvnnnt alors : 3 / Calcul ds ffts d mass ajouté par l flud, dans la bas modal d la structur n au, afn d pouvor rtranchr cs ffts d l ffort flud-élastqu global, pusqu ls trms d mass ajouté sont déjà prs n compt. 4 / Sous-tâch supprmé. 5 / Sous-tâch supprmé. Pour chaqu vtss d écoulmnt 6 / Calcul d la matrc [ ( s) ] B dans la bas modal n au. 7 / Calcul ds forcs flud-élastqus nduts par ls ffts d amortssmnt t d radur ajoutés dans la bas modal n au : [ B ( s) ] B( s) [ ] [ M ] s aj Ls sous-tâchs, t 8 n sont pas modfés. Pour chaqu vtss d écoulmnt 6 / Calcul d la matrc [ ( s) ] B dans la bas modal n au. 7 / Calcul ds forcs flud-élastqus nduts par ls ffts d amortssmnt t d radur ajoutés dans la bas modal n au : [ B ( s) ] B( s) [ ] [ M ] s aj Ls sous-tâchs, t 8 n sont pas modfés. Fasccul r4.07 : Couplag flud structur Copyrght 05 EDF &D - Documnt dffusé sous lcnc GNU FDL (

22 Vrson Ttr : Couplag flud-structur pour ls structurs tubu[...] Dat : 7/0/05 Pag : /39 sponsabl : Hassan BEO Clé : évson : ésoluton du problèm flud nstatonnar 4.3. Hypothèss smplfcatrcs Qulqus hypothèss sur la natur d l écoulmnt prmttnt d smplfr ls équatons d Navr- Stos nstatonnars, à la bas du problèm flud-structur. H On suppos qu l écoulmnt st la suprposton d un écoulmnt moyn statonnar, obtnu lorsqu ls structurs sont fxs, t d un écoulmnt nstatonnar ndut par l mouvmnt ds paros. H H3 On suppos qu ls vbratons d structur sont d fabl ampltud vs à vs d l épassur d l écoulmnt annular moyn. On suppos qu ls prturbatons d vtss nduts par ls mouvmnts vbrators sont, n moynn sur un rayon, ssntllmnt drgés dans ls drctons θ t x : on suppos ans qu l mouvmnt vbrator ndut un mouvmnt hélcoïdal d flud autour ds structurs plutôt qu un mouvmnt radal par rapport à cs drnèrs. Cs prturbatons d vtss défnssnt l ordr. H4 On suppos nfn qu l champ d vtss t d prsson st unform, à l ordr, dans la drcton radal. Cs hypothèss smplfcatrcs prmttnt d résoudr analytqumnt l problèm flud. La matrc d transfrt ds forcs flud-élastqus [ B ( s) ] st dédut d l écoulmnt nstatonnar ssu d ctt résoluton Analys n prturbatons Moynnant ls hypothèss énoncés précédmmnt, l analys n prturbatons du problèm flud condut à rchrchr l écoulmnt nstatonnar sous la form : U r ordr éq U + u θ 0 θ ( θ, x, t ) + ordr éq U U ( x) + u x x ( θ, x, t ) + ordr éq P P x + p θ, x, t + ordr éq avc : ( ) ( ) ( ) ( ) + r θ, x, t éq r θ, x, t éq On défnt ls varabls h t comm : h r r t r + r. En lmtant l dévloppmnt ds équatons d Navr-Stos au prmr ordr, on obtnt dux systèms d équatons caractérsant la part statonnar t la part prturbé d l écoulmnt, l scond systèm étant un systèm lnéar. La résoluton du problèm flud statonnar condut ans à : U ( x) U constant t P x H ρc fu éq Dans l'équaton [éq ], ρ désgn la mass volumqu du flud t C f la part statonnar du coffcnt d frottmnt à la paro. L flud étant supposé ncomprssbl, sa mass volumqu n'st Fasccul r4.07 : Couplag flud structur Copyrght 05 EDF &D - Documnt dffusé sous lcnc GNU FDL (

