ANNALES BACCALAURÉAT 2013 MATHÉMATIQUES TERMINALE S. 1. Suites

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1 ANNALES BACCALAURÉAT 03 MATHÉMATIQUES TERMINALE S ANNALES 03 TERMINALE S Suites Foctios 9 3 Probabilités 4 Géométrie Spécialité 34 6 Cocours 44 Suites - : Amérique du Nord 03, 5 poits, o spécialistes O cosidère la suite ( u ) défiie par u 0 = et, pour tout etier aturel, u O cosidère l algorithme suivat : Variables Iitialisatio Traitemet Sortie est u etier aturel u est u réel positif Demader la valeur de Affecter à u la valeur Pour i variat de à : Affecter à u la valeur u Fi de Pour Afficher u + = u a Doer ue valeur approchée à 4 0 près du résultat qu affiche cet algorithme lorsque l o choisit = 3 b Que permet de calculer cet algorithme? c Le tableau ci-dessous doe des valeurs approchées obteues à l aide de cet algorithme pour certaies valeurs de : Valeur affichée,44,957,9986,9999,9999 Quelles cojectures peut-o émettre cocerat la suite ( u )? a Démotrer que, pour tout etier aturel, 0 < u b Détermier le ses de variatio de la suite ( u ) c Démotrer que la suite ( u ) est covergete O e demade pas la valeur de sa limite 3 O cosidère la suite ( v ) défiie, pour tout etier aturel, par v l( u ) = l a Démotrer que la suite ( v ) est la suite géométrique de raiso et de premier terme 0 v = l b Détermier, pour tout etier aturel, l epressio de v e foctio de, puis de u e foctio de c Détermier la limite de la suite ( u ) d Recopier l algorithme ci-dessous et le compléter par les istructios du traitemet et de la sortie, de faço à afficher e sortie la plus petite valeur de telle que u >,999 Variables est u etier aturel Termiale S Aales 03

2 Iitialisatio u est u réel Affecter à la valeur 0 Affecter à u la valeur Traitemet Sortie - : Liba 03, 5 poits, o spécialistes O cosidère la suite umérique ( v ) défiie pour tout etier aturel par Partie A v0 = 9 v+ = 6 v O souhaite écrire u algorithme affichat, pour u etier aturel doé, tous les termes de la suite, du rag 0 au rag Parmi les trois algorithmes suivats, u seul coviet Préciser lequel e justifiat la répose Algorithme No Algorithme No Algorithme No 3 Début de l algorithme Lire v pred la valeur Pour i variat de à faire v pred la valeur Fi pour Afficher v Fi algorithme 9 6 v Variables : v est u réel, i et sot des etiers aturels Début de l algorithme Lire Pour i variat de à faire v pred la valeur Afficher v v pred la valeur Fi pour Fi algorithme Pour = 0 o obtiet l affichage suivat : Termiale S Aales v Début de l algorithme Lire v pred la valeur Pour i variat de à faire Afficher v v pred la valeur Fi pour Afficher v Fi algorithme,800,43,333,455,538,600,647,684,74 Pour = 00, les deriers termes affichés sot :,967,968,968,968,969,969,969,970,970,970 Quelles cojectures peut-o émettre cocerat la suite ( v )? 3 a Démotrer par récurrece que, pour tout etier aturel, 0 < v < 3 b Démotrer que, pour tout etier aturel, c Démotrer que la suite ( v ) est covergete Partie B Recherche de la limite de la suite ( v ) v + v = ( 3 v ) 6 v O cosidère la suite ( w ) défiie pour tout etier aturel par Démotrer que ( w ) est ue suite arithmétique de raiso 3 E déduire l epressio de ( w ), puis celle de ( v ) e foctio de 3 Détermier la limite de la suite ( v ) 9 6 v La suite ( v ) est-elle mootoe? w = v 3-3 : Atilles-Guyae 03, 5 poits, o spécialistes O cosidère la suite ( z ) à termes complees défiie par : z0 = + i et, pour tout etier aturel, par

3 z + z z + = 3 Pour tout etier aturel, o pose : z = a + ib, où a est la partie réelle de z et b est la partie imagiaire de z Le but de cet eercice est d étudier la covergece des suites ( a ) et ( ) Partie A Doer a 0 et b 0 + Calculer z, puis e déduire que a = et b = O cosidère l algorithme suivat : Variables A et B sot des ombres réels K et N sot des ombres etiers Iitialisatio Affecter à A la valeur Traitemet Affecter à B la valeur Etrer la valeur de N Pour K variat de à N b Affecter à A la valeur A + A + B 3 Affecter à B la valeur B 3 Fi Pour Afficher A a O eécute cet algorithme e saisissat N = Recopier et compléter le tableau ci-dessous coteat l état des variables au cours de l eécutio de l algorithme (o arrodira les valeurs calculées à 0 4 près) K A B b Pour u ombre N doé, à quoi correspod la valeur affichée par l algorithme par rapport à la situatio étudiée das cet eercice? Partie B Pour tout etier aturel, eprimer z + e foctio de a et b E déduire l epressio de a + e foctio de a et b, et l epressio de b + e foctio de b Quelle est la ature de la suite ( b )? E déduire l epressio de b e foctio de, et détermier la limite de la suite ( b ) 3 a O rappelle que pour tous ombres complees z et z : z + z' z + z' (iégalité triagulaire) z Motrer que pour tout etier aturel, z + 3 b Pour tout etier aturel, o pose u = z Motrer par récurrece que pour tout etier aturel, u 3 E déduire que la suite ( u ) coverge vers ue limite que l o détermiera c Motrer que, pour tout etier aturel, a u E déduire que la suite ( a ) coverge vers ue limite que l o détermiera Termiale S 3 Aales 03

4 -4 : Asie jui 03, 5 poits, o spécialistes Partie A + 3u O cosidère la suite ( u ) défiie par : u 0 = et, pour tout etier ature : u+ = 3+ u O admet que tous les termes de cette suite sot défiis et strictemet positifs Démotrer par récurrece que, pour tout etier aturel, o a : u > ( u )( + u ) a Établir que, pour tout etier aturel, o a : u+ u = 3+ u b Détermier le ses de variatio de la suite ( u ) E déduire que la suite ( u ) coverge Partie B + 0,5u O cosidère la suite ( u ) défiie par : u 0 = et, pour tout etier ature : u+ = 0,5+ u O admet que tous les termes de cette suite sot défiis et strictemet positifs O cosidère l algorithme suivat : Etrée Soit u etier aturel o ul Iitialisatio Affecter à u la valeur Traitemet et sortie POUR i allat de à Affecter à u la valeur + 0,5 u 0,5+ u Afficher u FIN POUR Reproduire et compléter le tableau suivat, e faisat foctioer cet algorithme pour = 3 Les valeurs de u serot arrodies au millième i 3 Pour =, o a prologé le tableau précédet et o a obteu : u i u,0083 0,9973, ,999 7,000 0,999 97, , , Cojecturer le comportemet de la suite ( u ) à l ifii 3 O cosidère la suite ( v ) défiie, pour tout etier aturel, par : a Démotrer que la suite ( v ) est géométrique de raiso b Calculer v 0 puis écrire v e foctio de 4 a Motrer que, pour tout etier aturel, o a : v 3 u v = u + b Motrer que, pour tout etier aturel, o a : + v u = v c Détermier la limite de la suite ( u ) Termiale S 4 Aales 03

