Résumé du dernier cours : notions. essentielles

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1 Cours 5: fonctions usuelles et leurs réciproques... 1 Résumé du dernier cours : notions le logarithme naturel, l exponetielle, fonction logarithme de base a. essentielles

2 Cours 5: fonctions usuelles et leurs réciproques... 2 La fonction logarithme naturel La fonction lorgarithme est définie pour x > 0 par : ln x = x 1 1 t dt Interprétation géométrique : pour chaque x > 1 le logarithme de x, ln(x) est l aire sous le graphe de la fonction y = 1/x entre les points 1 et x. Si 0 < x < 1 on définit ln x comme minus l aire sous le graphe entre x et 1. On constat que ln 1 = 0.

3 Cours 5: fonctions usuelles et leurs réciproques... 3 Figure 1 Pour x > 0, ln(x) est l aire sous le graphe entre 1 et x. Par exemple ici x = 2, 5. Donc, ln(2, 5) 0, 9163, c est la surface de la région noire.

4 Cours 5: fonctions usuelles et leurs réciproques... 4 On a les propriétés suivantes : (ln) (x) = 1, ln(xy) = ln x + ln y, x ( ) ( ) 1 p ln = ln x, ln(x p/q ) = ln x (1) x q pour un nombre rationel p/q. Le lorgarithm est évidemment (strictement) croissant. On a aussi les limites suivantes : lim ln x =, lim x ln x =, (2) x 0 + Le logarithme est toujours au-dessous de la courbe y = x : ln x < x pour tout x > 0.

5 Cours 5: fonctions usuelles et leurs réciproques... 5 Exercice immédiat : Le logarithme 1. Démontrer une des propriétés du logarithme. 2. Tracer la courbe.

6 Cours 5: fonctions usuelles et leurs réciproques... 6 Exercice immédiat résolue : Le logarithme On sa que la fonction exponentielle est la fonction réciproque du logarithme. Donc on a e a e b = e a+b, e ln(x) e ln(y) = e ln(x)+ln(y), où a, b R choisi a = ln(x), b = ln(y) x y = e ln(x)+ln(y), ln(xy) = ln(x) + ln(y). (3)

7 Cours 5: fonctions usuelles et leurs réciproques... 7 Exercices à la maison : Le logarithme Ne pas dépasser 20 minutes pour cet exercice. 1. Démontrer une des autre propriétés du logarithme.

8 Cours 5: fonctions usuelles et leurs réciproques... 8 La fonction logarithme de base a Disons a > 0 et a 1. On définit la fonction logarithme de base a pour x > 0 ln a (x) = ln x ln a. (4) Les propriétés de ln a (x) sont similaires à celles de ln(x), sauf ln a (a) = 1 et si 0 < a < 1, lim x 0 ln a(x) = + et lim x + ln a(x) =

9 Cours 5: fonctions usuelles et leurs réciproques... 9 Sa dérivée : d dx ln a(x) = d dx = 1 ln a = 1 ln(a) ( ) ln x ln a d ln x, parce que ln a est une constante dx 1 x. (5)

10 Cours 5: fonctions usuelles et leurs réciproques La fonction exponentielle C est la fonction réciproque de ln x, c est à dire Alors, exp x = y si et seulement si ln y = x. (6) exp(ln(x)) = x, si x > 0 ln(exp(x)) = x, si x R (7) Pourquoi la différence d ensemble de départ dans les équations (7)? Le logarithme de x 0 n est pas défini. exp x = e x.

11 Cours 5: fonctions usuelles et leurs réciproques On a les propriétés suivantes : (exp) (x) = exp x, lim exp x =, lim x exp(x + y) = (exp x)(exp y), exp x = 0. (8) x On a exp(0) = 1. (9)

12 Cours 5: fonctions usuelles et leurs réciproques La fonction a x C est la fonction réciproque de ln a (x) ; elle est définie sur x R par a x = exp(x ln a) Les propriétés de a x sont : 1. pour tout x R, a x > 0 et ln a x = x ln a ; 2. a x+y = a x a y et (a x ) y = a xy ; 3. a 0 = 1 et a 1 = a ; 4. Si 0 < a < 1 alors lim x a x = + et lim x + a x = 0 ; si a > 1 alors lim x a x = 0 et lim x + a x = + ; 5. d dx ax = (ln a)a x.

