BREVET BLANC de MATHEMATIQUES n 2

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1 BREVET BLANC de MATHEMATIQUES n avril durée : heures Les calculatrices sont autorisées. L orthographe, le soin et la présentation sont notés sur 4 points. NE PAS OUBLIER DE RENDRE LA FEUILLE ANNEXE Activités numériques (1 points) Exercice On donne : A = Calculer le nombre A. Écrire les étapes et donner le résultat sous la forme d une fraction irréductible On donne B= ( ) 8 80 Calculer le nombre B. Vérifier que B est un nombre entier. Exercice On donne les nombres C = + et D =. Calculer sous la forme la plus simple possible : C+ D ; C D ; C D. Exercice Exercice 4 1. Soit E = Ecrire E sous la forme a 6 (où a est un entier).. Soit F = ( )( + ). Développer et réduire D En 006 une entreprise a augmenté ses ventes de 0%. En 007, les ventes ont encore augmenté, cette fois-ci de 0%. Calculer l augmentation globale en pourcentage sur ces deux années. Exercice Résoudre les équations et inéquations suivantes : x x 7 = 0 1. ( ). 4 0 x =. x + < 0 (représenter graphiquement les solutions sur un axe gradué).

2 Activités géométriques (1 points) Exercice 1 On donne : EO = cm ; OC = cm et OA = 6 cm. Les points E, O et C sont alignés. Les triangles ENO et OCA sont respectivement rectangles en E et en C. La droite (AO) coupe la droite (NE) en S. 1. Prouver que AC = cm.. a) Prouver que les droites (NS) et (AC) sont parallèles. b) Calculer les valeurs exactes de OS et de ES.. Calculer ON sachant que a NOE = 0. Arrondir au millimètre. 4. a) Calculer la mesure de l angle a COA. b) Démontrer que le triangle SON est rectangle. Exercice Sur la feuille donnée en annexe, tracer un carré EFGH de côté 6 cm. 1. Construire le point J tel que FJ = EF.. Construire le point K tel que FK = EH + EF. Exercice 1. Sur le quadrillage donné en annexe, construire : La figure F 1, image de la figure F par la symétrie de centre B (nommer E l image de A). La figure F, image de la figure F 1 par la symétrie de centre C (nommer T l image de E). On hachurera sur le dessin les figures F 1 et F ainsi obtenues.. Quelle transformation permet de passer directement de la figure F à la figure F?

3 Problème(1 points) Sur une page entière, tracer un repère orthonormal (O, I, J) d unité le centimètre. Placer les points A (6 ; ) B ( ; ) C ( 4 ; 0) 1. Calculer la longueur AB. Prouver que AB = 4.. On donne de plus : AC = 1 et BC = 4. Déterminer la nature du triangle ABC. Justifier la réponse.. Calculer l aire du triangle ABC. Montrer que le résultat est un nombre entier naturel. 4. On considère le cercle circonscrit au triangle ABC. a) Préciser la position de son centre appelé K, et la longueur de son rayon. Justifier. Placer K. b) Calculer les coordonnées du centre K.. a) Construire le point E, symétrique de B par rapport au point K. b) Quelle est la nature du quadrilatère ABCE? Justifier très soigneusement. 6. a) Placer le point D tel que ACBD soit un parallélogramme. b) Calculer les coordonnées du vecteur CA. c) En déduire par le calcul les coordonnées du point D. Question BONUS (facultatif) Un point M a pour coordonnées ( ; y). Déterminer par le calcul la valeur de y pour que l angle a ACM soit un angle droit. NE PAS OUBLIER DE RENDRE LA FEUILLE ANNEXE

4 Numéro d anonymat : ACTIVITES GEOMETRIQUES : EXERCICE ACTIVITES GEOMETRIQUES : EXERCICE B A F C

5 CORRIGE BREVET BLANC de MATHEMATIQUES avril durée : heures Activités numériques (1 points) Exercice 1 1. A = 6 A = A = 1 1 A = A = B= ( ) B= B= B= , ( ) 0,4 1 B= 0,4 B = 4 B est bien un nombre entier Exercice On donne les nombres C = + et D =. C + D = + + C + D = 4 C + D = + ( ) C + D = + + C + D = C D=( + )( ) C D=( ) C D= 4 C D= Exercice E = E = E = E = 6 F = ( )( + ) F = F = Exercice 4 Soit x le prix initial. Après l augmentation de 0%, ce prix est multiplié par 1+ 0 = 1,. Il vaut donc 1, x. 0 Après l augmentation de 0%, ce nouveau prix est multiplié par = 1,. Il vaut donc finalement 1, x 1, = 1,6 x. x ï 1, x ï 1,6 x Appelons p le pourcentage total d augmentation.