5 -5 : Cetres étragers jui 03, 5 poits, o spécialistes L objet de cet eercice est l étude de la suite ( u ) défiie par so premier terme récurrece : u + u + = ( + ) Partie A - Algorithmique et cojectures Pour calculer et afficher le terme u 9 de la suite, u élève propose l algorithme ci-dessous Il a oublié de compléter deu liges Variables est u etier aturel ; u est u réel Iitialisatio Affecter à la valeur Affecter à u la valeur,5 Traitemet Tat que < 9 Affecter à u la valeur Affecter à la valeur Fi Tat que Sortie Afficher la variable u Recopier et compléter les deu liges de l algorithme où figuret des poits de suspesio 3 u = et la relatio de Commet faudrait-il modifier cet algorithme pour qu il calcule et affiche tous les termes de la suite de u jusqu à u 9? 3 Avec cet algorithme modifié, o a obteu les résultats suivats, arrodis au di-millième : u,5 0,65 0,375 0,656 0,063 0,693 0,00 0,00 Au vu de ces résultats, cojecturer le ses de variatio et la covergece de la suite ( u ) Partie B Étude mathématique O défiit ue suite auiliaire ( v ) par : pour tout etier, v = u Motrer que la suite ( v ) est géométrique ; préciser sa raiso et so premier terme E déduire que, pour tout etier aturel, o a : 3 Détermier la limite de la suite ( u ) 4 Justifier que, pour tout etier, o a : E déduire le ses de variatio de la suite ( u ) Partie C - Retour à l algorithmique u + u ( ) + 0,5 = ( )( ) ( + ) + + 0,5 0,5 u = E s ispirat de la partie A, écrire u algorithme permettat de détermier et d afficher le plus petit etier tel que u < 0,00-6 : Frace métro, jui 03, 5 poits, o spécialistes Soit la suite umérique ( u ) défiie sur N par : u 0 = et pour tout etier aturel, a Calculer u, u, u 3 et u 4 O pourra e doer des valeurs approchées à 0 près b Formuler ue cojecture sur le ses de variatio de cette suite a Démotrer que pour tout etier aturel, u + 3 b Démotrer que pour tout etier aturel, u u ( 3 u ) c E déduire ue validatio de la cojecture précédete + = 3 + u + = u Termiale S 5 Aales 03

6 3 O désige par ( v ) la suite défiie sur N par v = u a Démotrer que la suite ( v ) est ue suite géométrique de raiso 3 b E déduire que pour tout etier aturel, c Détermier la limite de la suite ( u ) u = + 3 S 4 Pour tout etier aturel o ul, o pose : S = uk = u0 + u + + u et T = a Eprimer S e foctio de b Détermier la limite de la suite ( T ) -7 : Polyésie jui 03, 5 poits, o spécialistes O cosidère la suite ( u ) défiie par 0 a Calculer u et u k= k= 0 u = et telle que pour tout etier aturel, u b Démotrer, par récurrece, que pour tout etier aturel, 0 < u O admet que pour tout etier aturel, u < a Démotrer que la suite ( u ) est croissate b Démotrer que la suite ( u ) coverge 3 Soit ( v ) la suite défiie, pour tout etier aturel, par u v = u a Motrer que la suite ( v ) est ue suite géométrique de raiso 3 b Eprimer pour tout etier aturel, v e foctio de 3u + = + u c E déduire que, pour tout etier aturel, d Détermier la limite de la suite ( u ) 3 u = : Atilles-Guyae, sept 03, 5 poits o spécialistes Les deu parties sot idépedates Le robot Tom doit empruter u pot sas garde-corps de 0 pas de log et de pas de large Sa démarche est très particulière : - Soit il avace d u pas tout droit ; - Soit il se déplace e diagoale vers la gauche (déplacemet équivalet à u pas vers la gauche et u pas tout droit) ; - Soit il se déplace e diagoale vers la droite (déplacemet équivalet à u pas vers la droite et u pas tout droit) O suppose que ces trois types de déplacemet sot aléatoires et équiprobables L objectif de cet eercice est d estimer la probabilité p de l évèemet S «Tom traverse le pot» c est-à-dire «Tom est pas tombé das l eau et se trouve ecore sur le pot au bout de 0 déplacemets» Partie A : modélisatio et simulatio O schématise le pot par u rectagle das le pla mui d u repère orthoormé (O, I, J) comme l idique la figure ci-dessous O suppose que Tom se trouve au poit de coordoées (0 ; 0) au début de la traversée O ote ( ; y) les coordoées de la positio de Tom après déplacemets Termiale S 6 Aales 03

7 O a écrit l algorithme suivat qui simule la positio de Tom au bout de déplacemets :, y, sot des etiers Affecter à la valeur 0 Affecter à y la valeur 0 Tat que y et y et 9 : Affecter à ue valeur choisie au hasard etre, 0 et Affecter à y la valeur y + Affecter à la valeur + Fi tat que Afficher «la positio de Tom est»(; y ) O doe les couples suivats :( ; ) ;(0; 0) ;(; 4) ;(0; ) Lesquels ot pu être obteus avec cet algorithme? Justifier la répose Modifier cet algorithme pour qu à la place de «la positio de Tom est ( ; y)», il affiche fialemet «Tom a réussi la traversée» ou «Tom est tombé» Partie B Pour tout etier aturel compris etre 0 et 0, o ote : A l évèemet «après déplacemets, Tom se trouve sur u poit d ordoée»; B l évèemet «après déplacemets, Tom se trouve sur u poit d ordoée 0»; C l évèemet «après déplacemets, Tom se trouve sur u poit d ordoée» O ote a, b, c les probabilités respectives des évèemets A, B, C Justifier que a 0 = 0, b 0 =, c 0 = 0 a + b a+ = Motrer que pour tout etier aturel compris etre 0 et 9, o a 3 a + b + c b+ = 3 O pourra s aider d u arbre podéré 3 Calculer les probabilités p ( A ), p ( B ) et p ( C ) 4 Calculer la probabilité que Tom se trouve sur le pot au bout de deu déplacemets 5 À l aide d u tableur, o a obteu la feuille de calcul ci-dessous qui doe des valeurs approchées de a, b, c pour compris etre 0 et 0 a b c , , , , 0, , 3 0, , , , , , ,9 34 0, , , , , , ,09 8 0, , , , , , , , , ,040 7 Termiale S 7 Aales 03