13 Cours 5: fonctions usuelles et leurs réciproques Pour tout x R, on pose Fonctions hyperboliques sinh x = ex e x 2 cosh x = ex + e x 2 sinus hyperbolique (10) cosinus hyperbolique (11) tanh x = sinh x cosh x = ex e x e x + e x tangente hyperbolique (12) coth x = cosh x sinh x = ex + e x e x e x cotangente hyperbolique (13) Les dérivées sont données par les formules : (sinh) (x) = cosh x, (cosh) (x) = sinh x, (tanh) (x) = 1 tanh 2 x, (coth) (x) = 1 coth 2 x. (14)

14 Cours 5: fonctions usuelles et leurs réciproques Exercices immédiats : Fonctions hyperboliques 1. Quelle est la parité de chaque fonction? 2. Ça implique quelle symétrie pour le graphe? 3. Que deviennent ces fonctions : (i)-pour x = 0. (ii)- pour de grandes valeurs de x Tracer le graphe d une de ces fonctions.

15 Cours 5: fonctions usuelles et leurs réciproques Exercices à la maison : Fonctions hyperboliques Ne pas dépasser 20 minutes pour chaque exercice. Nous discuterons les solutions vendredi matin. Vérifier ces formules pour les dérivées (14) et tracer le graphe de chacune de ces fonctions. Montrer que et que cosh 2 x sinh 2 x = 1 (15) sinh(x + y) = sinh x cosh y + sinh y cosh x. (16) Utiliser les deux identités, (15) et (16), pour montrer que les

16 Cours 5: fonctions usuelles et leurs réciproques deux dérivées simplifient : (tanh) (x) = Commencez avec les résultats (14). 1 cosh 2 x, (coth) (x) = 1 sinh 2 x. (17)

17 Cours 5: fonctions usuelles et leurs réciproques Bijectivité, la fonction réciproque

18 Cours 5: fonctions usuelles et leurs réciproques Surjectivité Soit f : I J R une fonction, où I, J sont des intervalles dans R. L intervalle I s appelle le domaine de définition de f ou l ensemble de départ de f et J s appelle l ensemble d arrivée. f(i) R s appelle l image de f. Si f(i) = J on dit que f est surjective, f(i) = J f est surjective (18) Dans le cas d une fonction surjective, quelque soit y J, il existe x I tel que f(x) = y.

19 Cours 5: fonctions usuelles et leurs réciproques Injectivité Si x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ) on dit que f est injective.

20 Cours 5: fonctions usuelles et leurs réciproques Bijectivité et la fonction réciproque Si f : I J est à la fois surjective et injective on dit qu elle est bijective. surjective et injective bijective (19) Dans ce cas il y a une corréspondance un à un entre les éléments de I et de J donnée par f et on peut définir la fonction réciproque g : J I par g(y) = x f(x) = y.

21 Cours 5: fonctions usuelles et leurs réciproques La fonction réciproque : dérivée Il s ensuit que g(f(x)) = x et f(g(y)) = y. En dérivant la première de ces équations on obtient d dx (g(f(x))) = d dx (x), g (f(x))f (x) = 1, = g (f(x)) = 1 f (x), (20) ce qui nous permet de calculer les dérivées des fonctions réciproques.

22 Cours 5: fonctions usuelles et leurs réciproques La fonction réciproque : interprétation géométrique Le graphe de la fonction réciproque se déduit du graphe de la fonction par réflexion dans la droite x = y, ce qui équivaut à une rotation par π/2 dans le sens contre l aiguille d un montre suivi par une réflexion dans l axe des y. Il s agit d un échange des rôles des axe d abscisse et d ordonnée. La dérivée en un point a l interprétation physique de la ponte de la tangente à la courbe en ce point. Donc la dérivée de la fonction réciproque a l inverse valeur de la dérivée de la fonction g (f(x)) = 1 f (x).

23 Cours 5: fonctions usuelles et leurs réciproques La fonction réciproque : exemples

24 Cours 5: fonctions usuelles et leurs réciproques Fonctions hyperboliques réciproques La fonction sinh : R R est bijective et admet alors une fonction réciproque argsinh : R R. Donc y = sinh x ssi x = argsinhy. Si y = sinh x, par le théorème de la fonction réciproque : (argsinh) (y) = 1 cosh x = sinh 2 x = 1. (21) 1 + y 2 La fonction cosh : [0, [ [1, [ est croissante et donc bijective. Elle admet une fonction réciproque argcosh : [1, [ [0, [. Sa dérivée est donnée par (argcosh) (y) = 1/ y 2 1. (22) La fonction argcosh n est pas définie pour x < 1. La fonction tanh : R ] 1, 1[ est bijective ; elle admet une

25 Cours 5: fonctions usuelles et leurs réciproques fonction réciproque argtanh : ] 1, 1[ R avec dérivée (argtanh) (y) = 1/(1 y 2 ). (23) La fonction argtanh n est pas définie pour x 1. La fonction coth : R \ {0} R \ [ 1, 1] est bijective ; elle admet une fonction réciproque argcoth : R \ [ 1, 1] R \ {0} avec dérivée (argcoth) (y) = 1/(1 y 2 ). (24) La fonction argcoth n est pas définie pour x 1.

