Mathématiques. Partie C: Compléments. Lycée L.-G. Damas, Cayenne. Leibniz, l un des fondateur du calcul infinitésimal.

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1 Lycée L.-G. Damas, Cayenne Mathématiques Partie C: Compléments Leibniz, l un des fondateur du calcul infinitésimal. Table des matières Partie A : Obligatoire Partie B : Spécialité Version du : 1 er juin 2009

2 Table des matières I GEOMETRIE 6 1 Trigonométrie 7 [Thème) Le cercle trigonométrique] Abscisses curvilignes Rapports trigonométriques Définitions Les fonctions trigonométriques [Exercices) Le cercle trigonométrique comme rapporteur] [Dm n o 10) Dérivées des fonctions trigonométriques] [TD) Equations trigonométriques] Résolutions graphiques Avec le sinus Avec le cosinus Synthèse : Propriété fondamentale Résolutions par le calcul Equations simples Equations plus complètes [Thème) Angles orientés] Mesures en radians d un angle orienté Propriétés usuelles Configurations usuelles Applications aux triangle Sinus et cosinus d un angle orienté [Formulaire) Formules de trigonométrie] [Complément) Le degré] Unité historique : le degré Le radian : une unité plus naturelle Conversions Angles remarquables Longueurs d arcs Conversions Transformations du plan Définition Exemples importants Composition Exercices

3 Mathématiques 3 la géométrie d Euclide 45 [Thème) Droites et plans] Perspective cavalière Variétés géométriques Du plan à l espace Points, droites et plans [Thème) Insidence] Différents cas d incidence Deux droites Deux plans Droite et plan [TD) Sections d un tétraèdre] [Thème) Orthogonalité] Droites orthogonales Orthogonalité d une droite et d un plan Théorèmes relatifs à l orthogonalité II COMPLEMENTS 59 4 Activités TICE 60 [Thème) Exemples de TP (2008)] Deux courbes qui se frôlent Investigations autour d une équation différentielle Jouons avec le dessous-de-plat Les nombres repus Le paravent chinois La recette du kaprekar Approche probabiliste d une intégrale Fragments du Bac : Exercices et problèmes 68 [Thème) Géométrie] Nombres complexes Configurations usuelles Ensembles de points Arguments Exercices du Bac Incidence et orthogonalité dans l espace Barycentres dans l espace Similitudes du plan (spécialité) [Thème) Suites numériques] Suites numériques Démonstrations par récurrence [Thème) Fonctions numériques] Généralités Régularité Symétries et invariances de courbes Table des matières 3 Partie C: Compléments

4 Mathématiques 4. Exponentielle Equations différentielles Logarithme néperien Calcul intégral [Thème) Probabilités] Applications directes Approfondissement (sujets) [Thème) Arithmétique (spécialité)] [Thème) Bacs blancs et devoirs communs] Lycée J. Jaurès 2005, premier bac blanc Lycée J. Jaurès 2005, second bac blanc Lycée L.-G. Damas 2009, premier devoir commun Un corrigé Lycée L.-G. Damas 2009, bac blanc (un corrigé) Lycée L.-G. Damas 2009, second devoir commun [Thème) Révisions de juin] Géométrie dans l Espace Probabilités Equations différentelles Calcul intégral Nombres complexes Un peu de physique 177 [Thème) Autour du principe de moindre action] Distance d un point aux points d une droite Réflexion Réfraction Indice variable Quelques exemples Profil d une jetée, ou le problème de la dalle en pente Des corrigés [Thème) Facteur d obscurité] Position du problème Grandeurs effectivement mesurables Notations Protocole de mesure Expressions du facteur d obscurité Un premier cas simple Deuxième cas Commentaires Démonstration de la formule principale Calcul intégral Application au calcul d une aire Calculs des intégrales Rapport d occultation et facteur d obscurité Les lunules d Hippocrate Biographie : Hippocrate de Chios Table des matières 4 Partie C: Compléments

5 Mathématiques 5.2. Le premier carrage d une figure non rectiligne Exercice : une deuxième lunule carrable Lunules et théorème de Pythagore Le résultat La démonstration d Hippocrate Une généralisation du théorème de Pythagore Utilisation de la formule (6.4) Fiches de synthèse 210 La fonction exponentielle Propriétés analytiques Propriétés algébriques Equations différentielles Fonction Logarithme (par Exponentielle) Fonction Logarithme (par fonction inverse) Introduction comme primitive de la fonction inverse Propriétés analytiques Propriétés algébriques Probabilités discrètes Cadre Evénements Variables aléatoires Arithmétique (spécialité) Divisibilité dans Z Division euclidienne Le théorème de Bezout PPCM Nombres premiers Congruences dans Z Table des matières 5 Partie C: Compléments

6 Première partie GEOMETRIE 6

7 Chapitre 1 Trigonométrie 7

8 Trigonométrie Thème: Le cercle trigonométrique [Thème) Le cercle trigonométrique 1. Abscisses curvilignes Le cercle trigonométrique On se donne un cercle Γ de centre Ω et de rayon 1. On choisit un des deux sens de parcours possibles : C est le sens trigonométrique (en général le sens inverse des aiguilles d une montre). Le sens opposé est dit rétrograde. On choisit d autre part un repère orthonomal direct (Ω; u; v) et on note, comme habituellement, I(1; 0), J(0; 1), I ( 1; 0) et J (0; 1). Le point I qui va servir d origine pour mesurer des longueurs d arcs orientés sur Γ. Abscisses curvilignes d un point M Γ Une abscisse curviligne de M est une longueur de chemin possible pour aller de I en M le long de Γ. Exemple. Le point J admet pour abscisse curviligne π puisque pour aller de I en J on 2 peut se contenter de parcourir un quart de cercle de Γ dans le sens direct. On peut aussi parcourir trois quarts de cercle dans le sens rétrograde ; donc 3 π = π 2 π est une autre 2 2 abscisse curviligne de J. Plus généralement, tous les nombres de la forme π +2 k π, k Z, sont des abscisses curvilignes 2 de J. Propriété réciproque A tout nombre réel x, on peut associer un unique point M de Γ : Ce point M est placé comme suit : on parcourt la distance x sur cercle C, en partant de I et dans le sens trigonométrique si x 0 dans le sens rétrograde lorsque x 0. Exercice n o 1 [Application directe] 1) Répondre aux questions pour chacun des réels donnés ci-dessous : π 3 ; 2π 3 ; 5π 6 ; π 4 ; 4π 3 ; 41π 3 ; 21π 4 ; 51π 4 ; 67π 6 ; 47π Rapports trigonométriques 8 Complément

9 Trigonométrie Thème: Le cercle trigonométrique Questions : Déterminer la mesure principale (appartenant à ] π; π]). Placer le point image sur le cercle trigonométrique ci-contre. 2) Donner la mesure principale de chacun des 16 points placés sur le cercle trigonométrique ci-contre. 2. Rapports trigonométriques 2.1. Définitions On considère : un nombre réel x le point M de Γ d abscisse curviligne x Définition 1: Rapports trigonométriques Le cosinus du réel x est l abscisse de M. Le sinus du réel x est l ordonnée de M. Sur la figure : { cos(x) = XM sin(x) = Y M. Tangente du réel x. On pose tan(x) = IT. Montrer que tan(x) = sin(x) cos(x). Pour quelles valeurs de x le réel tan(x) n est-il pas défini? Angles associés Sur le cercle trigonométrique cicontre, donner les abscisses curvilignes des 5 points repérés, en fonction du réel x. Conséquence On considérant les coordonnées de chacun de ces points, on obtient les formules suivantes : 2.1. Définitions 9 Complément

10 Trigonométrie Thème: Le cercle trigonométrique Synthèse Périodicité : cos(2 π + x) = cos(x) et sin(2 π + x) = sin(x). Raison : les points M(x) et M 2π (2 π + x) sont confondus sur γ. Parité : cos( x) = cos(x) et sin( x) = sin(x). Raison : les points M(x) et M ( x) sont symétriques par rapport à (Ox). Symétie : cos(π x) = cos(x) et sin(π x) = sin(x). Raison : les points M(x) et M (π x) sont symétriques par rapport à (Oy). Supplémentarité : cos(π/2 x) = sin(x) et sin(π/2 x) = cos(x). Raison : les points M(x) et M (π/2 x) sont symétriques par rapport à la première bissectrice. On donne pour terminer le tableau de valeurs suivant, qui sera démontré en exercice. π π π π Réel x 0 π Rapports trigonométriques usuels : cos(x) sin(x) Les fonctions trigonométriques Les propriétés mises en évidence au numéro précédent vont permettre d étudier les fonctions cos : R R sin : R R trigonométriques et x cos(x) x sin(x). On fixe un repère orthogonal (O ; ı, j ) du plan et on note respectivement C et S les courbes des fonctions cos et sin dans ce repère. Etude de cos Périodicité : cos est définie sur R et, pour tout réel x, cos(2π + x) = cos(x). On en déduit que cos est 2 π-périodique et donc que C est invariante par translation de vecteur 2 π i. On peut donc restreindre l étude à un intervalle d amplitude 2π ; on choisit, pour des raisons de symétrie, [ π; π]. Parité : cos est définie sur R et, pour tout réel x, cos( x) = cos(x). On en déduit que la fonction cosinus est paire et donc que C est symétrique par rapport à (Oy). On peut donc restreindre l étude à l intervalle [0; π]. Symétrie : Pour tout réel x, cos(π x) = cos(x) On en déduit que C est symétrique par rapport au point A(π/2; 0). On peut donc restreindre l étude à l intervalle [0; π/2]. Variations sur [0, π/2] : Pour l instant, on se contentera d observer graphiquement, sur le cercle trigonométrique, que la fonction cosinus est strictement décroissante et positive sur [0; π/2] ; avec : cos(0) = 1 à cos(π/2) = Les fonctions trigonométriques 10 Complément

11 Trigonométrie Thème: Le cercle trigonométrique A l aide du tableau de valeurs donné plus haut, on en déduit la courbe C sur [0; π/2] ci-contre. L étude des symétries et de la périodicité permet d obtenir enfin la courbe globale ci-dessous. Etude de sin translation : Pour tout réel x, sin(x) = cos(π/2 x) = cos(x π/2). On en déduit que la courbe S est l image de C par la translation de vecteur π 2 i. Pour sin, on a de même : Périodicité : Pour tout réel x, sin(2π + x) = sin(x). On en déduit que sin est 2π-périodique et que S est invariante par translation de vecteur 2π. i. Parité : Pour tout réel x, sin( x) = sin(x). On en déduit que la fonction sinus est impaire et que S est symétrique par rapport à l origine. Symétrie : Pour tout réel x, sin(π x) = sin(x) On en déduit que S est symétrique par rapport à la droite d équation x = π/2. Etude sur [0, π/2] (conjecture graphique) : Sur le cercle trigonométrique, on peut observer que la fonction sinus est strictement croissante et positive sur [0, π/2] ; de sin(0) = 0 à sin(π/2) = 1. Remarque. La relation cos(x) = sin(π/2 x), valable pour tout réel x, prouve aussi que C est l image de S par la reflexion par rapport à la droite d équation x = π Les fonctions trigonométriques 11 Complément

12 Trigonométrie Exercices. Le cercle trigonométrique comme rapporteur [Exercices) Le cercle trigonométrique comme rapporteur Exercice 1 Sur la figure ci-dessus, utiliser le compas l équerre et la graduation (1/2) de l axe des abscisses pour répondre aux questions suivantes. 1. Sur le cercle trigonométrique C, placer le point A image du réel ( π/3) et le point B(2π/3). 2. Placer le rapport sin( π/3) ; rappeler sa valeur. 3. Placer les rapports trigonométriques suivants : ( π ) ( cos ; sin 2π ) ( ) 5π ; sin Donner les valeurs des rapports précédents. ( ; sin π ) 6 ; cos ( ) 4π. 3 On pourra répondre aux questions suivantes sur la deuxième figure, au bas de cette page. 5. Placer les points C, D, E et F de C, images respectives des réels π 4 ; π 8 ; 4π 3 ; 5π 4. 12

13 Trigonométrie Exercices. Le cercle trigonométrique comme rapporteur 6. Calculer τ := 1 + cos ( ) ( 2π + cos 2π Déterminer les mesures principales des angles de mesures suivantes : ). 37π 4 ; 10π 3 ; 29 ; 45π 4. 13

14 Trigonométrie Exercices. Le cercle trigonométrique comme rapporteur Exercice 2 La figure ci-dessous représente un cercle trigonométrique Γ de centre Ω. Les constructions demandées seront faites avec l équerre (non graduée) et le compas uniquement. Pour chacune des abscisses curvilignes qui suivent, répondre aux questions de 1 à 3. α := 11π 4 ; β := 12π 3 ; γ := 71π 6 ; δ := 129π 2 ; ζ := 1024π Déterminer l abscisse curviligne principale (noté respectivement a, b, c, d et z). 2. Construire sur Γ le point image (noté respectivement A, B, C, D et Z). 3. Calculer le cosinus et le sinus. 4. Comparer U := sin ( ) ( 14π 3 et V := 2 sin 7π ) ( 3 sin 7π ) 3. 14

15 Trigonométrie Exercices. Le cercle trigonométrique comme rapporteur Exercice 3 La figure ci-dessous représente un cercle trigonométrique Γ de centre Ω. Les constructions demandées seront faites avec l équerre (non graduée) et le compas uniquement. Pour chacune des abscisses curvilignes qui suivent, répondre aux questions de 1 à 3. α := 21π 4 ; β := 36π 6 ; γ := 51π 6 ; δ := 109π 2 ; ζ := 528π Déterminer l abscisse curviligne principale (noté respectivement a, b, c, d et z). 2. Construire sur Γ le point image (noté respectivement A, B, C, D et Z). 3. Calculer le cosinus et le sinus. 4. Comparer U := sin ( 26π 6 ) et V := 2 sin ( 13π 6 ) ( sin 13π ) 6. 15

16 Trigonométrie Exercices. Le cercle trigonométrique comme rapporteur Un corrigé de l exercice 2 On pose : α := 11π 4 ; β := 12π 3 ; γ := 71π 6 ; δ := 129π 2 1. Abscisses curvilignes principales respectives a, b, c, d et z : ; ζ := 1024π. 6 α := 11π 4 = 8π 4 + 3π 4 = 2π + 3π 4 donc a = 3π 4 β := 12π 3 = 4π donc b = 0. γ := 71π 6 = 72π 6 π 6 = 12π + π 6 donc c = π 6. δ := 129π 2 = 128π 2 π 2 = 64π π 2 donc d = π 2. (appartenant à ] π, π]). Comme, par division euclidienne, on a 1024 = , alors : ζ := 1024π 6 = 6 170π 6 4π 6 = 170π 2π 3 et donc z = 2π Constructions des points images (notés respectivement A, B, C, D et Z) : 16

17 Trigonométrie Exercices. Le cercle trigonométrique comme rapporteur 3. Calculs des cosinus et sinus : 4. Calculs de comparaison. On a : donc : D autre part, on a donc : V := 2 sin cos(α) = cos(a) = cos(π/4) = 2 2 sin(α) = sin(a) = sin(π/4) = 2 2 cos(β) = cos(b) = cos(0) = 1 sin(β) = sin(b) = sin(0) = 0 cos(γ) = cos(c) = cos(π/6) = sin(γ) = sin(c) = sin(π/6) = 2 cos(δ) = cos(d) = cos(π/2) = 0 sin(δ) = sin(d) = sin(π/2) = 1 cos(ζ) = cos(z) = cos(π/3) = 1 2 sin(ζ) = sin(z) = sin(π/3) = π 3 = 12π 3 2π 3 = 4π 2π 3, ( U := sin 14π ) ( = sin 2π 3 3 ) 7π 3 = 6π 3 + π 3 = 2π + π 3, ( π ) 3 = sin = 3 2. ( ) ( ) 7π 7π ( π ) ( π ) 3 cos = 2 sin cos = = Finalement, les quantités U et V sont opposées

18 Trigonométrie Exercices. Le cercle trigonométrique comme rapporteur Un corrigé de l exercice 3 On pose : α := 21π 4 ; β := 36π 6 ; γ := 51π 6 ; δ := 109π 2 1. Abscisses curvilignes principales respectives a, b, c, d et z : ; ζ := 528π 6. α := 21π 4 = 24π 4 3π 4 = 6π 3π 4 donc a = 3π 4 β := 36π 3 = 6π donc b = 0. γ := 51π 6 = 48π 6 + 3π 6 = 8π + π 2 donc c = π 2. δ := 109π 2 = 108π 2 π 2 = 54π π 2 donc d = π 2. ζ := 528π 6 = 88π donc z = 0. (appartenant à ] π, π]). 2. Constructions des points images (notés respectivement A, B, C, D et Z) : 18

19 Trigonométrie Exercices. Le cercle trigonométrique comme rapporteur 3. Calculs des cosinus et sinus : 4. Calculs de comparaison. On a : donc : D autre part, on a donc : ( ) ( ) 13π 13π V := 2 sin cos 6 6 cos(α) = cos(a) = cos(π/4) = 2 2 sin(α) = sin(a) = sin(π/4) = 2 2 cos(β) = cos(b) = cos(0) = 1 sin(β) = sin(b) = sin(0) = 0 cos(γ) = cos(c) = cos(π/2) = 0 sin(γ) = sin(c) = sin(π/2) = 1 cos(δ) = cos(c) = cos( π/2) = 0 sin(δ) = sin(c) = sin( π/2) = 1 cos(ζ) = cos(z) = cos(0) = 1 sin(ζ) = sin(z) = sin(0) = 0. 26π 6 = 13π 3 = 12π 3 π 3 = 4π π 3, ( U := sin 26π ) ( = sin π ) 3 = π 6 = 12π 6 + π 6 = 2π + π 6, Finalement, les quantités U et V sont opposées. ( π ) ( π ) = 2 sin cos = =

20 Trigonométrie Dm n o 10. Dérivées des fonctions trigonométriques [Dm n o 10) Dérivées des fonctions trigonométriques Polycopié n o 25 A rendre le 6/3/9 Le but de ce problème est de prouver que les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur R. On supposera que les notions abordés dans le polycopié de rappels de trigonométrie 1, et seulement celles-là, sont connues. Partie I. Un lemme trigonométrique Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O ; u, v ). On note C le cercle trigonométrique de centre O, T la droite tangente à C au point I(1; 0). On considère un réel h appartenant à l intervalle ]0; π/2[ et, sur le cercle trigonométrique C : le point M d abscisse curviligne h. le projeté C de M sur (Ox) le projeté S de M sur (Oy) le point d intersection T de T avec la droite (OM) 1) Exprimer, en fonction du réel h, les grandeurs suivantes : l aire A(h) du triangle OMC l aire B(h) du triangle OMI l aire C(h) du triangle OIT l aire D(h) du secteur angulaire OIM 2) Par des considérations d aires, justifier que : A(h) B(h) D(h) C(h). 3) En déduire que : 1 cos h 1 sin h h cos h. 4) Etudier la limite suivante : lim h 0 + sin h h. 1 Disponible sur le site en fin de semaine. Correspond aux notions abordées en première, exceptée la dérivation des fonctions trigonométriques. 20

21 Trigonométrie Dm n o 10. Dérivées des fonctions trigonométriques Partie II. Aspect fonctionnel On note C sin et C cos les courbes représentatives respectives des fonctions sinus et cosinus dans un repère orthogonal (O ; ı, j ). 1. (a) Montrer que la fonction D : x sin x x (b) En déduire l étude de sin h lim h 0 h. est paire sur R. (c) Que peut-on en déduire quant à la dérivabilité de la fonction sinus en 0? Quelle-est la tangente à C sin au point d abscisse 0? 2. (a) On admet que cos(x) = 1 2 sin 2 (X/2), pour tout réel X. cos h 1 Calculer lim. h 0 h (b) Que peut-on en déduire quant à la dérivabilité de la fonction cosinus en 0? Quelle-est la tangente à C cos au point d abscisse 0? 3. Soit a un nombre réel quelconque. (a) On admet que sin(x + Y ) = sin(x) cos(y ) + cos(x) sin(y ), pour tous réels X, Y. Montrer que : sin a + h sin(a) h = sin(a) cos h 1 h + cos(a) sin h h. (b) En déduire que la fonction sinus est dérivable en a et calculer son nombre dérivé sin (a). (c) A l aide d un schéma du cercle trigonométrique, justifier que cos(x) = sin(π/2 X). (d) En déduire que la fonction cosinus est dérivable en a et calculer cos (a). 4. A l aide de la question 3, étudier la dérivabilité de la fonction tangente sur R. 21

22 Trigonométrie TD. Equations trigonométriques [TD) Equations trigonométriques 1. Résolutions graphiques 1.1. Avec le sinus a) Sur le cercle trigonométrique de la figure de gauche, ci-dessous, placer les points images M(x) des réels x dont le sinus vaut 1/2. Déterminer un réel associé à chacun de ces points. b) En déduire tous les réels x vérifiant sin(x) = 1/2. c) Suivre la même démarche pour résoudre l équation sin(x) = Avec le cosinus a) Sur le cercle trigonométrique de la figure suivante de gauche, placer les points images des réels dont le cosinus vaut 2/2. Trouver un réel associé à chacun de ces points. b) Déterminer finalement tous les réels x tels que cos(x) = 2/2. c) Suivre la même démarche pour résoudre l équation cos(x) = 1 2. d) Déterminer les solutions de cette équation qui appartiennent à l intervalle [3π; 5π[. 22

23 Trigonométrie TD. Equations trigonométriques 2. Synthèse : Propriété fondamentale Soit x et a deux réels. Pour résoudre des équations trigonométriques, on utilise les équivalences suivantes : x = a + 2 k π sin(x) = sin(a) si, et seulement si, ou avec k Z. x = π a + 2 k π, et : cos(x) = cos(a) si, et seulement si, x = a + 2 k π ou x = a + 2 k π, avec k Z. 23

24 Trigonométrie TD. Equations trigonométriques 3. Résolutions par le calcul 3.1. Equations simples Résoudre chacune des équations suivantes puis donner ses solutions qui appartiennnent à l intervalle [ 11π/3; 5π/3[. sin(x) = 1 2 ; cos(x) = ; sin(x) = 2 ; cos(x) = 1 2 ; sin(x) = Equations plus complètes Résoudre chacune des équations suivantes puis donner ses solutions qui appartiennnent à [ 7π/3; 0[. ( sin 2x + π ) = 1 ( 3 2 ; cos 3x + π ) = ( ; sin x + 5π 6 ) 3 = 2 ( x ; sin 5 + π ) =

25 Trigonométrie Thème: Angles orientés [Thème) Angles orientés 1. Mesures en radians d un angle orienté Disons pour commencer qu un angle orienté est représenté par un couple de deux vecteurs non nuls ( u, v) (dans cet ordre). On notera ( u, v) cet angle. La notion de mesure va permettre de définir l égalité de deux angles orientés 2. Mesure en radians de ( u, v). On la définit comme suit : On considère les représentants des vecteurs u et v ayant pour origine O, le centre d un cercle trigonométrique Γ. On repère les points de rencontre des demi-droites (O, u) et (O, v) avec Γ, qu on note respectivement M et N. On choisit des abscisses curvilignes a et b de M et N sur Γ. Une mesure en radians de l angle orienté ( u, v) est par définition : α = b a. C est en fait une mesure algébrique de l arc orienté MN. Ecriture modulo 2π. L angle ( u, v) admet une infinité de mesures : Tous les nombres de la forme : α + 2kπ, k Z. 2 Et donc de définir précisemment ce qu est un angle orienté. 25

26 Trigonométrie Thème: Angles orientés On peut noter : mes( u, v) α [2π]. Cette notation représente non pas un réel mais une famille de réels (infinie, indexée par k Z). Mesure principale Parmi toutes ces mesures, une seule appartient à l intervalle ] π; π]. C est la mesure principale de l angle orienté ( u, v). On la notera : Mes( u, v). C est, cette fois-ci, un nombre réel bien défini, appartenant toujours à ] π; π]. Définition 1: Egalité d angles orientés Deux angles ( u, v) et ( u, v ) sont par définition égaux si et seulement si : ( mes( u, v) = mes( u, v ) + 2kπ (k Z) Mes( u, v) = Mes( u, v ) ). 2. Propriétés usuelles Angles géométriques, angles orientés. Soit O, A, B sont trois points deux à deux distincts, l angle géométrique ÂOB donne lieu à deux angles orientés : ( OA, OB) et ( OB, OA). Un angle orienté est donc un angle géométrique auquel ont donne un sens de parcourt ; donné par l ordre des vecteurs. Par suite, on peut adapter la relation de Chasles des angles géométriques aux angles orientés : Proposition 2: Relation de Chasles Soient u, v et w trois vecteurs non nuls. Alors : ( u, v) = ( u, w) + ( w, v) soit mes( u, v) = mes( u, w) + mes( w, v) + 2kπ (k Z). Corollaire 3: Angles associés Soit ( u, v) un angle formé par deux vecteurs non nuls. Alors : Angle nul : Mes( u, u) = 0. Angle plat : Mes( u, u) = π. Angles opposés : Mes( u, v) = Mes( v, u). Angles complémentaires : Mes( u, v) = π Mes( v, u). Angles égaux : Mes( u, v) = Mes( v, u). Remarque. Ces relations sont valables en mesures principales, ce qui n est pas le cas de la relation de Chasles. 26

27 Trigonométrie Thème: Angles orientés 3. Configurations usuelles Proposition 4: Angle de vecteurs colinéaires Deux vecteurs non nuls u et v sont colinéaires si, et seulement si, mes( u, v) = kπ. Dans ce cas, u et v sont de même sens si et seulement si Mes( u, v) = 0. u et v sont de sens contraires si et seulement si Mes( u, v) = π. Conséquences : Alignement Soient A, B et M trois points deux à deux distincts. M appartient au segment (ouvert) ]AB[ si, et seulement si, Mes( MA, MB) = π. M appartient à la droite (AB) si, et seulement si, Mes( MA, MB) = Applications aux triangle On commence d abord par le théorème de l angle inscrit : Théorème 5: Angle inscrit Soient A, B et C trois points deux à deux distincts appartenant à un cercle C de centre O. Alors : Mes( AB, AC) 1 = Mes( OB, OC). 2 Vocabulaire. correspondant. L angle inscrit (dans C ) est ( AB, AC) et ( OB, OC) est l angle au centre Isométries Une isométrie est une transformation du plan qui conserve les angles géométriques a. On peut obtenir toutes les isométries du plan à partir de trois grandes classes de base : translations, rotations et réfléxions b. Les translations et rotations conservent les angles orientés. On parle d isométrie directe ou de déplacement. Les reflexions transforment les angles orientés en leurs opposés : on parle cette fois d antidéplacement. a Cela revient à dire qu elle conserve les distances. b Ou symétries axiales. 27

28 Trigonométrie Thème: Angles orientés Autrement dit : Proposition 6: Image d un triangle par une isométrie Soient A, B et C trois points deux à deux distincts. 1. Si A, B et C sont les images de A, B et C par une rotation ou un translation, alors Mes( A B, A C ) = Mes( AB, AC). 2. Si A, B et C sont les images de A, B et C par une reflexion, alors Triangles directs Mes( A B, A C ) = Mes( AB, AC). Un triangle ABC est par définition direct si, et seulement si, Mes( AB, AC) > 0. Proposition 7: Somme des angles dans un triangle direct Si ABC est un triangle direct alors Mes( AB, AC) + Mes( BC, BA) + Mes( CA, CB) = π. Généralisation aux polygones Un polygone direct est la donnée d un n-uplet de points (A 1,..., An) tels que, pour tout i {1,..., n 2}, Mes( A i A i+1, A i A i+2 ) > 0. Cela revient à dire que pour parcourir les points A 1,...,An du polygone (dans cet ordre), on suit toujours le sens trigonométrique. Conséquence : Orientation du plan Une base du plan ( i, j) est dite directe si, et seulement si, Mes( i, j) > 0. Cela dépend donc au final du cercle trigonométrique Γ choisit comme référence. De même, un repère cartésien (O, i, j) du plan est direct si et seulement si la base ( i, j) l est. Remarque : Soient A, B et C trois points. Un triangle ABC est direct si, et seulement si, le repère (A, AB, AC) est direct. 28

29 Trigonométrie Thème: Angles orientés 4.1. Sinus et cosinus d un angle orienté Principe Rappelons qu on sait déjà définir le sinus et le cosinus d un nombre réel. Soient ( u, v) un angle orienté, x une mesure en radians de ( u, v) ainsi que M(x) le point de Γ d abscisse curviligne x. Le cosinus de l angle ( u, v) est par définition celui du réel x : cos( u, v) = cos( i, OM) = cos(x) = ΩP. Le sinus de l angle ( u, v) est quant à lui définit par : sin( u, v) = cos( i, OM) = sin(x) = ΩQ. 29

30 Trigonométrie Formulaire. Formules de trigonométrie [Formulaire) Formules de trigonométrie On fixe deux réels a et b. Conséquences de la définition. Les fonctions cos et sin sont définies de R sur [ 1; 1] ; En particulier : 1 cos 1 et 1 cos 1. D autre part (conséquence du théorème de Pythagore) : cos 2 (a) + sin 2 (a) = 1. Formules d addition. cos(a + b) = cos(a) cos(b) sin(a) sin(b), cos(a b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b) sin(a + b) = sin(a) cos(b) + sin(b) cos(a), sin(a b) = sin(a) cos(b) sin(b) cos(a) Remarque : les deux formules de gauche permettent d obtenir toutes les suivantes. tan(a + b) = tan(a) + tan(b) 1 tan(a) tan(b) (si a et b ne sont pas congrus à π/2 modulo π). Formules de duplication. d où, tan(a b) = tan(a) tan(b) 1 + tan(a) tan(b) cos(2a) = cos 2 (a) sin 2 (a), sin(2a) = 2 sin(a) cos(a) et tan(2a) = 2 tan(a) 1 tan 2 (a) cos 2 (a) = 1 + cos(2a) 2, sin 2 (a) = 1 cos(2a) 2 et tan 2 (a) = 1 cos(2a) 1 + cos(2a) (si a est distinct de π/2 modulo π). Les deux formules qui suivent servent essentiellement au calcul de primitives : si a n est pas congru à π modulo 2π, alors : cos(a) = 1 tan2 (a/2) 1 + tan 2 (a/2) et sin(a) = 2 tan(a/2) 1 + tan 2 (a/2). Formules de linéarisation. cos(a) cos(b) = 1 2 [cos(a + b) + cos(a b)], sin(a) sin(b) = 1 [cos(a b) cos(a + b)] 2 et sin(a) cos(b) = 1 [sin(a + b) + sin(a b)]. 2 Formules de factorisation [ ( p + q cos(p)+cos(q) = 2 cos 2 [ ( p + q sin(p)+sin(q) = 2 sin 2 ) cos ) cos ( )] p q 2 ( )] p q 2 [ ( ) ( )] p + q p q, cos(p) cos(q) = 2 sin sin 2 2 [ ( ) ( )] p + q p q, sin(p) sin(q) = 2 cos sin

31 Trigonométrie Formulaire. Formules de trigonométrie Equations trigonométriques. et cos(a) = cos(b) sin(a) = sin(b) a b [2π] ou a b [2π] a b [2π] ou a π b [2π]. Nombres dérivés en 0. Les fonctions cos, sin et tan sont dérivables en 0 et sin (0) = lim x 0 x 0 sin(x) x = 1, cos (0) = lim x 0 x 0 cos(x) 1 x Ceci revient à dire (avec le développement limité d ordre 1) que = 0, tan (0) = lim x 0 x 0 sin(x) = x + xϕ 1 (x), cos(x) = 1 + xϕ 2 (x) et tan(x) = x + xϕ 3 (x), tan(x) x où ϕ 1, ϕ 2 et ϕ 3 sont des fonctions définies sur R ayant pour limite 0 en 0. On a d autre part = 1. x ]0; π/2[ sin(x) < x, cos(x) > 1 x2 2 et tan(x) > x. Fonctions dérivées. Les fonctions cos, sin et tan sont dérivables sur leurs ensembles de définition et cos = sin, sin = cos, tan = 1 + tan 2 = 1 cos 2. Primitives. Les fonctions cos, sin sont continues sur R et y admettent donc des primitives : cos = sin +k et sin = cos +k (k, k R). La fonction tan est continue sur son ensemble de définition et y admet donc des primitives ; sur tout intervalle contenu dans celui-ci : tan = ln cos + k (k R). Formules d Euler. cos(a) = eia + e ia et, si a est distinct de π/2 modulo π, 2, sin(a) = eia e ia tan(a) = i. e ia e ia e ia + e ia. 2i 31

32 Trigonométrie Complément. Le degré [Complément) Le degré 1. Unité historique : le degré Le degré, divisé en 60 minutes et 3600 secondes, vient des Babyloniens 3 : ils utilisaient le système sexagésimal (base 60). Dès le VII e siècle de notre ère, les mathématiciens arabes ont poursuivi et mesuré les angles célestes et terrestres de la même manière. L élaboration de calendriers 4, souvent issue de la maitrise des angles astronomiques, en a découlé en se basant sur les périodes du soleil et/ou de la lune. Par la suite en occident, essentiellement pour répondre aux besoins de l astronomie et de la navigation, on a développé un système de repérage de la sphère terrestre : les coordonnées géographiques 5 (latitude λ, longitude φ, altitude h). Définition 1: Le degré d arc (1265) Le degré d arc (symbole ) est une unité pratique d angle plan. Un angle plat vaut, par définition du degré, 180. Remarque [Conversions Système SI] Bien qu en dehors du système international (SI), le degré est en usage avec lui. On verra dans ce chapitre qu un degré vaut π/180 radians, 10/9 grades ou 160/9 mils, soit 1/360 d un tour complet. Les symboles «,,»sont également les seuls à ne pas être séparés du nombre les précédant par une espace : on doit écrire et non Le royaume de Babylone s est épanoui en Mésopotamie du sud du début du II e millénaire av. J.-C. jusqu en 539 av. J.-C., date de la prise de sa capitale par le roi Cyrus II de Perse. Durant sa longue histoire il a connu des périodes fastes et d autres plus difficiles, et plusieurs dynasties se sont succédé à sa tête. 4 Plus généralement la mesure du temps. 5 Ou coordonnées géocentriques sphériques. 32