8 Doer ue valeur approchée à 0,00 près de la probabilité que Tom traverse le pot (o pourra s aider du tableau) -9 : Frace métropolitaie sept 03 5 poits, o spécialistes O cosidère la suite ( u ) défiie sur N par : u 0 = et pour tout etier aturel, u+ O admet que pour tout etier aturel, u > 0 a Calculer u, u, u 3, u 4 O pourra e doer ue valeur approchée à 0 près b Vérifier que si est l u des etiers 0,,, 3, 4 alors u a le même sige que ( ) u + c Établir que pour tout etier aturel, u+ = u + u + = u + d Démotrer par récurrece que pour tout etier aturel, u a le même sige que ( ) Pour tout etier aturel, o pose u v = u + u + a Établir que pour tout etier aturel, v+ = 3u + 3 b Démotrer que la suite ( v ) est ue suite géométrique de raiso E déduire l epressio de v e foctio de c O admet que pour tout etier aturel, de la suite ( u ) 3 + v u = Eprimer u e foctio de et détermier la limite v -0 : Nouvelle-Calédoie /03, 5 poits, tous Soiet deu suites ( u ) et ( v ), défiies par u 0 =, v 0 = 0 et pour tout etier aturel, Partie A O cosidère l algorithme suivat : u + v u + 3v u + = et v + = 3 4 Variables Algorithme Sortie N est u etier ; U, V, W sot des réels ; K est u etier Affecter 0 à K Affecter à U Affecter 0 à V Saisir N Tat que K < N Fi tat que Afficher U Afficher V Affecter K+ à K Affecter U à W Affecter U + V 3 Affecter W + 3V 4 à U à V O eécute cet algorithme e saisissat N = Recopier et compléter le tableau doé ci-dessous doat l état des variables au cours de l eécutio de l algorithme K U V W 0 Termiale S 8 Aales 03

9 Partie B 5 = a Motrer que pour tout etier aturel, v u ( v u ) + + b Pour tout etier aturel, o pose w = v u Motrer que pour tout etier aturel, a Démotrer que la suite ( u ) est croissate et que la suite ( ) v est décroissate w 5 = 8 b Déduire des résultats des questios b et a que pour tout etier aturel, o a : u 0 et v c E déduire que les suites ( u ) et ( ) 3 Motrer que les suites ( u ) et ( ) 4 Motrer que la suite ( ) v sot covergetes v ot la même limite t défiie par t = 3u + 4v est costate E déduire que la limite commue des suites ( u ) et ( ) Foctios - : Podichéry, avril 03, 5 poits Partie v est 46 7 O s itéresse à l évolutio de la hauteur d u plat de maïs e foctio du temps Le graphique ci-dessous représete cette évolutio La hauteur est e mètres et le temps e jours a h t = t + be où a et b sot des h t désige la hauteur du plat, eprimée e O décide de modéliser cette croissace par ue foctio «logistique» du type : ( ) 0,04 costates réelles positives, t est la variable temps eprimée e jours et ( ) mètres O sait qu iitialemet, pour t = 0, le plat mesure 0, m et que sa hauteur ted vers ue hauteur limite de m Détermier les costates a et b afi que la foctio h correspode à la croissace du plat de maïs étudié Partie O cosidère désormais que la croissace du plat de maïs est doée par la foctio f défiie sur [0 ; 50] par = t + 9 ( ) 0,04 f t Détermier f' ( t ) e foctio de t E déduire les variatios de la foctio f sur l itervalle [0; 50] Calculer le temps écessaire pour que le plat de maïs atteige ue hauteur supérieure à,5 m 3 a Vérifier que pour tout réel t apparteat à l itervalle [0; 50] o a f ( t) 0,04t défiie sur l itervalle [0; 50] par F( t ) 50 l( e 9 ) e = e e 0,04t 0,04t = + est ue primitive de la foctio f Motrer que la foctio F + 9 b Détermier la valeur moyee de f sur l itervalle [50 ; 00] E doer ue valeur approchée à 0 près et iterpréter ce résultat 4 O s itéresse à la vitesse de croissace du plat de maïs; elle est doée par la foctio dérivée de la foctio f La vitesse de croissace est maimale pour ue valeur de t E utilisat le graphique doé ci-dessous, détermier ue va leur approchée de celle-ci Estimer alors la hauteur du plat Termiale S 9 Aales 03

10 - : Amérique du Nord 03, 5 poits + l = et soit C la courbe représetative de la foctio f das u repère du pla La courbe C est doée ci-dessous Soit f la foctio défiie sur l itervalle ] 0;+ [ par f ( ) a Étudier la limite de f e 0 b Que vaut l lim? E déduire la limite de la foctio f e + + c E déduire les asymptotes évetuelles à la courbe C a O ote f la foctio dérivée de la foctio f sur l itervalle ] 0;+ [ l = Démotrer que, pour tout réel apparteat à l itervalle ] 0;+ [, f' ( ) 3 b Résoudre sur l itervalle ] [ 0;+ l iéquatio l > 0 E déduire le sige de f ( ) sur l itervalle ] 0;+ [ c Dresser le tableau des variatios de la foctio f 3 a Démotrer que la courbe C a u uique poit d itersectio avec l ae des abscisses, dot o précisera les coordoées b E déduire le sige de f ( ) sur l itervalle ] 0;+ [ Termiale S 0 Aales 03

11 4 Pour tout etier >, o ote I l aire, eprimée e uités d aires, du domaie délimité par l ae des abscisses, la courbe C et les droites d équatios respectives a Démotrer que 0 I e = et = e O admet que la foctio F, défiie sur l itervalle ] 0;+ [ par F( ) foctio f sur l itervalle ] 0;+ [ b Calculer I e foctio de c Étudier la limite de I e + Iterpréter graphiquemet le résultat obteu -3 : Liba 03, 6 poits État doé u ombre réel k, o cosidère la foctio f k défiie sur R par f ( ) Le pla est mui d u repère orthoormal ( O; i, j) Partie A Das cette partie o choisit k = O a doc, pour tout réel, f ( ) La représetatio graphique C de la foctio f das le repère ( O; i, j) est doée ci-cotre l =, est ue primitive de la k = e + = k e + Détermier les limites de f( ) e + et e et iterpréter graphiquemet les résultats obteus Démotrer que, pour tout réel, f ( ) e = e + 3 O appelle f ' la foctio dérivée de f sur R Calculer, pour tout réel, f' ( ) E déduire les variatios de la foctio f sur R 4 O défiit le ombre I = f ( ) d Motrer que Partie B 0 + e I = l Doer ue iterprétatio graphique de I Das cette partie, o choisit k = et o souhaite tracer la courbe C représetat la foctio f Pour tout réel, o appelle P le poit de C d abscisse et M le poit de C d abscisse O ote K le milieu du segmet [MP] Motrer que, pour tout réel, f ( ) f ( ) + = E déduire que le poit K appartiet à la droite d équatio 3 Tracer la courbe C sur la figure précédete y = 4 E déduire l aire, e uités d aire, du domaie délimité par les courbes C, C, l ae des ordoées et la droite d équatio = Partie C Das cette partie, o e privilégie pas de valeur particulière du paramètre k Pour chacue des affirmatios suivates, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la répose Termiale S Aales 03