6 p On a alors = 1,6 p Donc 0 = 0,6 Donc p = 0,6 0 = 6 Il s agit donc d une hausse de 6 %. Exercice Résoudre les équations et inéquations suivantes : x x 7 = 0 4. ( ) Si le produit est nul, alors au moins un des facteurs est nul, donc : x = 0 ou x 7 = 0 x = 7 x =, Les solutions sont 0 et,.. 4x = 0 x = 0 4 x = Les solutions sont = et = 6. x + < 0 x < x < Je représente en gras les nombres solution 0 Activités géométriques (1 points) Exercice 1. Dans le triangle OAC rectangle en C, d après le théorème de Pythagore : OA = OC + CA 6 = + CA CA = 6 9 CA = 7 CA = 7 = 9 =

7 6. a) Les droites (NS) et (AC) sont perpendiculaires à la droite (EC) donc elles sont parallèles. b) On sait que : les droites (EC) et (AS) sont sécantes en O, les droites (NS) et (AC) sont parallèles. On applique le théorème (direct) de Thalès : OA OC AC = = OS OE SE Donc 6 = OS 6 OS= OS = cm Et = SE SE= SE = cm 7. Dans le triangle NOE rectangle en O, OE cos ( NOE) = cos 0 = ON = ON ON cos0 On sait que cos 0 = donc ON = = = ON,8 cm (arrondi au mm) 8. a) Dans le triangle COA rectangle en C, CO cos ( COA) = cos COA OA ( ) = COA = 60 6 b) Les angles a COA et a EOS sont opposés par le sommet donc ils ont même mesure : 60. On a donc a SON = a SOE + a EON a SON = a SON = 90. Le triangle SON est donc bien rectangle en O. Exercice E F J. Construire le point J tel que 4. Construire le point K tel que EF. FJ = FK = EF. EH + H G K

8 Exercice On peut passer directement de la figure F à la figure F par la translation de vecteur BC E F1 B A F C F T Problème(1 points) E K J 1. AB = ( x x ) + ( y y ) B A B A AB = 80 = 16 AB = 4 AB = ( 6) + ( ) AB =

9 . On sait que dans le triangle ABC : AB = 4 cm, AC = 1 cm et BC = 4 cm. Calculons d une part AC AC = 1 = 1 Calculons d autre part AB + BC AB + BC = = = 1 Dans le triangle ABC, AB + BC = AC, donc d après la réciproque du théorème de Pythagore, ABC est un triangle rectangle en B.. aire de ABC = BA BC 4 = = = 0 aire de ABC = 0 cm. 4.a. Le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le milieu de son hypoténuse. K est donc le milieu de [AC]. 1 Le rayon vaut la moitié de la longueur de l hypoténuse. Donc il est égal à A C A C b. On a K x + x ; y + y K ; K 1; ou encore cm..b. On sait que K est le milieu de [AC]. De plus, E est le symétrique de B par rapport au point K donc K est aussi le milieu de [EB]. Le quadrilatère ABCE a ses diagonales de même milieu donc c est un parallélogramme. De plus, on a déjà démontré que le triangle ABC était rectangle en B. Or si un parallélogramme a un angle droit alors c est un rectangle, Donc ABCE est un rectangle. 6. b. xa xc CA CA ya y CA C 0 c. Comme ACBD est un parallélogramme, alors CA = BD. Lorsque deux vecteurs sont égaux, leurs couples de coordonnées sont égaux. xd xb xd = CA et BD, on obtient alors les équations : yd yb yd + = xd = 1 D ( 1 ; ) yd = Question BONUS (facultatif) 1. Le triangle AMC est rectangle en C, d après le théorème de Pythagore : = CM = ( + 4) + ( y 0) AC 1 et AM = ( 6) + ( y ) En remplaçant dans la relation : y = 11+ y y y = y y y = y = Le point M a pour ordonnée. AC + CM = AM, or :