Corrigé TD 12 Fonctions caractéristiques

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1 Corrigé TD Foncions caracérisiques Eercice. Sur un espace de probabilié (Ω, F, P, on se donne (X, Y une variable aléaoire à valeurs dans.. On suppose que la loi de (X, Y es λµe λ µy + (, y d dy. Déerminer la loi de la variable aléaoire U = min(x, Y.. On suppose que la loi de (X, Y es 4π e / { } [,π] (y d dy. Déerminer la loi de la variable aléaoire ( X cos(y, X sin(y. 3. On suppose que la loi de (X, Y es Corrigé : +y π e d dy. Calculer la loi de la variable aléaoire réelle X Y.. Soi F : + + une foncion borélienne. On a, en uilisan le héorème de Fubini- Tonelli, E(F (U = λµ F (min(, ye (λ+µy d dy = λµ = λ + { y} = (λ + µ F (e (λ+µy d dy + λµ F (e λ ( F (e (λ+µ d. µe µy dy d + µ { y } La variable aléaoire U es donc eponenielle de paramère λ + µ.. Soi F : + une foncion borélienne. On a, ( ( E F X cos(y, X sin(y = 4π = π π π F (ye (λ+µy d dy F (e µ ( λe λy dy d f( cos(y, sin(ye / d dy f( cos(y, sin(ye / d dy, Pour des quesions, n hésiez pas à envoyer un mail à ou bien à passer au bureau V7.

2 d après la formule du changemen de variables uilisée avec le C -difféomorphisme suivan : (, y + [, π] (, y + [, π]. Puis d après la formule du passage en coordonnées polaires, on a π π f( cos(y, sin(ye / d dy = f(u, ve (u +v / du dv. π La loi de ( X cos(y, X sin(y es donc (π e (u +v / du dv. emarque : les variables X cos(y e X sin(y son indépendanes e de loi N (,. 3. Soi g : + borélienne. On a ( X E g Y = g π e +y d dy. y E (, y (/y, y es un C -difféormorphisme de jacobien y. Donc d après la formule de changemens de variables puis le héorème de Fubini-Tonelli, on a Donc g e +y d dy = g y e y ( y + y d dy y y = g (u v e v (u + du dv ( = g(u v e v (u + dv du = g(u u + du. ( E g X = Y π g(u u + du, ce qui signifie que la loi de X/Y es la loi de Cauchy, c es-à-dire la loi de densié (π( + par rappor à la mesure de Lebesgue. Eercice. Soi X une variable aléaoire réelle. On écri φ X sa foncion caracérisique, définie par φ X ( = E [ e ix] pour.. On suppose que X adme un momen d ordre n N. Monrer que φ X es de classe C n e que pour ou enier k n, on a [ ], φ (k X ( = ik E X k ep(ix. En pariculier: φ (k X ( = ik E[X k ] (. On suppose que φ X es fois dérivable en. Monrer que X adme un momen d ordre e que E [ X ] = φ ( X (. Indicaion. On pourra considérer φ X(+φ X (.

3 3. Soi k enier. On suppose que φ X es k fois dérivable en. Monrer que X adme des momens jusqu à l ordre k/ (ici es la parie enière de donnés par (. 4. ( Si φ X es dérivable en, es-ce que X adme un momen d ordre? Corrigé :. Ceci provien immédiaemen du héorème de dérivaion sous le signe inégral en uilisan la dominaion i k X k ep(ix X k L pour k n.. La foncion φ X éan deu fois dérivable en, la formule de Taylor-Young garani un développemen limié à l ordre : On en dédui que: φ X ( = + φ X( + φ X( + o(. φ X ( + φ X ( lim = φ X(. ( Or φ X ( + φ X ( = e(φ X ( = E [cos(x]. Il s ensui par ( que [ ] cos(x lim E = φ X(. Or cos(x E [ X ] = E. Le lemme de Faou fourni donc: [ lim inf ] cos(x lim inf La quesion. perme de conclure que E [ X ] = φ ( X (. [ ] cos(x E = φ X( <. 3. aisonner par récurrence en adapan la preuve de la quesion précédene. 4. Non, pas nécessairemen. Trouver un conre-eemple! Faire l eercice 7. Eercice.. Calculer la foncion caracérisique de la loi de probabilié de densié ( <?. Quelle es la foncion caracérisique de la loi de probabilié de densié ( cos(/(π? Corrigé :. On calcule, en inégran par paries pour : ( < e i d = Pour =, la première inégrale vau. 3 ( cos(d = cos(.