33 Trigonométrie Complément. Le degré Sous-unités d un système sexagésimal. Un degré est subdivisé en 60 minutes d arc (symbole ), elles-mêmes divisées en 60 secondes d arc (symbole ) : 1 = 1 = 0, = 1 = 0, = 1 = 0, Inversement, un degré vaut Le radian : une unité plus naturelle Exercice n o 1 [Construction d un rapporteur naturel] Le cercle C de la figure suivante a pour rayon 1. Les points successifs placés sont espacés de la même longueur. 1. Quel est le périmètre de C. 2. Par proportionnalité, calculer la longueur des arcs de cercles géométriques suivants : IJ, II, IJ, IB, ID, IG, IK. Par définition, ces longueurs sont respectivement les mesures en radians des angles géométriques correspondants : IOJ, ÎOI, ÎOJ, ÎOB, ÎOD, ÎOG, ÎOK. Note. On suivra le cercle C dans le sens des aïguilles d une montre. 33

34 Trigonométrie Complément. Le degré 3. Souligner l ambiguïté de la notation IJ si on n apporte pas davantage de précision. 4. En déduire la longueur des arcs de cercles géométriques suivants : IA, BC, GL, CE, F G, AC, HK. 5. Sachant que, d après la définition du radian, un angle plein mesure 360, recopier et compléter par proportionnalité le tableau suivant : Mesure en degré Mesure en radians 2π Remarque. On pourra rajouter une ligne pour le grade au tableau précédent : un angle droit mesure 100 grad. 6. Soit ÂBC un angle géométrique et : d sa mesure en degré, α sa mesure en radians. Exprimer d en fonction de α. De quel type cette expression est-elle? Donner l expression inverse qui donne α en fonction de d. Cas général Soit C un de centre O et de rayon 1 : c est par définition un cercle unité. Comme le cercle C, correspondant à l angle plein, a pour périmètre 2π, la mesure en radians d un angle géométrique est donc une longueur d arc α appartenant à l intervalle [0, 2π]. Par proportionnalité on en déduit facilement que : Un angle plat mesure π rad. Un angle droit mesure π/2 rad. En traçant la bissectrice d un tel angle on obtient donc une mesure de π/4 rad (correspondant à 45 ). Un tiers de cercle mesure 2π/3 rad (obtenu en traçant une rosace par exemple). La bissectrice d un tel angle 6 permet d obtenir π/3 rad (soit 60 ). Un douzième de cercle mesure π/6 rad (soit 30 ). 6 Ou la seconde étape de la construction de notre rosace 34

35 Trigonométrie Complément. Le degré Le radian (comme le degré) étant définis sur un cercle unité, voici la généralisation de la relation mesure en radians longueur d arc sur un cercle quelconque. Proposition 2: Relation radian-longueur d arc Soit Γ un cercle de centre O et de rayon R 0. Un angle géométrique au centre de mesure α (en radians) intercepte un certain arc de cercle de longueur L. Ces deux grandeurs sont reliées selon la proportion : L = Rα. Remarque [Cas du degré] alors : α = Par proportionnalité, si d est la mesure en degrés de ÂOB, π 180 d L = π 180 R d. Exemple [Périmètre d un cercle] Evidemment, si on choisit α = 2π alors on retrouve la formule donnant le périmétre d un cercle de rayon R : P = 2πR. On termine naturellement se paragraphe en donnant cette fois-ci la relation aire d un secteurmesure en radians. La surface d un disque de rayon R étant A = πr 2, en raisonnant encore par proportionnalité 7, on obtient la proposition suivante. Proposition 3: Relation radian-aire pour les secteurs angulaires Soit Γ un cercle de centre O et de rayon R 0. L aire d un secteur circulaire de mesure α (en radians) et de rayon R 0 est A α = 1 2 αr2. 7 Cette fois-ci sur les aires et non les longueurs. 35

36 Trigonométrie Complément. Le degré 3. Conversions Rappelons que les relations longueur-radians et longueur-degrés sont linéaires. Autrement dit, pour convertir les mesures des angles géométriques, on peut utiliser le tableau de proportionnalité suivant : Mesure en degré d 180 Mesure en radians α π Mesure en grades a 200 Une autre manière d exprimer cette propriété, passe par les formules suivantes : d 180 = α π = a 200. Exemple [Applications directes] La mesure α = 2π 3 Un angle de d = 15 mesure, en radians, α = d π 180 = 15π 180 = π 12. rad correspond à un angle de d = α 180 π = 2π/3 180 π = 360π 3π = Angles remarquables Voici les mesures des angles les plus usuels qu il faut connaitre. Mesure en degré π π π π Mesure en radians 0 π 2π

37 Trigonométrie Complément. Le degré Exemple [Application directe.] et toujours la proportionnalité. Ce tableau sert de convertisseur en utilisant encore Un angle de d = 5 mesure par exemple α = 1 6 π 6 = π 36 rad. 5. Longueurs d arcs Etant donné un cercle Γ et un point I sur Γ, on peut, de même que sur un cercle trigonométrique, considérer la notion d abscisse curviligne sur Γ. Proposition 4: Longueur d arc Soit Γ un cercle de centre O et de rayon R 0. Un angle géométrique au centre de mesure α (en radians) intercepte un certain arc de cercle de longueur L. Ces deux grandeurs sont reliées selon la proportion : L = Rα. Remarque [Cas du degré] alors : α = Par proportionnalité, si d est la mesure en degrés de ÂOB, π 180 d L = π 180 R d. Exemple [Périmètre d un cercle] Evidemment, si on choisit α = 2π alors on retrouve la formule donnant le périmétre d un cercle de rayon R : P = 2πR. On termine naturellement se paragraphe en donnant cette fois-ci la relation aire d un secteurmesure en radians. La surface d un disque de rayon R étant A = πr 2, en raisonnant encore par proportionnalité 8, on obtient la proposition suivante. 8 Cette fois-ci sur les aires et non les longueurs. 37

38 Trigonométrie Complément. Le degré Proposition 5: Relation radian-aire pour les secteurs angulaires Soit Γ un cercle de centre O et de rayon R 0. L aire d un secteur circulaire de mesure α (en radians) et de rayon R 0 est A α = 1 2 αr2. 6. Conversions Le cercle C de la figure suivante a pour rayon 1. Les points successifs sont espacés de la même longueur. 1. Quel est le périmètre de C. 38

39 Trigonométrie Complément. Le degré 2. Par proportionnalité, calculer la longueur des arcs de cercles géométriques suivants : IJ, II, IJ, IB, ID, IG, IK. (en tournant dans le sens inverse des aiguilles d une montre). Par définition, ces longueurs sont respectivement les mesures en radian des angles géométriques IOJ, ÎOI, ÎOJ, ÎOB, ÎOD, ÎOG, ÎOK. 3. En déduire la longueur des arcs de cercles géométriques suivants : IA, BC, GL, CE, F G, AC, HK. 4. Sachant que, d après la définition du radian, un angle plein mesure 360, recopier et compléter par proportionnalité le tableau suivant : Mesure en degré Mesure en radians 2π 5. Donner une formule permettant la conversion degré-radian. 0 39

40 Chapitre 2 Transformations du plan 1. Définition Définition 6: Transformation Une transformation du plan est une bijection du plan dans lui-même. Dire que f est une transformation du plan P signifie donc que : Tout point M de P a une image et une seule M par f (on dit alors que f est une application de P dans P), Tout point M de P a un antécédent unique M par f, i.e. M est l image d un point M de P, et d un seul, par f. Intérêt : On peut considérer l application qui à tout point M de P associe l unique point M de P tel que f(m) = M. On la note f 1 et on l appelle la transformation réciproque (ou simplement : la réciproque) de f. 40

41 Transformations du plan Complément. Transformations du plan On a alors l équivalence : M = f(m) M = f 1 (M ). La transformation f 1 hérite de certaines propriétés de f. Par exemple : Proposition Si f conserve les distances, il en est de même pour f 1. Démonstration. Soit M et N deux points d images respectives M et N par f. Alors, si f conserve les distances, M f M M N = MN donc MN = M N, N N ce qui prouve que f 1 conserve aussi les distances. Proposition Si f conserve les angles orientés, il en est de même pour f 1. Démonstration. Soit M, N et P trois points tels que M N et M P, d images respectives M, N et P par f. Alors, si f conserve les angles orientés, M f M N N P P d où ( M N, ) ( M P = MN, MP ) ( MN, MP ) = [2π], ( M N, ) M P [2π], ce qui prouve que f 1 conserve aussi les angles orientés. Exercice n o 1 [Similitude] Soit f l application d écriture complexe z = az + b. Est-ce que f est une transformation du plan complexe? 2. Exemples importants - L identité, notée I d P ou simplement I d, égale à sa réciproque. - Les translations : si f = t u alors f 1 = t u. On rappelle la propriété : (M, N) P 2 M N = MN. - Les homothéties : si f = Hom(O, k) (k 0) alors f 1 = Hom(O, 1/k). On a aussi la propriété : (M, N) P 2 M N = k MN. - Les symétries centrales : si f = s O alors f 1 = s O. Donc f 1 = f. On dit que s O est une involution. On remarque que s O = Hom(O, 1). 41

42 Transformations du plan Complément. Transformations du plan - Les symétries axiales (s.e. orthogonales) : si f = s alors f 1 = s. Donc f 1 = f, et s est aussi une involution. - Les rotations : si f = Rot(O, θ) alors f 1 = Rot(O, θ). On rappelle les propriétés : (M, N) P 2 M N = MN, et si M N, ( MN, M N ) = θ [2π]. Remarque. Les projections ne sont pas des transformations. 3. Composition Définition Soit f et g deux applications du plan. On définit la composée g f par : pour tout point M de P, g f (M) = g(f(m)). On a le schéma de composition : Proposition La composée de deux transformations est une transformation. Démonstration. que Soit f et g deux transformations. On constate sur le schéma précédent - tout point M de P a, par g f, une image et une seule M = g(f(m)), donc g f est une application, et d autre part, en lisant le schéma à l envers, il apparaît que : M g 1 g 1 (M ) f 1 f 1 (g 1 (M )), - tout point M de P a un antécédent unique M = f 1 (g 1 (M )) dans P par g f. Donc g f est bien une transformation du plan et on a aussi la propriété : (g f) 1 = f 1 g 1. Exercice n o 2 [Similitude et transformation] Montrer que, si a est un nombre complexe non nul, l application d écriture complexe z = az+b est une transformation du plan complexe. Remarque. en général g f f g. (penser à la composée de deux symétries centrales). Mais, pour des transformations, on a toujours les propriétés : f I d P = I d P f = f, 42

43 Transformations du plan Complément. Transformations du plan f f 1 = f 1 f = I d P, et h (g f) = (h g) f (on dit alors que la composition des transformations est associative). En effet, si M est un point du plan, d image M par une transformation f, f 1 f(m) = f 1 (f(m)) = f 1 (M ) = M, et, f f 1 (M ) = f(f 1 (M )) = f(m) = M. De plus, on a pour tout point M du plan : (h (g f))(m) = h((g f)(m)) = h(g(f(m))), et donc ((h g) f)(m) = (h g)(f(m)) = h(g(f(m))), (h (g f))(m) = ((h g) f)(m). Il en découle immédiatement les propriétés : h = g f g 1 h = f, et h = g f h f 1 = g. Enfin, si f et g ont des propriétés communes, alors g f en hérite. Par exemple : Proposition Si f et g transforment les droites en droites, alors il en est de même pour g f. Démonstration. Soit D une droite du plan. Alors D = f(d) est une droite du plan, et donc D = g(d ) = g f(d), est aussi une droite du plan. Proposition Si f et g conservent les angles orientés, alors il en est de même pour g f. Démonstration. Soit M, N et P trois points tels que M N et M P, d images respectives M, N et P par f, et soit M, N et P les images respectives de M, N et P par g. Alors, si g conserve les angles orientés, ( M N, ) ( M P = M N, ) M P [2π], et, si f conserve les angles orientés, ( M N, ) ( M P = MN, MP ) [2π], 43

44 Transformations du plan Complément. Transformations du plan d où ( M N, ) ( M P = MN, MP ) [2π], et donc g f conserve aussi les angles orientés. Avec la composition on peut définir de nouvelles transformations : par exemple les symétries glissées. Étant donné une droite D et un vecteur v non nul et parallèle à D ( v est donc un vecteur directeur de D), on considère la transformation σ = s t, où s désigne la symétrie d axe D et t la translation de vecteur v. Définition La transformation σ = s t est appelée symétrie glissée d axe D et de vecteur v. Remarque. si on considère le plan P dans l espace à trois dimensions, le résultat d une telle transformation est, dans ce plan, celui d un vissage d un demi-tour, d axe D et de vecteur v. Exercice n o 3 [Symétrie] Montrer qu une symétrie glissée conserve les distances ; mais change un angle orienté de vecteurs en son opposé. 4. Exercices Exercice n o 4 [Similitude] Soit f l application d écriture complexe z = az + b. Est-ce que f est une transformation du plan complexe? Exercice n o 5 [Similitude et transformation] Montrer que, si a est un nombre complexe non nul, l application d écriture complexe z = az+b est une transformation du plan complexe. Exercice n o 6 [Symétrie] Montrer qu une symétrie glissée conserve les distances ; mais change un angle orienté de vecteurs en son opposé. 44

45 Chapitre 3 la géométrie d Euclide 45

46 La géométrie d Euclide Thème: Droites et plans [Thème) Droites et plans 1. Perspective cavalière La perspective cavalière est une technique de représentation des objets de l espace par des figures planes. Elle obéit aux règles essentielles suivantes : R1 : Deux droites de l espace parallèles entre elles sont représentées par des droites parallèles du dessin. R2 : Les représentations des figures situées dans des plans vus de face, appelés plans frontaux, sont faites en «vraie grandeur». R3 : Il y a conservation du rapport des longueurs de deux segments parallèles ; en particulier, il y a conservation des milieux. R4 : Deux droites sécantes de l espace sont représentées par des droites sécantes du dessin. Exemple [Persective cavalière dans un cube] Si (BC)//(F G) dans l espace alors sur le dessin aussi (R1). (ABF ) est le plan de face, la face avant ABF E et la face arrière DCGH sont représentées en vraie grandeur (R2). Si J est le milieu de [AB], alors sur le dessin aussi (R3). De même, si (BF )//(AI) et BF = 2AI dans l espace, alors sur le dessin aussi. Par contre, dans l espace AD = 2AI mais pas sur le dessin car (AD) et (AI) sont contenues dans des plans de faces différents. Si, dans l espace, (HF ) et (EG) sont sécantes, alors sur le dessin aussi (R4). La reciproque est fausse : les droite (HF ) et (GC) sont sécantes sur la figure mais pas dans l espace. Convention. Désormais, on ne parlera plus que des propriétés vérifiées dans l espace. 46

47 La géométrie d Euclide Thème: Droites et plans 2. Variétés géométriques 2.1. Du plan à l espace Un point est un objet géométrique de dimension 0 ; Une droite est un objet géométrique de dimension 1 ; un plan a pour dimension 2 et l espace est de dimension 3. On structure ces différentes variétés géométriques selon les règles suivantes. Deux règles fondamentales : Lorsqu un plan contient deux points distincts A et B, il contient la droite (AB). Tous les résultats de géométrie plane sont applicables dans chaque plan de l espace Points, droites et plans Axiome 1: Détermination d une droite Par deux points distincts A et B passe une et une seule droite : la droite (AB). Axiome 2: Détermination d un plan Par trois points non alignés A, B et C passe un unique plan, noté (ABC). En particulier, trois points quelconques de l espace sont donc toujours coplanaires. Corollaire 3: Autres règles de détermination d un plan Dans l espace, il existe un unique plan P : Exemple [Application au cube] déterminé de plusieurs manières : par les points non alignés A, B et F Dans la figure 1, le plan de la face ABF E peut être 47

48 La géométrie d Euclide Thème: Droites et plans par la droite (AB) et le point F par les droites sécantes (AB) et (BF ) par les droites parallèles (AB) et (EF ) Remarque. Les points A, B, F et C ne déterminent pas de plan : il n existe aucun plan contenant ces quatre points. La droite (EF ) ne détermine pas de plan non plus mais pour des raisons différentes : il existe plusieurs plans 1 contenant cette droite (par exemple (ABF ), (EF G), (EF C),...). Définition 4: Coplanarité Lorsque des éléments d une figure (points, droites, etc.) sont situés dans un même plan, on dit qu ils sont coplanaires. Il est clair que deux points ou trois points sont toujours coplanaires. L utilisation de ce qualificatif n a donc de sens qu à partir de quatre points. En revanche, il est légitime de se poser la question de savoir si deux droites sont coplanaires ou pas : Si l on reprend les notations de l exemple précédent, les droites (AB) et (DC) sont coplanaires car les points A, B, C et D le sont. Par contre, (AB) et (CG) ne sont pas coplanaires car les points A, B, C et G ne le sont pas ; en effet G / (ABC). 1 En fait, une infinité. 48

49 La géométrie d Euclide Thème: Insidence [Thème) Insidence 1. Différents cas d incidence 1.1. Deux droites Pour étudier les différents cas de positions relatives de droites, on part d un constat simple : Deux droites de l espace sont soit coplanaires, soit non coplanaires. En particulier, l intersection de deux droites distinctes est formée d un point ou est l ensemble vide. Remarque [Des rêgles différentes dans le plan et l espace] 1. Dans le plan, deux droites qui n ont aucun point commun sont parallèles. Mais cela est FAUX dans l espace. Pour montrer que deux droites de l espace sont parallèles, il faut et il suffit de vérifier que : elles n ont aucun point commun elles sont coplanaires 2. Dans le plan, deux droites qui ne sont pas parallèles sont sécantes. Cela est encore FAUX dans l espace. Pour montrer que deux droites de l espace sont sécantes, il faut et il suffit d établir que : Elles ne sont pas parallèles Elles sont coplanaires. 49

50 La géométrie d Euclide Thème: Insidence Exemple [Droites dans un cube] Les droites (CG) et (AB) n ont aucun point commun mais ne sont pas parallèles car elles ne sont pas coplanaires ; en effet : G / (ABC). Par contre, les droites (DC) et (AB) sont coplanaires et n ont aucun point commun : elles sont donc parallèles. Les droites (CG) et (AB) ne sont pas parallèles mais ne sont pas sécantes non plus car elles ne sont pas coplanaires : G / (ABC), encore. Au contraire, les droites (EG) et (HF ) sont coplanaires et non parallèles. Elles sont donc sécantes. ATTENTION : Dans un dessin en perspective cavalière : - Des droites représentées par des droites sécantes peuvent ne pas être sécantes dans l espace : sur la figure précédente, les droites (CG) et (AB) ne sont pas sécantes en réalité. - Des droites représentées par des droites parallèles peuvent ne pas être parallèles dans l espace : les droites (EB) et (F C) ne sont pas parallèles en réalité, car elles ne sont pas coplanaires (C / (EBF )). Axiome 1: Parallélisme de deux droites Etant donnés une droite et un point M, il existe une unique droite passant par M et parallèle à. Théorème 2: Transitivité du parallélisme de droites Deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles Deux plans Deux plans de l espace sont soit sécants, soit parallèles, ce qui donne finalement trois cas d incidence entre plans : 50

51 La géométrie d Euclide Thème: Insidence Autrement dit, l intersection de deux plans distincts est formée d une droite ou est l ensemble vide. On notera d autre part que deux plans non confondus ayant un point commun sont sécants. Méthode n 1 [Construction de l intersection de deux plans sécants] Pour construire la droite d intersection de deux plans sécants P et P, il suffit de déterminer : Ou bien une droite contenue dans P et dans P. Ou bien deux points distincts appartenant à P et P. De tels points peuvent souvent être obtenus en considérant les intersections des droites remarquables 2 contenues dans P ou P. Axiome 3: Parallélisme de plans Etant donné un plan P et un point M, il existe un unique plan passant par M et parallèle à P. Théorème 4: Transitivité du parallélisme de plans Deux plans parallèles à un même troisième sont parallèles entre eux. Théorème 5: Plan sécants à deux plans parallèles Si deux plans sont parallèles, alors tout plan qui coupe l un coupe l autre et les droites d intersection sont parallèles. 2 En fonction du contexte. 51

52 La géométrie d Euclide Thème: Insidence Théorème 6: Droite parallèle à deux plans sécants Une droite parallèle à deux plans sécants est parallèle à leur intersection. Théorème 7: Théorème du toit Si deux droites parallèles sont contenues respectivement dans deux plans sécants alors elles sont parallèles à la droite d intersection de ces deux plans. Théorème 8: Droites sécantes Si deux droites sécantes d un plan sont respectivement parallèles à deux droites sécantes d un autre plan alors ces deux plans sont parallèles entre eux Droite et plan Une droite et un plan P sont soit sécants, soit parallèles : 52

53 La géométrie d Euclide Thème: Insidence Exemple [Droites et plans dans un cube] Les plans (HGE) et (EF C) sont sécants ; ils se coupent suivant la droite (EF ). Les plans (HGC) et (ABF ) sont strictement parallèles. Les plans (ADE) et (DHE) sont confondus. La droite (HB) est sécante au plan (CGF ) en B. La droite (DB) est contenue dans le plan (ABC). La droite (HF ) est strictement parallèle au plan (ABC). Théorème 9: Droite et plan parallèles Une droite est parallèle à un plan si et seulement si elle est parallèle à une droite contenue dans ce plan. Théorème 10: Droite parallèle à un plan Etant donné un plan P et une droite D, il existe un unique plan contenant D et parallèle à P. 53

54 Incidences de droites et plans TD. Sections d un tétraèdre [TD) Sections d un tétraèdre Complément mardi 28/4/9 Un tétraèdre est définit par ses quatre sommets A,B,C et D. On suppose ici implicitement que le tétraèdre ABCD est non-applati ce qui signifie que A,B,C et D ne sont pas coplanaires : aucun plan ne les contient tous à la fois. Partie 1. Empreintes de droites On considère un tétraèdre ABCD. Dans chacun des cas, construire le point d intersection de la droite (MN) avec le plan (ABC). Indication. Tracer d abord le droite d intersection des plans (DM N) et (ABC). Premier cas M est un point du segment [DA] N est un point du segment [DB]. Deuxième cas M est un point du segment [DA] N est un point de la face DBC 54

55 Incidences de droites et plans TD. Sections d un tétraèdre Troisième cas M est un point de la face DAB N est un point de la face DBC Partie 2. Empreintes de plans On considère un tétraèdre ABCD ainsi que tois points R, S, T appartenant respectivement aux segments [DA], [DB] et [DC]. Dans chacun des cas de figure suivants, construire la droite d intersection du plan (RST ) avec le plan (ABC). Premier cas Aucune des droites (RS), (ST ) et (T S) n est parallèle au plan (ABC) 55

56 Incidences de droites et plans TD. Sections d un tétraèdre Deuxième cas La droite (RS), et elle seule, est parallèle au plan (ABC). Troisième cas Sur la représentation en perspective, les points R, S et T semblent alignés. Appartiennent-ils à une même droite de l espace? 56

57 Incidences de droites et plans Thème: Orthogonalité [Thème) Orthogonalité 1. Droites orthogonales Définition 1: Droites orthogonales On dit que deux droites de l espace (non nécessairement coplanaires) sont orthogonales lorsque leurs parallèles respectives menées par un point quelconque de l espace sont perpendiculaires. Exemple [Droites orthogonales dans un cube] Les droites (EH) et (GC) sont orthogonales car leurs parallèles respectives menées par F, les droites (F G) et (F B) sont perpendiculaires. 2. Orthogonalité d une droite et d un plan Dire qu une droite est orthogonale à un plan signifie qu elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan. Théorème 2: Droite et plan orthogonaux Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan. Exemple [Droites et plans orthogonaux dans un cube] Dans le cube ABCDEF GH de l exemple précédent, les droites (CG) et (HF ) sont orthogonales. En effet, les faces BCGF et DCGH sont des carrés donc (CG) est orthogonale à (F G) et à (HG). La droite (CG) est orthogonale aux deux droites sécantes (F G) et (HG) contenues dans le plan (EF G). Elle est donc orthogonale à ce plan et donc à toute droite de ce plan, en particulier à (HF ). 57

58 Incidences de droites et plans Thème: Orthogonalité 3. Théorèmes relatifs à l orthogonalité Théorème 3: Orthogonalité et unicité Il existe une unique droite passant par un point donné et orthogonale à un plan donné. Il existe un unique plan passant par un point donné et orthogonal à une droite donnée. Théorème 4: Orthogonalité et parallélisme Si deux droites sont orthogonales à un même plan alors elles sont parallèles. Si deux droites sont parallèles alors tout plan orthogonal à l une est orthogonal à l autre. Théorème 5: Orthogonalité et parallélisme Si deux plans sont orthogonaux à une même droite, alors ils sont parallèles. Si deux plans sont parallèles, alors toute droite orthogonale à l un est orthogonale à l autre. 58

59 Deuxième partie COMPLEMENTS 59

60 Chapitre 4 Activités TICE 60

61 Activités TICE Thème: Exemples de TP (2008) [Thème) Exemples de TP (2008) 1. Deux courbes qui se frôlent Objectif : Il s agit de déterminer, dans certains cas particuliers, les conditions pour qu une parabole et un cercle soient tangents l un à l autre (c est-à-dire qu ils ont un point commun en lequel leurs tangentes respectives sont identiques). Le plan est rapporté au repère orthonormal (O; i, j). Soit r un nombre réel strictement positif. On considère la parabole P d équation y = x 2 3 et le cercle C de centre O et de rayon r. 1. Un peu d exploration. (a) À l aide d un logiciel de géométrie dynamique construire la parabole P et le cercle C. (b) Conjecturer le nombre de points communs à la parabole P et au cercle C en fonction du nombre réel r. (c) Donner une valeur approchée du (ou des) rayon(s) r tel(s) que la parabole P et le cercle C soient tangents (c est-à-dire, se coupent en un point où leurs tangentes sont les mêmes) et donner dans ce cas une valeur approchée des coordonnées des points de tangence observés. 2. On suppose dans la suite de cette étude que 0 < r < 3. (a) Écrire un système (S) d équations vérifié par les coordonnées x et y des points communs à la parabole P et au cercle C lorsqu ils existent. (b) En déduire qu alors x est solution d une équation (E) «bicarrée», c est-à-dire de la forme ax 4 + bx 2 + c = 0, et pour laquelle on explicitera les valeurs de a, b et c. 3. Discuter du nombre de points d intersection du cercle et de la parabole lorsque 0 < r < 3 et faire le lien avec le nombre de solutions de l équation (E). Caractériser les cas de tangence et en déduire la valeur du rayon r, ainsi que les coordonnées des points communs à la parabole P et au cercle C, dans ce cas. 61

62 Activités TICE Thème: Exemples de TP (2008) 2. Investigations autour d une équation différentielle On considère l équation différentielle (E) : y = 2xy. Dans une première partie, la méthode d Euler nous donnera une approximation sur R + d une fonction f solution qui vaut 1 en 0. Dans une deuxième partie nous vérifierons qu une fonction donnée est solution et nous comparerons à l approximation trouvée en première partie. 1. On se donne un pas h strictement positif et deux suites (x n ) et (y n ) définissant une suite de points M n de coordonnées (x n, y n ) où : x 0 = 0, x n+1 = x n + h y n = 2x n y n y 0 = 1 et y n+1 = y n + hy n. Les termes y n sont des approximations de f(x n ) par la méthode d Euler. (a) À l aide d un tableur ou de la calculatrice, faire apparaitre les valeurs approchées à 10 2 près de x n et de y n pour un pas h valant 0,1. n x n y n y n (b) À l aide du grapheur ou de la calculatrice, représenter la suite des points M n. 2. (a) Vérifier que la fonction g définie sur R par : g(x) = e x2 est une solution de l équation différentielle y = 2xy. (b) En posant pour tout réel x, h(x) = e x2 g(x), montrer que h est une fonction constante et que g est la seule solution de l équation telle que g(1) = Tracer à l aide du grapheur ou de la calculatrice la courbe de f et comparer avec l approximation obtenue dans la question 1). 62

63 Activités TICE Thème: Exemples de TP (2008) 3. Jouons avec le dessous-de-plat Un dessous-de-plat est constitué de six barres métalliques rigides, de différentes longueurs, assemblées et articulées entre elles pour former deux losanges de côté 1 (voir la figure ci-contre). Pour simplifier l étude on suppose que les barres sont de largeur nulle. Les barres sont alors représentées par les segments [AB], [AC], [BF ], [CE], [EG] et [F G]. Le point A est supposé fixe. On déplace le point G le long d une demi-droite d extrémité A ; on constate que si le dessous de plat passe de la position de repli complet à l extension complète, le point G décrit un segment de droite. 1. Préciser la longueur du segment décrit par le point G. 2. Construire une figure représentant ce dessous-de-plat en utilisant un logiciel de géométrie dynamique. 3. Comment se déplacent les points B et C lorsque l on déforme le dessous-de-plat (passage de la position de repli à l extension complète)? En utilisant le logiciel, faire apparaitre l ensemble de points E décrit par le point E lors de la déformation du dessous-de-plat. 4. On définit désormais le repère orthonormal direct (A; u ; v ), où le vecteur u est unitaire et colinéaire au vecteur AD. On note t l abscisse du point G (t étant un réel positif). (a) Dans quel intervalle évolue le réel t lorsque l on passe de l extension complète à la position de repli? (b) Déterminer les coordonnées du point E en fonction de t. (c) En utilisant le logiciel, tracer la courbe représentative C de la fonction f définie sur l intervalle [0; 3] par : f(x) = 1 x2. 9 (d) Vérifier à l aide du logiciel que le point E appartient à la courbe C. (e) Retrouver le résultat précédent par un calcul. 63

64 Activités TICE Thème: Exemples de TP (2008) 4. Les nombres repus On appelle «nombre repu» tout entier naturel dont un multiple a une écriture décimale ne comportant que le chiffre 1. Par exemple, 13 est un nombre repu puisque = On démontre (voir question 3) que si un nombre n est un nombre repu, il existe un nombre p tel que l écriture décimale de np ne comporte que le chiffre 1, ce chiffre étant répété au plus n fois. Pour tout k entier naturel, on désigne par u k l entier dont l écriture décimale comprend exactement k fois le chiffre 1 : u k = } {{ } k fois = 10 k k = k 1 i=0 10i. 1. Dans un premier temps, on veut programmer sur un tableur ou sur une calculatrice un test pour reconnaitre si un nombre n < 100 est ou non un nombre repu. D après ce qui précède, il suffit de tester si l un des nombres 111, 1111,... est divisible par n, en s arrêtant lorsqu on trouve un reste nul ou lorsqu on a testé la divisibilité de u n par n. Pour le réaliser, on pratique un algorithme semblable à celui de la division euclidienne posée, mais au lieu à chaque étape de rajouter un 0 à droite du reste précédent, on rajoute un 1. En reprenant l exemple précédent, on obtient : 111 = , donc 1111 = comme 71 = , 1111 = , donc = comme 61 = , = , donc = comme 91 = , = et on s arrête là puisque le reste est nul. Cet algorithme peut encore se symboliser par les quatre étapes de la division euclidienne posée : Mettre en place ce test sur la calculatrice ou le tableur pour un nombre de un ou deux chiffres. En essayant plusieurs nombres, conjecturer les nombres de un ou deux chiffres qui ne sont pas des nombres repus et donner une propriété (P) permettant de les définir. 2. Démontrer que la propriété (P) définissant les nombres de un ou deux chiffres qui ne sont pas des nombres repus s étend à tous les entiers, c est-à-dire que «tous les entiers naturels vérifiant la propriété (P) sont non repus». Énoncer la propriété réciproque de la propriété (P) : cette propriété réciproque est vraie mais on ne demande pas de la démontrer. 3. Soit n un entier au moins égal à 2 ; pour 1 k n, on désigne par r k le reste de la division euclidienne de u k par n. Montrer que si aucun des r k n est égal à 0, il existe p et q tels que 1 p < q n et r p = r q et qu alors n n est pas un nombre repu. 64

65 Activités TICE Thème: Exemples de TP (2008) 5. Le paravent chinois Un paravent chinois se compose de 3 panneaux rectangulaires de mêmes dimensions. Les petits côtés, qui sont en contact avec le sol, mesurent 1 mètre. Ce paravent découpe sur le sol un trapèze ABCD. On supposera que les angles ÂBC et BCD ont la même mesure et que les droites (AD) et (BC) sont parallèles. Ce polygone s appelle le polygone de «sustentation». Le but de l exercice est de déterminer la valeur de l angle a = ÂBC qui assure au polygone de «sustentation» une aire maximale. 1. Construire un trapèze ABCD tel que AB = BC = CD et (AD)//(BC). On s assurera que la valeur de l angle a = ÂBC soit variable. 2. Conjecturer la valeur du réel a pour laquelle l aire s du trapèze est maximum. 3. On note H le projeté orthogonal du point B sur la droite (AD) et on note t l angle ÂBH, que l on peut choisir dans l intervalle [0; π 2 ]. Visualiser, à l aide du logiciel, l ensemble des points M de coordonnées (t, s). 4. (a) Démontrer que la fonction f définie par : f(t) = [1 + sin(t)] cos(t) représente l aire du trapèze ABCD en fonction de t. (b) Vérifier à l aide du logiciel que le point M est sur la courbe représentative de la fonction f. (c) Étudier les variations de la fonction f sur l intervalle [0; π ] et conclure. 2 65

66 Activités TICE Thème: Exemples de TP (2008) 6. La recette du kaprekar Soit un nombre N de trois chiffres dont deux au moins sont distincts. On note G le nombre formé avec ces mêmes chiffres pris dans l ordre décroissant, et P le nombre formé avec ces mêmes chiffres pris dans l ordre croissant. On calcule la différence D = G P. Le nombre D devient le nombre initial et on recommence le calcul. (Exemple : N = 878 donne G = 887, P = 788 et D = = 99, on remplace N par 99). L algorithme s arrête lorsqu on obtient deux fois de suite le même nombre D. 1. À l aide d un tableur et des fonctions ENT(),MOD(),MAX(),MIN() qu il fournit : (a) Établir des formules permettant de calculer les chiffres des unités, dizaines, centaines d un nombre de trois chiffres puis celles donnant G, P et G P afin de réaliser un tableau d au moins 7 colonnes, comme celui de l exemple ci-dessous : A B C D E F G 1 N Centaines Dizaines Unités G P D (b) Appliquer l algorithme aux nombres 787, 877 et 794 puis à différents nombres de trois chiffres. Qu observe-t-on? Émettre diverses conjectures sur la suite des nombres obtenus dans la colonne A. 2. Démontrer au moins deux des conjectures émises. 66

