b-mehdi.jimdo.com Prof : Abdessattar El-Faleh Série d'exercices *** 3 ème M Lycée Secondaire Ali Zouaoui

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1 b-mehdijimdocom Série d'exercices *** 3 ème M Lycée Secondaire Ali Zouaoui Nombres dérivés +Fonctions dérivées " Hajeb Laayoun " Dérivabilité en un réel : Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I et a un réel de I, on dit que f est f x f a dérivable en a, s il existe un nombre réel l tel que : lim x a x a lim h f a h f a h et il est noté f a l Année Scolaire 9 / 1 ( avec hx a ) Le réel l s appelle le nombre dérivé de f en a Interprétations : Graphique : notion de tangente : Si f est dérivable en a, la courbe représentative de f admet en tangente de coefficient directeur f a ; cette tangente en M a pour équation : l ou M a, f a une y f a x a f a Conséquences : Si f est dérivable à droite en a alors la courbe représentative de f admet au point Ma, f a une demi tangente Td d équation T d: y fdax a f a et x a Si f est dérivable à gauche en a alors la courbe représentative de f admet au point Ma, f a une demi tangente Tg d équation T g: y f gax a f a et x a Interprétation graphique : Si Interprétation graphique f x f a f x f a lim ou lim x a x a xa x a f x f a f x f a lim ou lim x a x a xa x a f admet au point M a, f a une demi tangente verticale dirigé vers le haut d équation : x a et y f a f admet au point M a, f a une demi tangente verticale dirigé vers le bas d équation : x a et y f a Numérique : approximation affine : h f a h admet une «bonne» approximation affine de : La fonction h f a f ah pourh proche de, on note Cinématique : vitesse : Si t f test la loi horaire d un mouvement, l instant t f a h f a f a h f t est la vitesse instantanée à

2 b-mehdijimdocom Dérivation sur un intervalle : Définition : * Soient a et bfinis ou infinis ; On dit que la fonction f est dérivable sur a, b si f est dérivable en tout réel de a, b * Soient a un réel et bfini ou infini ; On dit que la fonction f est dérivable sur a, b si f est dérivable sur a, bet si elle est dérivable à droite en a * Soient a fini ou infini et bun réel ; On dit que la fonction f est dérivable sur a, b si f est dérivable sur a, bet si elle est dérivable à gauche en b * Soient a et bdeux réels ; On dit que la fonction f est dérivable sur a, b si f est dérivable sur a, bet si elle est dérivable à droite en a et gauche en b Opérations sur les fonctions dérivables : Théorème : * Si f et g sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I alors Année Scolaire 9 / 1 f g ; l f l et f f g x f x g x ; f x f x f g x f x g x f x g x gsont dérivables sur I et pour tout xion a : * Si de plus g ne s annule pas sur I alors les fonctions 1 ; dérivable sur I et pour tout xion a : 1 g x f x ; x f x g x f x g x g g x g g x n n1 g x n g x g x et f g g et g n n sont Dérivée d une fonction composée : Théorème : * Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I et si g est une fonction dérivable sur f I alors la fonction g g f x g f x f x f est dérivable sur I et pour tout xion a : * Si f est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I alors f la fonction f est dérivable sur I et pour tout f x x f Lien entre signe de la dérivée et variation : Théorème : soit f est une fonction continue sur x Ion a : a, b et dérivable sur a, b on a :

