Contrôle du ballant sur une grue

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1 Conrôle du ballan sur une grue es conduceurs de grue doiven acuellemen gérer le déplacemen d une charge e maîriser les balancemens indésirables de celle-ci Divers équipemeniers de grues on déposé des breves auour de cee problémaique es grues poruaires son principalemen visées par ces echniques ani-ballan Objecifs : équaions différenielles du second ordre foncions sinusoïdales e période uilisaion dynamique du logiciel géogébra pour rouver une soluion opimale à la problémaique I e chario es à l arrê 1 a grue ne foncionne pas mais subi un for ven de ravers de 144 km/h On s inéresse dans cee quesion à une grue comprenan un câble de longueur, permean de déplacer une charge d au plus M = 30,5 chario a charge es assimilée à une masse poncuelle M, exprimée en kg, placée en son cenre de gravié G a force du ven, exercée sur le poin G es évaluée à Newons e câble s incline alors d un angle On rappelle que le poids du conainer es une force vericale, de mesure P Mg, où g = 9,81 m/s² (accéléraion de la pesaneur) M ven Déerminez la valeur géomérique de l angle (en, puis en rad) correspondan à ce ven de ravers de 144 km/h, si la grue déplace une charge de 30,5 P Groupe «lycée-bts» IREM de Clermon-Ferrand Page 1 F

2 2 e ven cesse brualemen a charge se me à osciller On se propose de déerminer avec quelle période va osciller le conainer es lois de l énergie mécanique monren que l angle θ (exprimé en radian), foncion de la variable (exprimé en seconde), vérifie l équaion différenielle (E) : "( ) sin ( ) 0 g a) En uilisan la calcularice ou le logiciel Géogébra (ableur, courbes ), vérifier que sin θ es rès proche de θ sur l inervalle[ 0, 4rad;0, 4rad], soi [ ; ] b) Si [ 0, 4;0, 4], l équaion différenielle (E) peu alors s écrire : "( ) ( ) 0 g Déerminer la soluion générale de (E), exprimée en foncion de la variable e des consanes e g A l insan = 0 (lorsque le ven cesse brualemen), on considère que la mesure rigonomérique de es négaive (d après le sens du ven sur la figure page 1) donc θ = 0,124 rad De plus la viesse du conainer es nulle, c'es-à-dire Déerminer alors l expression de () qui vérifie (E) e les condiions iniiales précédenes c) En uilisan le logiciel Géogébra, créer un curseur pour (de 10 à 80 m) e représener () en foncion de Pour une longueur de câble de 30 m, évaluer la période d oscillaion : T s Que fai la période si on augmene la longueur du câble? Si on double la longueur du câble, la période es-elle doublée? d) En uilisan l expression de () rouvée à la quesion b) e en prenan =30 m, déerminer : la pulsaion rad/s, à 2 10 près la fréquence d oscillaion f Hz, à 2 10 près a période d oscillaiont s, à l unié près II e chario es en mouvemen On suppose que le ven es négligeable a charge es donc iniialemen à l arrê e gruier acionne le mouvemen du chario V c () M V () Groupe «lycée-bts» IREM de Clermon-Ferrand Page 2