26 Cours 5: fonctions usuelles et leurs réciproques Exercices immédiats : Fonctions hyperboliques réciproques 1. Montrer que le graphe de la fonction réciproque se déduit du graphe de la fonction par une rotation par π/2 dans le sens de l aiguille d un montre suivi par une reflexion dans l axe des abscisse ; ces deux transformation sont équivalentes à une reflexion dans la droite y = x. 2. Trace les graphes des fonction réciproques définies ci-dessus argsinh et argtanh. 3. Vérifier les formules pour les dérivées, équations (22, 24).

27 Cours 5: fonctions usuelles et leurs réciproques (Important!) Vérifier une des formules suivantes : argsinhx = ln(x + x 2 + 1) pour tout x R argcoshx = ln(x + x 2 1) pour tout x 1 argtanhx = 1 ( ) 1 + x 2 ln pour tout x ] 1, 1[ 1 x argcothx = 1 ( ) 1 + x 2 ln pour tout x avec x 1 x 1

28 Cours 5: fonctions usuelles et leurs réciproques a) sinh b) argsinh Figure 2 a) hyperbolique sinus, sinh, b) sa réciproque, argsinh

29 Cours 5: fonctions usuelles et leurs réciproques Exercices immédiats : Fonctions hyperboliques réciproques On a y = cosh(x) et x = argcosh(y). Donc, (argcosh) (y) = = = 1 d cosh(x) dx = 1 cosh 2 (x) 1 1 sinh(x),, utilisé (15) 1 y2 1. (25)

30 Cours 5: fonctions usuelles et leurs réciproques On a y = coth(x) et x = argcoth(y). Donc, (argcoth) (y) = 1 d coth(x) dx = 1 1 coth 2, utilisé (14) (x) = 1 1 y 2. (26) Les fonctions hyperboliques sont les fonctions rationales en e x avec dénominateur et numérateur de puissance maximum de 2. Donc on peut résoudre les fonctions en terms de e x, utilisant la formule quadratique. Puis le logarithme naturel donne x = f(y).

31 Cours 5: fonctions usuelles et leurs réciproques Par exemple, si y = sinh(x) on a y = ex e x = (ex ) e x = (z)2 1 2z = z 2 2yz 1 = 0, défini z e x z = ( 2y) ± 4y ( 1) 2 = y ± y 2 + 1, e x = y + y 2 + 1, utilisé e x > 0 ( x = ln y + ) y 2 + 1, utilisé ln(e x ) = x. (27)

32 Cours 5: fonctions usuelles et leurs réciproques Exercices à la maison : Fonctions hyperboliques réciproques 1. Trace les graphes des fonction réciproques définies ci-dessus argcosh et argcoth. 2. Vérifier les formules pour les dérivées (21, 23). 3. (Important!) Vérifier une des formules suivantes : argcoshx = ln(x + x 2 1) pour tout x 1 argtanhx = 1 ( ) 1 + x 2 ln pour tout x ] 1, 1[ 1 x argcothx = 1 ( ) 1 + x 2 ln pour tout x avec x 1 x 1

33 Cours 5: fonctions usuelles et leurs réciproques Fonctions trignométriques réciproques La fonction sin : [ π/2, π/2] [ 1, 1] est bijective. Sa réciproque s écrit arcsin : [ 1, 1] [ π/2, π/2] ; la dérivée est donnée par (arcsin) (y) = 1/ 1 y 2. La fonction cos : [0, π] [ 1, 1] est bijective. Sa réciproque s écrit arccos : [ 1, 1] [0, π] ; la dérivée est donnée par (arccos) (y) = 1/ 1 y 2. La fonction tan : ] π/2, π/2[ R est bijective. Sa réciproque s écrit arctan : R ] π/2, π/2[ ; la dérivée est donnée par (arctan) (y) = 1/(1 + y 2 ). La fonction cot : ]0, π[ R est bijective. Sa réciproque s écrit arccot : R ]0, π[ ; la dérivée est donnée par (arccot) (y) = 1/(1 + y 2 ).

34 Cours 5: fonctions usuelles et leurs réciproques Exercices à la maison : Fonctions trignométriques réciproques 1. Tracer les graphes des fonctions réciproques définies dans le paragraphe précédant. 2. Vérifier les formules pour les dérivées.