67 Activités TICE Thème: Exemples de TP (2008) 7. Approche probabiliste d une intégrale Soit g la fonction numérique définie pour tout x appartenant à [0; 1] par g(x) = x (1 x) e 2x et soit C sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O; i, j ). 1. (a) À l aide du logiciel (ou de la calculatrice) représenter la courbe C. (b) Soit I, J et K les points de coordonnées respectives (1, 0), (0, 1) et (1, 1). Observer la position de la courbe C par rapport au carré OIKJ. Dans la suite de l exercice, on note D l ensemble des points de coordonnées (x, y) tels que 0 x 1 et 0 y g(x). On admet que, lorsqu on choisit un point au hasard à l intérieur du carré OIKJ, la probabilité d obtenir un point appartenant à l ensemble D est égale à l aire de cet ensemble (c est-à-dire de la partie du carré OIKJ située sous la courbe C ). On choisit au hasard un point à l intérieur du carré OIKJ. On cherche quelle est la probabilité d obtenir un point appartenant à l ensemble D. 2. (a) À l aide d un tableur, simuler le tirage d un échantillon de 200 points à l intérieur du carré OIKJ et déterminer la fréquence f 1 des points appartenant à D dans cet échantillon. (b) Réaliser 9 autres simulations de tirages d échantillons de 200 points choisis au hasard dans le carré OIKJ et compléter le tableau de valeurs suivant, où k est le rang de l échantillon et f k la fréquence des points appartenant à l ensemble D dans l échantillon de rang k. rang k fréquence f k (c) Donner des valeurs décimales approchées à 10 3 près. À l aide d autres simulations, émettre une conjecture sur la probabilité que le point choisi appartienne à l ensemble D. 3. Dans cette question on envisage quelques formes de vérifications de la conjecture précédente. (a) Exprimer la probabilité que le point choisi aléatoirement dans le carré OIKJ appartienne à l ensemble D sous forme d une intégrale I. (b) Vérifier alors le résultat à l aide de deux intégrations par parties successives ou bien d une calculatrice. 67

68 Chapitre 5 Fragments du Bac : Exercices et problèmes 68

69 Fragments du Bac Thème: Géométrie [Thème) Géométrie 1. Nombres complexes 1.1. Configurations usuelles Exercice n o 1 [Etude d un triangle] Soient les points A, B et C d affixes respectives 2 + 3, 5 i ; 5 + 0, 5 i et 4 + 5, 5 i. 1. Faire une figure (unité graphique : 1 cm). 2. Quel est l affixe du milieu I du segment [BC]? 3. Calculer l affixe des vecteurs AB, AC et BC. En déduire les distances AB, AC et BC. 4. Etudier la nature du triangle ABC. Exercice n o 2 [Etude d un cercle] On désigne par A, B et C les points d affixes respectives z A = i, z B = i et z C = i. 1. Placer les points A, B et C dans le repère (O; u; v) (on prendra comme unité graphique 2 cm). 2. Calculer les longueurs des côtés du rectangle ABC. En déduire la nature de ABC. 3. Soit E l ensemble des points M du plan dont l affixe z vérifie la relation z 4 = 5 2. (a) Les points A, B, C sont-ils des points de E? (b) Déterminer l ensemble E. Quels sont les points de E dont l affixe est réelle? 1.2. Ensembles de points Exercice n o 3 [Equations avec le conjugué] Déterminer l ensemble des points M(z) du plan complexe tels que (i 2)z (2 + i)z + 6 = 0. Même question avec l équation (3 2i)z + (3 + 2i)z = 4. Exercice n o 4 [Fonction homographique complexe] A tout point M d affixe z = x + iy (z 2, écrit sous forme algébrique), on associe le point M d affixe Z = z + 2 z Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de Z en fonction de x et de y. 69

70 Fragments du Bac Thème: Géométrie 2. Déterminer puis construire l ensemble des points M du plan complexe tels que : (a) Z est un réel (a) Z est un imaginaire pur. 3. Reprendre les mêmes questions avec Z = 3z + 1 2z 4. Exercice n o 5 [Egalité de modules] 1. On considère les nombres complexes z 1 = 2 + 2i et z 2 = 2i. Soient A et C les points images de z 1 et z 2 respectivement. (a) Soit M un point d affixe z C. Interpréter géométriquement (à l aide des points A, C et M) les quantités z 2 2i et z + 2i. (b) Déterminer l ensemble des points M d affixe z tels que : z 2 2i = z + 2i. (c) Placer A et C puis tracer dans le repère (O; u; v) (unité graphique : 2 cm). 2. Soient maintenant les nombres z 3 = 3 + 8i 2i et z 4 = 1 (7 + i)(i 1). 4 (a) Ecrire z 3 et z 4 sous forme algébrique. 0 (b) Soient B et D les points images respectifs de z 3 et z 4. Vérifier que B et D appartiennent à. (Génie mécanique, 1993) 1.3. Arguments Exercice n o 6 [Lignes de niveau] 0 1. Comment choisir le nombre complexe z pour que Z = z 2 + 2z 3 soit réel? Déterminer l ensemble des points M d affixe z tel que Z soit réel. 2. On considère les points A et B d affixes respectives i et 1. Pour tout point M d affixe z C, distinct de A, on pose : Z = 1 z i z. 0 Déterminer chacun des ensembles de points M(z) définis par les conditions suivantes : (a) E : Z réel (b) F : Z imaginaire pur (c) G : Z = 1. (d) H : arg(z) = π/2 [2π]. Exercice n o 7 [Transformations géométriques] 70

71 Fragments du Bac Thème: Géométrie 1. Soit la transformation T du plan complexe qui, à tout point M(z), associe le point M d affixe z = 5 z i 2. Montrer que T peut se décomposer sous la forme T = t h, où t est une translation et h une homothétie dont on déterminera les caractéristiques. Reprendre la même question pour une décomposition de la forme T = h t. Exercice n o 8 [Identité du parallélogramme] Montrer que, pour tout nombre complexe z, z + z 2 + z z 2 = 2( z 2 + z 2 ). Donner une interprétation géométrique de cette relation. 0 Exercice n o 9 [QCM Baccalauréat] 0 Pour chaque question, une seule des 4 propositions est exacte Soit z C vérifiant z + z = 6 + 2i. L écriture algébrique de z est : 8 3 2i 8 3 2i i i 2. Dans le plan complexe, l ensemble des points M d affixe z = x+iy vérifiant z 1 = z + i est la droite d équation : y = x 1 y = x y = x + 1 y = x 3. Soit n un entier naturel. Le nombre (1 + 3) n est réel si, et seulement si, n s écrit sous la forme : 3k + 1 3k + 2 3k 6k (avec k entier naturel). 4. Soit l équation (E) z = 6 z 3 z d inconnue complexe z. Une solution de (E) est : 2 2i 2 + 2i 1 i 1 i 5. Soit deux points A et B d affixes respectives z A = i et z B = 3 dans un repère orthonormal (O; u; v). ( ) L affixe z C du point C tel que ABC soit un triangle équilatéral avec AB; AC = π est : 3 i 2i 3 + i 3 + 2i 6. Dans le plan complexe, l ensemble des points M d affixe z = x + iy vérifiant la relation ( ) z + 2 arg = π z 2i 2 est inclus dans : 71

72 Fragments du Bac Thème: Géométrie La droite d équation y = x 1. Le cercle de centre I(1 + i) et de rayon R = 2. La droite d équation y = x. Le cercle de diamètre [AB], A et B étant les points d affixes respectives z A = 2 et z B = 2i. Exercice n o 10 [Factorisation d un polynôme] On considère la fonction polynomiale f(x) = x 3 + (1 2)x 2 + (1 2)x Montrer que 1 est racine de f. 2. Déterminer trois nombres réels a, b et c tels que f(x) = (x + 1)(ax 2 + bx + c). 3. Résoudre, dans l ensemble C des nombres complexes, l équation f(z) = Dans le plan complexe, rapporté à un repère orthonormal (O, u, v), on considère les points A, B, C d affixes respectives z A = 1, z B = i 2 et z C = i Calculer les distances OA, OB et OC. 6. A quel cercle de centre O les points B et C appartiennent-ils? 7. Utiliser les questions précédentes pour placer les trois points A, B et C dans le repère (unité graphique : 2 cm). On laissera les traits de construction apparents. 8. Etudier la nature du triangle ABC. Exercice n o 11 [Cercle et trapèze] On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d argument π. Le plan est rapporté à 2 un repère orthonormal direct (O, u, v), d unité graphique graphique 1 cm. On considère les points A, B, C et D d affixes respectives z A = 8, z B = 8i, z C = z A e iπ/3 et z D = z B e 2iπ/3. 1. (a) Ecrire z A et z B sous forme trigonométrique. (b) Donner le module et un argument de z C et z D et écrire ces nombres sous forme algébrique. 2. Montrer que les points A, B, C, D sont sur un même cercle C dont on précisera le centre et le rayon. 72

73 Fragments du Bac Thème: Géométrie 3. Tracer le cercle C et placer les points A, B, C, D. 4. (a) On note Z 1 et Z 2 les affixes respectives des vecteurs AC et BD. Montrer que Z 2 = Z 1 3. (b) On note Z 3 et Z 4 les affixes respectives des vecteurs AB et DC. Calculer Z3 et Z 4. (c) Montrer que ABCD est un trapèze isocèle. Exercice n o 12 [Complexes et centre de gravité] 1. On considère trois nombres complexes z 1, z 2 et z 3 tels que : z 1 = 3 + i, z 2 = 3 + 3i et z 3 = 4 3z 2 9z 3. Déterminer le module et un argument de chacun de ces nombres. 2. On se place dans le plan rapporté à un repère orthonormal direct (O, u, v), d unité graphique graphique 2 cm. (a) Placer les points A, B, G d affixes respectives z 1, z 2, z 3. (b) Démontrer que OAB est un triangle rectangle. (c) Quel est le milieu du segment [AB]? (d) Montrer que G est le centre de gravité du triangle OAB. Exercice n o 13 [Complexes et produit scalaire] On note i le nombre complexe de module 1 et d argument π Placer, dans le plan complexe muni d un repère orthonormal direct (O, u, v), les points A, B, C, d affixes respectives 3 + i, 2 3i, 2 + 3i. L exercice consiste à checher une valeur approchée à 10 2 près de la mesure, en degré, de l angle géométrique BAC. Les questions 2 et 3 seront traitées de façon indépendante. 2. Première méthode. On considère les points M 1 et M 2 définis par OM 1 = AB et OM 2 = AC. (a) Déterminer l affixe Z 1 du point M 1 et l affixe Z 2 du point M 2. (b) Calculer, pour chacun des deux nombres Z 1 et Z 2, le module (on en donnera la valeur exacte) et un argument (on donnera une valeur approchée à 10 2 près de la mesure comprise entre 180 et +180 ). (c) Déduire de la question précédente, en utilisant la figure, une valeur approchée de l angle géométrique BAC. 3. Deuxième méthode. (a) Quelles sont les coordonnées des vecteurs AB et AC? (b) En déduire le produit scalaire AB. AC. (c) Calculer les longueurs AB et AC puis cos BAC. (d) En déduire une valeur approchée à 10 2 près de l angle géométrique BAC. 73

74 Fragments du Bac Thème: Géométrie Exercice n o 14 [Triangle et quadrilatère] On considère les nombres complexes suivants : z 1 de module 3 et d argument π ; z 2 de module 2 et d argument π 4 ; z 3 le conjugué de z Ecrire ces nombres complexes sous forme algébrique. 2. Représenter les points A 1, A 2 et A 3, d affixes respectives 3, 1 + i et 1 i dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal d origine O. 3. Quel est la nature du triangle A 1 A 2 A 3? 4. Soient B 2 et B 3 les symétriques de A 2 et A 3 par rapport à A 1. (a) Calculer les formes algébriques et les modules des affixes de B 2 et B 3. (b) Montrer que OB 2 OA 2 est un nombre entier. (c) Quelle est la nature du quadrilatère A 2 A 3 B 2 B 3? Exercice n o 15 [Points cocycliques] Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O, u, v), d unité graphique graphique 1 cm. On note i le nombre complexe de module 1 et d argument π 2. Soit le nombre complexe z = 1 i Calculer le module et un argument de z et placer le point A d affixe z. 2. On appelle B et C les points d affixe respectives z 2 et 2 z. (a) Déterminer le module et un argument de chacun des nombres z 2 et 2 z. (b) Ecrire ces deux nombres sous forme algébrique. (c) Placer chacun des points B et C. (d) Montrer que les trois points A, B et C appartiennent à un cercle dont le centre a pour affixe 3 2 i Exercices du Bac Exercice n o 16 [D après Antilles-Guyane 2007] (O ; u, v ) est un repère orthonormal direct du plan complexe. Soit A le point d affixe 1 + i. Au point M d affixe z, on associe le point M d affixe z telle que z = 1 (z + iz) On pose z = x + iy et z = x + iy avec x, y, x et y réels. 74

75 Fragments du Bac Thème: Géométrie (a) Démontrer les égalités suivantes : x = 1 2 (x + y) et y = 1 (x + y). 2 En déduire que le point M appartient à la droite (OA). (b) Déterminer l ensemble des points M du plan tels que M = M. (c) Démontrer que pour tout point M du plan les vecteurs MM et OA sont orthogonaux. 2. Soit r la rotation de centre O et d angle π 2. M 1 est le point d affixe z 1 image de M par r, M 2 le point d affixe z 2 = z, M 3 le point d affixe z 3 tel que le quadrilatère OM 1 M 3 M 2 soit un parallélogramme. (a) Dans cette question uniquement M a pour affixe 4 + i, placer les points M, M 1, M 2, M 3. (b) Exprimer z 1 en fonction de z, puis z 3 en fonction de z. (c) OM 1 M 3 M 2 est-il un losange? Justifier. (d) Vérifier que z z = 1 2 iz 3. En déduire que MM = 1 2 OM Démontrer que les points M, M 1, M 2 e tm 3 appartiennent à un même cercle de centre O si et seulement si MM = 1 2 OM. Donner alors la mesure en radians de l angle géométrique M OM. Exercice n o 17 [D après Antilles-Guyane septembre 2007] Partie A 1. Déterminer le nombre complexe α tel que { α(1 + i) = 1 + 3i iα 2 = 4 + 3i 2. Pour tout nombre complexe z, on pose f(z) = z 2 (1 + 3i)z + ( 4 + 3i). Montrer que f(z) s écrit sous la forme (z α)(z iα). En déduire les solutions sous forme algébrique de l équation f(z) = 0. Partie B Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O ; u, v ), unité graphique : 5 cm. 1. On considère les points A et B d affixes respectives a = 2 + i zet b = 1 + 2i. Placer A et B dans le repère et compléter la figure au fur et à mesure. Montrer ( que b = iα, en déduire que le triangle OAB est un triangle isocèle rectangle tel ) que OA, OB = π 2. 75

76 Fragments du Bac Thème: Géométrie 2. On considère le point C d affixe c = i. Déterminer l affixe du point D tel que le 2 ( ) triangle OCD soit un triangle isocèle rectangle tel que OC, OD = π 2. On pourra conjecturer l affixe de D à l aide de la figure pour traiter la question suivante. les affixes respectives des vecteurs OM 3. Soit M le milieu de [CB]. On appelle z OM et z DA et DA. Prouver que : z OM z DA = 1 2 i. 4. Donner une mesure en radians de l angle 5. Prouver que OM = 1 2 DA. ( ) DA, OM. 6. On appelle J, K et L les milieux respectifs des segments [CD], [DA] et [AB]. On admet que le quadrilatère JKLM est un parallélogramme. Démontrer que c est un carré. Exercice n o 18 [D après La Réunion septembre 2007] Soit les nombres complexes : 1. Écrire Z sous forme algébrique. z 1 = 2 + i 6,, z 2 = 2 + 2i et Z = z 1 z Donner les modules et arguments de z 1, z 2 et Z. 3. En déduire cos π 12 et sin π Le plan est muni d un repère orthonormal ; on prendra 2 cm comme unité graphique. On désigne par A, B et C les points d affixes respectives z 1, z 2 et Z. Placer le point B, puis placer les points A et C en utilisant la règle et le compas (on laissera les traits de construction apparents). 5. Écrire sous forme algébrique le nombre complexe Z Exercice n o 19 [D après Polynésie septembre 2007] Pour cet exercice, les figures correspondant aux parties A et B sont fournies sur la feuille jointe en annexe. Cette feuille ne sera pas remise avec la copie. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; u, v ). On considère un triangle OAB et une similitude directe σ de centre O, de rapport 2 et d angle θ. Soit : les points A et B, images respectives des points A et B par la similitude σ ; les points I, milieu du segment [A B] et J, milieu du segment [A B ] ; le point M milieu du segment [AA ] ; Je point H, projeté orthogonal du point O sur la droite (AR) et le point H image du point H par la similitude σ. Partie A. Etude d un exemple Dans cette partie, le point A a pour affixe 6 + 4i, le point B a pour affixe 2 + 4i, et le point 76

77 Fragments du Bac Thème: Géométrie H, projeté orthogonal du point O sur la droite (AB), a donc pour affixe 4i. La similitude σ est la similitude directe de centre O, de rapport 1 2 et d angle π Déterminer les affixes des points A, B et H. 2. Montrer que la droite (IJ) est perpendiculaire à la droite (HH ). Partie B. Étude du cas général 1. (a) Montrer que H est le projeté orthogonal du point O sur la droite (A B ). (b) Montrer que 1 MI = AB. On admet que MJ = 1 A B. 2 2 (c) En déduire que MJ ( MI = OH OH et que ) ( ) MI, MJ = OH, OH + k 2π, k Z. 2. On appelle s la similitude directe qui transforme M en O et I en H. On note K l image du point J par la similitude s. ( ) ( ) (a) Montrer que OK= OH, puis que MI, MJ = OK, OH + k 2π, k Z. (b) En déduire que le point H est l image du point J par la similitude s. ( ) ( 3. Montrer que IJ, HH ) = MJ, OH + k 2π, k Z. Montrer que la droite (IJ) est perpendiculaire à la droite (HH ). ANNEXE Partie A Partie B 77

78 Fragments du Bac Thème: Géométrie Exercice n o 20. Pour chacune des six propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la réponse choisie. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O, u, v). 1. Soit z un nombre complexe d argument π 3. Proposition 1 : «z 100 est un nombre réel». 2. Soit (E) l ensemble des points M d affixe z différente de 1 du plan telle que z 1 z = 1. Proposition 2 : «l ensemble (E) est une droite parallèle à l axe des réels». 3. Soit r la rotation d angle π 2 et dont le centre K a pour affixe 1 + i 3. Proposition 3 : «l image du point O par la rotation r a pour affixe ( ) ( ) i 1 + 3». ( π ) 4. On considère l équation (E) suivante : z cos z + 1 = 0. 5 Proposition 4 : «l équation (E) a deux solutions complexes de modules égaux à 1». Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (O, u, v), le point A a pour affixe i. On nomme f l application qui, à tout point M d affixe z avec z i associe le point M d affixe z telle que : z = z2 z i Le but de l exercice est de construire géométriquement le point M connaissant le point M. 1. Un exemple On considère le point K d affixe 1 + i. (a) Placer le point K. (b) Déterminer l affixe du point K image de K par f. (c) Placer le point K. 2. Des points pour lesquels le problème ne se pose pas (a) On considère le point L d affixe i 2. Déterminer son image L par f. Que remarque-ton? 78

79 Fragments du Bac Thème: Géométrie (b) Un point est dit invariant par f s il est confondu avec son image. Démontrer qu il existe deux points invariants par f dont on déterminera les affixes. 3. Un procédé de construction On nomme G l isobarycentre des points A, M, et M, et g l affixe de G. 1 (a) Vérifier l égalité g = 3(z i). (b) En déduire que : si M est un point du cercle de centre A de rayon r, alors G est un point du cercle de centre O de rayon 1 3r. ( u ) (c) Démontrer que arg g = ; AM. (d) Sur la feuille annexe, on a marqué un point D sur le cercle de centre A et de rayon 1 2. On nomme D l image de D par f. Déduire des questions précédentes la construction du point D et la réaliser sur la figure annexe. Sur la figure ci-dessous le segment [OI ] tel que u = OI est partagé en six segments d égale longueur. 79

80 Fragments du Bac Thème: Géométrie Exercice n o 21. Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal diiect (O, u, v). On prendra pour le dessin : u = 4 cm. M est un point d affixe z non nul. On désigne par M le point d affixe z telle que z = 1 z. où z désigne le conjugué du nombre complexe z. A - Quelques propriétés 1. Soit z un nombre complexe non nul. Déterminer une relation entre les modules de z et z puis une relation entre les arguments de z et z. 2. Démontrer que les points O, M et M sont alignés. 3. Démontrer que pour tout nombre complexe z non nul on a l égalité : z + 1 = 1 (z 1). z B - Construction de l image d un point On désigne par A et B les deux points d affixes respectives 1 et 1. On note C l ensemble des points M du plan dont l affixe z vérifie : z 1 = Quelle est la nature de l ensemble C? 2. Soit M un point de C d affixe z, distinct du point O. (a) Démontrer que z + 1 = z. Interpréter géométriquement cette égalité. (b) Est-il vrai que si z vérifie l égalité : z + 1 = z, alors z vérifie l égalité : z 1 = 1? 3. Tracer l ensemble C sur une figure. Si M est un point de C, décrire et réaliser la construction du point M. Exercice n o 22. Le plan complexe est rapporté au repère orthonornial direct (O, u, v) ; l unité graphique est 1 cm. 1. Résoudre, dans l ensemble des nombres complexes, l équation : z 2 + 4z + 8 = 0. On donnera les solutions sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique. 2. On note A et B les points du plan d affixes respectives : a = 2 2i et b = a. Placer ces points sur un graphique qui sera complété au fil de l exercice. (a) Déterminer l affixe c du point C, image du point B par la rotation de centre O et d angle π 2. (b) On note D l image de C par la rotation de centre A et d angle π ; démontrer que l affixe 2 d du point D est d = 2 6i. (c) Placer les points C et D sur le graphique Quelle est la nature du quadrilatère ABCD? 80

81 Fragments du Bac Thème: Géométrie 3. α étant un nombre réel non nul, on désigne par G α, le barycentre du système : (a) Exprimer le vecteur CG α {(A ; 1) ; (B ; 1) ; (C ; α)}. en fonction du vecteur BA. (b) En déduire l ensemble des points G α lorsque α décrit l ensemble des réels non nuls. Construire cet ensemble. (c) Pour quelle valeur de α a-t-on G α = D? 4. On suppose dans cette question que α = 2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. Déterminer et construire l ensemble des points M du plan tels que : MA MB + 2 MC = 4 2. Exercice n o 23. Le plan est muni d un repère orthonormal direct (O, u, v) (unité graphique : 1 cm). Soient A, B et I les points d affixes respectives 1 + i, 3 i et 2. À tout point M d affixe z, on associe le point M d affixe z telle que z = z 2 4z. Le point M est appelé l image de M. 1. Faire une figure sur une feuille de papier millimétré et compléter cette figure tout au long de l exercice. 2. Calculer les affixes des points A et B, images respectives des points A et B. Que remarquet-on? 3. Déterminer les points qui ont pour image le point d affixe (a) Vérifier que pour tout nombre complexe z, on a : z + 4 = (z 2) 2. (b) En déduire une relation entre z + 4 et z 2 et, lorsque z est différent de 2, une relation entre arg(z + 4) et arg (z 2), (c) Que peut-on dire du point M lorsque M décrit le cercle C de centre I et de rayon 2? 5. Soient E le point d affixe 2 + 2e i π 3, J le point d affixe 4 et E l image de E. (a) Calculer la distance IE et une mesure en radians de l angle ( u; ) IE. (b) Calculer la distance JE et une mesure en radians de l angle ( u; JE ). (c) Construire à la règle et au compas le point E ; on laissera apparents les traits de construction. Exercice n o 24. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O, u, v). Soit (C ) le cercle de centre O et de rayon 1. On considère le point A de (C ) d affixe z A = e i π Déterminer l affixe z B du point B image de A par la rotation de centre O et d angle 2π 3. Déterminer l affixe z C du point C image de B par la rotation de centre O et d angle 2π 3. 81

82 Fragments du Bac Thème: Géométrie 2. (a) Justifier que (C ) est le cercle circonscrit au triangle ABC. Construire les points A, B et C sur la feuille de papier millimétré. (b) Quelle est la nature du triangle ABC? Justifier. 3. Soit h l homothétie de centre O et de rapport 2. (a) Compléter la figure en plaçant les points P, Q et R images respectives des points A, B et C par h. (b) Quelle est la nature du triangle PQR? Justifier. 4. Dans cette question le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n aboutit pas. (a) Donner l écriture complexe de h. (b) Calculer z A + z B + z C. En déduire que A est le milieu du segment [QR]. (c) Que peut-on dire de la droite (QR) par rapport au cercle (C )? Exercice n o Résoudre dans l ensemble des nombres complexes, l équation z 2 6z + 13 = 0. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O, u, v) d unité graphique 1 cm. On considère les points A, B, C d affixes respectives a = 3 2i, b = 3 + 2i, c = 4i. 2. Faire une figure et placer les points A, B, C. 3. Montrer que OABC est un parallélogramme. 4. Déterminer l affïxe du point Ω, centre du parallélogramme OABC. 5. Déterminer et tracer l ensemble des points M du plan tels que MO + MA + MB + MC = Soit M un point de la droite (AB). On désigne par β la partie imaginaire de l affixe du point M. On note N l image du point M par la rotation de centre Ω et d angle π 2. (a) Montrer que N a pour affixe 5 2 β i. (b) Comment choisir β pour que N appartienne à la droite (BC)? 2. Incidence et orthogonalité dans l espace Exercice n o 26. On considère le cube ABCDEF GH. vrai ou faux : 1. Le vecteur AG est normal au plan (BDE). 2. Les droites (EB) et (ED) sont perpendiculaires. 82

83 Fragments du Bac Thème: Géométrie 3. Barycentres dans l espace Exercice n o 27 [Centre de gravité d une plaque métallique] On se propose de déterminer la position du centre de gravité de la surface supposée homogène coloriée sur la figure ci-dessous, sur laquelle les côtes sont en millimètres. Pour cela on munit le plan de la section d un repère orthonormal (O, i, j) tel que l axe des ordonnées soit axe de symétrie (voir figure). 1. On découpe la surface en cinq surfaces élémentaires : trois surfaces rectangulaires ABCD, EF GH, IJHC, et deux surfaces triangulaires AKL et F MN (voir figure). Déterminer les coordonnées des centres de gravité respectifs G 1, G 2, G 3, G 4, G 5 des cinq surfaces élémentaires précédentes. 2. En admettant que le centre de gravité G de la surface totale est le barycentre du système des cinq points G 1, G 2, G 3, G 4, G 5 affectés respectivement de l aire de la surface correspondante, déterminer une valeur approchée à 10 1 près de chacune des coordonnées de G. Exercice n o 28 [Autour du centre de gravité d un tétraèdre] On considère ABCD, un tétraèdre de l espace, ainsi que A, B, C et D les centres de gravité respectifs des triangles BCD, CDA, DAB et ABC. Montrer que les droites (AA ), (BB ), (CC ) et (DD ) sont concourantes. Une réponse : Le point A étant le centre de gravité du triangle BCD, c est donc l isobarycentre des points B, C et D. Si on prend toutes les masses égales à 1, A est le barycentre du système {(B, 1), (C, 1), (D, 1)}. On a un résultat analogue pour chacun des points B, C et D. 83

84 Fragments du Bac Thème: Géométrie D où l idée de considérer le système {(A, 1), (B, 1), (C, 1), (D, 1)} : la somme des masses n étant pas nulle, il a un barycentre G (qui est en fait l isobarycentre des points A, B, C et D). D après le théorème d associativité du barycentre, G est barycentre du système {(A, 1), (A, 3)} : donc G appartient à la droite (AA ). On montre de la même façon que G appartient aux droites BB, CC et DD. Conclusion : Les droites (AA ), (BB ), (CC ) et (DD ) sont concourantes en G. Exercice n o 29 [Dans le plan] Soient ABCD un quadrilatère quelconque, I le milieu de [AC] et J celui de [BD]. On note d autre part : K et L les points tels que KA = 2KB et DL = 1 DC 3 M le milieu de [KL]. 1. Montrer que K est le barycentre du système {(A, 1); (B, 2)}. 2. Montrer que L est le barycentre du système {(D, 2); (C, 1)}. 3. En déduire que M est le barycentre du système {(A, 1); (B, 2); (D, 2); (C, 1)} puis du système {(I, 2); (J, 4)}. 4. Que peut-on dire des points I, J et M? Exercice n o 30 [Dans un parallélogramme] Soient ABCD un parallélogramme, I le milieu de [AD], E le centre de gravité du triangle ADC et K le milieu de [EB]. On note d autre part F le point tel que BF = 1 BC Montrer que K est le barycentre du système {(A, 1); (B, 3); (C, 1); (D, 1)}. 2. En déduire que les points I, K et F sont alignés. 3. On note L le point tel que AL = 3 AB et M le milieu de [CD]. Montrer que les points L, 4 K et M sont alignés. Exercice n o 31 [Dans un tétraèdre] Soient ABCD un tétraèdre, F le milieu de [AD], G le centre de gravité du triangle ABC, et E le point du plan (BCD) tel que BDCE soit un parallélogramme. 1. Montrer que D est le barycentre du système {(B, 1); (C, 1); (E, 1)}. 2. En déduire que les points E, F et G sont alignés. Exercice n o 32 [Dans un cube] Soient ABCDEF GH un cube, I le milieu de [AB] et J le centre de gravité du carré EF GH. On note d autre part P, Q les points tels que BQ = 1 GB et AP = 1 AE ainsi que K le milieu 3 3 de [P Q]. Montrer que les points E, F et G sont alignés. On considère un cube ABCDEFGH d arête de longueur 3. 84

85 Fragments du Bac Thème: Géométrie Exercice n o 33 [D après Polynésie septembre 2007] ( On choisit le repère orthonormal D ; ı, j, ) k tel que ı = 1 DA, j = 1 DC et k = DH (a) Donner les coordonnées des points A, C et E. (b) Déterminer les coordonnées du point L barycentre du système {(C ; 2), (E ; 1)}. (c) Déterminer les coordonnées des vecteurs AE et DL. 2. Soit (a, b) un couple de réels. On note M le point de la droite (AE) tel que AM = a AE et N le point de la droite (DL) tel que DM = b DL. (a) Montrer que le vecteur MN est orthogonal aux vecteurs AE et { DL si et seulement a + 2b = 1 si le couple (a, b) vérifie le système 3a b = 0 (b) En déduire qu il existe un seul point M 0 de (AE) et un seul point N 0 de (DL) tels que la droite (M 0 N 0 ) est orthogonale aux droites (AE) et (DL). (c) Déterminer les coordonnées des points M 0 et N 0 puis calculer la distance M 0 N 0. Exercice n o 34 [D après Antilles-Guyane 2007] L espace est rapporté au repère orthonormé (O ; ı, j, k ). On considère les points A(3 ; 0 ; 6) et I(0 ; 0 ; 6), et l on appelle (D) la droite passant par A et I. On appelle (P ) le plan d équation 2y + z 6 = 0 et (Q) le plan d équation y 2z + 12 = Démontrer que (P ) et (Q) sont perpendiculaires. 2. Démontrer que l intersection des plans (P ) et (Q) est la droite (D). ( 3. Démontrer que (P ) et (Q) coupent l axe O ; ) j et déterminer les coordonnées des points ( B et C, intersections respectives de (P ) et (Q) avec l axe O ; ) j. 85

86 Fragments du Bac Thème: Géométrie 4. Démontrer qu une équation du plan (T ) passant par B et de vecteur normal AC est x + 4y + 2z 12 = Donner une représentation paramétrique de la droite (OA). Démontrer que la droite (OA) et le plan (T ) sont sécants en un point H dont on déterminera les coordonnées. 6. Que représente le point H pour le triangle ABC? Justifier. 4. Similitudes du plan (spécialité) Exercice n o 35 [D après Antilles-Guyane 2007] (O ; u, v ) est un repère orthonormal direct du plan complexe (unité graphique 1 cm). On considère le point A d affixe z A = 1 + i. On note S 1 la symétrie orthogonale par rapport à l axe O et de rapport 3. On pose s = h S 1. Partie A ( O ; u 1. Placer le point A et compléter la figure au fur et à mesure. 2. Quelle est la nature de la transformation s? Justifier. 3. Déterminer l écriture complexe de la transformation s. ) et h l homothétie de centre 86

87 Fragments du Bac Thème: Géométrie 4. (a) Déterminer l affixe z B du point B image de A par s. (b) Montrer que z B = 3iz A. Déterminer une mesure de l angle ( OA, OB ). 5. Soient M le milieu de [AB] et P l image de M par s. Montrer que la droite (OP ) est perpendiculaire à la droite (AB). Partie B 1. On pose C = s(b). Montrer que P est le milieu de [BC]. 2. (a) Déterminer l écriture complexe de s s et en déduire sa nature. (b) Montrer que l image de la droite (OP ) par s est la droite (OM). (c) Que représente le point M pour le triangle OBP? Justifier. Exercice n o 36 [D après Antilles-Guyane septembre 2007] ( ) ABC est un triangle équilatéral tel que AB, AC = π + 2kπ, k Z. 3 Soit t un nombre réel fixe et soient les points M, N et P, deux à deux distincts, définis par AM = t AB, BN = t BC et CP = t CA. Le but de l exercice est de démontrer l existence d une unique similitude directe σ qui transforme les points A, B et C en respectivement M, N et P, et d en préciser les éléments caractéristiques. On munit le plan dun repère orthonorinal (O ; u, v ) direct. On note a, b, c, m, n et p, les affixes respectives des points A, B, C, M, N et P. 1. On rappelle que toute similitude conserve le barycentre. (a) Exprimer m, n et p en fonction de a, b, c et t. (b) En deduire que les deux triangles ABC et MNP ont même centre de gravité. Ou notera G ce centre de gravité. (c) On suppose que σ existe. Determiner l image de G par σ. 2. On considére la rotation r dc centre G et d angle 2π 3. (a) Vérifier que M est le barycentre du système de points {A(1 t) ; B(t)}, et en deduire que r(m) = N. On admet de même que r(n) = P et r(p ) = M. (b) Soit σ 1, la similitude directe de centre G de rapport GM ( GA et d angle GA, GM ). Montrer qu elle transforme les points A, B et C en respectivement M, N et P. (c) Conclure sur l existence et l unicité de σ. 87