12 Quelle que soit la valeur du ombre réel k, la représetatio graphique de la foctio f k est strictemet comprise etre les droites d équatios y = 0 et y = Quelle que soit la valeur du réel k, la foctio f k est strictemet croissate 3 Pour tout réel k 0, f k 0,99-4 : Atilles-Guyae 03, 5 poits Das tout ce qui suit, m désige u ombre réel quelcoque Partie A Soit f la foctio défiie et dérivable sur l esemble des ombres réels R telle que : ( ) ( ) Calculer la limite de f e + et e f e = + O ote f la foctio dérivée de la foctio f sur R Démotrer que pour tout réel, '( ) ( ) 3 Dresser le tableau de variatio de f sur R = + f e Partie B O défiit la foctio g m sur R par g ( ) = + me et o ote C m la courbe de la foctio g m das u repère ( O; i, j) du pla a Démotrer que gm( ) = 0 si et seulemet si ( ) m f = m b Déduire de la partie A, sas justificatio, le ombre de poits d itersectio de la courbe C m avec l ae des abscisses e foctio du réel m O a représeté ci-dessus les courbes C 0, C e et C e (obteues e preat respectivemet pour m les valeurs 0, e et e) Idetifier chacue de ces courbes sur la figure e justifiat 3 Étudier la positio de la courbe C m par rapport à la droite D d équatio y = + suivat les valeurs du réel m 4 a O appelle D la partie du pla comprise etre les courbes C e, C e, l ae (Oy) et la droite = Hachurer D sur la figure b Das cette questio, a désige u réel positif, D a la partie du pla comprise etre C e, C e, l ae (Oy) et la droite D a d équatio = a O désige par A(a) l aire de cette partie du pla eprimée e uités d aire Termiale S Aales 03

13 Démotrer que pour tout réel a positif : ( ) A a = e e a E déduire la limite de A(a) quad a ted vers + -5 : Asie jui 03, 6 poits O cosidère les foctios f et g défiies pour tout réel par : f ( ) = e et ( ) g = e Les courbes représetatives de ces foctios das u repère orthogoal du pla, otées respectivemet C f et C g, sot fouries ci-cotre Partie A Ces courbes semblet admettre deu tagetes commues Tracer au mieu ces tagetes sur la figure Partie B Das cette partie, o admet l eistece de ces tagetes commues O ote D l ue d etre elles Cette droite est tagete à la courbe C f au poit A d abscisse a et tagete à la courbe C g au poit B d abscisse b a Eprimer e foctio de a le coefficiet directeur de la tagete à la courbe C f au poit A b Eprimer e foctio de b le coefficiet directeur de la tagete à la courbe C g au poit B c E déduire que b = a Démotrer que le réel a est solutio de l équatio ( ) Partie C O cosidère la foctio ϕ défiie sur R par ( ) ( ) a Calculer les limites de la foctio ϕ e et + e + = 0 ϕ = e + b Calculer la dérivée de la foctio ϕ, puis étudier so sige c Dresser le tableau de variatio de la foctio ϕ sur R Préciser la valeur de ϕ ( 0 ) a Démotrer que l équatio ϕ ( ) = 0 admet eactemet deu solutios das R b O ote α la solutio égative de l équatio ϕ ( ) = 0 et β la solutio positive de cette équatio À l aide d ue calculatrice, doer les valeurs de α et β arrodies au cetième Partie D Das cette partie, o démotre l eistece de ces tagetes commues, que l o a admise das la partie B O ote E le poit de la courbe C f d abscisse a et F le poit de la courbe C g d abscisse a (a est le ombre réel défii das la partie C) Démotrer que la droite (EF) est tagete à la courbe C f au poit E Démotrer que (EF) est tagete à C g au poit F -6 : Cetres étragers jui 03, 5 poits O cosidère la foctio g défiie pour tout réel de l itervalle [0; ] par : g( ) = + e Termiale S 3 Aales 03

14 O admet que, pour tout réel de l itervalle [0 ; ], g () > 0 O ote C la courbe représetative de la foctio g das u repère orthogoal et D le domaie pla compris d ue part etre l ae des abscisses et la courbe C, d autre part etre les droites d équatio = 0 et = La courbe C et le domaie D sot représetés cicotre Le but de cet eercice est de partager le domaie D e deu domaies de même aire, d abord par ue droite parallèle à l ae des ordoées (partie A), puis par ue droite parallèle à l ae des abscisses (partie B) Partie A Soit a u réel tel que 0 a O ote A l aire du domaie compris etre la courbe C, l ae (O), les droites d équatio = 0 et = a, puis A celle du domaie compris etre la courbe C, (O) et les droites d équatio = a et = A et A sot eprimées e uités d aire a Démotrer que A = a e a + b Eprimer A e foctio de a Soit f la foctio défiie pour tout réel de l itervalle [0; ] par : f ( ) a Dresser le tableau de variatio de la foctio f sur l itervalle [0 ; ] O précisera les valeurs eactes de f(0) et f() = e + e b Démotrer que la foctio f s aule ue fois et ue seule sur l itervalle [0 ; ] e u réel α Doer la valeur de α arrodie au cetième 3 E utilisat les questios précédetes, détermier ue valeur approchée du réel a pour lequel les aires A et A sot égales Partie B Das cette partie, o se propose de partager le domaie D e deu domaies de même aire par la droite d équatio y = b O admet qu Il eiste u uique réel b positif solutio Justifier l iégalité Détermier la valeur eacte du réel b b < + O pourra utiliser u argumet graphique e -7 : Frace métro, jui 03, 7 poits Sur le graphique ci-dessous, o a tracé, das le pla mui d u repère orthoormal ( O; i, j) représetative C d ue foctio f défiie et dérivable sur l itervalle ] 0;+ [ O dispose des iformatios suivates : les poits A, B, C ot pour coordoées respectives ( ; 0), ( ; ), (0 ; ) ; la courbe C passe par le poit B et la droite (BC) est tagete à C e B ; il eiste deu réels positifs a et b tels que pour tout réel strictemet positif, f ( ) a E utilisat le graphique, doer les valeurs de f ( ) et '( ) b Vérifier que pour tout réel strictemet positif, f' ( ) c E déduire les réels a et b f ( b a) l = a+ bl = la courbe Termiale S 4 Aales 03

15 a Justifier que pour tout réel apparteat à l itervalle ] 0;+ [, f ( ) a le même sige que l b Détermier les limites de f e 0 et e + O pourra remarquer que pour tout réel strictemet positif, l f ( ) = + c E déduire le tableau de variatios de la foctio f 3 a Démotrer que l équatio f ( ) = admet ue uique solutio α sur l itervalle ]0; ] b Par u raisoemet aalogue, o démotre qu il eiste u uique réel β de l itervalle ] ;+ [ tel que f ( β ) = Détermier l etier tel que < β < + O doe l algorithme ci-dessous Variables a, b et m sot des ombres réels Iitialisatio Affecter à a la valeur 0 Affecter à b la valeur Traitemet Tat que b a > 0, Sortie a b Affecter à m la valeur ( + ) Si f(m) < alors affecter à a la valeur m Sio affecter à b la valeur m Fi de Si Fi de Tat que Afficher a Afficher b a Faire tourer cet algorithme e complétat le tableau ci-dessous a 0 b b a m étape étape étape 3 étape 4 étape 5 b Que représetet les valeurs affichées par cet algorithme? c Modifier l algorithme ci-dessus pour qu il affiche les deu bores d u ecadremet de β d amplitude 0 Termiale S 5 Aales 03

