21e championnat des jeux mathématiques et logiques

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1 1e chapionna des jeu ahéaiques e logiques Qualificaion régionale valaisanne 15 novebre 006 Soluions 1. Les cases ou Le chein ou 3. Les lianes Nobre de lianes de Disances parcourues avec les lianes de 7 () Disances resanes à parcourir Seule la disance resane de 0 peu êre aeine avec des lianes de 4. Sauel a besoin de 3 lianes de 7 e de 5 lianes de 4 pour aeindre la pierre. Il doi uiliser 8 lianes. 4. Les caillou u oal, il y a 4 caillou. la fin, il doi y avoir 6 caillou par boîe. Les boîes on éé nuéroées de à, en allan de gauche à droie. Le ableau suivan onre les échanges pour obenir 6 caillou par boîe. e n es pas la seule anière d échanger les caillou. Il fau un iniu de 8 coups. Dépar oîe oîe oîe oîe D La baignoire En 10 inues, on pourrai replir baignoires e vider 1 baignoire. Il fau donc 10 inues pour en replir une avec la vidange ouvere. 6. Les ibres Dans la preière colonne du ableau, on e ce que possède Laura à la fin des échanges: 51 ibres ialiens e 0 ibre suisse. van cee éape, elle possédai 46 ibres ialiens e 3 ibres suisses. On coninue ainsi jusqu à ce que l on ai un oal de 45 ibres. ce oen-là, Laura avai 9 ibres suisses. Nobre de ibres ialiens Nobre de ibres suisses Nobre oal de ibres Page 1 sur 5

2 7. Les cases Les nobres 1 à 9 occupen 9 cases. Les nobres 10 à 99 occupen 180 cases (90 fois ). Il rese 1817 cases ( ) qui devron êre occupées par des nobres à 3 chiffres divisé par 3 = 605 avec coe rese = 704. Le 4 de 704 occupe la case 004. es un 7 qui occupera la case 005 e un 0 qui occupera la case Le vendeur Faisons le schéa suivan où il n y a aucun éléen faisan parie des rois ensebles. On a les quare égaliés suivanes : D + E + F = 19 (1) pierre + + E = 17 () Page sur 5 E + F + D = 13 (3) + D + = 8 (4) En sousrayan () de (1), on obien + D + F = (5) Dans le ableau ci-dessous, eons d abord les si cas possible concernan les valeurs de, D e F, d après l égalié (5). Grâce à l égalié (3), on peu ensuie copléer la colonne E. Grâce à l égalié (4), on peu ensuie copléer la colonne. E enfin, si possible, replir la colonne grâce à l égalié (). Seule la ligne où = 0 es possible. On peu conclure que personnes (D) on acheé à la fois du sable e du cien. D F E ipossible ipossible ipossible ipossible ipossible On aurai pu faire plus siple : () + (3) + (4) = D + E + F = 38 (6). En faisan (6) (1), on a + D + E = 19. D après (1), on a = = F = 0. Selon (5), + D + F =. lors, D =. 9. La ule E D Illusrons la siuaion par le croquis suivan : 40 7 k 60 1/3 de à P /3 de à P /3 de P à Q 1/3 de P à Q 1/3 de à P = 40, alors /3 de à P = 80. 1/3 de P à Q = 60, alors /3 de à P = 10 7 k = = 00. Teps de à Q = = = 7 k, alors 300 = 10,5 k. F cien sable P Q Rearque : les données 40 e 60 son superflues ais le problèe serai plus difficile à résoudre y ( + y = 7 k, 3,5 k )