88 Fragments du Bac Thème: Suites numériques [Thème) Suites numériques 1. Suites numériques Exercice n o 1 [Méthodologie : Monotonie de suites récurrentes] Etudier la monotonie des suites suivantes : la suite a de premier terme a 1 = 3 et de relation de récurrence a n+1 = n a n la suite b de premier terme b 1 = 1/3 et de relation de récurrence b n+1 = n+1 3 n b n la suite u définie par u 0 = 2 et u n+1 = (u n 1) 2 la suite v définie par v 0 = 1 et v n+1 = v 2 n + 1 la suite w définie par w 0 = 1 et w n+1 = 1. 1 wn 2 Exercice n o 2 [Utilisation d une suite arithmético-géométrique] 1. La suite u est définie par : u 0 = 2 et u n+1 = 1 3 u n + 23 pour tout entier naturel n. 27 (a) On a représenté dans un repère orthonormal direct ci-dessous, la droite d équation y = 1 3 x + 23 et le point A de coordonnées (2; 0). Construire sur l axe des abscisses les 27 quatre premiers termes de la suite u. (b) Démontrer que si la suite u est convergente alors sa limite est l = (c) Démontrer que pour tout entier naturel n on a : u n (d) Étudier la monotonie de la suite u et donner sa limite. 88

89 Fragments du Bac Thème: Suites numériques 2. (a) Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1. Démontrer que : n+1 k= = 1 ( 1 1 ), c est-à-dire k n = 1 ( 1 1 ). n n (b) La suite v est définie par v n = 1, avec n décimales consécutives égales à 7. Ainsi v 0 = 1, 2, v 1 = 1, 27 et v 2 = 1, 277. En utilisant la question (a) démontrer que la limite de la suite v est un nombre rationnel r (c est-à-dire le quotient de deux entiers). 3. La suite u définie à la question 1 et la suite v sont-elles adjacentes? Justifier. Exercice n o 3 [Suite avec paramètre] Soit a un nombre réel tel que 1 < a < 0. On considère la suite u définie par u 0 = a et, pour tout entier naturel n, u n+1 = u 2 n + u n. 1. Étudier la monotonie de la suite u. 2. Soit h la fonction définie sur R par h(x) = x 2 + x. (a) Étudier le sens de variations de la fonction h. (b) En déduire que pour tout x appartenant à l intervalle ] 1 ; 0[, le nombre h(x) appartient aussi à l intervalle ] 1 ; 0[. (c) Démontrer que pour tout entier naturel n on a : 1 < u n < Étudier la convergence de la suite u. Déterminer, si elle existe, sa limite. Exercice n o 4 [Suite récurrente] Soient la suite u définie par u 0 = 1 et, pour tout entier naturel n, u n+1 = 1 5 u n + 4 n + 3 et v la suite de terme général v n = 2 u n 10 n Montrer que v est une suite géométrique. 2. (a) Calculer v 0 puis v n en fonction de n. (b) En déduire que, pour tout entier naturel n, u n = n + 5 n Montrer que u peut s écrire sous la forme u = t + w où t est une suite géométrique et w une suite arithmétique. n n 4. (a) Calculer, pour tout entier naturel n, T n = t i et W n = w i. 0 (b) En deduire, pour tout entier naturel n, U n = i=0 n u i. Exercice n o 5 [Suites récurrentes homographiques] i=0 i=0 1. On considère : la fonction f définie sur R {5} par f(x) = 3x 16 x 5. 89

90 Fragments du Bac Thème: Suites numériques la suite u définie par { u0 = 10 u n+1 = f(u n ), n N (a) Vérifier que la suite u est bien définie pour tout entier naturel n. (b) Montrer que l équation f(x) = x admet une unique solution a. (c) Montrer que la suite v de terme général v n = 1 est arithmétique. u n a (d) Exprimer v n puis u n en fonction de n N. En déduire lim u On considère la fonction g définie sur R { 2} par g(x) = 3x + 1 ainsi que la suite w { x + 2 w0 = 3 définie par w n+1 = g(w n ), n N (a) Vérifier que la suite w est bien définie pour tout entier naturel n. (b) Montrer que l équation g(x) = x admet deux solutions α et β. (c) Montrer que la suite z de terme général z n = w n α w n β est géométrique. (d) Exprimer z n puis w n en fonction de n N. En déduire lim w n. n 2. Démonstrations par récurrence Exercice n o 6 [Calculs de sommes] 1. Pour tout entier n 1, on pose t n = n. n(n + 1) (a) Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, t n =. 2 n n(n + 1)(n + 2) (b) En déduire que, pour tout n 1, t k =. 6 k=1 n 2. Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, k 2 n(n + 1)(2n + 1) =. 6 k=1 ( n n 2 3. Montrer que, pour tout entier n 1, k 3 = n2 (n + 1) 2 = k). 4 k=1 k=1 n 1 4. Calculer, pour tout entier naturel n 2, la somme k(k + 1). 0 k=1 Exercice n o 7 [Dérivées successives d une fonction] Soit la fonction f définie sur R par f : x 1 x Montrer que, pour tout entier naturel n, sa dérivée n-ième existe et est définie sur R et que, pour tout réel x, f (n) (x) = p n (x)(1 + x 2 ) n 1/2, où p n est une fonction polynôme de degré n. 90

91 Fragments du Bac Thème: Suites numériques Exercice n o 8 [D après La Réunion septembre 2007] 1. La suite u est définie par : u 0 = 2 et u n+1 = 1 3 u n + 23 pour tout entier naturel n. 27 (a) On a représenté dans un repère orthonormé direct du plan en annexe, la droite d équation y = 1 3 x + 23 et le point A de coordonnées (2; 0). Construire sur l axe des abscisses les 27 quatre premiers termes de la suite u. (b) Démontrer que si la suite u est convergente alors sa limite est l = (c) Démontrer que pour tout entier naturel n on a : u n (d) Étudier la monotonie de la suite u et donner sa limite. 2. (a) Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1. Démontrer que : n+1 k= = 1 ( 1 1 ) k n c est-à-dire que = 1 ( 1 1 ) n n (b) La suite v est définie par v n = 1, avec n décimales consécutives égales à 7. Ainsi v 0 = 1, 2, v 1 = 1, 27 et v 2 = 1, 277. En utilisant le a démontrer que la limite de la suite v est un nombre rationnel r (c està-dire le quotient de deux entiers). 3. La suite u définie au 1 et la suite v sont-elles adjacentes? Justifier. Exercice n o 9. On considère la suite (u n ) n N définie par : 1. (a) Calculer u 1. u 0 = 5 et, pour tout entier n 1, u n = ( ) u n n n. (b) Les valeurs de u 2, u 3, u 4, u 5, u 6, u 7, u 8, u 9, u 10, u 11 sont respectivement égales à : 45, 77, 117, 165, 221, 285, 357, 437, 525, 621. À partir de ces données conjecturer la nature de la suite (d n ) n N définie par d n = u n+1 u n. 2. On considère la suite arithmétique (v n ) n N de raison 8 et de premier terme v 0 = 16. Justifier que la somme des n premiers termes de cette suite est égale à 4n n. 3. Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n on a : u n = 4n n Valider la conjecture émise à la question 1. b.. Exercice n o La suite u est définie par : u 0 = 2 et u n+1 = 1 3 u n pour tout entier naturel n. 91

92 Fragments du Bac Thème: Suites numériques (a) On a représenté dans un repère orthonormé direct du plan ci-dessous, la droite d équation y = 1 3 x + 23 et le point A de coordonnées (2 ; 0). Construire sur l axe des abscisses les 27 quatre premiers termes de la suite u. (b) Démontrer que si la suite u est convergente alors sa limite est l = (c) Démontrer que pour tout entier naturel n on a : u n (d) Étudier la monotonie de la suite u et donner sa limite. 2. (a) Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1. Démontrer que : n+1 k= = 1 ( 1 1 ) k n c est-à-dire que = 1 ( 1 1 ) n n (b) La suite v est définie par v n = 1, avec n décimales consécutives égales à 7. Ainsi v 0 = 1, 2, v 1 = 1, 27 et v 2 = 1, 277. En utilisant le a démontrer que la limite de la suite v est un nombre rationnel r (c està-dire le quotient de deux entiers). 3. La suite u définie au 1 et la suite v sont-elles adjacentes? Justifier. 92

93 Fragments du Bac Thème: Fonctions numériques [Thème) Fonctions numériques 1. Généralités Exercice n o 1 [Continuité et dérivablité (ROC)] Partie I. QCM Sept affirmations, réparties en deux thèmes et numérotées 1.a) à 2.d) sont proposées ci-dessous. Le candidat portera sur la copie, en regard du numéro de l affirmation, et avec le plus grand soin, la mention vrai ou faux. Chaque réponse convenable rapporte 0, 5 point. Chaque réponse erronée enlève 0, 25 point. Il n est pas tenu compte de l absence de réponse. Un éventuel total négatif est ramené à Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert I et soit a un élément de I. Affirmation 1.a) Si f est dérivable en a, alors f est continue en a. Affirmation 1.b) Si f est continue en a, alors f est dérivable en a. Affirmation 1.c) Si f est dérivable en a, alors la fonction h une limite finie en 0. f(a + h) f(a) h admet 2. On considère deux suites (u n ) et (v n ) définies sur N. Affirmation 2.a) Si lim u n = + et n + lim v n = alors n + lim (u n + v n ) = 0. n + Affirmation 2.b) Si (u n ) converge vers un réel non nul et si lim v n = + n + suite (u n v n ) ne converge pas. alors la Affirmation 2.c) Si (u n ) converge( vers) un réel non nul, si (v n ) est positive et si lim v un n = 0, alors la suite ne converge pas. n + Affirmation 2.d) Si (u n ) et (v n ) convergent alors la suite v n ( un v n ) converge. Partie II. Justifications Justifier les réponses apportées aux affirmations 1a) et 1b). Dans le cas FAUX, en apportant un contre-exemple ; dans le cas VRAI, en rédigeant une démonstration rigureuse. 93

94 Fragments du Bac Thème: Fonctions numériques Exercice n o 2 [Dérivation et composition (avec ROC)] Les parties 1 et 2 portent sur le même thème, la dérivation, mais sont indépendantes. 1. Restitution organisée des connaissances La formule donnant la dérivée du produit de deux fonctions dérivables est supposée connue. On a énoncé ci-dessous deux propositions désignées par P et Q. Dire pour chacune d elles si elle est vraie ou fausse et justifier. Dans cet exercice n désigne un entier naturel strictement supérieur à 1. P : Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x n ; alors f est dérivable sur R, de dérivée f donnée sur R par : f (x) = n x n 1. Q : Soit u une fonction dérivable sur R et soit f la fonction définie sur R par f = u n ; alors f est dérivable sur R, de dérivée f donnée sur R par : f = n u n On désigne par g la fonction définie sur ] 1; 1[ par g(0) = 0 et g 1 (x) = où g 1 x 2 désigne la dérivée de la fonction g sur ] 1; 1[ ; on ne cherchera pas à expliciter g(x). On considère alors la fonction composée h définie sur ] π; 0[ par h(x) = g(cos x). (a) Démontrer que pour tout x de ] π; 0[ on a h (x) = 1, où h désigne la dérivée de h. (b) Calculer h ( π 2 ) puis donner l expression de h(x). Exercice n o 3 [dérivation et parité] 1. On considère une fonction f dérivable et paire sur R. Soit d autre part la fonction h définie pour tout réel x par h(x) = f(x) f( x) (relation A). (a) Que peut-on dire de la fonction h? (b) En utilisant la relation (A), montrer que h est dérivable et déterminer h. (c) En déduire que f est impaire. 2. Vrai ou faux : Si une fonction f est impaire et dérivable sur R alors f est paire. Justifier la réponse. 0 Exercice n o 4 [Etude d une fonction rationnelle] Soit la fonction T définie sur ]3/2; + [ par T : x x2 2x x 3 On note C T sa courbe dans un repère cartésien du plan. 1. Variations et extrema (a) Justifier que T est dérivable puis établir que T (x 1)(x 2) (x) = 2. (2x 3) 2 (b) En déduire le sens de variation de T sur ]3/2; + [ puis dresser son tableau de variation. 2. Calculer la limite de T (x) lorsque x tend vers 3/2. Interpréter graphiquement le résultat. 94

95 Fragments du Bac Thème: Fonctions numériques 3. Comportement en + 0 (a) Calculer la limite de T (x) lorsque x tend vers +. (b) Montrer que, pour tout x > 3/2, : T (x) = x (2x 3). (c) En déduire que C T admet un asymptote en + dont on déterminera une équation. (d) Etudier la position relative de C T par rapport à sur l intervalle ]3/2; + [. Exercice n o 5 [D après Baccalauréat Amiens, 1989] On considère dans le plan (P ) rapporté à un repère orthonormal (O; i, j), le cercle (Γ) de centre O et de rayon 1 ainsi que les points A(1; 0) et A ( 1; 0). 1. Par tout point H du segment [AA ] distinct de A et de A, on mène la perpendiculaire ( ) à la droite (AA ). La droite ( ) coupe le cercle (Γ) en M et M. On pose OH = x i. Calculer en fonction de x l aire du triangle AMM. 2. Soit f la fonction numérique définie sur [ 1; 1] par : f(x) = (1 x) 1 x 2 et soit (C) sa courbe représentative dans un plan rapporté à un repère orthonormal où l unité de longueur est 4 cm. (a) Etudier la dérivabilité de f en 1 et en 1. En déduire les tangentes à la courbe (C) aux points d abscisses 1 et 1. (b) Dresser le tableau de variations de f. On y précisera f(0). (c) Tracer la courbe (C). 3. Montrer que le triangle AMM d aire maximale est équilatéral. 4. Justifier que l équation f(x) = 1 admet exactement deux solutions α et β (α < β). Déterminer β et en donner une valeur approchée par défaut à 10 3 près de α. 0 Exercice n o 6 [Mécanique classique et mécanique relativiste] En mécanique newtonnienne 1, la masse d un corps à la propriété d être constante. En mécanique relativiste 2, a contrario, la masse d un corps en mouvement est fonction de sa vitesse : m = m 0 1 v2 c 2, (5.1) Où m 0 est la masse du corps au repos et c la vitesse de la lumière dans le vide, v et c étant exprimées dans les mêmes unités. I. Applications numériques Calculer, à 10 9 près, le rapport des masses c = km.s 1 ) : 1 Celle que l on apprend au lycée 2 Fondée par Enstein. m m 0 dans les deux cas suivants (on prendra 95

96 Fragments du Bac Thème: Fonctions numériques La Terre qui tourne autour du soleil à la vitesse de 29, 7 km.s 1. La comète Kohoutek 3 qui a été observée à 111, 6 km.s 1. II. La mécanique newtonnienne comme approximation de la mécanique relativiste En mécanique, l énergie d un corps est sa capacité à fournir du travail, c est-à-dire à produire un déplacement. L énergie cinétique est celle qu il faut dépenser pour faire passer un corps au repos à une vitesse donnée. Par exemple, pour mouvoir un bateau à voile on utilise l énergie cinétique des masses d air en mouvement. La relation (5.1) conduit à l expression suivante de l énergie cinétique : E = (m m 0 ) c 2. 1 On se propose de montrer que, pour v/c suffisamment proche de 0, la quantité 2 m 0 v 2, est une valeur approchée de E. On reconnait ici la formule bien connue donnant l énergie cinétique en mécanique classique. ( v ) 2. On pose x = c Question. Sachant qu il est physiquement impossible qu un corps ( atteigne la ) vitesse de 1 la lumière, justifier que 0 < 1 x 1, puis montrer que E = m 0 c x On considère maintenant la fonction f définie sur [0; 1[ par f(x) = III. Variations de f 1 1 x (a) Déterminer le sens de variation de la fonction g définie par g(x) = 1 x, pour tout réel x appartenant à [0; 1[. (b) Démontrer que l ensemble des images g est ]0; 1]. 2. En déduire le sens de variation de f à l aide des résultats sur les fonctions composées. IV. Approximation de f On désire dans un premier temps évaluer la différence ( δ(x) = 1 x ) 1 x, pour x [0; 1[ Soit x [0; 1[. (a) Montrer que : δ(x) = (b) En déduire que : δ(x) = 2. Soit x [0; 1[. (a) Etablir l encadrement : 3 Découverte en mars 1973 ( 1 x 2) 2 1 x 1 x x. x 2 4 ( 1 x x ). 1 2 < 1 x x 2. 96

97 Fragments du Bac Thème: Fonctions numériques (b) En déduire que : 0 δ(x) < x Soit u la fonction définie sur [0; 1[ par u(x) = x 2 + δ(x). (a) Montrer que 0 u < 1. (b) Etablir que f = 4. Soit x [0; 1/2[. u 1 u ; puis que f = u + u2 1 u. (a) Montrer, en utilisant la question 2, que 0 u(x) x. (b) Montrer que 1 u 1/2. En déduire que 0 u(x)2 1 u(x) 2x2. 5. (a) Montrer, en utilisant la question 3, que f(x) x u(x)2 = δ(x) u(x). (b) Conclure enfin, en utilisant les questions 2 et 5 que, pour tout x [0; 1/2[, 0 f(x) x 2 2 x2. V. Application à la formule physique Déduire de la question précédente que, lorsque v 2, 5 km.s 1, approchée de E avec une précision de 1, m m 0 v 2 est une valeur Exercice n o 7. Dans ce problème, on désire démontrer la validité d une méthode grapique de résolution d équations du second degré. Cette méthode est la suivante : Soit (E p,q ) x 2 + px + q = 0 une telle équation, où p et q sont des constantes réelles. Dans un repère orthonormé (O ; ı, j ), on trace la courbe C d équation y = 1 4 x2 et on place le point M(p; q). On trace, lorsqu elles existent, les 2 droites tangentes à C passant par M et on note M 1 (a 1 ; b 1 ) et M 2 (a 2 ; b 2 ) les deux points de contact correspondants. Les solutions de (E p,q ) sont alors a 1 2 et a 2 2. Partie 1. Application pratique de la méthode 1. Utiliser la méthode pour résoudre l équation 2x 2 6x + 4 = 0. On prendra pour unité graphique 4 cm. 2. Vérifier la pertinence du résultat en résolvant l équation par le calcul. Partie 2. Démonstration de la validité de la méthode On rappelle que l on s est placé dans un repère orthonormé (O ; ı, j ) et qu on a noté C la courbe d équation y = 1 4 x2. 1. Soient l équation (E p,q ) x 2 + px + q = 0 (p, q i nr constantes) et M(p; q) le point associé. (a) Exprimer le discriminant p,q de (E p,q ) en fonction de p et q. 97

98 Fragments du Bac Thème: Fonctions numériques (b) Dans quelle partie du plan, par rapport à C, se situe le point M pour que l équation (E p,q ) admette une solution double? Deux solutions distinctes? aucune solution? 2. On suppose dans cette question les réels p et q vérifient p 2 = 4q. (a) Résoudre l équation (E p,q ) en fonction de p. (b) En déduire une méthode graphique pour résoudre les équations correspondant aux points de C. 3. On suppose désormais que p 2 > 4q. (a) Soit m R. Déterminer une équation de la droite D m passant par M et de coefficient directeur m, en fonction de m, p et q. (b) Montrer que D m rencontre C en un et un seul point si et seulement si m 2 mp+q = 0. On dira alors que D m est tangente à C en ce point. (c) Déterminer les coordonnées de ce point en fonction de m. (d) Montrer qu il existe exactement deux valeurs de m satisfaisant à la condition m 2 mp + q = 0. (e) On note M 1 (a 1 ; b 1 ) et M 2 (a 2 ; b 2 ) les 2 points de contact correspondants respectivement à ces deux valeurs. Exprimer a 1 et a 2 en fonction de p et q. (f) En déduire les solutions de (E p,q ) en fonction de a 1 et a 2. (g) Conclure. 2. Régularité Exercice n o 8 [QCM dérivation, d après Réunion septembre 2007] Les parties 1 et 2 portent sur un même thème, la dérivation, mais sont indépendantes. 1. Restitution organisée de connaissances La formule donnant la dérivée du produit de deux fonctions dérivables est supposée connue. On a énoncé ci-dessous deux propositions désignées par P et Q. Dire pour chacune d elles si vraie ou fausse et justifier. Dans cet exercice n désigne un entier naturel strictement supérieur à 1. P : Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x n ; alors f est dérivable sur R, de dérivée f donnée sur R par : f (x) = nx n 1. Q : Soit u une fonction dérivable sur R et soit f la fonction définie sur R par f = u n ; alors f est dérivable sur R, de dérivée f donnée par f = nu n On désigne par g la fonction définie sur ] 1 ; 1[ par g(0) = 0 et g 1 (x) = où g 1 x 2 désigne la dérivée de la fonction g sur ] 1 ; 1[ ; on ne cherchera pas à expliciter g(x). On considère alors la fonction composée h définie sur ] π ; 0[ par h(x) = g(cos x). (a) Démontrer que pour tout x de ] π ; 0[ on a h (x) = 1, où h désigne la dérivée de h. ( (b) Calculer h π ) puis donner l expression de h(x). 2 98

99 Fragments du Bac Thème: Fonctions numériques 3. Symétries et invariances de courbes Exercice n o 9 [Repère adapté] On fixe un repère orthonormal R = (O, i, j) du plan (unité graphique : 2 cm). On considère la fonction u : x 2 + x 1. Déterminer un point Ω tel que la courbe de u dans le repère (Ω, i, j) admette pour équation y = x. Rappel. Soient R = (O, i, j) un repère cartésien, Ω le point de coordonnées (x Ω, y Ω ) dans R. Soit d autre part le repère R = (Ω, i, j). Si on note (x, y) les coordonnées dans R et (x, y ) les coordonnées dans R. Alors x = x x Ω et y = y y Ω. Exercice n o 10 [Centre de symétrie] On considère la fonction h : x 1 2x 3x + 1 dans un repère R = (O, i, j). définie sur R \ { 1/3} et on note C h sa courbe Montrer que la courbe C h admet un centre de symétrie dont on déterminera les coordonnées. Rappel. Un point A(a, b) est centre de symétrie de C h si, et seulement si pour tout x appartenant à son ensemble de définition D h, 2 a x D h et h(2 a x) = 2 b h(x). Un corrigé. On considère : h : x 1 2x définie sur R { 1/3} 3x + 1 C h la courbe de h dans le repère R = (O, i, j) ; d équation y = h(x). Analyse du problème (au brouillon). La fonction h est une fonction homographique admettant 1 3 comme pôle (ou valeur «interdite»). Par suite, la droite D d équation x = 1 3 est asymptote à C h. D autre part, h(x) tend 2 3 lorsque x tend vers ±. La droite d équation y = 2 3 est donc une deuxième asymptote à C h. D après l allure générale de la courbe d une fonction homographique (voir sur une calculatrice), on va montrer que le point d intersection de D et de, c est-à-dire Ω( 1/3; 2/3), est centre de symétrie de C h. Synthèse. On applique la méthode rappelée précédemment avec a = 1/3 et b = 2/3. Pour tout réel x, 2 a x = 2/3 x x D h x 1/3 2/3 x 2/3 ( 1/3) 2/3 x 1/3 2/3 x D h. 99

100 Fragments du Bac Thème: Fonctions numériques On peut donc calculer h( 2/3 x) = 1 2( 2/3 x) 2 b h(x) = 3 h(x) = 4 1 2x 3( 2/3 x)+1 3 3x+1 = 7/3+2x = 12x 4 3(1 2x) 1 3x 3(3x+1) = 7/3+2x 3x+1 = 6x 7 3(3x+1) = 2x+7/3 (3x+1). Conclusion. Le point Ω( 1/3; 2/3) est centre de symétrie de C h. Exercice n o 11 [Etude d une famille d hyperboles] Pour tout réel m, on définit la fonction f m : x (2m 1)x + m. x m On note H m la courbe de f m dans un repère orthonormal (O ; ı, j ) (unité graphique : 2cm). 1. Tracer, en justfiant, H 0 et H 1 dans (O ; ı, j ). 2. On suppose désormais que m 0. (a) Montrer que toutes les courbes H m passent par un même point A dont on déterminera les coordonnées. (b) Démontrer que toutes ces courbes admettent une même tangente T en A. 3. (a) Montrer que, pour tout m 0, il existe un second point B m appartenant à H m où la tangente à H m est parallèle à T. (b) Expliciter l ensemble des points B m lorsque m parcourt R. 4. Montrer que, pour tout m 0, H m se déduit de H 1 par l homothétie de centre A et de rapport m. 5. Application. Utiliser la question précédente pour tracer soigneusement H 1/2. 0 Exercice n o 12 [Courbes de fonctions et cercles] Partie 1 - Etude d une fonction. Soit la fonction f : x x 2 + 6x 27/4. On note Γ sa courbe dans un repère orthonormal du plan (O ; ı, j ). 1. Ecrire l expression x 2 +6x 27/4 sous forme canonique. En déduire l ensemble de définition de f. 2. Etudier le sens de variation de f ainsi que ses extrema. 3. Déterminer des équations des demi-tangentes de Γ aux points d abscisses 3/2 et 9/2. Partie 2 - Etude de la courbe de f. Soit Γ la courbe la fonction g : x 1 x Dresser le tableau de variation de g puis tracer Γ dans (O ; ı, j ). 2. Montrer que Γ est l image de Γ par une transformation (composée d une translation et d une homothétie) que l on précisera. 100

101 Fragments du Bac Thème: Fonctions numériques 3. En déduire le tracé Γ dans (O ; ı, j ). 4. Montrer que Γ est symétrique par rapport à la droite d équation x = 3. Partie 3 - Cercle construit à partir de Γ. de centre Ω(3; 0). 1. Déterminer une équation cartésienne de Γ. Soit Γ la courbe image de Γ par la symétrie 2. Montrer que la réunion Γ Γ est un cercle dont on déterminera l équation réduite, les coordonnées du centre et le rayon. Exercice n o 13 [Etude d une fonction trinôme par transformations] On fixe un repère orthonormé R = (O, i, j) du plan (unité graphique : 2 cm). 1. Tracer dans R la courbe Γ de la fonction carré. 2. (a) On considère maintenant la fonction f définie sur R par f(x) = x 2 4x + 1 et on note C sa courbe dans le repère R. Ecrire l expression de f sous forme canonique. (b) En déduire que f admet un minimum en x = 2 dont on déterminera la valeur. (c) Soient Ω le point de coodonnées (2; 3) et R le repère (Ω, i, j). On note (x, y) les coordonnées dans R et (x, y ) celles dans R. Exprimer x en fonction de x et y en fonction de y. (d) Déterminer une équation de C dans le repère R. (e) En déduire que C est l image de Γ par une transformation que l on déterminera. (f) Déterminer une équation de Γ dans le rep`re R. 3. Suivre la même démarche pour la fonction g définie sur R par g(x) = x 2 + 3x + 1. Exercice n o 14 [D après Baccalauréat Bordeaux, septembre 1981] Le plan P est muni d un repère orthonormé (O, e 1, e 2 ). Soit f la fonction définie sur [0; 1] par f(x) = x 2 x + 1 et (C) sa courbe représentative dans le repère (O, e 1, e 2 ). 1. Etudier la continuité et la dérivablité de f. 2. Etudier les variations de la fonction f. 3. Montrer que, pour tout x appartenant à l intervalle [0; 1] (f f)(x) = x. En déduite que f est une bijection. Que peut-on en déduire quant à la courbe (C)? 4. Construire la courbe (C) dans (O, e 1, e 2 ). 4. Exponentielle Exercice n o 15 [D après Antilles-Guyane septembre 2007] Soit v = (v n ) n 0 une suite. On considère la suite u définie pour tout entier naturel n par u n = e vn

102 Fragments du Bac Thème: Fonctions numériques Partie A Pour chacune des questions, quatre propositions sont proposées dont une seule est intacte. Pour chacune des questions donner, sans justification, la bonne réponse sur votre copie. Une bonne réponse donne 0, 75 point, une mauvaise réponse enlève 0, 25 point et l absence de réponse est comptée 0 point. Tout total négatif est ramené à zéro. 1. a est un réel strictement positif et ln désigne la fonction logarithme népérien. Si v 0 = ln a alors : a. u 0 = 1 a + 1 b. u 0 = a c. u 0 = a + 1 d. u 0 = e a Si v est strictement croissante, alors : (a) u est strictement décroissante et majorée par 2 (b) u est strictement croissante et minorée par 1 (c) u est strictement croissante et majorée par 2 (d) u est strictement décroissante et minorée par 1 3. Si v diverge vers +, alors : (a) u converge vers 2 (b) u diverge vers + (c) u converge vers 1 (d) u converge vers un réel l tel que l > 1 4. Si v est majorée par 2, alors : (a) u est majorée par 1 + e 2 (b) u est minorée par 1 + e 2 (c) u est majorée par 1 + e 2 (d) u est minorée par 1 + e 2 Partie B (1 point) Démontrer que pour tout entier naturel non nul, on a ln (u n ) + v n > Equations différentielles Exercice n o 16 [D après La Réunion septembre 2007] ] On considère les deux équations différentielles suivantes définies sur π 2 ; π [ 2 (E) : y + (1 + tan x) y = cos x (E 0 ) : y + y = Donner l ensemble des solutions de l équation (E 0 ). : 102

103 Fragments du Bac Thème: Fonctions numériques ] 2. Soient f et g deux fonctions dérivables sur π 2 ; π [ et telles que f(x) = g(x) cos x. 2 Démontrer que la fonction f est solution de (E) si, et seulement si la fonction g est solution de (E 0 ). 3. Déterminer la solution f de (E) telle que f(0) = 0. Exercice n o 17 [Vitesse d un parachutiste] Un parachutiste tombe à une vitesse de 55 m.s 1 au moment où son parachute s ouvre. On fixe l origine du temps à cet instant-là (t = 0, en seconde). Pour tout t [0; + [, on note v(t) la vitesse (en m.s 1 ) du parachutiste à l instant t. On admet que la résistance de l air est donnée par R = P v2, où P est le poids du 25 parachutiste avec son équipement (P = m g en Newton, m masse en kg et g = 9.81 m.s 2 constante de gravitation). 1. Démontrer que la fonction v est solution sur [0; + [ de l équation différentielle ) v = g (1 v On suppose que v > 5 sur [0; + [ et on pose z = 1 v 5. Déterminer une équation différentielle (L) satisfaite par z sur [0; + [. 3. Question ROC Prérequis : La fonction exponentielle exp est dérivable, strictement positive sur R et vérifie : exp = exp ; exp(0) = 1. Question : Résoudre l équation différentielle (L) sur R. 4. En déduire une expression v(t) et préciser sa limite lorsque t tend vers +. Exercice n o 18 [Taux d alcoolémie] Le taux d alcoolémie f(t) (en g.l 1 ) d une personne ayant, à jeun, une certaine quantité d alcool, vérifie sur ]0; + [, l équation différentielle y + y = ae t, où t est le temps (exprimé en heure) écoulé après l injestion a une constante qui dépend des conditions expérimentales. 1. On pose, pour tout t ]0; + [, g(t) = f(t) e t. Démontrer que g est une fonction affine. 2. Exprimer f(t) en fonction de t et de a. 3. (a) Etudier les variations de f puis tracer sa courbe dans un repère orthogonal. (b) Déterminer le taux d alcoolémie maximal et le temps au bout duquel il est atteint. (c) Donner une valeur du délai T (à l heure près par excès) au bout duquel le taux d alcoolémie de cette personne est inférieur à 0, 5 g.l

104 Fragments du Bac Thème: Fonctions numériques Exercice n o 19 [Le modèle de Verlhust] On repique des plants de 10 cm de haut sous une serre. On sait que la taille maximale de ces plants est de 1 m. On note f(t) la taille, en mètre, d un plant après t jours ; en particulier : f(0) = 0, 1. Le modèle de Verhulst repose sur la relation suivante, qui caractérise la vitesse de croissance de la plante selon : f (t) = a f(t) (1 f(t)) où a est une constante dépendant des conditions expérimentales. Autrement dit, f est solution sur [0; + [ de l équation différentielle y = a y (1 y). 1. On pose, pour tout t [0; + [, z(t) = 1 f(t). Montrer que z est solution sur [0; + [ de l équation différentielle z + a z = a. 2. Question ROC Prérequis : La fonction exponentielle exp est dérivable, strictement positive et vérifie exp = exp ; exp(0) = 1. Question : En n utilisant que ces propriétés, résoudre l équation z + a z = a sur R. 3. En déduire que pour tout réel t [0; + [, on a f(t) = 4. On observe qu au bout de 15 jours, la plante mesure 19 cm. (a) Montrer que : a = 1 ( ) 9 15 ln. 19 En donner une valeur approchée à 10 2 près. 1 9 e at + 1. (b) Etudier la limite de f en + et préciser son sens de variation. (c) Représenter graphiquement la fonction f (unités graphiques : 1 cm en abscisse et 10 cm en ordonnée). (d) Au bout de combien de jours la plante mesurera-t-elle 90 cm de haut? Exercice n o 20 [La loi de refroidissement de Newton] En thermodynamique, la loi de Newton s énonce ainsi : La vitesse de refroidissement d un corps inerte est proportionnelle à la différence de température entre ce corps et le milieu ambiant. Dans ces conditions, la température d un corps passe de 100 C à 70 C en 15 minutes. Au bout de combien de temps se trouvera-t-il à 40 C? Exercice n o 21. Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = 9 2 e 2x 3e 3x. 104