16 5 Le but de cette questio est de démotrer que la courbe C partage le rectagle OABC e deu domaies d aires égales a Justifier que cela reviet à démotrer que f ( ) d = b E remarquat que l epressio de ( ) -8 : Polyésie jui 03, 6 poits e f peut s écrire + l, termier la démostratio O cosidère la foctio f défiie sur R par f ( ) = ( + ) e O ote C la courbe représetative de la foctio f das u repère orthogoal Étude de la foctio f a Détermier les coordoées des poits d itersectio de la courbe C avec les aes du repère b Étudier les limites de la foctio f e et e E déduire les évetuelles asymptotes de la courbe C c Étudier les variatios de f sur R Calcul d ue valeur approchée de l aire sous ue courbe O ote D le domaie compris etre l ae des abscisses, la courbe C et les droites d équatio =0 et = O approche l aire du domaie D e calculat ue somme d aires de rectagles a Das cette questio, o découpe l itervalle [0 ; ] e quatre itervalles de même logueur : Sur l itervalle hauteur f ( 0 ) ; sur l itervalle hauteur 0; 4, o costruit u rectagle de f 4 ; sur l itervalle hauteur f ; sur l itervalle hauteur 3 f 4 ; ; 4 3 ; 4, o costruit u rectagle de, o costruit u rectagle de 3 ; 4, o costruit u rectagle de Cette costructio est illustrée ci-cotre L algorithme ci-dessous permet d obteir ue valeur approchée de l aire du domaie D e ajoutat les aires des quatre rectagles précédets : Variables k est u ombre etier ; S est u ombre réel Iitialisatio Affecter à S la valeur 0 Traitemet Pour k variat de 0 à 3 Affecter à S la valeur Fi Pour Sortie Afficher S k S+ f 4 4 Doer ue valeur approchée à 0 3 près du résultat affiché par cet algorithme b Das cette questio, N est u ombre etier strictemet supérieur à O découpe l itervalle [0; ] e N itervalles de même logueur Termiale S 6 Aales 03

17 Sur chacu de ces itervalles, o costruit u rectagle e procédat de la même maière qu à la questio a Modifier l algorithme précédet afi qu il affiche e sortie la somme des aires des N rectagles aisi costruits 3 Calcul de la valeur eacte de l aire sous ue courbe Soit g la foctio défiie sur R par g( ) = ( 3) e O admet que g est ue primitive de la foctio f sur R a Calculer l aire A du domaie D, eprimée e uités d aire b Doer ue valeur approchée à 0 3 près de l erreur commise e remplaçat A par la valeur approchée trouvée au moye de l algorithme de la questio a, c est à dire l écart etre ces deu valeurs -9 : Atilles-Guyae, sept 03, 6 poits Pour tout réel k strictemet positif, o désige par f k la foctio défiie et dérivable sur l esemble des k ombres réels R telle que : f ( ) = ke k O ote C k sa courbe représetative das le pla mui d u repère orthogoal ( O; i, j) Partie A : Étude du cas k= O cosidère doc la foctio f défiie sur R par f( ) = e Détermier les limites de la foctio f e et e + E déduire que la courbe C admet ue asymptote que l o précisera Étudier les variatios de f sur R puis dresser so tableau de variatio sur R 3 Démotrer que la foctio g défiie et dérivable sur R telle que : g ( ) = ( + ) e est ue primitive de la foctio f sur R 4 Étudier le sige de f( ) suivat les valeurs du ombre réel 5 Calculer, e uité d aire, l aire de la partie du pla délimitée par la courbe C, l ae des abscisses et les droites d équatio =0 et =l0 Partie B : Propriétés graphiques O a représeté sur le graphique ci-dessous les courbes C, C a et C b où a et b sot des réels strictemet positifs fiés et T la tagete à C b au poit O origie du repère Motrer que pour tout réel k strictemet positif, les courbes C k passet par u même poit a Motrer que pour tout réel k strictemet positif et tout réel o a : f' ( ) k( ) k = k e b Justifier que, pour tout réel k strictemet positif, f k admet u maimum et calculer ce maimum Termiale S 7 Aales 03 k

18 c E observat le graphique ci-dessus, comparer a et Epliquer la démarche d Écrire ue équatio de la tagete à C k au poit O origie du repère e E déduire à l aide du graphique ue valeur approchée de b -0 : Frace métropolitaie sept 03 6 poits Soit f ue foctio défiie et dérivable sur R O ote C sa courbe représetative das le pla mui d u repère ( O; i, j) Partie A Sur les graphiques ci-dessous, o a représeté la courbe C et trois autres courbes C, C, C 3 avec la tagete e leur poit d abscisse 0 Doer par lecture graphique, le sige de f ( ) selo les valeurs de O désige par F ue primitive de la foctio f sur R a À l aide de la courbe C, détermier F '( 0 ) et '( ) F b L ue des courbes C, C, C 3 est la courbe représetative de la foctio F Détermier laquelle e justifiat l élimiatio des deu autres Partie B Das cette partie, o admet que la foctio f évoquée das la partie A est la foctio défiie sur R par ( ) ( ) Termiale S 8 Aales 03 f = + e L observatio de la courbe C permet de cojecturer que la foctio f admet u miimum a Démotrer que pour tout réel, '( ) ( 4 ) f = + e b E déduire ue validatio de la cojecture précédete

19 O pose I = f ( ) d 0 a Iterpréter géométriquemet le réel I b Soiet u et v les foctios défiies sur R par u( ) = et ( ) c E déduire la valeur eacte de l itégrale I - : Nouvelle-Calédoie /03, 5 poits, tous Termiale S 9 Aales 03 v e 3 O doe l algorithme ci-dessous = Vérifier que f ( u' v uv' ) = + Variables : k et sot des ombres etiers aturels s est u ombre réel Etrée : Demader à l utilisateur la valeur de Iitialisatio : Affecter à s la valeur 0 Traitemet : Pour k allat de 0 à Sortie : Afficher s Affecter à s la valeur Fi de boucle Soit f la foctio dérivable, défiie sur l itervalle ] 0;+ [ par ( ) Étude d ue foctio auiliaire a Soit la foctio g dérivable, défiie sur [ 0;+ [ par ( ) Étudier le ses de variatio de la foctio g k s+ f O ote s le ombre affiché par cet algorithme lorsque l utilisateur etre u etier aturel stritemet positif comme valeur de a Justifier que s 3 représete l aire, eprimée e uités d aire, du domaie hachuré sur le graphique ci-dessous où les trois rectagles ot la même largeur b Que dire de la valeur de s fourie par l algorithme proposé lorsque deviet grad? f = e + g = e b Démotrer qu il eiste u uique réel a apparteat à [ 0;+ [ tel que g( a ) = 0 Démotrer que a appartiet à l itervalle [ 0,703;0,704 [ c Détermier le sige de g( ) sur [ 0;+ [ Étude de la foctio f a Détermier les limites de la foctio f e 0 et e + b O ote f la foctio dérivée de f sur l itervalle ] 0;+ [ Démotrer que pour tout réel strictemet positif, f' ( ) ( ) g = c E déduire le ses de variatio de la foctio f et dresser so tableau de variatio sur l itervalle ] 0;+ [ d Démotrer que la foctio f admet pour miimum le ombre réel m = a + a e Justifier que 3,43< m< 3,45 3 Probabilités 3- : Podichéry, avril 03, 6 poits, o spécialistes Das ue etreprise, o s itéresse à la probabilité qu u salarié soit abset durat ue période d épidémie de grippe U salarié malade est abset