23 Vrson Ttr : Couplag flud-structur pour ls structurs tubu[...] Dat : 7/0/05 Pag : 3/39 sponsabl : Hassan BEO Clé : évson : 896 pas décomposé n part statonnar t part fluctuant. C f st dédut d la lo d Nuradzé caractérsant ls écoulmnts n condut : ( ) ( ) ε ε, m fo f, C C avc ν x HU éq où m désgn la valur d'un xposant, ν désgn la vscosté cnématqu du flud t ε la rugosté ds paros. Il n découl : ( ) ( ) ( ) ( ) + + ordr U u C m C C C C C x f f f f m fo f ) (,,ε ε avc ν HU t ν x Hu L systèm dfférntl lnéar d ordr caractérsant la part nstatonnar d l écoulmnt ndut par ls mouvmnts d paros s écrt dans l doman d Laplac : h H U C x p u H U m C s x u U p u H U C s x u U U s x U h U s x h H U u x u f x f x f x ) ( 0 ρ θ ρ θ θ θ θ éq Tros condtons aux lmts d ntré-sort prmttnt d résoudr c systèm. La prmèr d cs condtons st obtnu n supposant qu l écoulmnt st suffsammnt régulr n amont d l spac annular, pour qu la composant tangntll d la vtss d ntré puss êtr néglgé : 0 θ u n 0 x éq Ls dux autrs sont obtnus n applquant l équaton d consrvaton d l énrg cnétqu, sous sa form quas-statonnar, ntr l nfn amont t l ntré d l spac annular, pus ntr la sort d l spac annular t l nfn aval. On obtnt alors rspctvmnt, à l ordr ds prturbatons : ( ) ( ) L x U rdr U C C U u p x U rdr U C C U u p d d x d d x s s n n ρ ρ ρ ρ éq Dans cs xprssons, d C t d s C rprésntnt ls parts statonnars ds coffcnts d prts d charg sngulèrs d ntré t d sort. Ils prnnnt n compt la dsspaton d énrg ndut, lorsqu ls paros sont fxs, par d évntulls brusqus évolutons d la géométr à l ntré ou la Fasccul r4.07 : Couplag flud structur Copyrght 05 EDF &D - Documnt dffusé sous lcnc GNU FDL (

24 Vrson Ttr : Couplag flud-structur pour ls structurs tubu[...] Dat : 7/0/05 Pag : 4/39 sponsabl : Hassan BEO Clé : évson : 896 sort d l spac annular. Dans la plupart ds cas, cs coffcnts puvnt êtr stmés smplmnt à l ad d donnés d la lttératur (Idl c par xmpl). Lorsqu la confguraton géométrqu d ntré ou d sort st très partculèr, cs coffcnts puvnt égalmnt êtr détrmnés à l ad d un cod d mécanqu ds fluds bdmnsonnl adapté à l étud ds problèms à paros fxs, d typ N3S. C C d t d s sont ls parts nstatonnars ds coffcnts d prts d charg sngulèrs. Cs coffcnts prnnnt n compt ls prturbatons ds lgns d décollmnt nduts par ls mouvmnts d structur. Ils puvnt êtr modélsés grâc à un approch quas-statonnar d mêm natur qu cll ntrodut pour l stmaton du coffcnt d frottmnt d paro. L systèm [éq ] st résolu analytqumnt, à l ad ds condtons lmts [éq ] t [éq ], n xplctant ls fonctons h t caractérsant l scond mmbr. Ls prturbatons r ( θ, x, s) t r ( θ, x, s) défnssant l mouvmnt ds paros, ls parts prturbés du ju annular t du rayon moyn sont alors défns, dans l doman d Laplac, par : h ( θ, x, s) r ( x s) θ,, r ( θ, x, s) éq r ( ) ( x s) r ( x s) θ,, +,, θ, x, s θ éq Décomposton sur bas modal Sot N l nombr d mods vbrators d la structur dans la band d fréqunc étudé. La décomposton sur bas modal du mouvmnt ds paros s xprm d la manèr suvant : N r ( θ, x, s) cos[ ( θ θ )]. r ( x). α ( s) éq N r ( θ, x, s) cos[ ( θ θ )]. r ( x). α ( s) éq où t rprésntnt ls ordrs d coqu du èm mod pour ls mouvmnts rspctfs ds coqus ntrn t xtrn, θ t θ prmttnt d caractérsr ls plans prncpaux d cs mods, r * ( x) t r * ( x) sont déduts ds déformés d poutr ds structurs ntrn t xtrn t assocés au mod consdéré, α ( s) rprésnt l déplacmnt généralsé. marqu : * r * r Ls fonctons r * ( x) t r * ( x) sont rprésntés, dans l cadr d la résoluton analytqu, sous form d combnasons lnéars d snus, cosnus, snus hyprbolqu t cosnus hyprbolqu : δ L δ L δ L δ L ( x) A cos x + B sn x + C ch x + D sh x δ L δ L ( x) A cos x + B sn x + C ch x + D sh x δ L δ L éq éq avc δ t δ nombrs d ond du èm mod pour ls mouvmnts ds coqus ntrn t xtrn rspctvmnt. Fasccul r4.07 : Couplag flud structur Copyrght 05 EDF &D - Documnt dffusé sous lcnc GNU FDL (