3 1 a viesse du chario es modélisée par la foncion Vc ( ) 8 8e a, avec a une consane réelle sricemen posiive a) Eudier les variaions de la foncion V c sur l inervalle [0; [ b) Quelle es la viesse limie du chario à long erme, noée V? c) Calculer la consane de emps du chario, qui es la valeur de à parir de laquelle Vc () aein 95 % de la valeur limie V calculée précédemmen d) En uilisan le logiciel Géogébra, créer un curseur pour a (de 0 à 10, avec un pas de 0,01) e représener Vc () en foncion de Selon les valeurs de a, faire des commenaires sur la viesse du chario e la consane de emps 2 On se propose mainenan de prévoir commen va évoluer la viesse V ( ) de la charge On a les condiions iniiales suivanes : V (0) 0 V '(0) 0 e principe fondamenal de la dynamique monre que la viesse horizonale V de la charge, foncion de la variable g g emps, vérifie l équaion différenielle : V ''( ) V ( ) Vc ( ) Si on se place dans le cas où 30 m, cee équaion différenielle s écri : V ''( ) 0,327 V( ) 0,327 V ( ) c Aide : e logiciel Geogébra perme de racer la représenaion graphique de la soluion de l équaion différenielle (E) : y (x) + b(x)y (x) + c(x)y(x) = f(x) qui vérifie des condiions iniiales, grâce à l insrucion (apée dans la ligne «Saisie») : RésolEquaDiff[<b(x)>,<c(x)>,<f(x)>, <x iniial >, <y iniial >, <y iniial >,<x final >, <pas>] Ouvrir une nouvelle fenêre sur Géogébra a) On considère le cas où Vc () V Représener graphiquemen la viesse de la charge, à l aide de ce logiciel a charge subi-elle un mouvemen oscillan donc un ballan? Quelle es la viesse moyenne de la charge, lue graphiquemen? b) On considère le cas où V ( ) 8 8e a c Faire varier le paramère a pour chercher une évenuelle valeur de a qui réduirai le ballan de la charge Pour cee valeur de a, calculer la consane de emps Groupe «lycée-bts» IREM de Clermon-Ferrand Page 3

4 Corrigé : I1 an F P , ,81, d où 0,124 rad ou 7 I2a) On consae que sin es rès proche de sur l inervalle[ 0, 4rad;0, 4rad], soi [ 23 ;23 ] g g I1b) a soluion générale de (E) es ( ) C1cos C2sin Si (0) 0,124 Ccos 0 C sin 0 0,124 donc C 1 0,124, alors 1 2 g g g g '( ) C1 sin C2 cos, alors C C Si '(0) 0 g g 1 sin 0 2 cos 0 0 donc C 2 0 g expression de () qui vérifie (E) e les condiions iniiales es : ( ) 0,124cos a I1c) es soluion de l équaion 8 8e ln 0,05 0,95 8, d où a I1d) Si on augmene a, la viesse du chario se sabilise plus rapidemen auour de sa viesse limie e la consane de emps diminue Groupe «lycée-bts» IREM de Clermon-Ferrand Page 4

5 2a) Avec l insrucion : RésolEquaDiff [0, 0327, 2616, 0, 0, 0, 30, 01], on obien poin par poin sur l inervalle [0 ; 30], avec un pas de 0,1, la représenaion graphique de la soluion de l équaion différenielle V ''( ) 0,327 V ( ) 2,616 qui vérifie les condiions iniiales V(0) 0 e V'(0) 0 On consae que la viesse V de la charge es une foncion sinusoïdale a viesse moyenne es de 8 m/s a charge subi un mouvemen oscillan Il y a donc ballan 2b) Avec l insrucion : RésolEquaDiff [0, 0327, 0327(8-8exp(-ax), 0, 0, 0, 30, 01], on obien poin par poin sur l inervalle [0 ; 30], avec un pas de 0,1, la représenaion graphique de la soluion de l équaion différenielle V ''( ) 0,327 V ( ) 0,327(8 8 e a ) qui vérifie les condiions iniiales V(0) 0 e V'(0) 0 En acivan l opion Afficher la race (par un clic droi sur Inégrale Numérique) puis en faisan varier le curseur, on peu visualiser différens graphiques de la viesse horizonale V de la charge On consae que cee viesse V «se lisse» pour une valeur de a rès peie Dans ce cas, le ballan de la charge sera foremen rédui 0,01 Pour a 0,01, la viesse du chario s écri c ( ) 8 8 V ln 0,05 ln(0, 05) D après le résula de la quesion II1c) la consane de emps es, soi 300s ou 5 min a 0,01 Groupe «lycée-bts» IREM de Clermon-Ferrand Page 5

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