Table des matières. Cours

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1 Table des matières Chapitre 1 Étude de fonctions 11 I. Réels et intervalles A. L ensemble des réels B. Les intervalles de réels II. Les fonctions numériques A. Principe B. Images et antécédents III. Études de fonctions A. Domaine de définition B. La courbe représentative C. Le sens et le tableau de variations D. Le maximum et le minimum Utiliser le calcul pour déterminer les antécédents d un nombre par une fonction Déterminer l appartenance d un point à une courbe Entraînement Corrigés Chapitre 2 Les fonctions usuelles 29 I. Les fonctions affines A. Sens de variation et signe d une fonction affi ne B. La courbe représentative

2 II. La fonction carrée III. La fonction inverse IV. Les polynômes du second degré V. Les fonctions homographiques VI. Les enchaînements de fonctions Déterminer l expression d une fonction affi ne Tracer la représentation graphique d une fonction affi ne Utiliser une fonction de référence pour comparer deux nombres Donner le sens de variation et l extremum d une fonction trinôme du second degré Entraînement Corrigés Chapitre 3 Les équations 53 I. La résolution algébrique d équations A. Les équations du premier degré B. Les équations du second degré C. Quotient nul D. Les systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues II. La résolution graphique d équations A. Exactitude des solutions par résolution graphique B. Résolution d une équation du type f (x) = a C. Résolution d une équation du type f (x) = g (x) Résoudre une équation de type ax + b = cx + d Résoudre une équation produit Résoudre une équation quotient Résoudre une équation du type (u(x)) 2 = a...65 Entraînement Corrigés

3 Chapitre 4 Les inéquations 73 I. La résolution algébrique d inéquations...74 A. Le signe de ax + b...74 B. Les tableaux de signes II. La résolution graphique d inéquations...76 A. Les inéquations du type f(x) > a...76 B. Les inéquations du type f(x) > g(x)...76 C. Le signe d une fonction Résoudre une inéquation du type ax + b < cx + d Résoudre une inéquation produit ou quotient à l aide d un tableau de signes Résoudre une inéquation du type x 2 < a ou x 2 > a...81 Entraînement Corrigés Chapitre 5 La trigonométrie 87 I. Enroulement de la droite des réels A. Cercle trigonométrique II. Le cosinus et le sinus A. Caractérisation sur le cercle trigonométrique B. Les valeurs remarquables de cos et sin C. Cosinus et sinus de quelques réels associés Placer sur le cercle trigonométrique le point associé à un réel quelconque Déterminer le cosinus et le sinus d un réel associé Déterminer le cosinus d un réel à partir de son sinus, et réciproquement Entraînement Corrigés

4 Chapitre 6 Géométrie analytique 103 I. Le repérage dans le plan A. Le repère orthonormal B. Les coordonnées d un point C. La distance entre deux points D. Les coordonnées du milieu d un segment II. Les droites dans le repère A. Les équations de droites B. Le coefficient directeur C. Les droites parallèles D. Systèmes et intersection de deux droites Calculer la distance entre deux points dans un repère orthonormé Déterminer les coordonnées du symétrique d un point par rapport à un autre Déterminer si deux droites sont parallèles Étudier l intersection de deux droites Entraînement Corrigés Chapitre 7 Géométrie plane 125 I. Les symétries A. Caractérisation d une symétrie axiale B. Caractérisation d une symétrie centrale II. Les triangles A. Les hauteurs B. Les médianes C. Les médiatrices D. Les bissectrices E. Les triangles rectangles III. Les parallélogrammes A. Caractérisation d un parallélogramme B. Caractérisation d un losange

5 C. Caractérisation d un rectangle D. Caractérisation d un carré IV. Les aires des figures de référence A. Le triangle B. Parallélogramme, losange, rectangle, carré C. Le disque D. Le trapèze Reconnaître un quadrilatère particulier Démontrer qu un triangle est rectangle Entraînement Corrigés Chapitre 8 Les vecteurs 145 I. Les vecteurs du plan A. La translation B. Les propriétés C. Opérations sur les vecteurs II. Les coordonnées cartésiennes dans un repère A. Les coordonnées d un point B. Les coordonnées d un vecteur III. Les vecteurs colinéaires A B. La caractérisation analytique Construire un représentant de la somme de deux vecteurs Appliquer la relation de Chasles Tracer un représentant d un vecteur dans un repère Déterminer les coordonnées d un point pour respecter une égalité vectorielle Montrer que deux vecteurs sont colinéaires Entraînement Corrigés