4 . D après le cours, si µ es une mesure de probabilié don la foncion caracérisique µ es inégrable par rappor à la mesure de Lebesgue λ, alors µ es absolumen coninue par rappor à λ, e sa densié es donnée λ-p.p. par π On en dédui que pour presque ou : ( < = π µ(e i d. d cos( e i. Les deu membres éan des foncions coninues en, on a l égalié pour ou. En faisan le changemen de variable y =, il s ensui que la foncion caracérisique de la loi de probabilié de densié ( cos(/(π es ( <. Eercice 3 (Transformée de Laplace. Soi X une v.a. posiive. On pose λ +, L X (λ = E [ e λx] = e λ P X (d. + La foncion L X : + + es appelé la ransformée de Laplace de X, ou de sa loi P X.. L X es posiive, décroissane, coninue sur + e analyique sur ], [.. L X adme une dérivée à droie finie en si e seulemen si E[X] <. Dans ce cas, on a L X (+ = E[X]. 3. Plus généralemen, L X adme une dérivée p ième à droie en si e seulemen si X adme un momen d ordre p. Dans ce cas, L (p X (+ = ( p E[X p ]. Corrigé : voir le polycopié de cours, secion 7.3.d. Eercice 4 (Foncion générarice. Soi X une v.a. à valeurs dans N. On pose r [, ], ϕ X (r = E [ r X] = n N r n P(X = n. La foncion ϕ X : [, ] + es appelé la foncion générarice de X, ou de sa loi P X.. Pour ou p N, on a P(X = p = p! ϕ(p X ( = π π e ipu ϕ X (e iu du.. X adme un momen d ordre p si e seulemen si ϕ X adme une dérivée p ième à gauche en. Dans ce cas, on a ϕ (p X ( = E[X(X (X p + ]. 4

5 3. Soi Y une aure v.a. à valeurs dans N. Si l ensemble {r [, ]: ϕ X (r = ϕ Y (r} adme un poin d accumulaion r [, [, alors ϕ X = ϕ Y e X, Y on même loi. Corrigé : voir le polycopié de cours, secion 7.3.d. Eercice 5 (Problème des momens. On considère la foncion f : + : ln f( = sin(π ln π ep. Calculer + k f(d pour ou k N. Que peu-on dire des v.a. X e Y de densié respecives ln π ep ln e ( + sin(π ln π ep? Corrigé : Soi n. La foncion n sin(π ln( ep ln( π es inégrable sur +, e le changemen de variable u = ln( aboui à I = n ln( sin(π ln( π ep d = + u ep + nu sin(πu du. π En remarquan que u / + nu = (u n / + n /, le changemen de variable v = u n donne + v I = consane sin(πv ep dv =. Ainsi pour α [ ; ] les momens des lois K( + α sin(π ln( ep ln( π avec K = son égau sans que ces lois ne soien égales. ln( π ep d Eercice 6 (Queues de variables aléaoires. Soi X une variable aléaoire réelle. On défini la queue de X par ψ( = P( X >.. Si X es inégrable, monrer que. Si X es dans L p avec p, monrer que lim ψ( =. lim p ψ( =. 3. Donner un équivalen de la queue de la loi d une variable aléaoire gaussienne cenrée réduie. 5