105 Fragments du Bac Thème: Fonctions numériques Partie A : Soit l équation différentielle (E) : y + 2y = 3e 3x. 1. Résoudre l équation différentielle (E ) : y + 2y = En déduire que la fonction h définie sur R par h(x) = 9 2 e 2x est solution de (E ). 3. Vérifier que la fonction g définie sur R par g(x) = 3e 3x est solution de l équation (E). 4. En remarquant que f = g + h, montrer que f est une solution de (E). Partie B : On nomme C f la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O, i, j) d unité 1 cm. 1. Montrer que pour tout x de R on a : f(x) = 3e 2x ( 3 2 e x ). 2. Déterminer la limite de f en + puis la limite de f en. 3. Étudier les variations de la fonction f et dresser le tableau de variations de f. 4. Calculer les coordonnées des points d intersection de la courbe C f avec les axes du repère. 5. Calculer f(1) et tracer l allure de la courbe C f. 6. Déterminer l aire A de la partie du plan délimitée par l axe des abscisses, la courbe C f, l axe des ordonnées et la droite d équation x = 1. On exprimera cette aire en cm 2. Exercice n o 22. I. Restitution organisée des connaissances e x Prérequis : on rappelle que : x = +. lim x + ln x 1. Démontrer que lim x + x = En déduire que pour tout entier naturel n non nul : lim x + II. Étude d une fonction f Soit f la fonction définie sur l intervalle ]0 ; + [ par : f(x) = x ln x x 2. ln x x n = 0. On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O, i, j) (unité graphique 2 cm). 1. Soit u la fonction définie sur l intervalle ]0 ; + [ par u(x) = x ln x. (a) Étudier le sens de variation de la fonction u sur l intervalle ]0 ; + [. (b) Calculer u(1) et en déduire le signe de u(x) pour x appartenant à l intervalle ]0 ; + [. 2. Étude de la fonction f (a) Déterminer les limites de f en 0 et en +. (b) Déterminer la fonction dérivée de f et construire le tableau de variations de la fonction f. 3. Éléments graphiques et tracés. 105

106 Fragments du Bac Thème: Fonctions numériques (a) Démontrer que la droite ( ) d équation y = x est asymptote oblique à la courbe C. (b) Déterminer la position de C par rapport à ( ). (c) Tracer la courbe C et la droite ( ). Calculs d aires On note α un nombre réel strictement positif et on désigne par A (α) l aire, exprimée en unités d aire, de la partie du plan délimitée par la courbe C, la droite ( ) et les droites d équation x = 1 et x = α. 1. On suppose dans cette question que α > 1. ln α (a) À l aide d une intégration par parties, démontrer que : A (α) = 1 α 1 α. (b) Déterminer la limite l de A (α) lorsque α tend vers Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative non fructueuse. sera prise en compte ( ) dans l évaluation. 1 Démontrer que l = A. e 6. Logarithme néperien Exercice n o 23 [Equation ln(x) = x n ] Soient n N et (E) l équation : ln(x) = x n. 1. Dans cette question, n = 1 ; déterminer les variations de la fonction f, définie sur ]0; + [, par : f(x) = x ln(x). En déduire que, dans le cas n = 1, l équation (E) n a pas de solution. 2. Dans cette question, n est quelconque. Démontrer de même que l équation (E) n a pas de solution. Exercice n o 24 [Moyennes arithmétique et géométrique] Soient n un entier naturel non nul et a 1,... a n des réels strictement positifs. On définit : La moyenne arithmétique des a i par A = a a n = 1 n a i. n n ( n ) 1/n. La moyenne géométrique des a i par G = n a 1...a n = a i Le but de cet exercice est de prouver que G A. 1. Montrer que, pour tout réel x, e x 1 x. 2. En déduire que, pour tout i {1,..., n}, exp i=1 ( ai A 1 ) a i A. i=1 106

107 Fragments du Bac Thème: Fonctions numériques 3. En déduire que 1 Gn A n. 4. Conclure. Donner un exemple où l inégalité démontrée est une égalité. Exercice n o 25 [Etude de fonction] On se propose d étudier la fonction f : ]0; + [ R x x ln(x + 2) x ln(x) x. On note C sa courbe dans un repère (O; i; j). 1. Etude d une fonction auxiliaire. Soit g la fonction définie sur ]0; + [ par : g(x) = ln(x + 2) ln(x) 2 x (a) Calculer la limite de g en 0 par valeurs supérieures. (b) On admet les formules suivantes : ( a ) a, b ]0; + [, ln(ab) = ln(a) + ln(b) et ln = ln(a) ln(b). b Justifier que : ( ) x + 2 g(x) = ln 2 x x En déduire la limite de g en +. (c) Etudier les variations de g et dresser son tableau de variation. (d) Démontrer que l équation g(x) = 0 admet une solution unique α dans l intervalle [0.36; 0.38]. En déduire le signe de g(x) suivant les valeurs de x. (e) Déduire des questions précédentes que : 2. Etude de la fonction f. (a) Calculer les limites suivantes : ( ) α + 2 ln α 1 + 2h lim f(x) ; lim x 0 h 0 h et = α + 4 α + 2. ( ) x + 2 lim x ln x + x pour la troisième limite, on pourra utiliser la deuxième en posant h = 1/x. (b) En déduire la limite de f en +. Déterminer l équation réduite d un asymptote D à C en +. (c) Démontrer que, pour tout x ]0; + [, f (x) = g(x). En déduire que f admet un maximum en α et que : f(α) = 2 α α + 2. (d) Dresser le tableau de variation de f. (e) Déterminer les coordonnées des points d intersection de C et de D. 3. Définition [Primitive de f] : On appelle primitive de f, toute fonction F dérivable sur ]0; + [ telle que F = f. ; 107

108 Fragments du Bac Thème: Fonctions numériques Justifier que la fonction F : ]0; + [ R ( ) x x 2 2 ln(x + 2) x2 ln(x) + x x est une primitive de f sur ]0; + [.. Exercice n o 26 [Fonction avec logarithme] Soit la fonction f définie sur ]0; + [ par f(x) = x 2 + x 1 + ln x. x On désigne par C la courbe représentative de f dans un repère orthogonal (O; i; j) ; (unités graphiques : 4 cm sur l axe des abscisses et 2 cm sur l axe des ordonnées). 1. On considère la fonction ϕ définie sur ]0; + [ par (a) Etudier le sens de variation de ϕ. ϕ(x) = 2x 3 + x 2 + ln x. (b) Démontrer que l équation ϕ(x) = 0 admet une unique solution α. (c) Montrer que α appartient à l intervalle [0.54; 0.55]. (d) En déduire le signe de ϕ(x) suivant les valeurs de x. 2. (a) Déterminer lim + f. (b) Montrer que l axe des abscisses est asymptote à C. (c) Etudier le sens de variation de f et dresser son tableau de variation. (d) Soit la fonction g définie sur ]0; + [ par : g(x) = x 2 + x ; et Γ sa courbe représentative dans (O; i; j). Préciser les positions relatives de C et Γ. (e) Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivants : Les valeurs de f(x) seront données à 10 2 près. (f) Tracer Γ et C. Exercice n o 27 [Suite de fonctions] On désigne par n un entier naturel supérieur ou égal à 2 et on considère la fonction f n qui est définie sur ]0; + [ par : f n (x) = 1 + n ln(x) x 2. Partie A : Etude de la fonction f n. 1. Montrer que f n est dérivable et calculer sa dérivée. Montrer que, pour tout réel x strictement positif, f n(x) peut s écrire sous la forme d un quotient dont le numérateur est n 2 2 ln x. 2. Résoudre l équation f n(x) = 0 puis étudier le signe de f n(x) en fonction de x ]0; + [. 3. Déterminer la limite de f n en Etablir le tableau de variation de f n et calculer sa valeur maximale en fonction de n. 108

109 Fragments du Bac Thème: Fonctions numériques Partie B : Représentation graphique de quelques fonctions f n. Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O, i, j) (unité graphique : 5 cm). On note C n la courbe représentative de f n dans ce repère. 1. Tracer C 2 et C (a) Montrer que la fonction différence f n+1 f n est indépendante de n. (b) Expliquer comment il est possible de construire point par point la courbe C n à partir de C 2 et C 3. Partie C : Aire sous la courbe. 1. Justifier que la fonction est une primitive de f n. F n : ]0; + [ R x ln x 1 x x 2. Calculer, en unité d aire, l aire du domaine du plan limité par les courbes C n et C n+1 et les droites d équations x = 1 et x = e. 3. On note A n l aire, en unité d aire, du domaine du plan limité par la courbe C n et les droites d équations y = 0, x = 1 et x = e. (a) Calculer A 2. (b) Déterminer la nature de la suite (A n ) en précisant l interprétation graphique de sa raison. Partie D : Etude de l équation f n (x) = 1. Dans cette partie, on suppose que n (a) Vérifier que, pour tout entier n 3, e n 2 2n > 1 et fn ( e n 2 2n ) 1. ] [ (b) Montrer que l équation f n (x) = 1 n a pas de solution dans l intervalle 1; e n 2 2n. ] [ (c) Montrer que l équation f n (x) = 1 admet, dans l intervalle e n 2 2n ; +, exactement une solution notée α n. 2. On se propose de déterminer la limite de la suite (α n ). (a) Calculer f n ( n) et démontrer que, pour tout entier naturel n > e 2, f n ( n) 1. (b) En déduire que, pour n 8, on a α n n. (c) Conclure. Exercice n o 28 [D après Antilles-Guyane 2007] Question de cours Soit I un intervalle de R. Soient u et v deux fonctions continues, dérivables sur I telles que u et v soient continues sur 109

110 Fragments du Bac Thème: Fonctions numériques I. Rappeler et démontrer la formule d intégration par parties sur un intervalle [a ; b] de I. Partie A Soit f une fonction définie et dérivable sur l intervalle [0 ; 1]. On note f la fonction dérivée de f. On suppose que f est continue sur l intervalle [0 : 1]. 1. Utiliser la question de cours pour montrer que : 2. En déduire que f(x) dx = f(1) (f(x) f(1)) dx = xf (x) dx. Partie B On désigne par ln la fonction logarithme nepérien. Soit f la fonction définie sur l intervalle ] 2 ; 2[ par ( ) 2 + x f(x) = ln. 2 x xf (x) dx. Soit C la courbe représentative de f sur l intervalle ] 2 ; 2[ dans un repère orthonormé d unité graphique 2 cm. 1. Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. 2. (a) Montrer que pour tout réel x de l intervalle ] 2 ; 2[ on a f (x) = 4 4 x 2. (b) En déduire les variations de f sur l intervalle ] 2 ; 2[. Partie C La courbe C est tracée sur la feuille annexe. Hachurer sur cette feuille la partie P du plan constituée des points M(x ; y) tels que 0 x 1 et f(x) y ln 3. En utilisant la partie A, calculer en cm 2 l aire de P. 110

111 Fragments du Bac Thème: Fonctions numériques Exercice n o 29. Partie A. Démonstration de cours Prérequis : définition d une suite tendant vers plus l infini. «une suite tend vers + si, pour tout réel A, tous les termes de la suite sont, à partir d un certain rang, supérieurs à A». Démontrer le théorème suivant : une suite croissante non majorée tend vers +. Partie B On considère la fonction f définie sur l intervalle [0 ; + [ par f (x) = ln(x + 1) x2. La courbe (C ) représentative de la fonction f dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous. Cette courbe sera complétée et remise avec la copie à la fin de l épreuve. 1. Étudier le sens de variation de la fonction f sur l intervalle [0 ; + [. 2. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (C ) au point d abscisse Tracer la droite (T) sur le graphique. Dans la suite de l exercice, on admet que, sur l intervalle ]0 ; + [, la courbe (C ) est située au dessus de la droite (T). Partie C On considère la suite (u n ) définie sur N par u 0 = 1, et pour tout entier naturel n, u n+1 = f (u n ). 1. Construire sur l axe des abscisses les cinq premiers termes de la suite (u n ) en laissant apparents les traits de construction (utiliser le graphique donné). 111

112 Fragments du Bac Thème: Fonctions numériques 2. À partir de ce graphique, que peut-on conjecturer concernant le sens de variation de la suite (u n ) et son comportement lorsque n tend vers +? 3. (a) Montrer à l aide d un raisonnement par récurrence que, pour tout entier naturel n, u n 1. (b) Montrer que la suite (u n ) est croissante. (c) Montrer que la suite (u n ) n est pas majorée. (d) En déduire la limite de la suite (u n ). Exercice n o 30. Soit f la fonction définie sur l intervalle ]1 ; + [ par f(x) = ln x 1 ln x. On nomme (C ) la courbe représentative de f et Γ la courbe d équation y = ln x dans un repère orthogonal (O, i, j). 1. Étudier les variations de la fonction f et préciser les limites en 1 et en (a) Déterminer lim [f(x) ln x]. x + Interpréter graphiquement cette limite. (b) Préciser les positions relatives de (C ) et de Γ. 3. On se propose de chercher les tangentes à la courbe (C ) passant par le point O. (a) Soit a un réel appartenant à l intervalle ]1 ; + [. Démontrer que la tangente T a à (C ) au point d abscisse a passe par l origine du repère si et seulement si f(a) af (a) = 0. Soit g la fonction définie sur l intervalle ]1 ; + [ par g(x) = f(x) xf (x). (b) Montrer que sur ]1 ; + [, les équations g(x) = 0 et (ln x) 3 (ln x) 2 ln x 1 = 0 ont les mêmes solutions. (c) Après avoir étudié les variations de la fonction u définie sur R par u(t) = t 3 t 2 t 1 montrer que la fonction u s annule une fois et une seule sur R. (d) En déduire l existence d une tangente unique à la courbe (C ) passant par le point O. La courbe (C ) et la courbe Γ sont données en annexe. Tracer cette tangente le plus précisément possible sur cette figure. 4. On considère un réel m et l équation f(x) = mx d inconnue x. Par lecture graphique et sans justification, donner, suivant les valeurs du réel m, le nombre de solutions de cette équation appartenant à l intervalle ]1 ; 10]. Représentations graphiques obtenues à l aide d un tableur 112

113 Fragments du Bac Thème: Fonctions numériques 113

114 Fragments du Bac Thème: Fonctions numériques 7. Calcul intégral Exercice n o 31. On considère la fonction f définie sur [0; + [ par : f(x) = x + ln (1 + e x ). Sa courbe représentative (C ) ainsi que la droite (D) d équation y = x sont données ci-dessous dans un repère orthonormal d unité graphique 2 cm. 1. Montrer que f est croissante et positive sur [0 ; + [. 2. (a) Montrer que la courbe (C ) admet pour asymptote la droite (D). (b) Étudier la position de (C ) par rapport à (D). 3. Soit I l intégrale définie par : I = On ne cherchera pas à calculer I. 1 0 ln ( 1 + e x) dx = (a) Donner une interprétation géométrique de I. 1 0 [f(x) x] dx. (b) Montrer que pour tout réel t 0, on a ln (1 + t) t. (On pourra étudier les variations de la fonction g définie sur [0; + [ par g(t) = ln(1 + t) t.) t On admettra que : pour tout réel t 0, on a ln(1 + t). t + 1 e x (c) En déduire que pour tout x de [0; + [, on a : e x + 1 ln (1 + e x ) e x. ( ) 2 (d) Montrer que ln I 1 e e 1 (e) En déduire un encadrement de I d amplitude 0, 4 par deux nombres décimaux. 4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. Soient M et N les points de même abscisse x appartenant respectivement à (C ) et (D). On juge que M et N sont indiscernables sur le graphique lorsque ia distance M N est inférieure à 0, 5 mm. Déterminer l ensemble des valeurs de x pour lesquelles M et N sont indiscernables. 114

115 Fragments du Bac Thème: Fonctions numériques Exercice n o 32. Les courbes C f et C g données ci-contre représentent respectivement, dans un repère orthonormal (O, i, j), les fonctions f et g définies sur l intervalle ]0 ; + [ par : f(x) = ln x et g(x) = (ln x) 2. Partie A On cherche à déterminer l aire A (en unités d aire) de la partie du plan hachurée. On note I = e 1 ln x dx et J = e 1 (ln x) 2 dx. 1. Vérifier que la fonction F définie sur l intervalle ]0 ; + [ par F (x) = x ln x x est une primitive de la fonction logarithme népérien. En déduire I. 2. Démontrer à l aide d une intégration par parties que J = e 2I. En déduire J. 3. Donner la valeur de A. Partie B Dans cette question le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n aboutit pas. Pour x appartenant à l intervalle [1 ; e], on note M le point de la courbe C f d abscisse x et N le point de la courbe C g de même abscisse. Pour quelle valeur de x la distance MN est-elle maximale? Calculer ce maximum. Exercice n o 33 [D après Antilles-Guyane 2007] Question de cours Prérequis : positivité et linéarité de l intégrale. Soient a et b deux réels d un intervalle I de R tels que a b. Démontrer que si f et g sont deux fonctions continues sur I telles que pour tout réel x de l intervalle I, f(x) g(x), alors b f(x) dx b g(x) dx. a a Partie A 1. Soit x un réel supérieur ou égal à 1. Calculer en fonction de x l intégrale x 1 (2 t) dt. 2. Démontrer que pour tout réel t appartenant à l intervalle [1 ; + [, on a : 2 t 1 t. 3. Déduire de ce qui précéde que pour tout réel x supérieur ou égal à 1, on a : 1 2 x2 + 2x 3 2 ln x. Partie B Soit h la fonction définie sur R par h(x) = 1 2 x2 + 2x

116 Fragments du Bac Thème: Fonctions numériques Sur le graphique joint en annexe, le plan est muni d un repère orthogonal (O ; ı, j ) dans lequel on a tracé les courbes représentatives des fonctions h et logarithme népérien sur l intervalle [1 ; 4]. On a a tracé également la droite (d) d équation x = (a) Démontrer que 4 1 h(x)dx = 0. (b) Illustrer sur le graphique le résultat de la question précédente. 2. On note (D) le domaine du plan délimité par la droite (d) et les courbes représentatives des fonction h et logarithme népérien sur l intervalle [1 ; 4]. En utilisant un intégration par parties, calculer l aire de (D) en unités d aire. 116

117 Fragments du Bac Thème: Fonctions numériques Exercice n o 34 [D après Polynésie septembre 2007] On désigne par (E) l ensemble des fonctions f continues sur l intervalle [0 ;1] et vérifiant les conditions (P 1 ), (P 2 ) et (P 3 ) suivantes : (P 1 ) : f est strictement croissante sur l intervalle [0 ;1]. (P 2 ) : f(0) = 0 et f(1) = 1. (P 3 ) : pour tout réel x de l intervalle [0 ;1], f(x) x. Dans un repère orthonormal (O ; ı, j ) du plan, on note (C f ) la courbe représentative d une fonction f de l ensemble (E) et (D) la droite d équation y = x. À toute fonction f de (E), on associe le nombre réel I f = 1 0 [x f(x)] dx. 1. (a) Une seule des trois courbes ci-dessous représente une fonction de (E). La déterminer en justifiant l élimination des deux autres. (b) Montrer que, pour toute fonction f de (E), I f Soit h la fonction définie sur l intervalle [0 ; 1] par h(x) = 2 x 1. (On rappelle que, pour tout x réel, 2 x = e x ln 2 ). (a) Montrer que la fonction h vérifie les conditions (P 1 ) et (P 2 ). (b) Soit ϕ la fonction définie sur l intervalle [0 ; 1] par ϕ(x) = 2 x x 1. Montrer que, pour tout x de [0 ; 1], ϕ(x) 0. (On pourra étudier le sens de variation de la fonction ϕ sur [0 ; 1]). En déduire que la fonction h appartient à l ensemble (E). (c) Montrer que le réel I h associé à la fonction h est égal à ln Soit P une fonction définie sur l intervalle [0 ; 1] par P (x) = ax 2 + bx + c où a, b et c sont trois nombres réels tels que 0 < a < 1. On se propose de déterminer les valeurs des réels a, b et c pour que la fonction P appartienne à l ensemble (E) et que I p = I h. (a) Montrer que la fonction P vérifie la propriété (P 2 ) si et seulement si, pour tout réel x de l intervalle [0 ; 1], P (x) = ax 2 + (1 a)x. Montrer que toute fonction P définie sur [0 ; 1] par P (x) = ax 2 +(1 a)x avec 0 < a < 1 appartient à(e). (b) Exprimer en fonction de a le réel I P associé à la fonction P. (c) Montrer qu il existe une valeur du réel a pour laquelle I P = I h. Quelle est cette valeur? 117

118 Fragments du Bac Thème: Probabilités [Thème) Probabilités 1. Applications directes Exercice n o 1 [Etude de fabrication] Une entreprise d électronique fabriquant des multimètres constate lors d un test de qualité que 8% des appareils fabriqués présentent au moins un défaut D 1, 15% présentent au moins un défaut D 2 et 5% présentent les deux défauts. On choisit au hasard un appareil dans la production. Tous les tirages sont équiprobables. 1. (a) Recopier et compléter le tableau ci-dessous par les pourcentages correspondants : Défaut D 2 Pas de défaut D 2 Total Défaut D 1 8% Pas de défaut D 1 Total 100% (b) Quelle est la probabilité P 1 que le multimètre présente un et un seul défaut? (c) Quelle est la probabilité P 2 qu il ne présente aucun défaut? 2. Les appareils présentant deux défauts sont mis au rebut. Les appareils présentant un seul défaut sont réparés. Un appareil sera commercialisé s il ne présente aucun défaut ou s il est réparé. Le bénéfice réalisé par l entreprise sur un multimètre commercialisé est de 75 euros s il ne nécessite pas de réparation, de 45 euros s il nécessite une réparation. La perte engendrée par un appareil mis au rebut est de 45 euros soit un bénéfice de 45 euros. (a) Déterminer la loi de probabilité de la variable X qui associe le bénéfice, positif ou négatif, à tout appareil pris au hasard dans la production. (b) Calculer l espérance mathématique E(X) de la variable X. (c) Tracer dans un repère orthogonal la courbe de la fonction de répartition de X. On prendra comme unités graphiques 1 cm pour 15 euros en abscisse et 5 cm sur l axe des ordonnées. Exercice n o 2 [Formules probabilistes] 1. Soient des événements A et B tels que : P (A) = 1/5, P (B) = 3/7 et P (A B) = 5/21. Calculer P (A B), P (A B), P (A B) et P (A B). 2. Même question avec P (A) = 1/3, P (B) = 1/2 et P (A B) = 2/9. 118

119 Fragments du Bac Thème: Probabilités Exercice n o 3 [Montage électrique] Un moteur électrique possédant trois bornes B 1, B 2 et B 3 doit être alimenté en électricité par trois fils F 1, F 2 et F 3, chaque fil étant relié à une seule borne identifiée. Lorsque les trois fils sont convenablement branchés (F 1 avec B 1, F 2 avec B 2, F 3 avec B 3 ), le moteur tourne à 1000 tours par minute. Lorsqu un seul des trois fils est branché à la bonne borne (les deux autres fils étant inversés), le moteur tourne à 500 tours par minute. Lorsqu aucun fil n est branché à la bonne borne, le moteur ne tourne pas. On a perdu le schéma de montage et les fils sont indiscernables. 1. Déterminer la liste des montages différents possibles et en déduire leur nombre total (exemple : F 1 avec B 2, F 3 avec B 1, F 3 avec B 3 est l un des montages possibles). 2. Calculer la probabilité que les trois fils soient convenablement branchés. 3. Calculer la probabilité qu un seul des trois fils soit branché à la bonne borne (les deux autres fils étant inversés). 4. On considère la variable aléatoire X qui, à chaque montage, associe la vitesse de rotation du moteur. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X. Calculer son espérance mathématique. Exercice n o 4 [Dénombrement] 1. (a) Combien y a t il de façons de tirer 3 cartes rouges d un jeu de 32 cartes, puis 3 cartes rouges sur 5 cartes? (b) Combien y a t il de façons de ranger 5 billes de 5 couleurs? 2. On doit ranger sur une étagère 4 ouvrages de maths différents, 6 de physique différents, 2 de chimie différents. Combien y a t il de rangements distincts si : (a) Les ouvrages doivent être rangés par spécialités. (b) Seuls les ouvrages de maths doivent être rangés ensembles. 3. Cinq billes rouges, deux billes blanches, trois billes bleues sont rangées en ligne. Les billes de même couleur sont indiscernables. Combien y a t il de rangements possibles? 4. Combien y a t il de façon d asseoir 7 personnes autour d une table ronde : (a) Si elles s assoient de façon quelconque. (b) Si deux personnes données ne peuvent être côte à côte. 5. Combien de nombres de 5 chiffres différents peut-on former à partir des chiffres 1,2,...,9 si : (a) les nombres formés doivent être impairs. (b) les deux premiers chiffres de chaque nombre doivent être pairs. 6. Combien peut-on former de mots de 7 lettres, (4 consonnes différentes et 3 voyelles différentes), à partir d un ensemble de 7 consonnes et 5 voyelles? On négligera la nécessité que les mots aient un sens. 7. Combien y a t il de façons d avoir : 119

120 Fragments du Bac Thème: Probabilités (a) Au moins 2 cartes rouges sur 5 cartes d un jeu de 32 cartes. (b) Moins de 3 cartes noires sur 4 cartes. (c) Plus de 2 rois sur 5 cartes. (d) Au plus 2 cartes noires sur 5 cartes. 120

121 Fragments du Bac Thème: Probabilités 2. Approfondissement (sujets) Exercice n o 5. On considère plusieurs sacs de billes S 1, S 2,..., S n,... tels que : le premier, S 1, contient 3 billes jaunes et 2 vertes ; chacun des suivants, S 2, S 3,..., S n,... contient 2 billes jaunes et 2 vertes. Le but de cet exercice est d étudier l évolution des tirages successifs d une bille de ces sacs, effectués de la manière suivante : on tire au hasard une bille dans S 1 on place la bille tirée de S 1 dans S 2, puis on tire au hasard une bille dans S 2 on place la bille tirée de S 2 dans S 3, puis on tire au hasard une bille dans S 3 ; etc... Pour tout entier n 1, on note E n l évènement : «la bille tirée dans S n est verte». 1. Mise en évidence d une relation de récurrence (a) D après l énoncé, donner les valeurs de p (E 1 ), p E1 (E 2 ), p E1 (E 2 ). En déduire la valeur de p (E 2 ). (b) À l aide d un arbre pondéré, exprimer p (E n+1) en fonction de p (E n ). u 1 = 2 2. On considère la suite (u n ) définie par : 5 u n+1 = 1 5 u n + 2 pour tout n 1. 5 (a) Démontrer que la suite (u n ) est majorée par 1 puis montrer que (u n ) est croissante. (b) Justifier que la suite (u n ) est convergente et préciser sa limite. 3. Évolution des probabilités p (E n ) (a) À l aide des résultats précédents, déterminer l évolution des probabilités p (E n). (b) Pour quelles valeurs de l entier n a-t-on : 0, p (E n ) 0, 5? Exercice n o 6 [Variable gain à la roulette] Une roulette est dotée de 11 numéros de 0 à 10 coloriés ainsi : seul le 0 est vert, les autres sont rouge, rouge, puis noir, noir, en alternance jusqu au 10 qui est donc rouge. On lance la bille. Les gains ou les pertes du joueur dépendent de la parité et de la couleur du numéro atteint : le joueur gagne 10 euros sur un noir pair et 20 euros sur un noir impair ; par contre il perd 20 euros sur un rouge impair et 40 euros sur un rouge pair ; le 0 fait gagner 100 euros. 1. Dresser le tableau de la loi de probabilités de la variable aléatoire X qui associe à chaque lancer de bille la perte (X < 0) ou le gain (X > 0) du joueur. 2. En utilisant celle-ci, préciser la probabilité qu un joueur a de perdre de l argent. 3. Afin de savoir si le jeu est intéressant, calculer l espérance et l écart-type de X. 121

122 Fragments du Bac Thème: Probabilités Exercice n o 7 [QCM sur une étude statistique (d après Antilles-Guyane 2007] Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. On s intéresse à deux types de pièces électroniques, P1 et P2, qui entrent dans la fabrication d une boïte de vitesses automatique. Une seule pièce de type P1 et une seule pièce de type P2 sont nécessaires par boîte. L usine se fournit auprès de deux sous-traitants et deux seulement S1 et S2. Le sous-traitant S1 produit 80 % des pièces de type P1 et 40 % de pièces de type P2. Le sous-traitant S2 produit 20 % des pièces de type P1 et 60 % de pièces de type P2. 1. Un employé de l usine réunit toutes les pièces P1 et P2 destinées à être incorporées dans un certain nombre de boîtes de vitesses. Il y a donc autant de pièces de chaque type. Il tire une pièce au hasard. (a) La probabilité que ce soit une pièce P1 est 0,8 0,5 0,2 0,4 0,6 (b) La probabilité que ce soit une pièce P1 et qu elle vienne de S1 est 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 (c) La probabilité qu elle vienne de S1 est 0,2 0,4 0,5 0,6 0,8 2. Il y a 200 pièces au total. Cette fois l employé tire deux pièces simultanément. On suppose tous les tirages équiprobables. (a) Une valeur approchée à 10 4 près de la probabilité que ce soit deux pièces P1 est : 0,1588 0,2487 0,1683 0,0095 (b) Une valeur approchée à 10 4 près de la probabilité que ce soit deux pièces P1 et P2 est : 0,5000 0,2513 0,5025 (c) La probabilité que ce soient deux pièces fabriquées par le même fournisseur est : La durée de vie exprimée en années des pièces P1 et P2 suit une loi exponentielle dont le paramètre λ est donné dans le tableau suivant : λ P1 P2 S1 0,2 0,25 S2 0,1 0,125 On rappelle que si X, durée de vie d une pièce exprimée en années, suit une loi exponentielle de paramètre λ, alors p(x t) = t 0 λe λx dx. Une valeur approchée à 10 4 près de la probabilité qu une pièce P1 fabriquée par S1 dure moins de 5 ans est : 0,3679 0,

123 Fragments du Bac Thème: Probabilités Exercice n o 8 [D après Antilles-Guyane septembre 2007] Une urne contient 15 boules indiscernables au toucher de couleur noire, blanche, ou rouge. On sait de plus qu il y a au moins deux boules de chaque couleur dans l urne. On tire au hasard simultanément 2 boules dans l urne et on note leur couleur. Soit l évènement G : «obtenir deux boules de même couleur». Partie A On suppose que l urne contient 3 boules noires et 7 boules banches. Calculer la probabilité de l évènement G. Partie B On note n, b et r le nombre de boules respectivement noires, blanches et rouges dans l urne. 1. On note g(n, b, r) la probabilité en fonction de n, b et r de l évènement G. Démontrer que g(n, b, r) = 1 [n(n 1) + b(b 1) + r(r 1)] Le but de cette question est de déterminer n, b et r afin que g(n, b, r) soit minimale. L espace est muni d un repère (O ; ı, j, k ) orthonormal. Soient les points N, B et R de coordonnées respectives (15 ; 0 ; 0), (0 ; 15 ; 0) et (0 ; 0 ; 15) et soit M le point de coordonnées (n, b, r). On pourra se rapporter à la figure ci-dessous. (a) Justifier qu une équation cartésienne du plan (NBR) est x + y + z 15 = 0. (b) En déduire que le point M est un point du plan (NBR). (c) Démontrer que g(n, b, r) = (OM 2 15). (d) Soit H le projeté orthogonal du point O sur le plan (NBR). Déterminer les coordonnées du point H. (e) En déduire tes valeurs de n, b et r afin que la probabilité g(n, b, r) soit minimale. Justifier que cette probabilité minimale est égale à 2 7. Partie C On suppose que les nombres de boules de chaque couleur ont été choisis par l organisateur d un jeu, de telle sorte que la probabilité de l évènement G soit 2 7. Un joueur mise x euros, avec x entier naturel non nul, puis tire simultanément au hasard deux boules de l urne. Dans tous les cas, il perd sa mise de départ. S il obtient deux boules de la même couleur, il reçoit k fois le montant de sa mise, avec k nombre décimal strictement supérieur à 1. Sinon, il ne reçoit rien. On note X la variable aléatoire égale au gain algébrique du joueur. 1. Calculer l espérance E(X) de la variable X en fonction de x et de k. 2. Déterminer la valeur de k pour laquelle le jeu est équitable. 123

124 Fragments du Bac Thème: Probabilités Exercice n o 9 [D après Polynésie septembre 2007] La végétation d un pays imaginaire est composée initialement de trois types de plantes : 40 % sont de type A, 41 % de type B et 19 % de type C. On admet qu au début de chaque année : chaque plante de type A disparaît et elle est remplacée par une et une seule nouvelle plante de type A, B ou C. chaque plante de type B disparaît et elle est remplacée par une et une seule nouvelle plante de type A, B ou C. chaque plante de type C disparaît et elle est remplacée par une et une seule nouvelle plante de type C. La probabilité qu une plante de type A soit remplacée par une plante de même type est 0, 6 et celle qu elle le soit par une plante de type B est 0, 3. La probabilité qu une plante de type B soit remplacée par une plante de même type est 0, 6 et celle qu elle le soit par une plante de type A est 0, 3. Au début de chaque année, on choisit au hasard une plante dans la végétation et on relève son type. Pour tout entier naturel n non nul, on note : A n l événement «la plante choisie la n-ième année est de type A», B n l événement «la plante choisie la n-ième année est de type B», C n l événement «la plante choisie la n-ième année est de type C». On désigne par p n, q n et r n les probabilités respectives des événements A n, B n et C n. Compte tenu de la composition initiale de la végétation (début de l année n 0) on pose : p 0 = 0, 40, q 0 = 0, 41 et r 0 = 0, Recopier sur la copie et compléter l arbre pondéré ci-contre, en remplaçant chaque point d interrogation par la probabilité correspondante. Aucune justification n est demandée pour cette question. 2. (a) Montrer que p 1 = 0, 363 puis calculer q 1 et r 1. (b) Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, { pn+1 = 0, 6p n + 0, 3q n q n+1 = 0, 3p n + 0, 6q n 3. On définit les suites (S n ) et (D n ) sur N par S n = q n + p n et D n = q n p n. (a) Montrer que (S n ) est une suite géométrique dont on précisera la raison. Pour la suite, on admet que (D n ) est une suite géométrique de raison 0, 3. (b) Déterminer les limites des suites (S n ) et (D n ). (c) En déduire les limites des suites (p n ), (q n ) et (r n ). Interpréter le résultat. 124