3 10. Les lunes Il es possible de dessiner les cercles puis de les diviser respeciveen par 5 e 6 On peu aussi calculer l angle foré par TE e TM : 1 jour : 1/5 de /6 de 360 = 13. jours : /5 de /6 de 360 = jours : 31/5 de /6 de 360 = 409. Il y a une éclipse ous les 360, alors 409 : 360 = 11,36 donc 11 éclipses. 11. Le nobre au carré Le nobre donné copore 17 chiffres. Or, 100'000'000 8 = 10 =10 16 qui es un nobre de 17 chiffres. Le nobre cherché es donc légèreen supérieur à 100'000'000 e se erine soi par 9, soi par 1. Le fai que 11 = 11 peu nous ere sur la pise, de êe que 111 = 131. Soluion : 111' Les riangles Soi, l aire du pei riangle don l aire es anquane e, une de ses haueurs. Soi, la haueur issue de. On a alors : ' (1) 84 ' () ' = + 70 (3) ' = 189 (4) ' 70 ' De (1) e (), on obien (5). De (3) e (4), on obien 84 ' 189 ' (6). de (5) e (6), on ire que = = 56 c ire oale : = 315 c. 13. Le oard onsidérons le peloon coe un segen de 99 de long qui se déplace parallèleen à l ordonnée. représene l avan du peloon e l arrière. v = viesse du peloon e = viesse de la oo (elle fai dei-our au poin e va ensuie vers D) Selon le croquis qui sui, on ire les équaions suivanes: a) v b) De a e b, on obien 99 v c) De c, on ire = 1 99 d) v1 e) d = De d, on obien 1 =. Page 3 sur 5

4 v v v ,5 70 d = + 99 = = 9801 = Disance v 99 v D 99 1 Teps 14. Le concours herchons le nobre de résulas différens pour un concours copan successiveen 1 seule quesion, puis, puis 3, ec. 1 quesion résulas : 00 e 11 quesions 4 résulas : 00, 11, 1, 3 3 quesions 8 résulas : 00, 11, 1, 13, 3, 4, 5, 36 4 quesions 15 résulas : 00, 11, 1, 13, 14, 3, 4, 5, 6, 7, 36, 37, 38, 39, quesions 6 résulas 6 quesions 4 résulas 7 quesions 64 résulas Il serai fasidieu de coninuer ainsi jusqu à 100. lors, il nous chercher l évenuelle foncion lian le nobre de résulas au nobre de quesions, par la éhode die d inégraion (ou des différences). ee éhode es epliquée en déail dans le livre «Les lefs des Eniges Mahéaiques», d ugusin Genoud, dans la soluion de l énige 7, à la page 15). On la rouve égaleen dans la rubrique E du sie ee éhode nous pere d affirer que cee foncion eise bien e qu elle es du ype a 3 + b + c + d (4 inconnues : a, b, c e d). On a besoin de 4 équaions pour rouver les valeurs des inconnues. f (1) = a + b + c + d = f () = 8a + 4b + c + d = 4 f (3) = 7a + 9b + 3c + d = 8 f (4) = 64a + 16b + 4c + d = 15 De la résoluion de ce sysèe d équaions, on peu irer que a = 1/6, b = 0, c = 5/6 e d = D où f () = lors, f (100) = Il es à noer que pour un concours coporan 100 quesions, aucun résula ne peu êre inerpréé de plusieurs anières. Pour des raisons de claré, considérons ici les résulas sous la fore a-b, où a re- Page 4 sur 5

5 présene la soe des poins, e b, la soe des coefficiens. insi, 784 correspond à 7-84 (78-4 es ipossible). Nous avons oujours obligaoireen b > a, à l ecepion du cas 0-0. Regardons l éendue des résulas possibles de quelques cas : Les résulas de ceu qui on obenu un seul poin von de 1-1 à b va de 1 à 100. Les résulas de ceu qui on obenu eaceen poins von de -3 à b va de 3 à 199. Les résulas de ceu qui on obenu eaceen 3 poins von de 3-6 à b va de 6 à 97. Les résulas de ceu qui on obenu eaceen 4 poins von de 4-10 à Les résulas de ceu qui on obenu eaceen 10 poins von de à Les résulas de ceu qui on obenu eaceen 11 poins von de à Les résulas de ceu qui on obenu eaceen 0 poins von de 0-10 à Les résulas de ceu qui on obenu eaceen 1 poins von de 1-31 à Les résulas de ceu qui on obenu eaceen 30 poins von de à ucun résula coençan par 1 (1 poin, 10 poins, 11 poins, 1 poins, ) ne peu conduire à une uliple inerpréaion au vu de l éendue des résulas possibles. ucun résula coençan par ( poins, 0 poins, 1 poins, poins, ) ne peu conduire à une uliple inerpréaion au vu de l éendue des résulas possibles. Ec. Rearque : dans un concours coporan 166 quesions, le résula 1166 pourrai êre inerpréé coe ou Page 5 sur 5