1 Repère et coordonnées

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1 1 Repère et coordonnées 1.1 Une dimension : Droite des réels Prenons une droite d, et deux points distincts de cette droite et. Ces deux points forment un repère (; ) : ls définissent une unité de mesure et un sens positif. P x M M N x Tout point M de cette droite peut être repéré par un nombre x M appelé abscisse de M. Par définition, x = 0 et x = 1. ci, x M = 3 car M = 3 et que et M sont du même côté de. Question : Quelles sont les abscisses de N et de P? Placez le point Q d abscisse 3.5. Réponse : n doit se contenter d une réponse approximative lue graphiquement. n voit que N = 4 et que N et sont du même côté de donc x N = 4. P = mais cette fois, P et sont d un côté différent, donc x P =. Le point Q a été placé. 3, 5 Q P 0 1 x M = 3 4 N M x Remarque : L ensemble des abscisses de tous les points de la droite forme l ensemble des nombres réels, R. Cette représentation est parfois appelée : droite des réels ou droite numérique. Page 1/11

2 1. Deux dimensions : Repère du plan Question : y Brest Cherbourg Caen Lille Chartres Reims Strasbourg y Nantes Tours La Rochelle Lyon Clermont-Ferrand Biarritz Marseille Perpignan 160 km Sur cette carte, Paris représente le point (0; 0). 1. Donnez les coordonnées (x; y) des villes suivantes : Cherbourg, Lyon, Reims, Paris.. Quelles villes ont approximativement pour coordonnées (1; 6), ( 8.5; 4)? 3. Donnez le nom des villes pour lesquelles y < 3 ET y Donnez le nom des villes pour lesquelles x 0 ET y 0. Page /11

3 Définition : Dans le plan, trois points, et distincts et non alignés déterminent un repère (;, ). Dans ce repère, un point M du plan est repéré par un unique couple de réels (x; y) qu on appelle ses coordonnées. y M x est l abscisse de M et y est l ordonnée de M. En projetant M sur l axe des abscisses (), on obtient son abscisse x (ici x = 3) En projetant M sur l axe des ordonnées (), on obtient son ordonnée y (ici y = 4) Remarque : l arrive que l on indique clairement l axe des abscisses en plaçant un x au bout de l axe. C est toutefois inutile ici puisque dans le repère (;, ), l axe des abscisses est par définition la droite (). Remarque : Les graduations ajoutées sur les axes servent seulement à en faciliter la lecture. Elles ne sont pas obligatoires. Seuls, et sont indispensables. x Dans le repère (;, ), on a les coordonnées des points : (0; 0), (1; 0) et (0; 1). Question : Dans le repère (;, ) représenté ci-dessous, donnez les coordonnées des points M, N, P, R et S. Placez les points T (4; 1) et U( ; 3). Que peut-on dire des coordonnées (x; y) d un point V situé sur la droite D? S D N M P R Les repères rencontrés plus haut avaient deux particularités : Leurs deux axes étaient perpendiculaires et on avait =. Définition : Un repère (;, ) est orthogonal si () (). Un repère orthogonal pour lequel = est un repère orthonormé. Page 3/11

4 n utilisera le plus souvent des repères orthogonaux. Mais il peut arriver que l on rencontre un repère non orthogonal, comme celui représenté ci-contre. y M x Question : Soit un triangle quelconque ABC., et K sont les milieux respectifs de [AB], [AC] et [BC]. Faites la figure et donnez les coordonnées de tous ces points dans le repère (A;, ). Que peut-on dire des points K et M(1; 1)? Réponse : Par définition, A(0; 0) ; (1; 0) ; (0, 1). Comme milieu de [AB] alors AB = A et donc B(; 0). De même C(; 0). En projetant K sur () on trouve le point d abscisse 1 (En effet, (K)//(A)). De même, en projetant K sur (), on trouve le point d ordonnée 1. Donc les coordonnées de K sont (1; 1). En plaçant le point M, on le trouvera confondu avec K. A B K C Deux points ayant les mêmes coordonnées sont confondus. Milieu d un segment et symétrique.1 Milieu Question : Dans le plan muni d une repère orthonormé (;, ), on donne les coordonnées des points A et B. K est le milieu de [AB]. Complétez le tableau en donnant dans chaque cas les coordonnées de K. Conjecturez une formule permettant de calculer x K à partir de x A et x B. De même, conjecturez une formule permettant de calculer y K à partir de y A et y B. Page 4/11

5 cas n o 1 cas n o cas n o 3 cas n o 4 A (; 0) ( ; 1) ( 6; 4) (1, 5; 4) B (4; 6) (; 3) (10; 3) (; 3) K (3; 3) (0; 1) (; 3, 5) (1, 75; 3, 5) B 1 A 4 B 4 A A 1 A 3 B B 3 Propriété : (admise) Soient A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ) deux points dans un repère du plan. Le milieu K de [AB] a pour coordonnées : x K = x A + x B et x K = y A + y B Exemple : B(4; 8). Calculer les coordonnées de K, milieu du segment [AB], avec A(3, 6) et Remarque : btenir les coordonnées du milieu par lecture graphique est une méthode qui donne un résultat approximatif. Utiliser la formule permet d obtenir un résultat exact. Page 5/11