25 Vrson Ttr : Couplag flud-structur pour ls structurs tubu[...] Dat : 7/0/05 Pag : 5/39 sponsabl : Hassan BEO Clé : évson : 896 p Ls solutons du problèm flud p, u u x t θ sont rchrchés sous la form d décompostons sur bas modal déduts d clls d r t r xplctés par ls rlatons [éq ] t [éq ]. On obtnt ans, dans l doman d Laplac : ( θ, x, s) N ( x, s) ( x, s) * * p p [ ( )] cos θ θ + cos [ ( θ θ )] α ( s) ( ) α ( s) N u x * N * * v ( ) ( x s) v u x s [ ( )] θ θ,,, sn θ θ + * ( θ, x, s) u ( x, s) cos[ ( θ θ )] + u ( x, s) cos[ ( θ θ )] ( x, s) sn [ ( θ θ )] α ( s) éq éq éq Exprsson ds trms d la matrc d transfrt ds forcs flud-élastqus L ffort flud-élastqu surfacqu, F, st la résultant du champ d prsson t ds contrants vsquuss t turbulnts xrcés par l écoulmnt sur ls paros d la structur n mouvmnt. F P n + τθ tθ + τ xt x éq L ffort flud-élastqu généralsé assocé au èm mod vbrator d la structur, ( s) ans : Q, s écrt Q ( s) S F. X ds éq Où S désgn la surfac ds paros d la structur moullés par l'écoulmnt, t l vctur X rprésnt l èm vctur déformé modal dans ctt xprsson. La rprésntaton du champ d vtsss t d prsson t la rprésntaton sous form d un lo d paro ds contrants vsquuss t turbulnts xrcés sur la structur n mouvmnt prmttnt d xprmr l ffort flud-élastqu Q s d la façon suvant : généralsé ( ) N Q ( s) Bj ( s) α j ( s) éq j avc B ( s) B ( s) + B ( s) j j j B ( s) t ( s) j B j désgnnt rspctvmnt ls contrbutons ds coqus ntérur t xtérur. Cs contrbutons sont défns par : ( ) L * * * s π cos[ ( θ θ j )] δ p ( x s) + C f U v ( x s) r j ( x) j, ρ,. Bj π cos éq t 0 L * * * [ ( θ θ j )] δ p ( x s) + C f U v ( x s) r j ( x) j, ρ,. 0 dx dx Fasccul r4.07 : Couplag flud structur Copyrght 05 EDF &D - Documnt dffusé sous lcnc GNU FDL (

26 Vrson Ttr : Couplag flud-structur pour ls structurs tubu[...] Dat : 7/0/05 Pag : 6/39 sponsabl : Hassan BEO Clé : évson : 896 B j ( ) L * * * s cos[ ( θ θ j )] δ p ( x s) + C f U v ( x s) r j ( x) j, ρ,. π dx éq L * * * π cos[ ( θ θ j )] δ p ( x s) + C f U v ( x s) r j ( x) dx j 0, ρ,. 4.4 ésoluton du problèm modal sous écoulmnt Comm on l a xplqué au paragraph [ 4.], on résout préalablmnt l problèm modal n au au rpos, afn d prndr n compt l couplag nrtl ntr mods. On stm ans la matrc d mass ajouté par l flud, n calculant [ B ( s) ] pour un vtss moynn d l écoulmnt null. Ls caractérstqus modals du systèm sous écoulmnt sont nsut obtnus n prturbant ls caractérstqus n au au rpos. On n tnt plus compt qu d l amortssmnt t d la radur ajoutés : ls trms d mass ajouté précédmmnt calculés sont rtranchés d la matrc [ B ( s) ]. L couplag ntr mods st alors néglgé ; n conséqunc, ls déformés modals dmurnt nchangés par rapport à clls n au au rpos. Ls suls paramètrs prturbés par la ms n la fréqunc t l amortssmnt modal rédut. Cs paramètrs sont calculés n résolvant N équatons non lnéars mod par mod, par ms n œuvr d un méthod d typ Broydn. Fasccul r4.07 : Couplag flud structur Copyrght 05 EDF &D - Documnt dffusé sous lcnc GNU FDL (

