Fonctions trigonométriques. 1) Une nouvelle unité de mesure des angles : le radian

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1 Fonctions trigonométriques ) Une nouvelle unité de mesure des angles : le radian Soit C un cercle de centre O et de rayon OI = sur lequel on définit un sens de parcours positif appelé sens direct (sens contraire des aiguilles d une montre) : ce cercle s appelle cercle trigonométrique. (sens indirect : sens des aiguilles d une montre) Soit J un autre point du cercle tel que le repère (O; OI, OJ ) soit orthonormé. Soit d la droite tangente au cercle en I. On note K le point de coordonnées ( ; ). On munit d du repère (I ; IK ). La circonférence d un cercle de rayon vaut. Dans l unité de longueur choisie, la longueur du demi-cercle est. "Enroulons" la droite d sur le cercle dans le sens direct. Les points de d d abscisse positive viennent coïncider avec les points du cercle. On utilise ainsi une nouvelle unité de mesure des angles appelée le radian. J K A' J' K' Exemples : C Si A est le point de d d abscisse, alors le point du cercle en coïncidence avec A est A, et l angle IOA dans le sens direct mesure radians. A O I Si on place un point J sur la droite d tel que J et J coïncident. Alors, la longueur de c IJ dans le sens direct est (quart de la circonférence) et l abscisse de J sur d est. L angle IOJ dans le sens direct mesure radians. B - -

2 Définition du radian : Si K est le point de d d abscisse, alors le point du cercle en coïncidence avec K est K, et l angle IOK dans le sens direct mesure radian. Remarque : un angle donné aura plusieurs mesures en radians puisque le point correspondant sur le cercle trigonométrique sera en coïncidence avec plusieurs points de la droite d distants d un tour, c'est-à-dire de (on peut donc ajouter des tours, c est à dire des multiples de ) ; IOI mesure rad ou rad ou + rad = rad IOJ mesure rad ou + rad IOA mesure rad ou + rad = rad IOB mesure rad ou + rad = 5 rad. = 7 rad. Remarque : En enroulant la droite d sur le cercle dans le sens indirect, on fait coïncider les points de la droite d d abscisse négative avec les points du cercle C, ou en retirant des tours (c est à dire des multiples de ), on obtient aussi des mesures d angle négatives Propriété : pour convertir des degrés en radians (ou le contraire), on utilisera un tableau de proportionnalité du type : Mesure en degrés ) Fonctions cosinus et sinus a) Définition Soit C le cercle trigonométrique. Mesure en radians Définition : Soit M un point de C tel que IOM = x rad (x Y). Le cosinus de x, noté cos x, est l abscisse de M. Le sinus de M, noté sin x, est l ordonnée de M. Exemples : cos = et sin = ; cos = - et sin = ; cos = et sin =. 6 Propriété : Pour tout x réel, - cos x ; - sin x et cos² x + sin² x = (cette dernière propriété est due au théorème de Pythagore). Remarque : on retrouve ce qui a été vu en Troisième dans le triangle rectangle, en prenant < x <.

3 Propriété : Quel que soit le réel x, cos(x + ) = cos x et sin(x + ) = sin x (voir la remarque du ) sur les «tours»). On dit que le cosinus et le sinus ont pour période. Propriété : Quel que soit le réel x, cos(-x) = cos x et sin(-x) = - sin x. Valeurs remarquables à connaître : cos x sin 6 - b) Fonction cosinus La fonction définie sur Y par x ï cos x s appelle la fonction cosinus. Sa période étant de, on peut se permettre de ne l étudier que sur un intervalle d amplitude comme [ - ; ]. Y étant symétrique par rapport à et vu la propriété, la fonction cos est paire. Sa courbe représentative sera dons symétrique par rapport à l axe des ordonnées. On peut donc réduire l étude à [ ; ] Tableau de variations : Sur [ ; ] : cos x -

4 En utilisant la parité, on obtient les variations sur [ - ; ] : x - - cos x Représentation graphique : - - On trace l ébauche de la courbe sur [ ; ] (en utilisant, par exemple, les valeurs remarquables vues plus haut), puis on complète sur [ - ; ] grâce à la symétrie par rapport à l axe des ordonnées. Enfin, la courbe obtenue sur [ - ; ] est reproduite de en (on effectue des translations de vecteurs de longueur de direction l axe des abscisses dans un sens et dans l autre). Cette courbe s appelle une sinusoïde. y x - c) Fonction sinus La fonction définie sur Y par x ï sin x s appelle la fonction sinus. Sa période étant de, on peut se permettre de ne l étudier que sur un intervalle d amplitude comme [ - ; ]. Y étant symétrique par rapport à et vu la propriété, la fonction sin est impaire. Sa courbe représentative sera dons symétrique par rapport à l origine. On peut donc réduire l étude à [ ; ]

5 Tableau de variations : Sur [ ; ] : sin x En utilisant le fait que la fonction sinus soit impaire, on obtient les variations sur [ - ; ] : x - - sin x Représentation graphique : On procède de la même façon que pour la fonction cosinus. Cette courbe s appelle aussi une sinusoïde. - y x - 5

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