6 Démonstration : (pas nécessaire car propriété admise) Soient A et B deux points dans le repère (;, ), K le milieu de [AB]. Supposons que ces trois points soient d abscisses différentes (si x A = x B le résultat est évident). n projette ces 3 points sur () parallèlement à () pour trouver les points A (x A ; 0), B (x B ; 0) et K (x K ; 0). D après le théorème de Thalès, AK = A K. r on sait KB K B que AK = 1 et que KB A K = x K x A et K B = x B x K, on en déduit que x K x A x B x K = 1 x K x A = x B x A x K = x A+x B. n raisonne de même sur l autre axe. A A K K B B Application : Soient A( 3; 7), B(3; 5), C(7; 1) et D(1, 1). Le quadrilatère ABCD est-il un parallélogramme? Solution : Soit K le milieu de [AC]. n a : x K = x A + x C = = et y K = y A + y C = 7 1 = 3 Soit L le milieu de [BD]. n a : x L = x B + x D = = et y L = y B + y D = K et L ont mêmes coordonnées, ils sont donc confondus. Les diagonales de AV CD se coupent en leurs milieux, le quadrilatère est donc un parallélogramme. Remarque : ci on voit que l on peut raisonner sans faire la figure. La figure n est jamais une preuve, c est seulement une aide. = 3 Algorithme : n propose l algorithme suivant qui donne la suite d opération à effectuer pour obtenir les coordonnées du milieu d un segment, connaissant les coordonnées des extrémités de ce segment. début Entrées : xa, ya, xb, yb xk=(xa+xb)/; yk=(ya+yb)/; retourner (xk ;yk) fin. Symétrique Question : Dans un repère (;, ), on a les points A( ; ), B(4; ) et C(; 3). 1. Faites la figure.. Montrez que B est le symétrique de A par rapport à. 3. Déterminez les coordonnées de D, le symétrique de C par rapport à. Page 6/11

7 Réponse : l suffit de se rappeler que B est le symétrique de A par rapport à si et seulement si est le milieu de [AB]. Soit K le milieu de [AB], on a : x K = x A + x B = + 4 = 1 et y K = y A + y B = n a donc = K, est le milieu de [AB] et donc B est bien le symétrique de A par rapport à. De la même façon, doit être le milieu de [CD] donc : = 0 x = x C + x D = + x D Ce qui permet de déduire : x D = 0 et y D = 3. = 1 et y = y C + y D = 3 + y D = 0 Propriété : Soit A (x A ; y A ) et K (x K ; y K ) deux points dans un repère. A, le symétrique de A par rapport à K, a pour coordonnées x A = x K x A et y A = y K y A Exemple : Avec A(6; 4) et K(; 0), on a x A = x K x A = 6 = et y A = y K y A = 0 4 = 4. Algorithme : n propose l algorithme suivant qui donne la suite d opération à effectuer pour obtenir les coordonnées de B, symétrique d un point A par rapport à un point K, connaissant les coordonnées de A et K. début Entrées : xa, ya, xk, yk xb= *xk-xa; yb= *yk-ya; retourner (xb ;yb) fin 3 Distance Question : Sur la carte donnée précédemment, donnez approximativement la distance entre Paris et Marseille. Quelle ville se trouve à environ 400 km de Paris? Propriété : Soient A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ) deux points dans un repère orthonormé. La distance AB est égale à : AB = (x B x A ) + (y B y A ) Page 7/11

8 y B y A A x A x B x A B C x B yb ya Exemple : Si A(5, 1) et B(, 3) alors : AB = (x B x A ) + (y B y A ) = ( 5) + (3 1) = ( 3) + = AB = 13 Démonstration : Voyons d abord le cas le plus général où x A x B et y A y B. Soit le point C(x B ; y A ). Les points A et C ont même ordonnée et sont donc sur une droite parallèle à (). De même, (BC)//(). n a donc ABC triangle rectangle en C. n a AC = x A x B ou AC = x B x A mais dans les deux cas AC = (x B x A ). De même BC = (y B y A ). D après le théorème de Pythagore, AB = AC + BC = (x B x A ) + (y B y A ) ce qui permet de conclure : AB = (x B x A ) + (y B y A ) n peut vérifier facilement que cette formule reste vraie dans les cas particulier où x A = x B ou y A = y B. Remarques : Quand on écrit que AB = 6 par exemple, il faut comprendre que AC = 6 unités de longueur, où l unité de longueur est fixée par. Comme ici, les unité de longueur horizontale,, et verticale,, sont les mêmes (repère orthonormé) on peut faire la somme AC + BC. En logique (x B x A ET y B y A ) est la négation de (x B = x A U y B = y A ) Algorithme : n propose l algorithme suivant qui donne la suite d opération à effectuer pour obtenir la distance entre les points A et B dont on connaît les coordonnées. début Entrées : xa, ya, xb, yb Dist=(xB-xA)ˆ +(yb-ya)ˆ ; Dist=Racine(Dist); retourner Dist fin Application : Soient A(; 7), B(; 1), C( 6; 3) dans un repère orthonormé. Le triangle ABC est-il isocèle? Solution : Voir la section suivante. Question : Exercices du livre (Transmath) 39 p 199 : Appartenance à un cercle 43 p 199 : Triangle équilatéral 48,49 p 00 : Vrai - faux 47 p 00 : Triangle rectangle 1 p 85 Page 8/11