125 Fragments du Bac Thème: Probabilités Exercice n o 10 [Test d aptitude] Un test d aptitude consiste à poser à chaque candidat une série de quatre questions indépendantes. Pour chacune d elles, deux réponses sont proposées dont une et une seule est correcte. Un candidat répond chaque fois au hasard (on suppose donc l équiprobabilité des réponses). 1. On note V une réponse correcte et F une réponse incorrecte, exemple : V F F V signifie que la première et la quatrième réponses sont correctes et la deuxième et la troisième sont incorrectes. Etablir la liste des seize résultats possibles (que l on pourra présenter à l aide d un arbre). 2. Quelle est la probabilité pour que le candidat donne la bonne réponse : (a) à la première question posée? (b) à une seule des quatre questions posées? (c) aux quatre questions posées? 3. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de réponses correctes données par le candidat. (a) Donner les différentes valeurs prises par X. (b) Donner la loi de probabilité de X. (c) Calculer l espérance mathématique de X. 4. Un candidat sera reconnu apte s il donne au moins trois réponses correctes. Quelle est la probabilité qu un candidat répondant au hasard soit reconnu apte? Exercice n o 11 [Double tirage] Une première urne contient cinq boules numérotées 0, 2, 4, 6 et 8. Une deuxième urne contient cinq boules numérotés 1, 2, 3, 4 et 5. On appelle partie le fait de tirer au hasard une boule de la première urne, puis une boule de la deuxième. Tous les résultats possibles sont supposés équiprobables. 1. (a) A l aide d un tableau, dresser la liste des sommes des deux nombres obtenus pour chacun des résultats possibles. (b) Quelle est la probabilité d obtenir pour une partie une somme égale à 7? (c) Quelle est la probabilité d obtenir pour une partie une somme paire? (d) Quelle est la probabilité d obtenir pour une partie une somme au plus égale à 6? 2. On considère le jeu suivant associé à chaque partie. Un joueur gagne : 30 euros si la somme est paire ; 100 euros si la somme est treize ; 10 euros si la somme est 1, 3 ou 5 ; et ne gagne rien dans les autres cas. On appelle X la variable aléatoire qui, à chaque partie, associe son gain en euros. (a) Calculer la probabilité de gagner 100 euros. (b) Donner sous forme d un tableau la loi de probabilité de X. (c) L organisateur demande 20 euros pour obtenir le droit de jouer. Ce jeu est-il équitable? 125

126 Fragments du Bac Thème: Probabilités Exercice n o 12 [Roue de loterie] Soit n un entier naturel non nul. Une roue de loterie se compose de secteurs identiques : trois de ces secteurs sont rouges, quatre sont blancs et n sont verts. Un joueur fait tourner la roue devant un repère fixe ; chaque secteur a la même probabilité de s arrêter devant ce repère. Si le secteur repéré est rouge, le joueur gagne 16 kopecs ; s il est blanc, il perd 12 kopecs ; s il est vert, il lance une deuxième fois la roue : dans ce cas, si le secteur repéré est rouge, il gagne 8 kopecs ; s il est blanc, il perd 2 kopecs ; s il est vert, il ne gagne ni ne perd rien. On note X n le gain algébrique à l issue d une partie. 1. Déterminer la loi de probabilité de X n. Montrer que son espérance est égale à E(X n ) = 16n (n + 7) Soit f la fonction définie sur ]0; + [ par : f(x) = x (x+7) 2. (a) Etudier les variations de f. (b) En déduire la valeur de n pour laquelle E(X n ) est maximale. Quelle est la valeur correspondante de E(X n ). 126

127 Fragments du Bac Thème: Arithmétique (spécialité) [Thème) Arithmétique (spécialité) Exercice n o 1 [Equation arithmétique affine] 1. on considère deux entiers naturels a et b tels que ab 0 et on cherche les entiers relatifs x et y solutions de l équation : ( ) a x + b y = 60. On notera d le plus grand commun diviseur de a et b. (a) On suppose que l équation ( ) a au moins une solution (x 0 ; y 0 ). Montrer que d divise 60. (b) On suppose que d divise 60. Prouver qu il existe alors au mois une solution (x 0 ; y 0 ) à l équation ( ). 2. On considère l équation ( ) 24 x + 36, y = 60 (x et y entiers relatifs). (a) Donner le PGCD de 24 et 36 en justifiant brièvement. Simplifier l équation ( ). (b) Trouver une solution évidente pour l équation ( ) et résoudre cette équation. On appelle S l ensemble des couples (x; y) solutions. (c) Enumérer tous les couples (x; y) solutions de ( ) tels que : 10 x 10. Donner, parmi eux, ceux pour lesquels x et y sont multiples de 5. Exercice n o 2 [Diviseurs de 30] 1. Déterminer dans N, l ensemble des diviseurs de Trouver les couples (x; y) d entiers naturels non nuls dont le plus grand commun diviseur et le plus grand commun multiple M vérifient 3 M 2 =

128 Fragments du Bac Thème: Bacs blancs et devoirs communs [Thème) Bacs blancs et devoirs communs 128

129 Fragments du Bac Thème: Bacs blancs et devoirs communs BACCALAUREAT BLANC Session 2005 MATHEMATIQUES Série S Enseignements obligatoire et de spécialité Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées conformément à la loi en vigueur. Les candidats présentant l option de spécialité, et seulement ceux-là, traiteront les exercices 5 et 6 à la place de l exercice 1. Les autres candidats traiteront les exercices 1 à

130 Fragments du Bac Thème: Bacs blancs et devoirs communs Soit la fonction f définie sur ]0; + [ par Exercice N o 1 f(x) = x 2 + x 1 + ln x. x On désigne par C la courbe représentative de f dans un repère orthogonal (O; i; j) ; (unités graphiques : 4 cm sur l axe des abscisses et 2 cm sur l axe des ordonnées). 1. On considère la fonction ϕ définie sur ]0; + [ par (a) Etudier le sens de variation de ϕ. ϕ(x) = 2x 3 + x 2 + ln x. (b) Démontrer que l équation ϕ(x) = 0 admet une unique solution α. (c) Montrer que α appartient à l intervalle [0, 54; 0, 55]. (d) En déduire le signe de ϕ(x) suivant les valeurs de x. 2. (a) Déterminer lim f(x). x + (b) Montrer que l axe des ordonnées est asymptote à C. (c) Etudier le sens de variation de f et dresser son tableau de variation. On donnera une valeur approchée de chaque extremum. (d) Tracer C. Exercice N o 2 Partie I. A chaque question est affecté un certain nombre de points. Pour chaque question, une réponse exacte rapporte le nombre de points affectés ; une réponse inexacte enlève la moitié des points affectés. Le candidat peut décider de ne pas répondre à certaines de ces questions. Ces questions ne rapportent aucun point et n en enlèvent aucun. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0. Pour chacune des affirmations suivantes, répondre par Vrai ou Faux : (A) Toute suite bornée est convergente. (B) Pour toutes suites (u n ) et (v n ) à valeurs strictement positives qui tendent vers +, la suite de terme général un v n converge vers 1. (C) Toute suite croissante non majorée diverge vers +. Partie II. Pour chacune des propositions de la première partie, justifier la réponse donnée : dans le cas où la propsition vous paraît fausse : en donnant un contre-exemple. dans le cas où la propsition vous paraît exacte : en donnant une démonstration. 130

131 Fragments du Bac Thème: Bacs blancs et devoirs communs Exercice N o 3 On repique des plants de 10 cm de haut sous une serre. On sait que la taille maximale de ces plants est de 1 m. On note f(t) la taille, en mètre, d un plant après t jours ; en particulier : f(0) = 0, 1. Le modèle de Verhulst consiste à considérer que la vitesse de croissance de la plante évolue suivant la relation : f (t) = af(t)(1 f(t)) où a est une constante dépendant des conditions expérimentales. Autrement dit, f est solution sur [0; + [ de l équation différentielle : 1. On pose, pour tout t [0; + [ : y = ay(1 y). z(t) = 1 f(t). Montrer que z est solution sur [0; + [ de l équation différentielle 2. Question de cours. (L) z + az = a. Prérequis : vérifie La fonction exponentielle exp est dérivable sur R, strictement positive et exp = exp et exp(0) = 1. Question : En n utilisant que ces propriétés, résoudre l équation différentielle (L) sur R. 3. En déduire que pour tout réel t [0; + [, on a : f(t) = 1 9e at On observe qu au bout de 15 jours, la plante mesure 19 cm. (a) Montrer que a = 1 15 ln ( 9 19 En donner une valeur approchée à 10 2 près. (b) Etudier la limite de f en + et préciser son sens de variation. (c) Représenter graphiquement la fonction f ; (unités graphiques : 1 cm en abscisse et 10 cm en ordonnée.) (d) Au bout de combien de jours la plante dépassera-t-elle 90 cm de haut? ). 131

132 Fragments du Bac Thème: Bacs blancs et devoirs communs Feuille à rendre avec la copie. - NOM et CLASSE : Exercice N o 4 A chaque question est affecté un certain nombre de points. Pour chaque question, une réponse exacte rapporte le nombre de points affectés ; une réponse inexacte enlève la moitié des points affectés. Le candidat peut décider de ne pas répondre à certaines de ces questions. Ces questions ne rapportent aucun point et n en enlèvent aucun. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0. Pour chaque question, une seule des 4 propositions est exacte. Le candidat doit cocher la case correspondante. Aucune justification n est demandée. 1. Soit z C vérifiant z + z = 6 + 2i. L écriture algébrique de z est : 8 3 2i 8 3 2i i i 2. Dans le plan complexe, l ensemble des points M d affixe z = x+iy vérifiant z 1 = z + i est la droite d équation : y = x 1 y = x y = x + 1 y = x 3. Soit n un entier naturel. Le nombre (1 + 3) n est réel si, et seulement si, n s écrit sous la forme : 3k + 1 3k + 2 3k 6k (avec k entier naturel). 4. Soit l équation (E) : Une solution de (E) est : z = 6 z 3 z, (z C). 2 2i 2 + 2i 1 i 1 i 5. Soit deux points A et B d affixes respectives z A = i et z B = 3 dans un repère orthonormal (O; u; v). L affixe z C du point C tel que ABC soit un triangle équilatéral avec ( ) AB; AC = π 3 est : i 2i 3 + i 3 + 2i 6. Dans le plan complexe, l ensemble des points M d affixe z = x + iy vérifiant la relation ( ) z + 2 arg = π z 2i 2 est inclus dans : La droite d équation y = x 1. Le cercle de centre I(1 + i) et de rayon R = 2. La droite d équation y = x. Le cercle de diamètre [AB], A et B étant les points d affixes respectives z A = 2 et z B = 2i. 132

133 Fragments du Bac Thème: Bacs blancs et devoirs communs - SPECIALITE - Exercice N o 5 1. On cherche deux entiers relatifs x et y solutions de l équation : (a et b deux entiers naturels donnés tels que ab 0). On notera d le plus grand commun diviseur de a et b. ax + by = 60 (5.2) (a) On suppose que l équation (1) a au moins une solution (x 0 ; y 0 ). Montrer que d divise 60. (b) On suppose que d divise 60. Prouver qu il existe alors au moins une solution (x 0 ; y 0 ) à l équation (1). 2. On considère l équation (x et y entiers relatifs). 24x + 36y = 60 (5.3) (a) Donner le PGCD de 24 et 36 en justifiant brièvement. Simplifier l équation (2). (b) Trouver une solution évidente pour l équation (2) et résoudre cette équation. On appelle S l ensemble des couples (x; y) solutions. (c) Enumérer tous les couples (x; y) solutions de (2) tels que 10 x 10. Donner, parmi eux, ceux pour lesquels x et y sont multiples de 5. Exercice N o 6 1. Déterminer dans N, l ensemble des diviseurs de Trouver les couples (x; y) d entiers naturels non nuls dont le plus grand commun diviseur et le plus grand commun multiple M vérifient 3M 2 =

134 Fragments du Bac Thème: Bacs blancs et devoirs communs DEUXIEME BACCALAUREAT BLANC 21 avril 2005 MATHEMATIQUES Série S Enseignements obligatoire et de spécialité Durée : 4 heures Coefficient : 7 Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées conformément à la loi en vigueur. Les candidats présentant l option de spécialité, et seulement ceux-là, traiteront l exercice 5 à la place de l exercice 2. Les autres candidats traiteront les exercices 1 à 4. Le sujet comporte 8 pages, dont la feuille annexe (pages 7 et 8) qui est à rendre avec la copie. 134

135 Fragments du Bac Thème: Bacs blancs et devoirs communs Exercice n o 1 [Aires sous une courbe] Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O, i, j). On note I le point de coordonnées (1, 0). Soient f une fonction positive, strictement croissante et dérivable sur [0; 1], C sa courbe représentative dans le repère (O, i, j) et la portion de plan comprise entre C,l axe des abscisses et les droites d équations x = 0 et x = 1. Le but du problème est de prouver l existence d un unique réel α appartenant à l intervalle [0; 1] tel que, si A est le point de C d abscisse α, le segment [IA] partage en deux régions de même aire. Pour tout x appartenant à l intervalle [0; 1], on note M x le point de coordonnées (x, f(x)) et T x le domaine délimité par la droite (IM x ), l axe des abscisses, l axe des ordonnées et la courbe C. On désigne par F la fonction définie sur [0; 1] par et par g(x) l aire de T x. F (x) = x 0 f(t)dt 1. Exprimer, pour tout x apprtenant à l intervalle [0; 1], g(x) en fonction de x, f(x) et F (x). 2. Démonstration de cours. Démontrer que F est dérivable et a pour dérivée f. 3. Etudier les variations de la fonction g : x g(x) sur [0; 1]. 135

136 Fragments du Bac Thème: Bacs blancs et devoirs communs (a) Par des considérations d aires, montrer que g(0) f(t)dt. (b) Montrer qu il existe un unique réel α appartenant à [0; 1] tel que g(α) soit égal à la moitié de l aire. 136

137 Fragments du Bac Thème: Bacs blancs et devoirs communs Exercice n o 2 [Etude d une configuraion] On se place dans le plan complexe muni d un repère orthonormé direct d origine O. Soient A, B, C, D E, cinq points tels que les triangles ABC et ADE soient équilatéraux directs. Soit d autre part le point F tel que le quadrilatère ACF D soit un parallélogramme. On note enfin a, b et d les affixes respectives des points A, B et D. On se propose de démontrer que le triangle BF E est un triangle équilatéral direct par deux méthodes différentes. Première méthode 1. Déterminer les affixes des points C et E, notés respectivement c et e, en fonction de a, b et d. Indication. Pour le calcul de l affixe de C, on pourra remarquer que ce dernier est l image du point B par la rotation de centre A et d angle π En déduire l affixe f de F en fonction de a, b et d. 3. Conclure. Deuxième méthode Soient r la rotation de centre A et d angle π et t la translation de vecteur 3 AD. 1. Déterminer l écriture complexe de r puis de t. 2. Soit k = t r. Déterminer l écriture complexe de k. 3. Montrer que k admet un point fixe Ω dont on déterminera l affixe w. 4. Soit M un point d affixe z. On note z l affixe du point M, image de M par k. Calculer z w en fonction de z w. En déduire la nature de la transformation k. 5. Quelle est l image de B par k? 6. Conclure. 137

138 Fragments du Bac Thème: Bacs blancs et devoirs communs Exercice n o 3 [Tirages de jetons] Un urne U contient deux jetons numérotés 1 et 2 ; une autre urne U contient quatre jetons numérotés 1, 2, 3, 4. Les jetons sont indiscernables au toucher. 1. On choisit au hasard une urne, puis au hasard un jeton dans cette urne. (a) Quelle est la probabilité que le jeton tiré porte le numéro 1? (b) Quelle est la probabilité que le jeton tiré provienne de l urne U, sachant qu il porte le numéro 1? 2. On rassemble les jetons dans une même urne et on tire simultanément au hasard deux jetons dans cette urne. (a) Quelle est la probabilité que les deux jetons portent le même numéro? (b) On appelle S la somme des numéros des deux jetons tirés. Déterminer la loi de probabilité de S. Calculer l espérance et l écart type de S. (c) Soit x un réel positif. Un joueur donne 10 euros si S est impair et reçoit x euros si S est pair. On appelle G son gain algébrique. Déterminer x pour que le jeu soit équitable, c est-à-dire pour que l espérance de G soit nulle. 138

139 Fragments du Bac Thème: Bacs blancs et devoirs communs Exercice n o 4 [Coccinelles] On sait tous qu il y a des années à coccinelles et d autres sans! On se propose d étudier l évolution d une population de coccinelles à l aide d un modèle utilisant la fonction numérique f définie par f(x) = kx(1 x), k étant un paramètre qui dépend de l environnement (k R). Dans le modèle choisit, on admet que le nombre de coccinelles reste inférieur à un million. L effectif des coccinelees, exprimé en millions d individus, est approché pour l année n par un nombre réel u n, avec u n compris entre 0 et 1. Par exemple, si pour l année zéro il y a coccinelles, on prendra u 0 = 0, 3. On admet que l évolution d une année sur l autre obéit à la relation u n+1 = f(u n ), f étant la fonction définie ci-dessus. Le but de l exercice est d étudier le comportement de la suite (u n ) pour différentes valeurs de la population initiale u 0 et du paramètre k. 1. Démontrer que si la suite (u n ) converge, alors sa limite vérifie la relation f(l) = l. 2. Supposons u 0 = 0, 4 et k = 1. (a) Etudier le sens de variation de la suite (u n ). (b) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 0 u n 1. (c) La suite (u n ) est-elle convergente? Si oui, quelle est sa limite? (d) Que peut-on dire de l évolution à long terme de la population de coccinelles avec ces hypothèses? 3. Supposons maintenant que u 0 = 0, 3 et k = 1, 8. (a) Etudier les variations de la fonction f sur [0; 1] et montrer que f( 1 2 ) [0, 1 2 ]. (b) En utilisant éventuellement un raisonnement par récurrence, montrer que, pour tout entier naturel n, 0 u n 1 2 ; établir que, pour tout entier naturel n, u n+1 u n. (c) La suite (u n ) est-elle convergente? Si oui, quelle est sa limite? (d) Que peut-on dire de l évolution à long terme de la population de coccinelles avec ces hypothèses? 4. On a représenté sur la feuille annexe (pages 7 et 8) la fonction f dans les deux cas étudiés ci-dessus ainsi que la droite d équation y = x. Le troisième graphique correspond au cas où u 0 = 0, 8 et k = 3, 2. Illustrer sur les deux premiers graphiques les résultats trouvés en 1, et 2, en laissant les traits de construction et en faisant apparaître en abscisse les valeurs successives u 0, u 1, u 2,... En utilisant la même méthode, formuler une conjecture sur l évolution de la population dans le troisième cas. 139

140 Fragments du Bac Thème: Bacs blancs et devoirs communs Exercice n o 5 [Spécialité] Partie I Soit ABC un triangle rectangle en B, direct : ( BC, BA) π = 2. Soit E un point du segment [AB]. Par le point E on mène une droite d qui coupe le segment [AC] en un point F et la droite (BC) en un point G (voir figure ci-dessous). On suppose que les points E, F, G sont distincts des points A, B, C. Le cercle Γ circonscrit au triangle ABC et le cercle Γ circonscrit au triangle BEG se coupent en deux points distincts B et K. 1. Justifier l existence d une similitude plane directe S telle que S(A) = C et S(E) = G. Déterminer l angle de S. 2. Soit Ω le centre de S. (a) Montrer que Ω appartient aux cercles Γ et Γ. (b) Prouver que Ω est différent de B. (c) Que peut-on en déduire pour Ω? Partie II Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O, u, v) d unité graphique 2 cm. Les affixes des points A, B, C, E, F et G sont données par : z A = 2 + 4i, z B = 1 2i, z C = 3 4i, z E = 0, z F = 5 2, z G = 5. On admettra que le point F est le point d intersection du segment [AC] et de la droite (GE) et que les conditions de la partie I sont vérifiées. 140

141 Fragments du Bac Thème: Bacs blancs et devoirs communs 1. Placer ces points sur une figure et, à l aide des résultats de la partie I, construire le point Ω, centre de la similitude S. 2. Soit S la similitude plane directe telle que S (A) = E et S (C) = G. Déterminer l écriture complexe de S et déterminer l affixe du centre Ω de S. 3. Montrer que les points Ω et Ω sont confondus. 141

142 Fragments du Bac Thème: Bacs blancs et devoirs communs Feuille annexe (à rendre avec la copie) ; Nom et classe : Premier cas : u 0 = 0, 4 et k = 1. Deuxième cas : u 0 = 0, 3 et k = 1,

143 Fragments du Bac Thème: Bacs blancs et devoirs communs Troisième cas : u 0 = 0, 8 et k = 3,

144 Fragments du Bac Thème: Bacs blancs et devoirs communs Lycée L.-G. Damas 2009, premier devoir commun Exercice N o 1 (4 points) Commun à tous les candidats Huit affirmations, réparties en deux thèmes et numérotées 1.a) à 2.d) sont proposées ci-dessous. Le candidat portera sur la copie, en regard du numéro de l affirmation, et avec le plus grand soin, la mention vrai ou faux. Chaque réponse correcte rapporte 0, 5 point. Chaque réponse erronée enlève 0, 25 point. Il n est pas tenu compte de l absence de réponse. Un éventuel total négatif est ramené à Affirmation 1.a) Si a est un nombre réel quelconque et f une fonction définie et strictement décroissante sur [a; + [, alors f(x) =. lim x + Affirmation 1.b) Soient f et g deux fonctions définies sur [0; + [, g ne s annullant pas : Si lim f(x) = et si lim g(x) = + alors lim f(x) x + x + x + g(x) = 1. Affirmation 1.c) Si f est une fonction définie sur [0; + [ telle que 0 f(x) x sur f(x) [0; + [ alors lim = 0. x + x Affirmation 1.d) On considère un repère (O ; ı, j ) du plan. Si f est une fonction définie sur R alors la droite d équation x = 0 est asymptote à la courbe représentative de f dans le repère (O ; ı, j ). 2. On considère deux suites (u n ) et (v n ) définies sur N. Affirmation 2.a) Si lim u n = + et n + lim v n = alors n + lim (u n + v n ) = 0. n + Affirmation 2.b) Si (u n ) converge vers un réel non nul et si lim v n = + n + suite (u n v n ) ne converge pas. alors la Affirmation 2.c) Si (u n ) converge( vers) un réel non nul, si (v n ) est positive et si lim v un n = 0, alors la suite ne converge pas. n + Affirmation 2.d) Si (u n ) et (v n ) convergent alors la suite v n ( un v n ) converge. 144

145 Fragments du Bac Thème: Bacs blancs et devoirs communs Exercice N o 2 (6 points) Commun à tous les candidats La courbe C ci-dessous représente dans un repère orthogonal (O ; ı, j ) une fonction f définie sur R. 1. En utilisant le graphique : (a) Dresser le tableau de variations de f. (b) Existe-t-il un axe de symétrie de C? (c) Donner les limites de f en + et en. (d) Existe-t-il des droites asymptotes à C? Si oui, donner leur équation. (e) Donner la position de C par rapport à ses asymptotes éventuelles. 2. En fait, C est la courbe représentative de la fonction f définie sur R par : f(x) = x 2 2x + 2. Sans utiliser les résultats de la question 1, répondre aux questions suivantes : (a) Etudier les variations de f sur R. (b) Déterminer les limites de f en + et en. (c) Démontrer que la droite d équation y = x 1 est asymptote à C en +. Etudier la position relative de C et de. 145

146 Fragments du Bac Thème: Bacs blancs et devoirs communs Exercice N o 3 (5 points) Commun à tous les candidats La suite (u n ) est définie par u 0 = 1 et, pour tout entier naturel n, u n+1 = 1 2 u n + n (a) Démontrer que pour tout n 3, u n 0. (b) En déduire que pour tout n 4, u n n 2. (c) En déduire la limite de la suite (u n ). 2. On définit la suite (v n ) par v n = 4 u n 8 n (a) Démontrer que la suite (v n ) est une suite géométrique décroissante dont on donnera la raison et le premier terme. ( ) n 1 (b) Démontrer que pour tout entier naturel n, u n = n 6. 2 (c) Vérifier que pour tout n, u n = x n + y n où (x n ) est une suite géométrique et (y n ) une suite arithmétique dont on précisera pour chacune le premier terme et la raison. (d) En déduire l expression de S n = n u k en fonction de n. k=0 Exercice N o 4 (5 points) Pour les candidats ne suivant pas l option de spécialité On considère les fonctions numériques d une variable réelle définies par : x f(x) = 1 ( x 2 + x + 1 ) et x g(x) = 2 x 3 + x x 1. Montrer que pour tout x 0, les nombres f (x) et g(x) ont le même signe. 2. (a) Etudier les variations de la fonction g sur R. (b) En déduire que l équation g(x) = 0 admet dans R un solution unique α, avec 0 < α < 1. (On ne cherchera pas à calculer α.) (c) En déduire le signe de g(x) en fontion du réel x. 3. Dresser le tableau des variations de la fonction f. On désigne par (C ) la représentation graphique de la fonction f dans un repère orthonormé (unité 3 cm), par I le point de (C ) d abscisse 1 et par J le point (C ) d abscisse (a) Vérifier que la droite (IJ) est la tangente en J à (C ). (b) Déterminer une équation de la tangente (T ) en I à (C ). 5. Etudier la position de (C ) par rapport à (T ). Rappel : Pour tout réel x, (x + 1) 3 = x x x Utiliser les résultats précédents pour construire la courbe (C ). (On prendra 2 3 approchée de α.) comme valeur 146

147 Fragments du Bac Thème: Bacs blancs et devoirs communs Un corrigé Exercice n o 1 [VRAI/FAUX ROC - 4 points] Remarque : Les justifications données ci-dessous n étaient pas demandées. Affirmation 1.a) Si a est un nombre réel quelconque et f une fonction définie et strictement décroissante sur [a; + [ alors f(x) =. lim x + C est faux en général : En prenant f : x 1/x sur [1; + [, on obtient une fonction strictement décroissante qui tend vers 0 en +. On sait d ailleurs que toute fonction strictement décroissante et minorée sur [1; + [ admet une limite réelle en +. Affirmation 1.b) Soient f et g deux fonctions définies sur [0; + [, g ne s annullant pas. Si lim f(x) = et si lim x + g(x) = + alors lim x + f(x) x + g(x) = 1. C est faux en général : Si f(x) = x et g(x) = x 2 + 1, pour x [0; + [, alors : lim x + g(x) 0 ; lim f(x) = ; lim g(x) = + car x + x + x2 + 1 x 2 ; f(x) et lim x + g(x) = 0, car f(x) g(x) x x x x 1 2 x. Affirmation 1.c) Si f est une fonction définie sur [0; + [ telle que 0 f alors f(x) = 0. x C est faux en général : Il suffit de prendre f = : lim + f = 1. Affirmation 1.d) On considère un repère (O ; ı, j ) du plan. Si f est une fonction définie sur R alors la droite d équation x = 0 est asymptote à la courbe représentative de f dans le repère (O ; ı, j ). C est faux en général : N importe quelle fonction g définie sur R peut se restreindre en une fonction f définie sur R (g(x) = f(x) si x 0 et g(0) n existe pas). Si on choisit g continue en 0 alors sa restriction f n a pas d asymptote en 0. On considère deux suites (u n ) et (v n ) définies sur N. Affirmation 2.a) Si lim u n = + et lim v n = alors n + n + C est faux en général : Avec u n = n et v n = n + 1 on a lim (u n + v n ) = 0. n + lim u n = + ; lim v n = et lim (u n + v n ) = lim 1 = 1. n + n + n + n + 147

148 Fragments du Bac Thème: Bacs blancs et devoirs communs Affirmation 2.b) Si (u n ) converge vers un réel non nul et si lim v n = + n + suite (u n v n ) ne converge pas. C est vrai : C est un résultats du cours. Notons α 0 la limite de (u n ). Alors : lim (u n v n ) = + si α > 0 et lim (u n v n ) = si α < 0. n + n + Dans les 2 cas, le produit ne converge pas. Affirmation 2.c) Si (u n ) converge ( ) vers un réel non nul, si (v n ) est positive et si lim v un n = 0, alors la suite ne converge pas. n + v n alors la C est vrai : Comme lim v n = 0 + 1, alors, par inversion lim = +. On peut alors n + n + v n appliquer l affirmation précédente au produit u n 1 v n qui ne converge donc pas. ( ) un Affirmation 2.d) Si (u n ) et (v n ) convergent alors la suite converge. C est faux en général : On peut choisir, pour n N, u n = 1 et v n = 1 ( 1). Les n suites (u n ) et (v n ) convergent respectivement vers 1 et 0. Pourtant le quotient u n = ( 1) n v n ne converge pas. Exercice n o 2 [Courbe symétrique - 6 points] La courbe C ci-dessous représente dans un repère (O ; ı, j ) une fonction f définie sur R. 1. Observations graphiques 1.a) Tableau de variations de f x f 1 1.b) Axe de symétrie de C La droite D d équation x = 1. 1.c) Limites f tend vers + en + et en. 1.d) Droites asymptotes à C la droite d équation y = x 1 et, par symétrie, la droite d équation y = x e) Positions relatives La courbe C est toujours au dessus de et. 2. La courbe C représente la fonction f définie sur R par : f(x) = x 2 2x a) Variations de f. On pose, pour x R, p(x) = x 2 2x + 2. Comme p(x) = (x 1) 2 + 1, alors p 1 et la fonction f = p est bien définie sur R. De plus, comme la fonction racine carrée est strictement croissante, donc f a le même sens de variation que p. Or p est une fonction trinôme de degré 2 dont le coefficient dominant est strictement positif donc : v n 148

149 Fragments du Bac Thème: Bacs blancs et devoirs communs p admet un minimum en 2 = 1 qui vaut p(1) = p est strictement décroissante sur ], 1] p est strictement croissante sur [1, + [ Par composition avec la fonction, on en déduit le tableau de variation de f : x 1 + f = p 1 = 1 2.b) Limites aux bornes. p(x) = x 2 ( 1 2 x + 2 x 2 ) Si x 0, alors avec 1 lim x + x = lim 1 x + x (limites de référence). Donc, par opérations sur les limites, On montre exactement de la même manière que lim x = 0 et lim x + x2 = + lim f(x) = +. x + f(x) = +. 2.c) Asymptote en +. Montrons que la droite d équation y = x 1 est asymptote à C en + en considérant, pour x > 1, la différence f(x) (x 1) = x 2 2x + 2 (x 1) = ( x 2 2x + 2) 2 (x 1) 2 x2 2x (x 1) = x2 2x + 2 (x 2 2x + 1) x2 2x (x 1) = 1 x2 2x (x 1). Or, si x > 1 alors (x 1) > 0, donc x 2 2x (x 1) > x 2 2x + 2 > 0 et on a montré en 2.b) que x2 2x + 2 = +. Par inversion, on en déduit que lim x + lim [f(x) (x 1)] = lim x + x + 1 x2 2x (x 1) = 0. Ceci prouve que la droite d équation y = x 1 est asymptote à C en +. Position relative de C et de. On étudie cette fois-ci le signe de f(x) (x 1) : Si x 1 alors f(x) > 0 x 1 donc f(x) (x 1) > 0. Si x > 1 alors f(x) (x 1) = 1 x2 2x (x 1) > 0 car { x2 2x + 2 > 0 (x 1) > 0. Finalement, f(x) (x + 1) > 0 pour x R, c est-à-dire : C est toujours au dessus de.. 149

150 Fragments du Bac Thème: Bacs blancs et devoirs communs Exercice n o 3 [Suites récurrentes - 5 points] La suite (u n ) est définie par u 0 = 1 et, pour tout n N, u n+1 = 1 2 u n + n 1. 1.a) Récurrence. Montrons que, pour tout n 3, u n 0. Initialisation. u 0 = 1, donc u 1 = = 1 et donc : 2 2 u 2 = 1 ( 2 1 ) = 14 2 ; u 3 = 12 ( 1 ) = Hérédité. Soit un entier k 3 tel que u k 0 (hypothèse de récurrence). Alors : k 3 k u k + (k 1) 2 car On a ainsi u k (conclusion de récurrence). On peut affirmer finalement que, pour tout entier n 3, u n u k 0. 1.b) Minoration de (u n ). Montrons que si n 4 alors u n n 2. La relation de récurrence écrite au rang n 1 donne u n = 1 2 u n 1 + n 2. Or, d après 1.a), u n 1 0 car n On en déduit que u n n 2, si n 3. 1.c) Divergence de (u n ). D après le théorème du gendarme, les hypothèses (H) u n n 2 si n 3, et (H ) lim (n 2) = +, entrainent que lim u n = +. n + n + 2. Suite auxilliaire. On définit la suite (v n ) par : v n = 4 u n 8 n a) Montrons que la suite (v n ) est une suite géométrique. Pour tout entier n 0, v n+1 = 4 u ( n+1 8 (n + 1) ) + 24 = 4 u n+1 8 (n + 1) = 4 2 u n + n 1 8 (n + 1) + 24 = 2 u n + 4 n 4 8 n = 2 u n 4 n + 12 = 1 (4 u 2 n 8 n + 24) = 1 v 2 n. La suite (v n ) est donc géométrique de raison 1 et de premier terme v 2 0 = = 28. Comme v 0 > 0 et 0 < 1 < 1 alors (v 2 n) est positive et strictement décroissante. ( ) n 1 2.b) Expression de (u n ). Montrons que, pour tout entier naturel n, u n = 7 +2 n 6. 2 On a les équivalences : v n = 4 u n 8 n + 24 v n + 8 n 24 = 4 u n u n = 1 4 (v n + 8 n 24). Or v n = 28 2 = 7 car (v n 2 n 2 n ) est la suite géométrique de premier terme v 0 = 28 et de raison 1 2. Donc : u n = 1 ( ) n 24 = 1 4 2n n 6 = 7 n n 6. n 150

