Etudes de fonctions. Exercice 1

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1 Etudes de fonctions Eercice 1 Faire une étude complète des fonctions suivantes : a) Domaines de définition, de continuité ; b) Parité et éléments de symétrie du graphe ; c) Limites au bornes du domaine, comportement asymptotique, position du graphe par rapport à l asymptote oblique ou horizontale, le cas échéant ; d) Dérivée et tableau de variations ; e) Dérivée seconde et concavité du graphe ; équations des tangentes au points d infleion f) Tableau des images et représentation graphique. (1) 4 f : 1 () 4 f : 1 (3) 8 f : (4) 4 f : 3 (5) f : 1 (6) (7) (8) (9) (10) (11) 3 f : 3 f : f : f : 1 f : f : 8 (1) f : 1 (13) f : (14) 1 f : 1 (15) f : 1 (16) f : 1 (17) f : 1 (18) (19) (0) f : 1 1 f : f : (1) f : 3 () f :

2 Eercice Faire une étude complète des fonctions suivantes, définies à l aide de fonctions trigonométriques. La concavité du graphe est à déterminer dans les cas marqués par une ( ). Déterminer la périodicité de la fonction, le cas échéant. Réduire le domaine d étude autant que possible en utilisant la périodicité et les éléments de symétrie du graphe. 1 (1) f : cos ( ) () f : sin ( ) (3) f : cos sin Montrer en particulier que f est périodique de période et que admet f la droite comme ae de symétrie. (4) f : sin cos ( ) Montrer en particulier que f est impaire, périodique de période et que admet la droite comme ae de symétrie. Déterminer les racines f de f. (5) f : 1 cos ( ) (6) (7) f : tan tan f : sin cos cos 1 (8) f : sin cos ( ) 1 (9) f : cos cos( ) 1 sin (10) f : 1 cos (11) f : cos cos si k ( k ) (1) f : 1 tan 0 si k Montrer en particulier que f est périodique de période et que le point (,1) est un centre de symétrie du graphe de f. Montrer qu on peut 4 obtenir f à partir du graphe de la fonction tangente par une translation à déterminer.

3 Eercice 3 Soit la fonction 1 f : 1 et f sa représentation graphique dans un repère orthonormé du plan. de f? Justifier les réponses! b) Etudier la parité de f et en déduire un élément de symétrie de f. c) Etudier les limites de f au bornes du domaine et en déduire les asymptotes éventuelles à f. d) Etudier les variations de f et dresser son tableau de variations. e) Etudier la concavité de f et résumer cette étude dans un tableau. f) Déterminer une équation cartésienne de la tangente t à f au point d abscisse 0. Etudier la position de f par rapport à t. g) Tracer f et t dans un repère orthonormé du plan. Eercice 4 Soit les fonctions f et g définies par : 3 f : 1 et g : re partie : Etude de g. de g? Justifier les réponses! b) Etudier les limites de g au bornes du domaine et en déduire les asymptotes éventuelles à g. c) Montrer que g est strictement croissante sur. d) En déduire que g admet une seule racine, dont on déterminera la valeur eacte. e partie : Etude de f. de f? Justifier les réponses! b) Quelles sont les limites de f au bornes du domaine. Etudier l eistence d asymptotes. c) Etudier les variations de f en utilisant les résultats de la 1 re partie. d) Représenter graphiquement f dans un repère orthonormé.

4 Eercice 5 On considère la fonction f définie par : Eercice 6 a, si 0 f : 1 b, si 0 où a et b sont des paramètres réels. a) Montrer que f est continue et dérivable sur. b) Comment faut-il choisir a et b pour que f soit continue et dérivable sur? c) En prenant les paramètres a et b déterminés en b), f est-elle deu fois Soit la fonction dérivable en 0? 4 16 f : 8 1 et f sa représentation graphique dans un repère orthonormé du plan. de f? Justifier les réponses! b) Etudier la parité de f et en déduire un élément de symétrie de f. c) Etudier les limites de f au bornes du domaine et en déduire le comportement asymptotique de la fonction. d) Etudier les variations de f et dresser son tableau de variations. e) Etudier la concavité de f et résumer cette étude dans un tableau. f) Montrer que la droite est un ae de symétrie de f. e) Représenter graphiquement f dans un repère orthonormé. Eercice 7 Soit les fonctions Arctan si 0 f : 1 si 0 et h : Arctan 1 a) Etudier la fonction h : domaines de définition, de continuité et de dérivabilité, limites, asymptotes, sens de variation. Calculer h 0 et en déduire le signe de h.

5 b) Etudier ensuite la fonction f : domaine de définition, continuité, limites et asymptotes, dérivablité en un réel non nul, puis en 0. Montrer que : h f ' En déduire le sens de variation de f et son tableau de variation. Représenter graphiquement f dans un repère orthonormé. Eercice 8 1 Soit la fonction f :. 1 Faire l étude de f : a) Domaines de définition et de continuité. b) Limites au bornes du domaine et asymptotes. c) Etude de la dérivabilité de f : en un réel 0 et 1, puis en 0. d) Déterminer les racines de f ', puis étudier le signe de f '. e) En déduire le tableau de variation de f. f) Soit g : 1. Montrer que f et voisinage de, c.-à-d. que lim f g 0 g) Etudier la position relative des graphes f et g. g sont asymptotes au h) Représenter graphiquement f et g dans un repère orthonormé. Eercice 9 Soit la fonction Faire l étude de f : f : Arcsin 1 a) Domaines de définition et de continuité. b) Etudier la parité de f. c) Limites au bornes du domaine et asymptotes. d) Montrer que : si \ 1, 1 ' f si 1 ou 1 1 e) Etudier la dérivabilité de f en 1 et en 1. Interpréter graphiquement les résultats. f) Des résultats précédents, déduire le tableau de variation de f.

6 g) Etudier la concavité de f et résumer cette étude dans un tableau. h) Déterminer l équation de la tangente t à f en O. i) Représenter graphiquement f et t.