20 La première semaie de travail, le salarié est pas malade Si la semaie le salarié est pas malade, il tombe malade la semaie + avec ue probabilité égale à 0,04 Si la semaie le salarié est malade, il reste malade la semaie + avec ue probabilité égale à 0,4 O désige, pour tout etier aturel supérieur ou égal à, par E l évéemet «le salarié est abset pour cause de maladie la - ième semaie» O ote p la probabilité de l évéemet E O a aisi p = 0 a Détermier la valeur de p 3 à l aide d u arbre de probabilité b Sachat que le salarié a été abset pour cause de maladie la troisième semaie, détermier la probabilité qu il ait été aussi abset pour cause de maladie la deuième semaie a Recopier sur la copie et compléter l arbre de probabilité doé ci-cotre b Motrer que, pour tout etier aturel supérieur ou égal à, p+ = 0,p + 0,04 c Motrer que la suite ( ) u défiie pour tout etier aturel supérieur ou égal à par u = p 0,05 est ue suite géométrique dot o doera le premier terme et la raiso q E déduire l epressio de u puis de p e foctio de et q d E déduire la limite de la suite ( p ) e O admet das cette questio que la suite ( p ) est croissate O cosidère l algorithme suivat : p E E E + E + E + E + Variables K et J sot des etiers aturels, P est u ombre réel Iitialisatio P pred la valeur 0 J pred la valeur Etrée Traitemet Sortie Saisir la valeur de K Tat que P<0,05 0 K P pred la valeur 0, P+0,04 J pred la valeur J+ Fi tat que Afficher J À quoi correspod l affichage fial J? Pourquoi est-o sûr que cet algorithme s arrête? 3 Cette etreprise emploie 0 salariés Pour la suite o admet que la probabilité pour qu u salarié soit malade ue semaie doée durat cette période d épidémie est égale à p = 0,05 O suppose que l état de saté d u salarié e déped pas de l état de saté de ses collègues O désige par X la variable aléatoire qui doe le ombre de salariés malades ue semaie doée a Justifier que la variable aléatoire X suit ue loi biomiale dot o doera les paramètres Calculer l espérace mathématique µ et l écart type σ de la variable aléatoire X b O admet que l o peut approcher la loi de la variable aléatoire X µ par la loi ormale cetrée réduite c est-à-dire σ la loi ormale de paramètres 0 et O ote Z ue variable aléatoire suivat la loi ormale cetrée réduite Le tableau suivat doe les probabilités de l évéemet Z < pour quelques valeurs du ombre réel,55,4 0,9 0,6 0,3 0,00 0,3 0,6 0,93,4,55 p( Z < ) 0,06 0,00 0,77 0,68 0,379 0,500 0,6 0,73 0,83 0,89 0,939 Calculer, au moye de l approimatio proposée e questio b,ue valeur approchée à 0 près de la probabilité de l évéemet : «le ombre de salariés absets das l etreprise au cours d ue semaie doée est supérieur ou égal à 7 et iférieur ou égal à 5» Termiale S 0 Aales 03

21 3- : Amérique du Nord 03, 5 poits Les parties A, B et C peuvet être traitées idépedammet les ues des autres Les probabilités serot arrodies au millième le plus proche Ue boulagerie idustrielle utilise ue machie pour fabriquer des pais de campage pesat e moyee 400 grammes Pour être vedus au cliets, ces pais doivet peser au mois 385 grammes U pai dot la masse est strictemet iférieure à 385 grammes est u pai o commercialisable, u pai dot lamasse est supérieure ou égale à 385 grammes est commercialisable La masse d u pai fabriqué par la machie peut être modélisée par ue variable aléatoire X suivat la loi ormale d espérace µ = 400 et d écart-type σ = Partie A O pourra utiliser le tableau suivat das lequel les valeurs sot arrodies au millième le plus proche P ( X ) 0,035 0,086 0,8 0,35 0,5 0,675 0,88 0,94 0,965 Calculer ( 390 X 40 ) P Calculer la probabilité p qu u pai choisi au hasard das la productio soit commercialisable 3 Le fabricat trouve cette probabilité p trop faible Il décide de modifier ses méthodes de productio afi de faire varier la valeur de σ sas modifier celle de µ Pour quelle valeur de σ la probabilité qu u pai soit commercialisable est-elle égale à 96 %? O arrodira le résultat au diième O pourra utiliser le résultat suivat : lorsque Z est ue variable aléatoire qui suit la loi ormale d espérace 0 et d écart-type, o a P ( Z,75 ) 0,040 Partie B Les méthodes de productio ot été modifiées das le but d obteir 96 % de pais commercialisables Afi d évaluer l efficacité de ces modificatios, o effectue u cotrôle qualité sur u échatillo de 300 pais fabriqués Détermier l itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 % de la proportio de pais commercialisables das u échatillo de taille 300 Parmi les 300 pais de l échatillo, 83 sot commercialisables Au regard de l itervalle de fluctuatio obteu à la questio, peut-o décider que l objectif a été atteit? Partie C Le boulager utilise ue balace électroique Le temps de foctioemet sas dérèglemet, e jours, de cette balace électroique est ue variable aléatoire T qui suit ue loi epoetielle de paramètre λ O sait que la probabilité que la balace électroique e se dérègle pas avat 30 jours est de 0,93 E déduire la valeur de λ arrodie au millième Das toute la suite o predra λ = 0,003 Quelle est la probabilité que la balace électroique foctioe ecore sas dérèglemet après 90 jours, sachat qu elle a foctioé sas dérèglemet 60 jours? 3 Le vedeur de cette balace électroique a assuré au boulager qu il y avait ue chace sur deu pour que la balace e se dérègle pas avat u a A-t-il raiso? Si o, pour combie de jours est-ce vrai? 3-3 : Liba 03, 5 poits L etreprise Fructidou fabrique des compotes qu elle coditioe e petits pots de 50 grammes Elle souhaite leur attribuer la déomiatio «compote allégée» La législatio impose alors que la teeur e sucre, c est-à-dire la proportio de sucre das la compote, soit comprise etre 0,6 et 0,8 O dit das ce cas que le petit pot de compote est coforme L etreprise possède deu chaîes de fabricatio F et F Les parties A et B peuvet être traitées idépedammet Partie A Termiale S Aales 03