9 4 Figures planes et géométrie analytique Dans ce qui suit, on utilise tantôt la formule du calcul des coordonnées du milieu d un segment, tantôt la formule du e calcul des distances. La première de ces deux formules est toujours vraie, quelque soit le repère. La seconde n est vraie que dans un repère orthonormé! 4.1 Cercle Dans un repère orthonormé on considère un cercle de centre A(x A ; y A ) et de rayon r et on cherche à savoir si B(x B ; y B ) appartient à ce cercle. l faut calculer AB et comparer le résultat avec r. B appartient au cercle si et seulement si AB = r. Exemple : au cercle? Soit le cercle de rayon 5 et de centre A(1; 4). Le point B(4; 0) appartient-il Réponse : AB = (x B x A ) + (y B y A ) = (4 1) + (0 4) n obtient AB = 5, B appartient donc au cercle de centre A et de rayon 5. = 3 + ( 4) = AB = 5 = 5 4. Triangles 4..1 Triangle isocèle / équilatéral Pour démontrer qu un triangle est isocèle, il faut démontrer que deux de ses côtés ont même longueur. l est équilatéral si ses trois côtés ont même longueur. Application : Soient A(; 7), B(; 1), C( 6; 3) dans un repère orthonormé. Le triangle ABC est-il isocèle? Solution : de tous les côtés. Calculons les longueurs AB = (x B x A ) + (y B y A ) = ( ) + ( 1 7) = 0 + ( 8) = AB = 64 = 8 Page 9/11

10 BC = (x C x B ) + (y C y B ) = ( 6 ) + (3 ( 1)) = ( 8) + 4 = BC = Triangle rectangle AC = (x C x A ) + (y C y A ) = ( 6 ) + (3 7) = ( 8) + ( 4) = AC = 80 n voit que AB = AC donc ABC est isocèle en C. n peut même ajouter que le triangle n est pas équilatéral puisque AB BC. Pour démontrer qu un triangle est rectangle, on calcule la longueur de ses côtés puis on utilise la réciproque du théorème de Pythagore. Application : Soient A(; 1), B(3; 3), C(6; 1) dans un repère orthonormé. Le triangle ABC est-il rectangle? Solution : de tous les côtés. Calculons les longueurs AB = (x B x A ) + (y B y A ) = (3 ) + (3 1) = 1 + AB = 5 AC = (x C x A ) + (y C y A ) = (6 ) + (( 1) 1) = 4 + ( ) = AC = 0 BC = (x C x B ) + (y C y B ) = (6 3) + (( 1) 3) = 3 + ( 4) = BC = 5 = 5 BC est le côté le plus long et BC = 5. AC + AB = = 5. n a donc BC = AC + AB. D après la réciproque du théorème de Pythagore, ABC est rectangle en A. Page 10/11

11 4.3 Quadrilatère Parallélogramme n a 4 points A, B, C et D dans un repère et on veut savoir si ABCD est un parallélogramme. Le plus simple est de procéder ainsi : 1. Calculer les coordonnées du milieu de [AC].. Calculer les coordonnées du milieu de [BD]. 3. Comparer les deux points (sont-ils confondus ou non) et conclure. Remarque : Dans un repère orthonormé on pourrait vérifier si AB = CD et AD = BC (ABCD est parallélogramme si et seulement si ses côtés opposés ont même longueur) mais c est beaucoup plus long Rectangle n a 4 points A, B, C et D dans un repère et on veut savoir si ABCD est un rectangle. La méthode est la suivante : 1. Commencer par démontrer que ABCD est un parallélogramme.. Au choix : Montrer que AC = BD et conclure : ABCD est un rectangle car c est un parallélogramme dont les diagonales ont même longueur. Montrer que ABC est un triangle rectangle en B et donc que (AB) (BC). Conclure : ABCD est un rectangle car c est un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs perpendiculaires Losange n a 4 points A, B, C et D dans un repère et on veut savoir si ABCD est un losange. La méthode est la suivante : 1. Commencer par démontrer que ABCD est un parallélogramme.. Au choix : Montrer que AB = BC et conclure : ABCD est un losange car c est un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur. En prenant K le centre de ABCD, montrer que AKB est rectangle en K, et donc que (AC) (BD). Conclure : ABCD est un losange car c est un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires Carré n a 4 points A, B, C et D dans un repère et on veut savoir si ABCD est un carré. l faut démontrer que ABCD est à la fois un rectangle et un losange. Page 11/11