6 Corrigé :. On a E[ X ] = P( X > d. Donc la foncion P( X > es inégrable. Elle es de plus décroissane ce qui implique le résula. En effe, P( X > P( X > d quand.. On écri de manière similaire E( X p = de sore que P( X /p quand. emarque. Une aure manière de faire es d écrire P( X > /p d, p P( X > = E [ p { X >} ] E [ X p { X >} ] quand par convergence dominée. 3. Si N désigne une variable aléaoire gaussienne cenrée réduie, on a P( N > = due u / π π Pour une minoraion, on inègre par paries : du u e u / = π e /. On réinègre par paries: e u / du = e / e u / u du. Ainsi e u / du = e u / u du = / 3 e ( 3 e / + 3e u / u 4 3e u / u 4 du du. ( 3 e /. On en dédui que P( N > / π e. Eercice 7. ( Soi X une variable aléaoire réelle de loi P X = k Z a kδ k symérique (c es-àdire a k = a k e elle que k ka k =. Le momen d ordre de X es-il fini? Trouver une suie (a k k elle que φ X soi dérivable en. Comparer avec l eercice. 6

7 Corrigé : On calcule aisémen E [ X ] = k> ka k = +. D aure par: φ X ( = a + a k cos(k. Choisissons a = a = a = e pour k : ( a k = a k = c k ln k, où c = k, ln k k= de sore que: k / φ X( = c k= k= k ( cos(k. ln k On vérifie ensuie que cee quanié end vers lorsque en décomposan cee dernière somme suivan que k / ou k < /. Tou d abord: ( cos(k k ln k ln( k ln( d = ( / ln(. k / Ensuie, en uilisan l inégalié cos( k</ ( cos(k k ln k Une inégraion par paries donne y ln( d = pour : k</ / ln(k [ ] y y + ln( / ln( + (ln( d. Mais lorsque, /(ln = o(/ ln( e donc lorsque y : y [ ] y ( y ln( d = + o ln( ln( d de sore que Il s ensui que / ln( d / ln( d ln( Ceci achève de démonrer que ( φ X (/ lorsque.. ln( d. Eercice 8. Soi (X n n une suie de variables aléaoires réelles. On noe φ n ( = φ Xn ( pour simplifier, e on suppose qu il eise une foncion φ : C, coninue en, elle que, φ n ( n φ(. 7

8 . Prouver que pour ou a > on a ( P X n > a ( e(φ n (u du = a a a a a a ( φ n (u du.. Monrer que pour ou ɛ >, il eise u > e n els que pour n > n on ai u u u φ n ( d < ɛ. 3. En déduire que la suie (X n n es endue, c es-à-dire que pour ou ɛ >, il eise a > el que n, P( X n > a < ɛ. Corrigé :. D après le héorème de Fubini Tonelli, a φ n (d = a a( a ( ( e i P Xn (d d = ( a a a a a ( = sin(a P Xn (d a >/u ( a ( e i d P Xn (d car pour ou réel on a sin(/ e sin(/ /. Comme ( ( P Xn (d P Xn (d = P ( X n > /a, a >/a ceci conclu. >/a P Xn (d. Comme φ( = lim n φ n ( pour ou, φ( = lim n φ n ( = e que φ es coninue en, si ɛ > es fié, il eise u > el que φ( < ɛ/ pour < u. Ainsi u u u φ( d < ɛ. Or φ n ( e φ n ( φ( quand n. Par convergence dominée, il s ensui que u u φ n ( d φ( d < ɛ. u u n u u Le résula désiré en découle. 3. D après la première quesion, pour n n, P( X n > u > ɛ. Comme les variables aléaoires X i son réelles, il eise des réels posiifs a, a,..., a n els que P( X i > a i < ɛ, i n. En posan a = ma(/u, a, a,..., a n, on a bien pour ou enier n. P( X n > a < ɛ 8

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