22 La chaîe de productio F semble plus fiable que la chaîe de productio F Elle est cepedat mois rapide Aisi, das la productio totale, 70 % des petits pots provieet de la chaîe F et 30 % de la chaîe F La chaîe F produit 5 % de compotes o coformes et la chaîe F e produit % O prélève au hasard u petit pot das la productio totale O cosidère les évèemets : E : «Le petit pot proviet de la chaîe F» C : «Le petit pot est coforme» Costruire u arbre podéré sur lequel o idiquera les doées qui précèdet Calculer la probabilité de l évéemet : «Le petit pot est coforme et proviet de la chaîe de productio F» 3 Détermier la probabilité de l évéemet C 4 Détermier, à 0 3 près, la probabilité de l évèemet E sachat que l évèemet C est réalisé Partie B O ote X la variable aléatoire qui, à u petit pot pris au hasard das la productio de la chaîe F, associe sa teeur e sucre O suppose que X suit la loi ormale d espérace m = 0, 7 et d écart-type σ = 0,006 Doer ue valeur approchée à 0 4 près de la probabilité qu u petit pot prélevé au hasard das la productio de la chaîe F soit coforme O ote Y la variable aléatoire qui, à u petit pot pris au hasard das la productio de la chaîe F, associe sa teeur e sucre O suppose que Y suit la loi ormale d espérace m = 0,7 et d écart-type σ O suppose de plus que la probabilité qu u petit pot prélevé au hasard das la productio de la chaîe F soit coforme est égale à 0, 99 Y m Soit Z la variable aléatoire défiie par Z = σ a Quelle loi la variable aléatoire Z suit-elle? b Détermier, e foctio de σ l itervalle auquel appartiet Z lorsque Y appartiet à l itervalle [0,6; 0,8] c E déduire ue valeur approchée à 0 3 près de σ 3-4 : Atilles-Guyae 03, 5 poits Partie A Soiet u etier aturel, p u ombre réel compris etre 0 et et X ue variable aléatoire suivat ue loi X biomiale de paramètres et p O ote F = et f ue valeur prise par F O rappelle que, pour assez grad, l itervalle probabilité au mois égale à 0,95 p ; p+ cotiet la fréquece f avec ue E déduire que l itervalle f ; f + cotiet p avec ue probabilité au mois égale à 0,95 Partie B O cherche à étudier le ombre d étudiats coaissat la sigificatio du sigle URSSAF Pour cela, o les iterroge e proposat u questioaire à choi multiples Chaque étudiat doit choisir parmi trois réposes possibles, otées A, B et C, la boe répose état la A O ote r la probabilité pour qu u étudiat coaisse la boe répose Tout étudiat coaissat la boe répose répod A, sio il répod au hasard (de faço équiprobable) O iterroge u étudiat au hasard O ote : Termiale S Aales 03

23 A l évèemet «l étudiat répod A», B l évèemet «l étudiat répod B», C l évèemet «l étudiat répod C», R l évèemet «l étudiat coait la répose», R l évèemet cotraire de R a Traduire cette situatio à l aide d u arbre de probabilité P 3 b Motrer que la probabilité de l évèemet A est ( A ) = ( + r ) c Eprimer e foctio de r la probabilité qu ue persoe ayat choisi A coaisse la boe répose Pour estimer r, o iterroge 400 persoes et o ote X la variable aléatoire comptat le ombre de boes réposes O admettra qu iterroger au hasard 400 étudiats reviet à effectuer u tirage avec remise de 400 étudiats das l esemble de tous les étudiats a Doer la loi de X et ses paramètres et p e foctio de r b Das u premier sodage, o costate que 40 étudiats répodet A, parmi les 400 iterrogés Doer u itervalle de cofiace au seuil 0,95 de l estimatio de p E déduire u itervalle de cofiace au seuil 0,95 de r c Das la suite, o suppose que r = 0,4 Compte-teu du grad ombre d étudiats, o cosidérera que X suit ue loi ormale i Doer les paramètres de cette loi ormale ii Doer ue valeur approchée de P ( X 50 ) à 0 près 3-5 : Asie jui 03, 5 poits Das cet eercice, les probabilités serot arrodies au cetième Partie A U grossiste achète des boîtes de thé vert chez deu fourisseurs Il achète 80 % de ses boîtes chez le fourisseur A et 0 % chez le fourisseur B 0 % des boîtes proveat du fourisseur A présetet des traces de pesticides et 0 % de celles proveat du fourisseur B présetet aussi des traces de pesticides O prélève au hasard ue boîte du stock du grossiste et o cosidère les évèemets suivats : - évèemet A : «la boîte proviet du fourisseur A» ; - évèemet B : «la boîte proviet du fourisseur B» ; - évèemet S : «la boîte présete des traces de pesticides» Traduire l éocé sous forme d u arbre podéré a Quelle est la probabilité de l évéemet B S? b Justifier que la probabilité que la boîte prélevée e présete aucue trace de pesticides est égale à 0, 88 3 O costate que la boîte prélevée présete des traces de pesticides Quelle est la probabilité que cette boîte proviee du fourisseur B? Partie B Le gérat d u salo de thé achète 0 boîtes chez le grossiste précédet O suppose que le stock de ce derier est suffisammet importat pour modéliser cette situatio par u tirage aléatoire de 0 boîtes avec remise O cosidère la variable aléatoire X qui associe à ce prélèvemet de 0 boîtes, le ombre de boîtes sas traces de pesticides Justifier que la variable aléatoire X suit ue loi biomiale dot o précisera les paramètres Calculer la probabilité que les 0 boîtes soiet sas trace de pesticides 3 Calculer la probabilité qu au mois 8 boîtes e présetet aucue trace de pesticides Partie C À des fis publicitaires, le grossiste affiche sur ses plaquettes : «88 % de otre thé est garati sas trace de pesticides» Termiale S 3 Aales 03

24 U ispecteur de la brigade de répressio des fraudes souhaite étudier la validité de l affirmatio À cette fi, il prélève 50 boîtes au hasard das le stock du grossiste et e trouve avec des traces de pesticides O suppose que, das le stock du grossiste, la proportio de boîtes sas trace de pesticides est bie égale à 0,88 O ote F la variable aléatoire qui, à tout échatillo de 50 boîtes, associe la fréquece des boîtes e coteat aucue trace de pesticides Doer l itervalle de fluctuatio asymptotique de la variable aléatoire F au seuil de 95 % L ispecteur de la brigade de répressio peut-il décider, au seuil de 95 %, que la publicité est mesogère? 3-6 : Frace métro, jui 03, 5 poits Ue jardierie ved de jeues plats d arbres qui provieet de trois horticulteurs : 35 % des plats provieet de l horticulteur H, 5 % de l horticulteur H et le reste de l horticulteur H 3 Chaque horticulteur livre deu catégories d arbres : des coifères et des arbres à feuilles La livraiso de l horticulteur H comporte 80 % de coifères alors que celle de l horticulteur H e comporte que 50 % et celle de l horticulteur H 3 seulemet 30 % Le gérat de la jardierie choisit u arbre au hasard das so stock O evisage les évéemets suivats : H : «l arbre choisi a été acheté chez l horticulteur H», H : «l arbre choisi a été acheté chez l horticulteur H», H 3 : «l arbre choisi a été acheté chez l horticulteur H 3», C : «l arbre choisi est u coifère», F : «l arbre choisi est u arbre feuillu» a Costruire u arbre podéré traduisat la situatio b Calculer la probabilité que l arbre choisi soit u coifère acheté chez l horticulteur H 3 c Justifier que la probabilité de l évèemet C est égale à 0,55 d L arbre choisi est u coifère Quelle est la probabilité qu il ait été acheté chez l horticulteur H? O arrodira à 0 3 O choisit au hasard u échatillo de 0 arbres das le stock de cette jardierie O suppose que ce stock est suffisammet importat pour que ce choi puisse être assimilé à u tirage avec remise de 0 arbres das le stock O appelle X la variable aléatoire qui doe le ombre de coifères de l échatillo choisi a Justifier que X suit ue loi biomiale dot o précisera les paramètrès b Quelle est la probabilité que l échatillo prélevé comporte eactemet 5 coifères? O arrodira à 0 3 c Quelle est la probabilité que cet échatillo comporte au mois deu arbres feuillus? O arrodira à : Cetres étragers jui 03, 6 poits U idustriel fabrique des vaes électroiques destiées à des circuits hydrauliques Les quatre parties A, B, C, D sot idépedates Partie A La durée de vie d ue vae, eprimée e heures, est ue variable aléatoire T qui suit la loi epoetielle de paramètre λ = 0,000 Quelle est la durée de vie moyee d ue vae? Calculer la probabilité, à 0,00 près, que la durée de vie d ue vae soit supérieure à 6000 heures Partie B Avec trois vaes idetiques V, V et V 3, o fabrique le circuit hydraulique ci-cotre Le circuit est e état de marche si V est e état de marche ou si V et V 3 le sot simultaémet O assimile à ue epériece aléatoire le fait que chaque vae est ou est pas e état de marche après heures Termiale S 4 Aales V V 3 03 V