27 Vrson Ttr : Couplag flud-structur pour ls structurs tubu[...] Dat : 7/0/05 Pag : 7/39 sponsabl : Hassan BEO Clé : évson : Écoulmnt axal (xmpl : assmblags combustbls) L ntégraton d c modèl d xctaton flud-élastqu dans Cod_Astr a été abordé dans la not d spécfcatons [bb. ]. La not d prncp du modèl MEFISTEAU [bb. 6] consttu la documntaton théorqu d référnc. 5. Dscrpton d la confguraton étudé On consdèr un fascau d K cylndrs crculars mobls n flxon t soums à un écoulmnt ncomprssbl d flud vsquux, lmté par un ncnt rgd cylndrqu d scton crcular ou rctangular [Fgur 5.-a]. L X Encnt crcular Y Z Encnt rctangular Fgur 5.-a : Fascau sous écoulmnt axal Ls cylndrs sont tous parallèls, drgés suvant l ax d l ncnt. Ils ont un longuur commun, noté L. Pour smplfr ls notatons, on suppos par la sut qu x st l ax drctur. L écoulmnt statonnar st axal t supposé unform dans chaqu scton. La mass volumqu du flud pouvant êtr varabl suvant l ax x (gradnts thrmqus), la vtss d l écoulmnt statonnar dépnd auss d la varabl x. 5. Étaps d calcul La prmèr étap concrn la détrmnaton d la bas modal n ar du fascau. Ctt opératon st réalsé par l opératur CALC_MODES. Ctt étap st ndspnsabl car ls forcs flud-élastqus sont projtés sur ctt bas. La duxèm étap concrn la prs n compt ds forcs flud-élastqus par l opératur CALC_FLUI_STU. Ctt étap s décompos n 7 sous-tâchs : Fasccul r4.07 : Couplag flud structur Copyrght 05 EDF &D - Documnt dffusé sous lcnc GNU FDL (

28 Vrson Ttr : Couplag flud-structur pour ls structurs tubu[...] Dat : 7/0/05 Pag : 8/39 sponsabl : Hassan BEO Clé : évson : Pré-tratmnts / Au moyn d la topolog du mallag, déducton ds coordonnés ds cntrs ds cylndrs du fascau pus vérfcaton d la bonn dsposton ds cylndrs ls uns par rapport aux autrs (on vérf notammnt qu'l n'y a pas chvauchmnt ntr dux cylndrs) t par rapport à l ncnt rgd. / Détrmnaton d la longuur d xctaton du flud, commun à tous ls cylndrs, ans qu d un dscrétsaton assocé suvant l ax drctur. 3 / Consttuton ds tablaux donnant ls déformés modals n ar d chaqu cylndr du fascau, pour chacun ds mods prs n compt pour l couplag flud-structur. On ntrpol pour cla ls déformés aux ponts d la dscrétsaton détrmné auparavant. 5.. ésoluton du problèm modal sous écoulmnt 4 / ésoluton du problèm flud prturbé. La détrmnaton du potntl ds vtsss prturbés nécsst l nvrson d systèms lnéars d ordrs élvés applant la ms n œuvr d la méthod d Crout. Pour chaqu vtss d écoulmnt 5 / Calcul ds matrcs d mass, d amortssmnt t d radur ajoutés donnant la matrc d transfrt ds forcs flud-élastqus dans la bas modal n ar : [ Bj ( s) ] [ Ma ] s [ Ca ] s [ K a ] [ M a ] pln symétrqu ; [ Ca ] t [ K a ] a pror plns t non symétrqus. 6 / ésoluton du problèm modal sous écoulmnt ; on résout l problèm complt aux vcturs t aux proprs { [ Mj ] s + [ Cj ] s + [ Kj ] [ Bj ( s) ] }.( q) ( 0) [ ] On n néglg pas ls trms xtra-dagonaux d B ( s) j. Après rformulaton, la résoluton st ffctué à l'ad d l algorthm Q : obtnton ds masss, fréquncs t amortssmnts modaux réduts sous écoulmnt c c c M, f, ξ, déformés modals complxs c ψ xprmés dans la bas n ar ; d cs drnèrs, on n rtnt qu la part réll après mnmsaton d la part magnar (calcul d un crtèr sur la part magnar). 7 / sttuton ds déformés sous écoulmnt dans la bas physqu. c c [ ϕ ] [ ϕ ][ ψ ] [ ϕ ] st la matrc dont ls colonns sont ls déformés modals n ar, xprmés n bas physqu. Fn d boucl sur ls vtsss d écoulmnt Fasccul r4.07 : Couplag flud structur Copyrght 05 EDF &D - Documnt dffusé sous lcnc GNU FDL (