3 * sur, est croissante sur, sur, est strictement croissante sur, Si f x a b f a b Si f x a b f a b b-mehdijimdocom Si f x sur a, b f est décroissante sur a, b * Si f x sur a, b f est strictement décroissante sur a, b * Si f x sur a, b f est constante sur a, b Lien entre dérivée et extremum local : Théorèmes : Soit f est une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I Si f s annule en un point xde I en changeant de signe alors f admet un extremum local en x Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I et x I, si f admet un extrémum local en x alors fx Dérivée seconde, point d inflexion : Définition : soit f la courbe représentative de f dans un plan rapporté à un repère,, traverse sa tangente O i j, un point A f est un point d inflexion de f si f en A Théorème : soit xun réel et f une fonction deux fois dérivable sur un intervalle ouvert contenant x Si f s annule en est un point d inflexion de f Année Scolaire 9 / 1 x en changeant de signe alors le point M x, f x Exercice N 1 : si x > x Soit f x x si x Etudier la dérivabilité de f en et indiquer les conséquences graphiques des résultats obtenus Exercice N : x 1 si x >1 Soit f x x 1 m si x1 1- Déterminer la valeur de m pour que f soit continue en 1 - a) Etudier alors la dérivabilité de f en 1 b) Interpréter graphiquement le résultat obtenu

4 b-mehdijimdocom Exercice N 3 : 1 Soient f x et gx x 1 x 1 1- Montrer que f et g sont dérivables en puis calculer f et g - Déterminer les approximations affines de f et gau voisinage de Calculer 1, ;,995 ; et,996 1,8 Exercice N 4 : Soient f une fonction dérivable sur et a un réel af x xf a 1- Montrer que lim af a f x a a x a Année Scolaire 9 / x x 6 -En déduire lim x x Exercice N 5 : x x 1 si x <1 Soit f x x 1 x 1 3 x si x 1 et interpréter graphiquement le résultat obtenu 1- Etudier la dérivabilité de f en - a) Montrer que f est dérivable en 1et déterminer f 1 f 1nhf 1 f 1 3h f 1 h b) En déduire lim ; n puis calculer lim h h h h Exercice N 6 : Soit f la fonction définie par f ( x) x xe x 1et (C) sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormé 1- Montrer que f est continue en - a) Etudier la dérivabilité de f en et en b) f est- elle dérivable en? Exercice N 7 : x 1 4 x si x 1 3 m 1x 3x m Soit f x si x <1 x 1 x x x 1 si x < ; m 1- Calculer lim f x x - Etudier suivant le paramètre réel m, lim f x x1 3- Etudier suivant le paramètre réel m la continuité de f en 1 4- Etudier suivant le paramètre réel m la dérivabilité de f en 1 5- On prend m1 et x,1

5 a) Montrer que f est dérivable en x b) Existe il un point de C f d abscisse x où la tangente est parallèle à : 4x y3 c) Existe il un point de C f d abscisse x où la tangente est perpendiculaire à : x3y3 Exercice N 8 : Soit f x x x 1 1- Etudier la dérivabilité de f en 1 - Dresser le tableau de variation de f et préciser la nature des extremas Exercice N 9 : 8x 3x Soit fx 4x 1 1- Dresser le tableau de variation de f - En déduire que pour tout réel x, on a : 1 f x Calculer f 1 et montrer que pour tout x,1, on a : f >1 x Exercice N 1 : ax x a 1 Soit fa x ; a 3x a ) Calculer Soit f x pour tout Soit x \ 3 b) Déterminer suivant les valeurs de a le nombre d extrémum de f a c) Dans le cas où fa n admet pas d extrema, préciser son sens de variation - a) Déterminer a pour que fa admette un extrémum relatif en 1 b) Dresser le tableau de variation de f 1 b-mehdijimdocom Exercice N 11 : mx m Soit fmx ; m ; m xm5 rapporté à un repère orthonormé O,, i j 1- Déterminer m dans les cas suivants : : a) b) y est une asymptote horizontale à x est une asymptote verticale à m Année Scolaire 9 / 1 la courbe représentative de fm dans un plan m : 1 - Etudier suivant les valeurs de m, les variations de f m 3- Montrer que pour tout réel m, pour lequel m deux points fixes Aet B f n est pas constante, m passe par

6 4- Soit Im le point d intersection des asymptotes de m Quel est l ensemble des points Im lorsque m vari dans \ 1, 4 5- Tracer 1 x 1 6- En déduire la représentation graphique de g: \, x x 4 b-mehdijimdocom Année Scolaire 9 / 1