6 Chapitre 9 Géométrie dans l espace 169 I. Les solides de référence A. La perspective cavalière B. Le parallélépipède rectangle et le cube C. La pyramide et le tétraèdre D. Le cylindre de révolution E. Le cône de révolution F. La sphère et la boule II. Caractérisation des droites et plans de l espace A. Les droites de l espace B. Les plans de l espace III. Les positions relatives dans l espace A. La position relative de deux droites B. La position relative d une droite et d un plan C. La position relative de deux plans D. Plans parallèles et droites parallèles Déterminer l intersection de deux plans de l espace Démontrer que deux droites sont parallèles Démontrer que deux plans sont parallèles Entraînement Corrigés Chapitre 10 Les statistiques 191 I. Les séries statistiques A. Vocabulaire B. Les séries quantitatives discrètes C. Les séries quantitatives regroupées en classes D. Les séries qualitatives II. Les paramètres de position d une série quantitative A. La moyenne B. Les médianes

7 C. Les quartiles III. Les représentations graphiques A. Les diagrammes en bâtons B. Les histogrammes C. Les diagrammes en boîte (ou boîtes à moustaches) Calculer les fréquences d une série statistique Calculer la moyenne d une série statistique Construire la courbe des fréquences cumulées croissantes Déterminer une médiane et les quartiles d une série statistique Entraînement Corrigés Chapitre 11 Les probabilités 217 I. Expérience aléatoire A. L univers B. Les événements II. Probabilité sur un ensemble fini A. La probabilité d un événement B. La réunion d événements C. L événement contraire D. L équiprobabilité Calculer la probabilité d un événement Représenter une expérience aléatoire à l aide d un arbre pondéré Entraînement Corrigés

8 Chapitre 12 L échantillonnage 237 I. Fluctuation d échantillonnage A. Échantillon B. Détermination d un intervalle de fluctuation C. Prise de décision sur un échantillon II. Estimer une proportion inconnue A. Mise en situation B. Intervalle de confiance Entraînement Corrigés

9 Chapitre 1 Étude de fonctions

10 1 Étude de fonctions I. Réels et intervalles A. L ensemble des réels L ensemble des réels, noté, est l ensemble des nombres qu il est possible de placer sur un axe gradué (appelé droite des réels). Propriété Remarque Les ensembles de nombres sont inclus les uns dans les autres de la façon suivante : L ensemble des entiers naturels est inclus dans. L ensemble des entiers relatifs est inclus dans. L ensemble des nombres décimaux est inclus dans. L ensemble des nombres rationnels est inclus dans. Les ensembles,,, sont donc inclus dans. B. Les intervalles de réels Soient deux réels a et b tels que a b. On appelle intervalle de réels une partie (continue) de la droite des réels : x appartient à l intervalle ab ; signifie que a x b. x appartient à l intervalle ab ; signifie que a x b. x appartient à l intervalle ab ; signifie que a x b. x appartient à l intervalle ab ; signifie que a x b. x appartient à l intervalle [ a; [ signifie que a x. 12

11 x appartient à l intervalle ] a; [ signifie que a x. x appartient à l intervalle ] ; a] signifie que x a. x appartient à l intervalle ] ; a[ signifie que x a. Si 3 x 4, alors on peut écrire x ]; 34]. Si x 8, alors on peut écrire x ] ; 8[. Remarque Propriété se lit : «plus l infini». se lit : «moins l infini». Une borne infinie d intervalle implique toujours un crochet ouvert. Pour représenter un intervalle sur la droite des réels, on marque : Un crochet fermé si la borne est incluse dans l intervalle. Un crochet ouvert si la borne est exclue de l intervalle. On représente ci-dessous l intervalle [ ab ; [: II. Les fonctions numériques A. Principe Remarque On appelle fonction numérique, ou simplement fonction, un procédé qui associe, à tout réel x d une partie E de, un unique réel y. On note : f( x) Si l on connaît l expression de la fonction f, on peut exprimer f( x ) en fonction de la variable x. La fonction f définie pour tout réel x par f( x) 2x 1, associe à la variable x la valeur y 2x 1. y 13