151 Fragments du Bac Thème: Bacs blancs et devoirs communs 2.c) Décomposition de (u n ) On pose, pour tout entier naturel n, x n = 7 et y 2 n n = 2 n 6. La suite (x n ) est géométrique de premier terme 7 et de raison 1. La suite (y 2 n) est arithmétique de premier terme 6 et de raison 2. Et on a bien : u n = x n + y n. n 2.d) Expression de S n = en fonction de n n u k = k=0 n n x k + k=0 k=0 k=0 u k y k = n y ( 0 + y n (n+1) = ) (n 12)(n + 1) n+1 2 Exercice n o 4 [Etude des fonctions - 5 points] On considère les fonctions numériques d une variable réelle définies par : x f(x) = 1 ( x 2 + x + 1 ) et x g(x) = 2 x 3 + x x 1. Signe de f et g. Montrons que pour tout x 0, les nombres f (x) et g(x) ont le même signe. La fonction f est dérivable sur R et, pour tout x 0, f (x) = 1 (2 x + 1 1x ) = x3 + x 2 1 = g(x) x 2 3 x 2 Comme x 2 > 0 si x 0, alors f (x) et g(x) sont de même signe. 2.a) Variations de g. La fonction polynôme g est dérivable sur R et, pour tout réel x, ( g (x) = 6 x x = 6 x x + 1 ). 3 On en déduit que : si x ] ; 1/3[ alors g (x) > 0 ; donc g est strictement croissante sur ] ; 1/3] g( 1/3) = = si x ] 1/3; 0[ alors g (x) < 0 ; donc g est strictement décroissante sur [ 1/3; 0] g(0) = 1 si x ]0; + [ alors g (x) > 0 ; donc g est strictement croissante sur [0; + [ 2.b) Etude de l équation g(x) = 0. Des variations de g on déduit que : Si x < 1/3 alors g(x) < g( 1/3) < 0 ; en particulier : g(x) 0. Si 1/3 < x < 0 alors g(0) < g(x) < g( 1/3) < 0 ; de même : g(x) 0. Sur l intervalle [0; + [, on applique le théorème des valeurs intermédiaires : g est continue sur [0; + [ ; g(0) < 0 et lim g(x) = +, x + Donc l équation g(x) = 0 admet une solution α sur [0; + [. Comme g est strictement croissante sur [0; + [, cette solution est unique. 151

152 Fragments du Bac Thème: Bacs blancs et devoirs communs Finalement, α est la seule solution de l équation sur R car g(x) < 0 si x < 0. Or g(0) = 1 < 0 et g(1) = 2 > 0 donc nécessairement : 0 < α < 1. 2.c) Signe de g(x) en fontion du réel x. D après la question précédente : x α + g(x) Tableau des variations de f. Comme le signe de f est le même que celui de g sur R, on obtient le tableau de variation de f qui suit : x 0 α + f (x) f f(α) Justification des limites. Pour tout réel x 0, on a : (1 + 1x + 1x ) lim 3 f(x) = x2 3 d où l on déduit, par opérations, que : D autre part, lim x 2 = 0 et lim x 0 multiplication par 1, on obtient : lim 3 x 0 1 x 0 et x + x2 = + lim x + 1 = 0 si p > 0, xp lim f(x) = +. De même : lim x + f(x) = +. x + = si p > 0 est impaire. Donc, par addition puis xp f(x) = ; de même : lim f(x) = +. + On désigne par (C ) la représentation graphique de la fonction f dans un repère orthonormé (unité 3 cm), par I le point de (C ) d abscisse 1 et par J le point (C ) d abscisse a) Vérifions que (IJ) est la tangente en J à (C ). D après le cours, une équation de la tangente (T ) à C en J est : y = f (1)(x 1) + f(1). Or : f(1) = 1 ( ) = 1 et f (1) = g(1) = une équation de la tangente (T ) est donc y = 2(x 1) + 1, soit y = 2x + 1. Cette droite possède évidemment le point J. Vérifions qu elle possède aussi I( 1; f( 1)) : 2 3 ( 1) = 1 3 et f( 1) = 1 3 x 0 ( ( 1) 2 + ( 1) ) = 1 3. Les coordonnées ( 1; 1/3) de I vérifient donc l équation de T donc I T. Finalement, comme I T et J T alors T = (IJ). 4.b) Equation de la tangente (T ) en I à (C ) : y = 2 3 (x + 1) 1 3, ou encore : y = 2 3 x 1. y = f ( 1)(x ( 1)) + f( 1), soit 152

153 Fragments du Bac Thème: Bacs blancs et devoirs communs 5. Position de (C ) par rapport à (T ). On étudie, pour x 0, le signe de la différence f(x) ( 2 x 1) ( ) = x 2 + x + 1 x + 2 x + 1 = ( x x x) 1 = 1 3 x (x3 + 3 x x + 1) = (x+1)3 3 x. Or (x + 1) 3 est du même signe que (x + 1) et x + 1 > 0 si, et seulement si x > 1. On obtient ainsi le tableau de signes suivant : Finalement : x f(x) ( 2 3 x 1) sur ] ; 1[, C est au dessus de T ; en I( 1; 1/3) : point de tangence sur ] 1; 0[, C est en dessous de T ; en 0 : discontinuité de C (asymptote verticale) sur ]0; + [, C est au dessus de T. 6. Courbe (C ). 153

154 Fragments du Bac Thème: Bacs blancs et devoirs communs Lycée L.-G. Damas 2009, corrigé du bac blanc Exercice n o 5 [Equations différentielles] 1) Résolution de l équation homogène 2 y + y = 0 (E). Comme (E) est équivalente à y = 1 2 y, ses solutions sont les fonctions définies sur R sous la forme h C : x C e x/2, où C est une constante réelle quelconque. 2) Equation complète (E ) 2 y + y = e x/2 (x + 1). a) Solution particulière de (E ). Soient m et p deux réels. On considère la fonction f définie sur R par f(x) = e x/2 (m x 2 + p x). C est une fonction dérivable telle que, pour tout réel x, f (x) = 1 2 e x/2 (m x 2 + p x) + e x/2 (2 m x + p) = e x/2 Donc : ( m 2 x2 + (2 m p ) 2 ) x + p). 2 f (x)+f(x) = 2 e x/2 ( m 2 x2 + (2 m p 2 ) x + p) )+e x/2 (m x 2 +p x) = e x/2 (4 m x+2 p). Ainsi, f est solution de (E ) si, et seulement si, pour tout réel x, 2 f (x) + f(x) = e x/2 (x + 1) e x/2 (4 m x + 2 p) = e x/2 (x + 1) 4 m x + 2 p = x + 1 (car e x/2 0) Or, les deux fonctions affines (x 4 m x + 2 p) et (x x + 1) sont égales si, et seulement si { 4 m = 1 2 p = 1, soit { m = 1 4 p = 1 2. Conclusion. La fonction f est solution de (E ) si, et seulement si, pour tout réel x, f(x) = e x/2 ( 1 4 x x ) = 1 4 e x/2 ( x x ). b) Résolution de (E ). Soient g une fonction dérivable sur R. C est une solution de (E ) si, et seulement si, x R 2 g (x) + g(x) = e x/2 (x + 1) x R 2 g (x) + g(x) (2 f (x) + f(x)) = e x/2 (x + 1) e x/2 (x + 1) x R 2 (g f) (x) + (g f)(x) = 0, g fsolution de (E). Conclusion : g solution de (E ) (g f) est solution de (E). Or, d après 1), g est solution de (E) si, et seulement s il existe un réel C tel que, pour tout x R, g(x) f(x) = C e x/2, soit : g(x) = C e x/2 + f(x) = C e x/ e x/2 ( x x ) = 1 4 e x/2 ( x x + 4 C ). 154

155 Fragments du Bac Thème: Bacs blancs et devoirs communs Conclusion. Les solutions de (E ) sont les fonctions définies sur R sous la forme g C : x 1 4 e x/2 (x x + C ), où C est une constante réelle quelconque. 3) Etude d une solution. Soit h(x) = 1 4 e x/2 (x x). La solution h est dérivable et h (x) = e x/2 (x x) e x/2 (2 x + 2) = 1 ( ) 1 4 e x/2 2 x2 + x + 2. La dérivée h est du signe de 1 2 x2 + x + 2. Son discriminant est = = 5 2 ( 4) Limites aux infinis. Si x 0 alors h(x) = x2 4 e x/ ). Or : x ( lim ) 1 = 1 car lim = 0 (limite de référence) x + x x + x x 2 lim x + 4 e x/2 = lim X X2 e X = 0 par croissances comparées (en posant X = x/2. Donc, par produit, De même : ( lim x x Donc, par produit encore, lim h(x) = 0. x + ) x 2 = 1 et lim x 4 e x/2 = lim X + X2 e X = + par produit. lim h(x) = +. x 5) Courbes. Dans un repère orthonormé (O ; ı, j ), on note : C la courbe de h Γ la courbe de la fonction k : x e x/2. a) Positions relatives de C et de Γ. On étudie le signe de h(x) k(x) = 1 4 e x/2 ( x x ) e x/2 = 1 4 e x/2 ( x x 4 ) qui est du même signe que x x 4 puisque e x/2 > 0. On calcule donc = ( 4) = 20 ; x 1 = = 1 5 et x 2 = Comme le coefficient de plus haut degré du polynôme est 1 > 0, on en déduit que : Si x < 1 5 alors x x 4 > 0. Donc C est au dessus de Γ sur ] ; 1 5[. Si 1 5 < x < alors x x 4 < 0. Donc C est en dessous de Γ sur ] 1 5; 1 + 5[. Si x > alors x x 4 > 0. Donc C est au dessus de Γ sur ] 1 + 5; + [. C et Γ se rencontrent pour x = 1 5 et pour x = b) Tracés de C et de Γ. 155

156 Fragments du Bac Thème: Bacs blancs et devoirs communs Exercice n o 6 [Nombres complexes] On pose z = i ) Forme algébrique de z 2. On développe, en utilisant la première identité remarquable : z 2 = ( i 2 2) 2 = (2 + 2) 2 i ( 2 + 2)( 2 2) + i 2 (2 2) = i = i 2 (Reponse B). 2) Module et argument principal de z 2. On factorise par 4, en utilisant l énoncé : z 2 = i ( ) = 4 2 i = 4 (cos( π/4) + i sin( π/4)). 2 Donc z 2 = 4 et Arg(z 2 ) = π/4 (Réponse B). 3) Module et argument principal de z. D une part, on a : z 2 = z 2 donc z = z 2 = 4 = 2 car z 0. D autre part, on a arg(z 2 ) = 2arg(z) + 2kπ (k Z), donc arg(z) = 1 2 Arg(z2 ) kπ (k Z) soit Arg(z) = π/8 ou Arg(z) = π/8 + π = 7π/8. Comme Re(z) = < 0 alors Arg(z) = 7π/8 (Réponse A). 156

157 Terminale S Mathématiques Devoir commun de mathématiques Samedi 16 mai 2009 Durée : 4h Le sujet comporte 4 pages, plus une feuille réservée aux candidats ayant suivi l enseignement de spécialité. Ces candidats traiteront l exercice 1.bis énoncé sur cette feuille supplémentaire à la place de l exercice 1. Exercice 1 Pour les candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité 5 points Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O, u, v) ; unité graphique : 4 cm. On considère le point A d affixe z A = 2 + i et le cercle (Γ) de centre A et de rayon Faire une figure qui sera complétée tout au long de l exercice. 2. (a) Déterminer les affixes des points d intersection de (Γ) et de l axe (O, u). (b) On désigne par B et C les points d affixes respectives z B = 1 et z C = 3. Déterminer l affixe z D du point D diamétralement opposé au point B sur le cercle (Γ). 3. Soit M le point d affixe i. (a) Calculer le nombre complexe z D z M z B z M. (b) Interpréter géométriquement un argument du nombre z D z M z B z M. En déduire que le point M appartient au cercle (Γ). 4. On note (Γ ) le cercle de diamètre [AB]. La droite (BM) recoupe le cercle (Γ ) en un point N. (a) Montrer que les droites (DM) et (AN) sont parallèles. (b) Déterminer l affixe du point N. 5. On désigne par M l image du point M par la rotation de centre B et d angle π 2. (a) Déterminer l affixe du point M. (b) Montrer que le point M appartient au cercle (Γ ). page 1 157

158 Terminale S Mathématiques Exercice 2 Commun à tous les candidats Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment. 5 points Partie A Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie sur ]0 ; + [ par : f(x) = ln(x) x 2. Sa courbe représentative (C ), construite dans un repère orthonormal, et son tableau de variations sont donnés ci-dessous. 1. Le tableau de variations de f donne des propriétés sur les variations de la fonction, les limites aux bornes de l ensemble de définition ainsi que l extremum. Énoncer puis démontrer ces propriétés. 2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l évaluation. Existe-t-il des tangentes à la courbe (C ) qui contiennent le point O origine du repère? Si oui donner leur équation. Partie B Soit g la fonction définie sur l intervalle ]0, + [ par : g(x) = 1. (a) Que représente f pour la fonction g? (b) En déduire le sens de variations de g sur ]0, + [. ( ) 1 2. Interpréter géométriquement les réels g(3) et g. 2 ln x (a) À l aide d une intégration par parties, montrer que : g(x) = 1. x (b) Déterminer la limite de g en +. x 1 ln t t 2 dt. page 2 158

159 Terminale S Mathématiques Exercice 3 Commun à tous les candidats 4 points Soit v = (v n ) n 0 une suite. On considère la suite u définie pour tout entier naturel n par u n = e vn + 1. Partie A Pour chacune des questions, quatre propositions sont proposées dont une seule est exacte. Pour chacune des questions donner, sans justification, la bonne réponse sur la copie. Une bonne réponse 0, 75 point, une mauvaise réponse znlève 0, 25 point et l absence de réponse est comptée 0 point. Tout total négatif est ramené à a est un réel strictement positif et ln désigne la fonction logarithme népérien. Si v 0 = ln a alors : (a) u 0 = 1 a + 1 (b) u 0 = a (c) u 0 = a + 1 (d) u 0 = e a Si v est strictement croissante, alors : (a) u est strictement décroissante et majorée par 2 (b) u est strictement croissante et minorée par 1 (c) u est strictement croissante et majorée par 2 (d) u est strictement décroissante et minorée par 1 3. Si v diverge vers +, alors : (a) u converge vers 2 (b) u diverge vers + (c) u converge vers 1 (d) u converge vers un réel l tel que l > 1 4. Si v est majorée par 2, alors : (a) u est majorée par 1 + e 2 (b) u est minorée par 1 + e 2 (c) u est majorée par 1 + e 2 (d) u est minorée par 1 + e 2 Partie B (1 point) Démontrer que pour tout entier naturel non nul, on a ln (u n ) + v n > 0. page 3 159

160 Terminale S Mathématiques Exercice 4 Commun à tous les candidats 2 points Restitution organisée de connaissances On supposera connus les résultats suivants : Soient u et v deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] avec a < b. Si u 0 sur [a; b] alors Pour tous réels α et β, b a b u(x) dx 0. [αu(x) + βv(x)] dx = α b u(x) dx + β b a a a v(x) dx. Démontrer que si f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] avec a < b et si, pour tout x de [a ; b], f(x) g(x), alors b f(x) dx b a a g(x) dx. Exercice 5 Commun à tous les candidats 4 points On considère les suites (x n ) et (y n ) définies pour tout entier naturel n non nul par : x n = 1 0 t n cos t dt et y n = 1 0 t n sin t dt. 1. (a) Montrer que la suite (x n ) est à termes positifs. (b) Étudier les variations de la suite (x n). (c) Que peut-on en déduire quant à la convergence de la suite (x n )? 2. (a) Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, x n 1 n + 1. (b) En déduire la limite de la suite (x n ). 3. (a) À l aide d une intégration par parties, démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, x n+1 = (n + 1)y n + sin(1). (b) En déduire que lim y n = 0. n + 4. On admet que, pour tout entier naturel n non nul, y n+1 = (n + 1)x n cos(1). Déterminer lim nx n et lim ny n. n + n + page 4 160

161 Fragments du Bac Thème: Révisions de juin [Thème) Révisions de juin 1. Géométrie dans l Espace Exercice n o 1 [QCM. Nouvelle Calédonie, novembre points] Première partie L espace est rapporté à un repère orthonormal (O ; ı, j, k ). On considère : les points A(0; 0; 3), B(2; 0; 4), C( 1; 1; 2) et D(1; 4; 0) les plans (P 1 ) : 7x + 4y 3z + 9 = 0 et (P 2 ) : x 2y = 0. les droites ( 1 ) et ( 2 ) définies par leurs systèmes d équations paramétriques respectifs x = 1 + t x = 7 + 2t y = 8 + 2t t R y = 8 + 4t t R z = t z = 8 t Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte 4. Deuxième partie L espace est rapporté à un repère orthonormai (O ; ı, j, k ). On considère la droite (D) passant par A(0; 0; 3) et dont un vecteur directeur est u (1; 0; 1) et la droite (D ) passant par B(2; 0; 4) et dont un vecteur directeur est v (0; 1; 1). L objectif est de démontrer qu il existe une droite unique perpendiculaire à la fois à (D) et à (D ), de la déterminer et de dégager une propriété de cette droite. 1. On considère un point M appartenant à (D) et un point M appartenant à (D ) définis par AM = a u et BM = b v, où a et b sont de nombres réels. Exprimer les coordonnées de M, de M puis du vecteur MM en fonction de a et b. 4 Une réponse exacte rapporte 0, 5 point ; une réponse inexacte enlève 0,25 point. 161

162 Fragments du Bac Thème: Révisions de juin 2. Démontrer que la droite (MM ) est perpendiculaire à (D) et à (D ) si et seulement si le couple (a; b) est solution du système { 2a + b = 1 a + 2b = 1 3. Résoudre ce système. En déduire les coordonnées des deux uniques points M et M, que nous noterons ici H et H, tels que la droite (HH ) soit bien perpendiculaire commune à (D) et à (D ). Montrer que HH = 3 unités de longueur. 4. On considère un point M quelconque de la droite (D) et un point M quelconque de la droite (D ). (a) En utilisant les coordonnées obtenues à la question 1, démontrer que MM 2 = (a + b) 2 + (a 1) 2 + (b + 1) (b) En déduire que la distance MM est minimale lorsque M est en H et M est en H. Exercice n o 2 [Equations de plans. Antilles-Guyane, juin points] L espace est rapporté au repère orthonormé (O ; ı, j, k ). On considère les points A(3; 0; 6) et I(0; 0; 6), et l on appelle (D) la droite passant par A et I. On appelle (P ) le plan d équation 2y + z 6 = 0 et (Q) le plan d équation y 2z + 12 = Démontrer que (P ) et (Q) sont perpendiculaires. 2. Démontrer que l intersection des plans (P ) et (Q) est la droite (D). 3. Démontrer que (P ) et (Q) coupent l axe (O ; ı ) et déterminer les coordonnées des points B et C, intersections respectives de (P ) et (Q) avec l axe (O ; j ). 4. Démontrer qu une équation du plan (T ) passant par B et de vecteur normal AC est x + 4y + 2z 12 = Donner une représentation paramétrique de la droite (OA). Démontrer que la droite (OA) et le plan (T ) sont sécants en un point H dont on déterminera les coordonnées. 6. Que représente le point H pour le triangle ABC? Justifier. 162

163 Fragments du Bac Thème: Révisions de juin Exercice n o 3 [Cube. Antilles-Guyane, septembre points] Dans un cube ABCDEF GH, on désigne par I et J les milieux respectifs des segments [AB] et [GH]. Le point K est le centre de la face BCGE. Les calculs seront effectués dans le repère orthonormal (A; AB, AD, ) AE. 2. (a) Démontrer que le quadrilatère DIF J est un parallélogramme. Établir que DIF J est en fait un losange et montrer que l aire de ce losange est égale à 6 2. (b) Vérifier que le vecteur 2 n 1 est un 1 vecteur normal au plan (DIJ). (c) En déduire une équation cartésienne de ce plan. Déterminer la distance du point E au plan (DIJ), puis calculer le volume de la pyramide EDIF J. On rappelle que le volume V d une pyramide de hauteur h et de base correspondante B est donné par la formule suivante V = 1 3 B h. 2. Soit ( ) la droite passant par E et orthogonale au plan (DIJ). (a) Donner une représentation paramétrique de ( ) et prouver que K est un point de ( ). (b) Déterminer les coordonnées du point d intersection L de ( ) et du plan (DIJ). (c) Vérifier que L est le centre de gravité du triangle BEG. 3. Soit (S) l ensemble des points de l espace dont les coordonnées vérifient l équation x 2 + y 2 + z 2 2x y x = 0. (a) Vérifier que (S) est une sphère dont on précisera le centre et le rayon. (b) Montrer que L est un point de (S). Quelle propriété géométrique relative à (S) et au plan (DIJ) peut-un déduire de ce dernier résultat? Exercice n o 4 [Repère adapté. Métropole, septembre points] On considère dans l espace un cube de 3 cm de côté, noté ABCDEF GH et représenté ciaprès. Soit I le barycentre des points pondérés (E; 2) et (F ; 1) ; J celui de (F ; 1) et (B; 2) et enfin K celui de (G; 2) et (C; 1). On veut déterminer l ensemble des points M équidistants de I, J et K. On note cet ensemble. 1. Placer les points l, J et K sur la figure. 163

164 Fragments du Bac Thème: Révisions de juin 2. Soit Ω le point de situé dans le plan (IJK). Que représente ce point pour le triangle IJK? ( Pour la suite, on se place dans le repère orthonormal A; 1 AD ; 1 AB ; 1 ) AE Donner les coordonnées des points l, J et K. 4. Soient P (2; 0; 0) et Q(1; 3; 3) deux points que l on placera sur la figure. Démontrer que la droite (P Q) est orthogonale au plan (IJK). 5. Soit M un point de l espace de coordonnées (x ; y ; z). (a) Démontrer que M appartient à si, et seulement si, le triplet (x ; y ; z) est solution d un système de deux équations linéaires que l on écrira. Quelle est la nature de? (b) Vérifier que P et Q appartiennent à. Tracer sur la figure. 6. Déterminer un vecteur normal au plan (IJK) et en déduire une équation cartésienne de ce plan. Déterminer alors les coordonnées exactes de Ω. Exercice n o 5 [Représentation paramétrique. Polynésie, septembre points] L espace est muni d un repère orthonormal (O ; ı, j, k ). Soient (P 1 ) et (P 2 ) les plans d équations cartésiennes respectives 2x + y + z 6 = 0 et x 2y + 4z 9 = Montrer que (P 1 ) et (P 2 ) sont perpendiculaires. On rappelle que deux plans sont perpendiculaires si, et seulement si, un vecteur normal non nul à l un est orthogonal à un vecteur normal non nul à l autre. 2. Soit (D) la droite d intersection de (P 1 ) et (P 2 ). Montrer qu une représentation paramétrique de (D) est : x = 7 + 2t y = 8 + 3t z = t (t R). 3. Soient M un point quelconque de (D) de paramètre t et A le point de coordonnées ( 9; 4; 1). (a) Vérifier que A n appartient ni à (P 1 ), ni à (P 2 ). (b) Exprimer AM 2 en fonction de t. (c) Soit f la fonction définie sur R par f(t) = 2t 2 2t + 3. Étudier les variations de f. Pour quel point M, la distance AM est-elle minimale? On désignera ce point par I. Préciser les coordonnées du point I. 4. Soit (Q) le plan orthogonal à (D) passant par A. Déterminer une équation de (Q). Démontrer que I est le projeté orthogonal de A sur (D). Exercice n o 6 [Nouvelle-Calédonie, mars points] Pour tout cet exercice, l espace est muni d un repère orthonormal (O ; ı, j, k )

165 Fragments du Bac Thème: Révisions de juin 1. Montrer que les points A(1; 2; 3), B( 3; 1; 4) et C(2; 6; 1) déterminent un plan. 2. Vérifier qu une équation cartésienne du plan (ABC) est 2x y + z + 3 = Déterminer un système d équations paramétriques de la droite D passant par I( 5; 9; 4) et perpendiculaire à (ABC). 4. Déterminer les coordonnées du point J, intersection de la droite D et du plan (ABC). 5. En déduire la distance du point I au plan (ABC). 165

166 Fragments du Bac Thème: Révisions de juin 2. Probabilités Exercice n o 7 [QCM général. Antilles-Guyane, juin points] Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. On s intéresse à deux types de pièces électroniques, P1 et P2, qui entrent dans la fabrication d une boîte de vitesses automatique. Une seule pièce de type P1 et une seule pièce de type P2 sont nécessaires par boîte. L usine se fournit auprès de deux sous-traitants et deux seulement S1 et S2. Le sous-traitant S1 produit 80 % des pièces de type P1 et 40 % de pièces de type P2. Le sous-traitant S2 produit 20 % des pièces de type P1 et 60 % de pièces de type P2. 1. Un employé de l usine réunit toutes les pièces P1 et P2 destinées à être incorporées dans un certain nombre de boîtes de vitesses. Il y a donc autant de pièces de chaque type. Il tire une pièce au hasard. (a) La probabilité que ce soit une pièce P1 est 0,8 0,5 0,2 0,4 0,6 (b) La probabilité que ce soit une pièce P1 et qu elle vienne de S1 est (c) La probabilité qu elle vienne de S1 est 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,2 0,4 0,5 0,6 0,8 2. Il y a 200 pièces au total. Cette fois l employé tire deux pièces simultanément. On suppose tous les tirages équiprobables. (a) Une valeur approchée à 10 4 près de la probabilité que ce soit deux pièces P1 est : 0, , , ,009 5 (b) Une valeur approchée à 10 4 près de la probabilité que ce soit deux pièces P1 et P2 est : 0, , ,502 5 (c) La probabilité que ce soient deux pièces fabriquées par le même fournisseur est : La durée de vie exprimée en années des pièces P1 et P2 suit une loi exponentielle dont le paramètre λ est donné dans le tableau suivant : λ P1 P2 S1 0,2 0,25 S2 0,1 0,

167 Fragments du Bac Thème: Révisions de juin On rappelle que si X, durée de vie d une pièce exprimée en années, suit une loi exponentielle de paramètre λ, alors p(x t) = t 0 λe λx dx. Une valeur approchée à 10 4 près de la probabilité qu une pièce P1 fabriquée par S1 dure moins de 5 ans est : 0, ,632 1 Exercice n o 8 [Variable aléatoire gain. Asie, juin points] Une fabrique artisanale de jouets en bois vérifie la qualité de sa production avant sa commercialisation. Chaque jouet produit par l entreprise est soumis à deux contrôles : d une part l aspect du jouet est examiné afin de vérifier qu il ne présente pas de défaut de finition, d autre part sa solidité est testée. Il s avère, à la suite d un grand nombre de vérifications, que : 92 % des jouets sont sans défaut de finition ; parmi les jouets qui sont sans défaut de finition, 95 % réussissent le test de solidité ; 2 % des jouets ne satisfont à aucun des deux contrôles. On prend au hasard un jouet parmi les jouets produits. On note : F l évènement : «le jouet est sans défaut de finition» ; S l évènement : «le jouet réussit le test de solidité». 1. Construction d un arbre pondéré associé à cette situation. (a) Traduire les données de l énoncé en utilisant les notations des probabilités. (b) Démontrer que p F ( S ) = 1 4. (c) Construire l arbre pondéré correspondant à cette situation. 2. Calcul de probabilités. (a) Démontrer que p(s) = 0, 934. (b) Un jouet a réussi le test de solidité. Calculer la probabilité qu il soit sans défaut de finition. (On donnera le résultat arrondi au millième,) 3. Étude d une variable aléatoire B. Les jouets ayant satisfait aux deux contrôles rapportent un bénéfice de 10 AC, ceux qui n ont pas satisfait au test de solidité sont mis au rebut, les autres jouets rapportent un bénéfice de 5 AC. On désigne par B la variable aléatoire qui associe à chaque jouet le bénéfice rapporté. (a) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire B. (b) Calculer l espérance mathématique de la variable aléatoire B. 4. Étude d une nouvelle variable aléatoire. On prélève au hasard dans la production de l entreprise un lot de 10 jouets. On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de jouets de ce lot subissant avec succès le test de solidité. On suppose que la quantité fabriquée est suffisamment importante pour que la constitution de ce lot puisse être assimilée à un tirage avec remise. Calculer la probabilité qu au moins 8 jouets de ce lot subissent avec succès le test de solidité. 167

168 Fragments du Bac Thème: Révisions de juin Exercice n o 9 [Probabilités discrètes. Métropole, septembre points] La scène se passe en haut d une falaise au bord de la mer. Pour trouver une plage et aller se baigner, les touristes ne peuvent choisir qu entre deux plages, l une à l Est et l autre à l Ouest. A - Un touriste se retrouve deux jours consécutifs en haut de la falaise. Le premier jour, il choisit au hasard l une des deux directions. Le second jour, on admet que la probabilité qu il choisisse une direction opposée à celle prise la veille vaut 0,8. Pour i = 1 ou i = 2, on note E i l évènement : «Le touriste se dirige vers l Est le i-ème jour» et O i l évènement : «Le touriste se dirige vers l Ouest le i-ème jour». 1. Dresser un arbre de probabilités décrivant la situation. 2. Déterminer les probabilités suivantes : p(e 1 ) ; p E1 (O 2 ) ; p(e 1 E 2 ). 3. Calculer la probabilité que ce touriste se rende sur la même plage les deux jours consécutifs. B - On suppose maintenant que n touristes (n 3) se retrouvent un jour en haut de la falaise. Ces n touristes veulent tous se baigner et chacun d eux choisit au hasard et indépendamment des autres l une des deux directions. On note X la variable aléatoire donnant le nombre de ces touristes qui choisissent la plage à l Est. 1. Déterminer la probabilité que k touristes (0 k n) partent en direction de l Est. 2. On suppose ici que les deux plages considérées sont désertes au départ. On dit qu un touriste est heureux s il se retrouve seul sur une plage. (a) Peut-il y avoir deux touristes heureux? (b) Démontrer que la probabilité (notée p) qu il y ait un touriste heureux parmi ces n touristes vaut : p = n 2. n 1 (c) Application numérique : Lorsque le groupe comprend 10 personnes, exprimer la probabilité, arrondie au centième, qu il y ait un touriste heureux parmi les 10. Exercice n o 10 [Loi exponentielle. Antilles-Guyane, septembre points] Partie A On suppose connu le résultat suivant : Si X est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre strictement positif λ alors, pour t réel positif, p(x t) = t 0 λe λx dx. Démontrer l égalité suivante : p(x > t) = e λt. En déduire que, pour s et t réels positifs, l égalité suivante est vraie P (X>t) (X > s + t) = p(x > s) (loi de durée de vie sans vieillissement), P (X>t) (X > s + t) désignant la probabilité de l évènement (X > s + t) sachant que (X > t) est réalisé. Partie B La durée d attente exprimée en minutes à chaque caisse d un supermarché peut être modélisée par une variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle de paramètre strictement positif λ. 168

169 Fragments du Bac Thème: Révisions de juin 1. (a) Déterminer une expression exacte de λ sachant que p(t 10) = 0, 7. On prendra, pour la suite de l exercice, la valeur 0, 12 comme valeur approchée de λ. (b) Donner une expression exacte de la probabilité conditionnelle P (T >10) (T > 15). (c) Sachant qu un client a déjà attendu 10 minutes à une caisse, déterminer la probabilité que son attente totale ne dépasse pas 15 minutes. On donnera une expression exacte, puis une valeur approchée à 0, 01 près de la réponse. On suppose que la durée d attente à une caisse de ce supermarché est indépendante de celle des autres caisses. Actuellement, 6 caisses sont ouvertes. On désigne par Y la variable aléatoire qui représente le nombre de caisses pour lesquelles la durée d attente est supérieure à 10 minutes. (a) Donner la nature et les paramètres caractéristiques de Y. (b) Le gérant du supermarché ouvre des caisses supplémentaires si la durée d attente à au moins 4 des 6 caisses est supérieure à 10 minutes. Déterminer à 0, 01 près la probabilité d ouverture de nouvelles caisses. Exercice n o 11 [Dénombrement. Centres étrangers, juin points] Pour chacune des questions de ce QCM une seule, des trois propositions A, B ou C est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n est demandée. Une réponse exacte rapporte 0, 5 point. (Une réponse inexacte enlève 0, 25 point. L absence de réponse n apporte ni n enlève aucun point. Si le total est négatif la note de l exercice est ramenée à 0. Une urne contient 8 boules indiscernables au toucher, 5 sont rouges et 3 sont noires. 1. On tire au hasard simultanément 3 boules de l urne. (a) La probabilité de tirer 3 boules noires est : A 1 56 B C 1 3 (b) La probabilité de tirer 3 boules de la même couleur est : A B C On tire au hasard une boule dans l urne, on note sa couleur, on la remet dans l urne ; on procède ainsi à 5 tirages successifs et deux à deux indépendants. (a) La probabilité d obtenir 5 fois une boule noire est : ( ) 3 ( ) 3 ( ) 5 ( ) A. B. C (b) La probabilité d obtenir 2 boules noires et 3 boules rouges est : A. ( ) ( 3 8 ) 2 B C. 10 ( ) ( 3 8 ) 2 169

170 Fragments du Bac Thème: Révisions de juin 3. On tire successivement et sans remise deux boules dans cette urne. On note : R 1 l évènement : «La première boule tirée est rouge» ; N 1 l évènement : «La première boule tirée est noire» ; R 2 l évènement : «La deuxième boule tirée est rouge» ; N 2 l évènement : «La deuxième boule tirée est noire». (a) La probabilité conditionnelle P R1 (R 2 ) est : A. 5 8 B. 4 7 C (b) La probabilité de l évènement R 1 N 2 est : A B C (c) La probabilité de tirer une boule rouge au deuxième tirage est : A. 5 8 B. 5 7 C (d) La probabilité de tirer une boule rouge au premier tirage sachant qu on a obtenu une boule noire au second tirage est : A B. 3 8 C

171 Fragments du Bac Thème: Révisions de juin 3. Equations différentelles Exercice n o 12 [Changement de variable. Métropole, septembre points] Dans tout l exercice, λ désigne un nombre réel de l intervalle ] ]0[ ; 1] On se propose d étudier les fonctions dérivables sur ; vérifiant l équation différentielle 2 (E λ ) : y = y 2 + λy et la condition y(0) = 1. ] [ 1 On suppose qu il existe une solution y 0 de (E λ ) strictement positive sur ; et on ] [ 2 1 pose sur ; : z = 1 2 y 0 Écrire une équation différentielle simple satisfaite par la fonction z. 2. Question de cours Pré-requis Les solutions de l équation différentielle y = λy sont les fonctions x Ce λx où C est une constante réelle. (a) Démontrer l existence et l unicité de la solution z de l équation différentielle (E λ ) : z = (λz + 1) telle que z(0) = 1. (b) Donner l expression de cette fonction que l on notera z 0. On veut maintenant montrer que la fonction z 0 ne s annule pas sur l intervalle 3. (a) Démontrer que ln(1 + λ) > λ λ + 1. On pourra étudier sur ]0 ; 1] la fonction f définie par f(x) = ln(1 + x) ] ; x x + 1. (b) En déduire que 1 λ ln(1 + λ) > 1 2. ] [ 1 4. En déduire que la fonction z 0 ne s annule pas sur ;. Démontrer alors que (E λ ) ] [ 2 1 admet une solution strictement positive sur ; que l on précisera. 2 [ Calcul intégral Exercice n o 13 [QCM. Asie, juin points] Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie oufause et donner une démonstration de la réponse choisie. Dans le cas d une proposition fausse, la démonstration consistera à proposer un contre-exemple. Une réponse non démontrée ne rapporte aucun point. 171