25 O ote : F l évéemet : «la vae V est e état de marche après heures F l évéemet : «la vae V est e état de marche après heures F 3 l évéemet : «la vae V 3 est e état de marche après heures E : l évéemet : «le circuit est e état de marche après heures O admet que les évéemets F, F et F 3 sot deu à deu idépedats et ot chacu ue probabilité égale à 0,3 L arbre probabiliste ci-cotre représete ue partie de la situatio Reproduire cet arbre et placer les probabilités sur les braches Démotrer que p(e) = 0,363 3 Sachat que le circuit est e état de marche après heures, calculer la probabilité que la vae V soit e état de marche à ce momet là Arrodir au millième Partie C L idustriel affirme que seulemet % des vaes qu il fabrique sot défectueuses O suppose que cette affirmatio est vraie, et l o ote F la variable aléatoire égale à la fréquece de vaes défectueuses das u échatillo aléatoire de 400 vaes prises das la productio totale Détermier l itervalle I de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 % de la variable F O choisit 400 vaes au hasard das la productio O assimile ce choi à u tirage aléatoire de 400 vaes, avec remise, das la productio Parmi ces 400 vaes, 0 sot défectueuses Au vu de ce résultat peut-o remettre e cause, au seuil de 95 %, l affirmatio de l idustriel? Partie D Das cette partie, les probabilités calculées serot arrodies au millième L idustriel commercialise ses vaes auprès de ombreu cliets, la demade mesuelle est ue variable aléatoire D qui suit la loi ormale d espérace µ = 800 et d écart-type σ = 40 Détermier p( 760 D 840 ) Détermier p( D 880 ) 3 L idustriel pese que s il costitue u stock mesuel de 880 vaes, il aura pas plus de % de chace d être e rupture de stock A-t-il raiso? 3-8 : Polyésie jui 03, 5 poits Les 3 parties peuvet être traitées de faço idépedate Thomas possède u lecteur MP3 sur lequel il a stocké plusieurs milliers de morceau musicau L esemble des morceau musicau qu il possède se divise e trois geres disticts selo la répartitio suivate : 30 % de musique classique, 45 % de variété, le reste état du jazz Thomas a utilisé deu qualités d ecodage pour stocker ses morceau musicau : u ecodage de haute qualité et u ecodage stadard O sait que : F F F F 3 - les les 5 9 des morceau de musique classique sot ecodés e haute qualité des morceau de variété sot ecodés e qualité stadard O cosidérera les évéemets suivats : C :«Le morceau écouté est u morceau de musique classique»; V :«Le morceau écouté est u morceau de variété»; J :«Le morceau écouté est u morceau de jazz»; H :«Le morceau écouté est ecodé e haute qualité»; S :«Le morceau écouté est ecodé e qualité stadard» Partie Termiale S 5 Aales 03

26 Thomas décide d écouter u morceau au hasard parmi tous les morceau stockés sur so MP3 e utilisat la foctio «lecture aléatoire» O pourra s aider d u arbre de probabilités Quelle est la probabilité qu il s agisse d u morceau de musique classique ecodé e haute qualité? 3 P = 0 O sait que ( H ) a Les évéemets C et H sot-ils idépedats? b Calculer P ( J H ) et P ( ) Partie J H Pedat u log trajet e trai, Thomas écoute, e utilisat la foctio «lecture aléatoire» de so MP3, 60 morceau de musique Détermier l itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil 95 % de la proportio de morceau de musique classique das u échatillo de taille 60 Thomas a comptabilisé qu il avait écouté morceau de musique classique pedat so voyage Peuto peser que la foctio «lecture aléatoire» du lecteur MP3 de Thomas est défectueuse? Partie 3 O cosidère la variable aléatoire X qui, à chaque chaso stocké sur le lecteur MP3, associe sa durée eprimée e secodes et o établit que X suit la loi ormale d espérace 00 et d écart-type 0 O pourra utiliser le tableau fouri ci-dessous das lequel les valeurs sot arrodies au millième le plus proche O écoute u morceau musical au hasard Doer ue valeur approchée à 0 3 près de ( 80 X 0 ) P Doer ue valeur approchée à 0 3 près de la probabilité que le morceau écouté dure plus de 4 miutes b P ( X b ) b P ( X b ) 40 0,00 0 0, , , , , , , , , , , , : Atilles-Guyae, sept 03, 4 poits Ue etreprise idustrielle fabrique des pièces cylidriques e grade quatité Pour toute pièce prélevée au hasard, o appelle X la variable aléatoire qui lui associe sa logueur e millimètre et Y la variable aléatoire qui lui associe so diamètre e millimètre O suppose que X suit la loi ormale de moyee µ = 36 et d écart-type σ = 0, et que Y suit la loi ormale de moyee µ = 6 et d écart-type σ = 0,05 Ue pièce est dite coforme pour la logueur si sa logueur est comprise etre µ 3σ et µ + 3σ Quelle est ue valeur approchée à 0 3 près de la probabilité p pour qu ue pièce prélevée au hasard soit coforme pour la logueur? Ue pièce est dite coforme pour le diamètre si so diamètre est compris etre 5,88 mm et 6, mm Le tableau doé ci-cotre a été obteu à l aide d u tableur Il idique pour chacue des valeurs de k, la probabilité que Y soit iférieure ou égal à cette valeur Détermier à 0 3 près la probabilité p pour qu ue pièce prélevée au hasard soit coforme pour le diamètre (o pourra s aider du tableau ci-dessous) Termiale S 6 Aales 03

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