12 1 Étude de fonctions B. Images et antécédents Remarque Remarque On appelle image de x par f le réel y qui vérifie : f( x) y L image de 5 par la fonction f définie pour tout réel x par f( x) 2x 1 est égale à : f () Si elle existe, l image de x par f est unique. On appelle antécédent(s) de y par f le(s) réel(s) x qui vérifie(nt) : f( x) y 11 est l image de 5 par f, définie par f( x) 2x 1, donc 5 est un antécédent de 11 par f. Un réel peut admettre zéro, un ou plusieurs antécédents par f. Soit f la fonction définie pour tout réel x par f( x) 2 x. 4 étant à la fois l image de 2 et de 2 par f, 4 admet deux antécédents par f. La fonction f étant à valeurs positives, 5 n a pas d antécédents par f. III. Études de fonctions A. Domaine de définition On appelle ensemble ou domaine de définition de la fonction f, noté D, l ensemble f des réels qui ont une image par f. La fonction f( x) 2 5x est définie pour tout réel x. On note D f. 14

13 Remarque On appelle valeur interdite un réel dont on ne peut calculer l image par f. On ne peut pas calculer l image de 1 par la fonction f( x) x car on ne peut pas calculer la racine carrée d un nombre négatif. Donc 1 est une valeur interdite pour cette fonction. 1 Soit f( x) x Sachant qu on ne peut pas diviser par 0, 0 n a pas d image par f. Le réel 0 est ainsi une valeur interdite de la fonction f. Si le réel a est la seule valeur interdite de la fonction f, on exclut la valeur a du domaine de définition en écrivant : Df \{ a} ou Df { a}. Dans le cas où f n est pas défi nie en 0, on écrit communément : D f (lire «R étoile»). B. La courbe représentative La courbe représentative C f d une fonction f dans un repère du plan est l ensemble des points de coordonnées ( x; f( x )), pour tous les réels x du domaine de définition de f. 15

14 1 Étude de fonctions Propriété L image de x par f est l ordonnée du point de C f d abscisse x. Les antécédents de y par f sont les abscisses des points de C f d ordonnée y. L image de 4,5 est 1. Les antécédents de 3 sont 5 et 6. C. Le sens et le tableau de variations Une fonction f est croissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I, et pour tous réels x et y de I tels que x < y : f( x) f( y) Allure de la courbe représentative d une fonction croissante 16

15 Une fonction f est décroissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I, et pour tous réels x et y de I tels que x < y : f( x) f( y) Allure de la courbe représentative d une fonction décroissante Une fonction f est strictement croissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I, et pour tous réels x et y de I tels que x < y : f( x) f( y) Remarque Toute fonction strictement croissante sur un intervalle I est également croissante sur I. Une fonction f est strictement décroissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I, et pour tous réels x et y de I tels que x < y : f( x) f( y) Remarque Toute fonction strictement décroissante sur un intervalle I est également décroissante sur I. 17

16 1 Étude de fonctions Une fonction f est constante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I et s il existe un réel a tel que, pour tout réel x de I : f( x) a On représente ci-après la fonction constante définie par 1 f( x), pour tout réel x : 2 Allure de la courbe représentative d une fonction constante Propriété On peut résumer les variations de la fonction f à l aide d un tableau de variations : Une flèche montante signifie que la fonction est croissante sur cet intervalle. Une flèche descendante signifie que la fonction est décroissante sur cet intervalle. Une double barre signifie que le réel correspond à une valeur interdite. On note enfin les valeurs de la fonction aux réels où elle change de sens de variation. Le tableau de variations de la fonction f ci-dessus permet d en déduire que : f est décroissante sur l intervalle [ 3; 15, ] ; f est croissante sur l intervalle [ 152, ; [ ; f est décroissante sur l intervalle ]; 2 [; f ( 3) 5 f ( 15, ) 0 2 est une valeur interdite. 18