172 Fragments du Bac Thème: Révisions de juin 1. Si f est la fonction définie pour tout nombre réel x par : f(x) = sin 2 x, alors sa fonction dérivée vérifie, pour tout nombre réel x, f (x) = sin 2x. 2. Soit f est une fonction définie et dérivable sur l intervalle [ 1 ; 1], dont la dérivée est continue sur cet intervalle. Si f( 1) = f(1), alors : 1 1 tf (t) dt = 1 1 f(t) dt. 3. Soit f une fonction définie et continue sur l intervalle [0 ; 3]. Si 3 0 f(t) dt f(x) g(x). 3 0 g(t) dt, alors pour tout nombre réel x appartenant à [0 ; 3] : 4. Si f est solution de l équation différentielle y = 2y + 2 et si f n est pas une fonction constante, alors la représentation de f dans un repère du plan, n admet aucune tangente parallèle à l axe des abscisses. Exercice n o 14 [Intégrale et primitives. Antilles-Guyane, juin points] Partie A 1. Soit x un éel supérieur ou égal à 1. Calculer en fonction de x l intégrale x 1 (2 t) dt. 2. Démontrer que pour tout réel t appartenant à l intervalle [1 ; + [, on a : 2 t 1 t. 3. Déduire de ce qui précède que pour tout réel x supérieur ou égal à 1, on a : 1 2 x2 + 2x 3 2 ln x. Partie B Soit h la fonction définie sur R par h(x) = 1 2 x2 + 2x 3 2. Sur le graphique joint ci-après, le plan est muni d un repère orthogonal (O ; ı, j ) dans lequel on a tracé les courbes représentatives des fonctions h et logarithme népérien sur l intervalle [1 ; 4]. On a a tracé également la droite (d) d équation x = (a) Démontrer que 4 1 h(x)dx = 0. (b) Illustrer sur le graphique le résultat de la question précédente. 2. On note (D) le domaine du plan délimité par la droite (d) et les courbes représentatives des fonction h et logarithme népérien sur l intervalle [1 ; 4]. En utilisant un intégration par parties, calculer l aire de (D) en unités d aire. Exercice n o 15 [Encadrements. Antilles-Guyane, septembre points] On se propose de déterminer des valeurs approchées de l intégrale I = deux méthodes distinctes t 2 dt en utilisant 1 + t2 172

173 Fragments du Bac Thème: Révisions de juin Les parties A et B sont largement indépendantes l une de l autre. PARTIE A Utilisation d une intégration par parties 1. En remarquant que 10t2 2t = 5t, établir l égalité 1 + t2 1 + t2 I = 5 2 ln ( 5 4 ) ln ( 1 + t 2) dt On pose, pour x positif ou nul, f(x) = ln(1 + x) x + x2 et g(x) = ln(1 + x) x. 2 (a) En utilisant les variations de f, démontrer que f(x) 0. En procédant de la même façon, on pourrait établir que g(x) 0, inégalité que l on admettra ici. (b) À l aide de ce qui précède, montrer que l encadrement : est vrai pour tout réel t. (c) Déduire de la question précédente que t 2 t4 2 ln ( 1 + t 2) t ln ( 1 + t 2) dt En utilisant les questions précédentes, donner un encadrement d amplitude inférieure à 0,02 de I par des nombres décimaux ayant trois chiffres après la virgule. PARTIE B Utilisation de la méthode d Euler x [ ] 10t On pose ϕ(x) = dt pour x 0 ; t2 2 Préciser ϕ(0) ainsi que la fonction dérivée de ϕ. 2. On rappelle que la méthode d Euler permet de construire une suite de points M n (x n ; y n ) proches de la courbe représentative de ϕ. En choisissant comme pas h = 0, 1, on obtient la suite de points M n définie pour n entier naturel par : { x0 = 0 y 0 = 0 et { xn+1 = x n + 0, 1 y n+1 = y n + ϕ (x n ) 0, 1 En utilisant, sans la justifier, l égalité x n = n 10 vérifier que y n 2 n+1 = y n n Calculer y 1, et y 2, puis exprimer y 3, y 4 et y 5 sous la forme d une somme de fractions que l on ne cherchera pas à simplifier. Donner maintenant une valeur approchée à 0,001 près de y 5. Le réel x 5 étant égal à 1 2, y 5 est donc une valeur approchée de ϕ ( ) 1 c est-à-dire de I

174 Fragments du Bac Thème: Révisions de juin 4. Avec la méthode d Euler au pas h = 0, 01, on obtient, pour I, la valeur approchée 0, 354. Les valeurs de I obtenues avec la méthode d Euler sont-elles compatibles avec l encadrement de la question 3. de la partie A? Exercice n o 16 [Suite d intégrales. Polynésie, septembre points] 1. Soit f la fonction définie sur R par : f(x) = ( 2x 3 4x 2) e x. (a) Déterminer les limites de f en et en +. (b) Calculer f (x) et montrer que f (x) = 2x ( x 2 + 5x 4) e x. (c) Dresser le tableau de variations de f. (d) Tracer la courbe (C ) représentative de f dans un repère orthonormal (O ; ı, j ) (unité graphique : 1 cm). 2. Pour n N, on pose I n = 1 0 x n e x dx. (a) À l aide d une intégration par parties, calculer I 1. (b) On admet que, pour tout n supérieur ou égal à 2, I n = ni n 1 1 e. Déterminer 1 2 et 1 3. (c) Soit A l aire, exprimée en cm 2, du domaine délimité par l axe des abscisses, la courbe (C ) et les droites d équation x = 0 et x = 1. Calculer A. 3. Soit u une fonction définie et dérivable sur R. On définit la fonction v sur ]0 ; + [ par v(x) = u ( ) 1. x (a) On suppose que u est croissante sur l intervalle [a ; b] (où 0 < a < b). [ ] 1 Déterminer le sens de variation de v sur b ; 1. a (b) On définit maintenant la fonction g par g(x) = f fonction définie dans la question 1. Déterminer les limites de g en 0 et en +, ( ) 1 x sur ]0 ; + [, où f est la (c) Déduire des questions précédentes le tableau de variations de la fonction g sur l intervalle ]0?; + [. 174

175 Fragments du Bac Thème: Révisions de juin 5. Nombres complexes Exercice n o 17 [Antilles-Guyane, septembre points] Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; u, v ). On désigne par A et B les point, d affixes respectives 2 et 3. On fera un dessin (unité graphique 2 cm) qui sera complété selon indications de l énoncé. La question 1 est indépendante des questions 2 et (a) Résoudre dans l ensemble des nombres complexes l équation z 2 4z + 6 = 0. (b) On désigne par M 1 et M 2 les points d affixes respectives z 1 = 2 + i 2 et z 2 = 2 i 2. Déterminer la forme algébrique du nombre complexe z 1 3 z 1. En déduire que le triangle OBM 1 est un triangle rectangle. (c) Démontrer sans nouveau calcul que les points O, B, M 1 et M 2, appartiennent à un même cercle C que l on précisera. Tracer le cercle C et placer les points M 1 et M 2 sur le dessin. 2. On appelle f l application du plan qui, à tout point M d affixe z associe le point M d affixe z définie par l égalité z = z 2 4z + 6. On désigne par Γ le cercle de centre A et de rayon 2. Ce cercle ne sera pas tracé sur le dessin, (a) Vérifier l égalité suivante z 2 = (z 2) 2. (b) Soit M le point de Γ d affixe z = 2+ 2e iθ où θ désigne un réel de l intervalle ] π ; π]. Vérifier l égalité suivante : z = 2 + 2e 2iθ et en déduire que M est situé sur un cercle Γ dont on précisera le centre et le rayon. Tracer Γ sur le dessin, 2 + i 6 3. On appelle D le point d affixe d = 2 + et on désigne par D l image de D par f. 2 (a) Écrire sous forme exponentielle le nombre complexe d 2. En déduire que D est situé sur le cercle Γ. ( u (b) À l aide la question 2 b, donner une mesure de l angle ), AD et placer le point D sur le dessin. (c) Démontrer que le triangle OAD est équilatéral. Exercice n o 18 [Métropole, septembre points] Dans le plan complexe muni du repère orthonormal (O ; u, v ), on considère les points M et M d affixes respectives z et z. On pose z = x + iy et z = x + iy, où x, x, y, y sont des nombres réels. On rappelle que z désigne le conjugué de z et que z désigne le module de z. 1. Montrer que les vecteurs OM et OM sont orthogonaux si et seulement si Re(z z) =

176 Fragments du Bac Thème: Révisions de juin 2. Montrer que les points O, M et M sont alignés si et seulement si lm(z z) = 0. Applications 3. N est le point d affixe z 2 1. Quel est l ensemble des points M tels que les vecteurs OM et ON soient orthogonaux? 4. On suppose z non nul. P est le point d affixe 1 z 2 1. On recherche l ensemble des points M d affixe z tels que les points O, N et P soient alignés. ( ) 1 ( 2 (a) Montrer que z 1 z 2 1) = z z 1 2. (b) En utilisant l équivalence démontrée au début de l exercice, conclure sur l ensemble recherché. Exercice n o 19 [Antilles-Guyane, juin points] (O ; u, v ) est un repère orthonormal direct du plan complexe. Soit A le point d affixe 1 + i. Au point M d affixe z, on associe le point M d affixe z telle que z = 1 (z + iz) On pose z = x + iy et z = x + iy avec x, y, x et y réels. (a) Démontrer les égalités suivantes : x = 1 2 (x + y) et y = 1 (x + y). En déduire que le 2 point M appartient à la droite (OA). (b) Déterminer l ensemble des points M du plan tels que M = M. (c) Démontrer que pour tout point M du plan les vecteurs MM et OA sont orthogonaux. 2. Soit r la rotation de centre O et d angle π 2. M 1 est le point d affixe z 1 image de M par r, M 2 le point d affixe z 2 = z, M 3 le point d affixe z 3 tel que le quadrilatère OM 1 M 3 M 2 soit un parallélogramme. (a) Dans cette question uniquement M a pour affixe 4 + i, placer les points M, M 1, M 2, M 3. (b) Exprimer z 1 en fonction de z, puis z 3 en fonction de z. (c) OM 1 M 3 M 2 est-il un losange? Justifier. (d) Vérifier que z z = 1 2 iz 3. En déduire que MM = 1 2 OM Démontrer que les points M, M 1, M 2 e tm 3 appartiennent à un même cercle de centre O si et seulement si MM = 1 20 OM. Donner alors la mesure en radians de l angle géométrique M OM. 176

177 Chapitre 6 Un peu de physique 177

178 Un peu de physique Thème: Autour du principe de moindre action [Thème) Autour du principe de moindre action Sur les traces de Fermat, Snel, Descartes, Maupertuis, Euler, Lagrange. 1. Distance d un point aux points d une droite Exercice 1. Dans un repère orthonormé (O, x, y) on considère un point A de coordonnées (x 0, y 0 ). On étudie la fonction d A qui à tout x associe la distance de A au point M de l axe (Ox) d abscisse x. a) En utilisant le théorème de Pythagore on étudiera les variations de la fonction d A et en particulier les extrema et le comportement en + et. b) Soit δ R +. Chercher les valeurs de x pour lesquelles d A (x) = δ. Exercice 2. Dans un repère orthonormé (O, x, y) on considère un point A de coordonnées (x 0, y 0 ) avec y 0 0. On étudie la fonction d A qui à tout x associe la distance de A au point M de l axe (Ox) d abscisse x. a) Calculer la dérivée de d A et étudier les variations de cette dérivée. b) Étudier les variations de la fonction d A. c) Calculer lim x (d A (x) (x x 0 )). En conclure l existence d une asymptote en + dont on calculera l équation. Quelle est la position de la courbe représentative de d A par rapport à cette asymptote. c) Que se passe-t-il en? 2. Réflexion Exercice 3. Dans un repère orthonormé (O, x, y) on considère deux points A et B de coordonnées respectives (0, y A ) et (x B, y B ) avec y A, x B, y B > 0. Le point H sera le point de l axe (Ox) d abscisse x B. On étudie la fonction d AB qui à tout x associe la somme des distances de A et de B au point M de l axe (Ox) d abscisse x. a) Calculer la dérivée de d AB et montrer que cette dérivée s annule en un point x 0 et un seul. De plus on montrera que ce point appartient à l intervalle ]0, x B [. b) Étudier les variations de d AB. c) On note I le point de l axe (Ox) d abscisse x 0. Montrer que ( IO, IA ) = ( IH, IB ). 178

179 Un peu de physique Thème: Autour du principe de moindre action 3. Réfraction Exercice 4. Dans un repère orthonormé (O, x, y) on considère deux points A et B de coordonnées respectives (0, y A ) et (x B, y B ) avec y A, x B > 0 et y B < 0. On introduit le point M de l axe (Ox) d abscisse x. Un mobile ayant une vitesse v 1 quand il se déplace dans le demi-plan y 0, et une vitesse v 2 dans le demi-plan y < 0, va de A en B en passant par M (il décrit les segments [AM] et [MB]). a) Calculer le temps T AB (x) mis par le mobile pour faire ce parcours. b) Calculer la dérivée de T AB et montrer que cette dérivée s annule en un point x 0 et un seul. De plus on montrera que ce point appartient à l intervalle ]0, x B [. c)étudier les variations de T AB. d) On note I le point de l axe (Ox) d abscisse x 0. Montrer que 1 v 1 sin( OA, IA ) = 1 v 2 4. Indice variable sin( AO, IB ). Dans les exercices précédents on a minimisé le temps de trajet pour aller d un point à un autre. En optique par exemple où l indice d un milieu est défini comme étant le rapport c v où c est la vitesse de la lumière dans le vide et v la vitesse de la lumière dans le milieu considéré, la loi de la réfraction au passage entre deux milieux d indices respectifs n 1 et n 2 s exprime par ainsi qu on l a vu dans la section (6). n 1 sin(i 1 ) = n 2 sin(i 2 ) On peut alors regarder ce qu il se passe si on fait varier continûment l indice en fonction de l abscisse du point ou en fonction de l ordonnée du point. Dans ces cas on peut supposer d après l étude faite précédemment que la trajectoire devra vérifier n sin(i) =Constante avec 0 < i < π et Constante> 0. 2 Voici divers exercices basés sur ce principe Quelques exemples Exercice 5. Soit f une fonction définie sur [0, + [ dérivable telle que f(0) = 0 et f (0) = tan(i 0 ) > 0. On appelle i l angle entre l axe Ox et la tangente au point d abscisse x au graphe de f, de telle sorte que tan(i) soit le coefficient directeur de cette tangente. On suppose que 0 < i < π et que n est une fonction croissante et positive de x. Montrer que 2 i est une fonction décroissante de x et en particulier que i i 0. Partie 1. Des exemples avec i petit On va supposer que l angle i 0 est suffisamment petit pour que lorsque 0 i i 0 on puisse avoir tan(i) sin(i). Si bien que la condition n sin(i) = C pourra être remplacée par n tan(i) = C (où C est une constante). a) Cas où n = n 0 (1 + kx), k > 0. Calculer f (x) puis f(x). 179

180 Un peu de physique Thème: Autour du principe de moindre action b) Cas où n = n 0 (2 e αx ), α > 0.Calculer f (x) puis f(x). c) Refaire les mêmes calculs avec n = n 0(αx+1) x+1, α > 1. Partie 2. Un exemple avec i pas si petit que ça On se propose ici de faire une comparaison entre les résultat obtenus par la méthode exposée précédente et le calcul exact, dans un cas où celui-ci aboutit. A cet effet, on notera f e la solution exacte, et f a la solution approchée. De plus, on suppose que n(x) = n 0 ax + 1, avec n0 et a strictement positifs. Le lecteur pourra facilement contrôler que n est une fonction positive, croissante, lorsque x décrit R +. a) Calcul exact. (i) Montrer que f e (x) = C n. 2 (x) C 2 ( ) (ii) En déduire : f e (x) = 2C ax + 1 C2 1 C2. a n 0 n 2 0 n 2 0 b) Calcul approché (même principe qu au 5.1). (i) Montrer que f a(x) C n 0 ax+1. (ii) En déduire : f a (x) = 2C a n 0 ( ax ). c) On pose (x) = f e (x) f a (x). (i) Montrer que la fonction est croissante sur R +. (ii) Montrer que admet une limite réelle, que l on précisera, en +. d) On pose, pour x > 0, q(x) = fe(x) f a(x). Montrer que q admet une limite réelle, que l on précisera, en Profil d une jetée, ou le problème de la dalle en pente Exercice 6. On fixe 2 points A, B et un plan horizontal P (cf. figure). Une masse ponctuelle M soumise à la gravitation à l exception de toute autre force, tombe du plan horizontal P. Elle passe en A et en B en suivant un profil qu on cherche à définir de telle sorte que le temps mis par M pour aller de A à B soit minimum. On choisit un repère orthogonal d origine A orienté comme indiqué sur la figure. L angle ( Ax, V ) (où V est le vecteur vitesse) sera noté i. Au point A cet angle a pour valeur i A. On admettra que la trajectoire cherchée peut s écrire sous la forme cartésienne y = f(x), avec f dérivable. 180

181 Un peu de physique Thème: Autour du principe de moindre action Rappelons que la vitesse de M d abscisse x est v = 2g(x x 0 ). Compte tenu de l introduction du paragraphe 6 on est amené à imposer la condition n sin(i) =Constante où n est proportionnel à l inverse de la vitesse, c est-à-dire n sin(i) = n A sin(i A ), soit sin(i) = x x 0 sin(i A ) x0. a) Calculer x = φ(i). b) Etablir que y = f(φ(i)). c) Calculer f (x) en fonction de i. En déduire la dérivée de la fonction f φ. d) En déduire que y = x i 0 sin 2 2 sin 2 (u) du. (i A ) i A e) Calculer la fonction f φ. On a donc obtenu les deux coordonnées x et y du point M en fonction du même paramètre i. f) Montrer que les coordonnées x et y du point M vérifient les relations { x x0 = K(1 cos(2i)), y y 0 = K(2i sin(2i)). 181

182 Un peu de physique Thème: Autour du principe de moindre action g) Construire l arc (AB) de cette courbe en prenant x 0 = 1, i A = π 6 et x B = Des corrigés Exercice 1. La fonction d A est définie sur R par : d A (x) = (x x 0 ) 2 + y 2 0. a) On remarque tout de suite que : (i) La fonction d A est minorée : pour tout x réel, d A (x) y 0. (ii) La courbe de la fonction d A présente une symétrie par rapport à la droite d équation x = x 0. En effet, pour tout h réel, d A (x 0 + h) = d A (x 0 h). (iii) La fonction d A est strictement croissante sur l intervalle [x 0, + [. (iv) Enfin, pour tout x réel, d A (x) x x 0. Il en découle : On obtient donc le tableau de variation suivant : lim d A(x) = +. x + b) On déduit du tableau précédent que, δ étant un réel positif donné, l équation d A (x) = δ : n a pas de solution si δ < y 0, a une solution (x = x 0 ) si δ = y 0, a deux solutions distinctes x 1 et x 2 si δ > y 0, x 1 et x 2 étant telles que x 1 x 0 = x 0 x 2. Exercice

183 Un peu de physique Thème: Autour du principe de moindre action La fonction d A est toujours définie sur R par : d A (x) = (x x 0 ) 2 + y 2 0, mais on rajoute la condition y 0 0. a) y 0 n étant pas nul, le radicande n est jamais nul, et donc la fonction d A est dérivable sur R ; et on obtient, pour tout x réel : d A(x) = 2(x x 0 ) 2 (x x 0 ) 2 + y 2 0 = x x 0. (x x0 ) 2 + y0 2 La fonction d A est, elle-aussi, dérivable sur R, et on a, pour tout x réel : d A(x) = (x x0 ) 2 + y 2 0 (x x 0 ) 2 + y 2 0 (x x 0 ) 2 (x x0 ) 2 + y 2 0 La fonction d A est donc strictement croissante sur R. D autre part, pour x x 0, D où, si x > x 0, d A (x) = d A(x) = y 0 2 (x x 0 ) 2 Par contre, si x < x 0, d A (x) = On a donc le tableau de variation suivant : = x x 0. x x y 0 2 (x x 0 ) 2 y 2 0 ((x x 0 ) 2 + y 2 0) 3 2, et donc, lim x + d A(x) = 1. y 0 2 (x x 0 ) 2, et on a, lim x d A(x) = 1. >

184 Un peu de physique Thème: Autour du principe de moindre action b) Des variations de d A on déduit son signe et donc le tableau de variation de d A : c) Pour x x 0 : d A (x) (x x 0 ) = (x x 0 ) 2 + y 20 (x x 0 ) = ((x x 0) 2 + y 2 0) (x x 0 ) 2 (x x0 ) 2 + y (x x 0 ). On constate que : donc d A (x) (x x 0 ) = y 2 0 (x x0 ) 2 + y (x x 0 ). D une part lim [d A(x) (x x 0 )] = 0, ce qui prouve que la droite D d équation y = x x 0 x + est asymptote oblique en + à la courbe C de d A. D autre part, pour x x 0, la différence d A (x) (x x 0 ) est > 0, ce qui montre que, sur l intervalle [x 0, + [, la courbe C est au-dessus de la droite D. La courbe C étant symétrique par rapport à la droite d équation x = x 0, on en déduit que la droite D, d équation y = x + x 0 est asymptote oblique en à la courbe C de d A et que, sur l intervalle ], x 0 ], la courbe C est au-dessus de la droite D. Exercice 3. La fonction d AB est définie sur R par : d AB (x) = x 2 + y A2 + (x x B ) 2 + y B2. a) y A et y B n étant pas nuls, les deux radicandes ne sont jamais nuls, et donc la fonction d AB est dérivable sur R ; et on obtient, pour tout x réel : d AB(x) = x x2 + y + x x B 2 A (x xb ) 2 + y. 2 B 184

185 Un peu de physique Thème: Autour du principe de moindre action On remarque que la fonction d AB et la somme de deux fonctions strictement croissantes sur R. En effet, si on calcule les dérivées de ces fonctions, on va constater, comme on l a déjà fait dans l exercice 2. (question a), que ce sont des réels > 0. On en déduit que la fonction d AB est strictement croissante sur R. D autre part, x B étant > 0, on a d AB (0) < 0 et d AB (x B) > 0. La fonction d AB étant continue, il découle du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires que, dans l intervalle [0, x B ], l équation d AB (x) = 0 possède une solution unique x 0. De plus, du fait de la monotonie de d AB, si x < 0 alors d AB (x) d AB (0), donc d AB (x) < 0, et si x > x B alors d AB (x) d AB (x B), donc d AB (x) > 0 ; ce qui montre qu en dehors de l intervalle [0, x B ], l équation d AB (x) = 0 ne possède aucune solution. En résumé, la fonction d AB s annule en un point x 0 et un seul, compris entre 0 et x B. On en déduit le tableau de variation de la fonction d AB : b) Des variations de d AB on déduit son signe et donc le tableau de variation de d AB : c) On a, par définition de x 0 : x 0 x y + x 0 x B 2 A (x0 x B ) 2 + y = 0. 2 B 185

186 Un peu de physique Thème: Autour du principe de moindre action Désignons par α et β des mesures respectives des angles ( IO, IA ) et ( IH, IB ). Le cosinus d un angle orienté de vecteurs étant égal au cosinus de l angle géométrique formé par ces vecteurs, on constate que : cos α = x 0 x y A 2 et cos β = x 0 x B (xb x 0 ) 2 + y B 2. La relation qui définit x 0 se traduit donc par : cos α = cos β. D autre part, puisque ( IO, IA ) = ( IO, IH ) + ( IH, IA ) [2π], si on désigne par γ une mesure de l angle ( IH, IA ), on a la relation : α = π+γ [2π], qui nous donne : sin α = sin γ. Or sin γ = De même, sin β = OA IA, et OA = y A > 0, donc sin γ > 0 et donc sin α < 0. On en déduit : sin α = sin β. HB, et HB = y B > 0, donc sin β > 0. IB D où α = β [2π], et on obtient finalement l égalité : ( IO, IA ) = ( IH, IB ). Remarque. Si on désigne par B le symétrique du point B par rapport à l axe (Ox), une mesure de l angle ( IH, IB ) étant α, on en déduit que les points A, I et B sont alignés, ce qui nous permet d obtenir très simplement le point B. Exercice

187 Un peu de physique Thème: Autour du principe de moindre action a) Le temps T AB (x) mis par le mobile pour aller de A en B en passant par M est donné par : T AB (x) = x2 + y A 2 v 1 + (x xb ) 2 + y B 2 v 2. b) y A et y B n étant pas nuls, les deux radicandes ne sont jamais nuls, et donc la fonction d AB est dérivable sur R ; et on obtient, pour tout x réel : T AB(x) = x v 1 x2 + y + x x B 2 A v 2 (x xb ) 2 + y. 2 B On remarque que la fonction T AB et la somme de deux fonctions strictement croissantes sur R. En effet, si on calcule les dérivées de ces fonctions, on va constater, comme on l a déjà fait dans l exercice 2. (question a), que ce sont des réels > 0. On en déduit que la fonction T AB est strictement croissante sur R. D autre part, x B étant > 0, on a T AB (0) < 0 et T AB (x B) > 0. La fonction T AB étant continue, il découle du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires que, dans l intervalle [0, x B ], l équation T AB (x) = 0 possède une solution unique x 0. De plus, du fait de la monotonie de T AB, si x < 0 alors T AB (x) T AB (0), donc T AB (x) < 0, et si x > x B alors T AB (x) T AB (x B), donc T AB (x) > 0 ; ce qui montre qu en dehors de l intervalle [0, x B ], l équation T AB (x) = 0 ne possède aucune solution. En résumé, la fonction T AB s annule en un point x 0 et un seul, compris entre 0 et x B. On en déduit le tableau de variation de la fonction T AB : c) Des variations de T AB on déduit son signe et donc le tableau de variation de T AB : d) On a, par définition de x 0 : x 0 v 1 x y + x 0 x B 2 A v 2 (x0 x B ) 2 + y = 0. 2 B Désignons par i 1 et i 2 des mesures respectives des angles ( OA, IA ) et ( AO, IB ). 187

188 Un peu de physique Thème: Autour du principe de moindre action On a, d une part, cos( π 2 + i 1) = IO IA = D où, puisque cos( π 2 + i 1) = sin i 1, sin i 1 = D autre part, cos( π 2 + i 2) = IH IB D où, puisque cos( π 2 + i 2) = sin i 2, sin i 2 = La relation qui définit x 0 se traduit donc par : = x 0 x y A 2. x 0 x y A 2. x B x 0 (xb x 0 ) 2 + y B 2. x B x 0 (xb x 0 ) 2 + y B 2. sin i 1 v 1 sin i 2 v 2 = 0, et on obtient finalement : 1 sin( OA, 1 IA ) = sin( AO, IB ). v 1 v 2 Exercice 5. Préliminaire : Montrons que i est une fonction décroissante de x. 188

189 Un peu de physique Thème: Autour du principe de moindre action Remarquons d abord que, puisque sin(i(x)) = C, avec C > 0 et n fonction croissante et n(x) > 0 de x, la fonction sin(i) est une fonction décroissante de x. Considérons à présent deux réels x 1 et x 2 tels que 0 x 1 x 2 et supposons que i(x 1 ) < i(x 2 ). Comme i(x 1 ) et i(x 2 ) sont dans l intervalle ]0 ; π [, et que la fonction sinus est strictement 2 croissante sur cet intervalle, on en déduit que sin(i(x 1 )) < sin(i(x 2 )), ce qui est en contradiction avec la décroissance de la fonction sin(i). Donc i(x 1 ) i(x 2 ), et la fonction i est bien une fonction décroissante de x. Il en découle en particulier que i i 0. Expression de f (x) lorsque i 0 est petit. On suppose que l angle i 0 est suffisamment petit pour que, lorsque 0 i i 0, on puisse avoir tan(i) sin(i). Soit M le point de coordonnées (x, f(x)). La tangente en M a pour coefficient directeur tan i(x), si bien qu on peut écrire : 5.1 a) Cas où n = n 0 (1 + kx), k > 0. f (x) = tan(i(x)) sin(i(x)) = x > 0 étant fixé, on a pour tout u compris entre 0 et x : puisque C n 0 = sin(i 0 ) i 0. f (u) = C n 0 (1 + ku) = i ku, Cette fonction étant continue en u on peut intégrer de 0 à x : i.e. puisque f(0) = 0, b) Cas où n = n 0 (2 e αx ), α > 0. f(x) f(0) = i 0 x f(x) = i 0 k ku du, ln(1 + kx). C n(x). x > 0 étant fixé, on a comme précédemment, pour tout u compris entre 0 et x : D où, en intégrant de 0 à x : f(x) = i 0 x 0 f (u) = du 2 e αu = i 0 c) Cas où n = n 0(αx + 1), α > 1. x + 1 C n 0 (2 e αu ) = i 0 2 e αu. x 0 e αu 2e αu 1 du = i 0 2α ln(2eαx 1). 189

190 Un peu de physique Thème: Autour du principe de moindre action x > 0 étant fixé, on a comme précédemment, pour tout u compris entre 0 et x : Or, f (u) = C(u + 1) n 0 (αu + 1) = i 0(u + 1) αu u + 1 αu + 1 = (αu + 1) α α αu + 1 = 1 α α αu + 1. On peut donc intégrer f (u) de 0 à x, ce qui donne finalement : [ ( 1 f(x) = i 0 α x ) ] 1 ln(αx + 1). α α 5.2 a)1. On sait que : sin(i(x)) = C n(x), et que 0 < i < π 2, donc : f e (x) = tan(i(x)) = D où, en utilisant la positivité de n : f e (x) = sin(i(x)) 1 sin 2 (i(x)) = C n2 (x) C 2. C n(x) 1 C2 n 2 (x). 2. Comme n(x) = n 0 ax + 1, il vient : f e (x) = On intègre : C n. 2 0 (ax+1) C2 f e (x) f e (0) = C x du n 0 ( ). 0 2 C au + 1 n 0 D où, finalement, puisque f e (0) = 0, ( ) f e (x) = 2C ax + 1 C2 1 C2. a n 0 n 2 0 n 2 0 b)1. On sait que, puisque 0 < i < π 2, f e (x) = tan(i(x)) sin(i(x)) = C n(x), d où : 2. On intègre : f a(x) = C n 0 ax + 1. f a (x) f a (0) = C x du = 2C ( ax ) n 0 au + 1 a n

191 Un peu de physique Thème: Autour du principe de moindre action D où, finalement, puisque f a (0) = 0, f a (x) = 2C a n 0 ( ax ). c)1. La fonction est dérivable sur R + comme différence de fonctions dérivables sur R +, et D où Or, il est clair que (x) = f e (x) f a(x) = (x) = ax + 1 C2 n 2 0 C n 2 0 (ax + 1) C 2 C C. n 0 ax + 1 C2 n 0 ax + 1 n 2 0 < ax + 1, donc C > n 0 ax + 1 C2 n 2 0 C n 0 ax + 1, C n 0 ax + 1. et finalement (x) > 0 sur R +, ce qui prouve que la fonction est croissante sur R +. c)2. D après les résultats précédents : ( (x) = 2C ax + 1 C2 a n 0 n 2 0 Donc Or, si on pose h(x) = ( (x) = 2C a n 0 ax + 1 C2 n C2 n 2 0 ) ax + 1 ax + 1 C2 ax + 1, alors n 2 0 h(x) = C2 n 2 0 2C a n 0 ( ax ). ax + 1 C2 + ax + 1 n 2 0 qui tend manifestement vers 0 lorsque x tend vers +. Finalement, admet une limite réelle en + et on a : limite qui est manifestement positive. lim (x) = 1 x + 1 C2, n C2 n 2 0, + 1 ). d) q(x) = ( ) 2C a n 0 ax + 1 C2 1 C2 n 2 0 n 2 0 ( ). 2C a n 0 ax Exercice

192 Un peu de physique Thème: Autour du principe de moindre action a) D après la formule donnée : sin(i) = x x 0 sin(i A) x0, on obtient : d où x x0 = x 0 x = x 0 + x 0 sin(i) sin(i A ), sin 2 (i) sin 2 (i A ) = φ(i). Remarque : on a 0 < i A < π/2 d après le chapeau d introduction. b) d après a), y = f(x) = f(φ(i)). c) La fonction f est supposée dérivable et sa dérivée est donnée par f (x) = tan(i(x)), puisque i(x) est l angle formé par l axe Ax et le vecteur vitesse au point M de la trajectoire. La fonction φ étant clairement dérivable et f étant supposée dérivable, la composée f φ est dérivable et (f φ) (i) = f (φ(i)) φ (i) = f (x) φ (i). Or donc, en notant i pour i(x), φ (i) = 2 x 0 sin(i) cos(i) sin 2, (i A ) (f φ) (i) = tan(i) 2 x 0 sin(i) cos(i) sin 2 (i A ) = 2 x 0 sin 2 (i) sin 2 (i A ). 192

193 Un peu de physique Thème: Autour du principe de moindre action d) On a donc On intègre y de i A à i : y (i) = 2 x 0 sin 2 (i A ) sin2 (i). y y A = x i 0 sin 2 2 sin 2 (u) du. (i A ) i A Or y A = 0 (car A est l origine du repère), donc on obtient : y = x i 0 sin 2 2 sin 2 (u) du. (i A ) i A e) Sachant que on en déduit D où en posant puis 2 sin 2 (u) = 1 cos(2u), y = x i 0 sin 2 (1 cos(2u)) du. (i A ) i A y = x [ 0 sin 2 u 1 ] i (i A ) 2 sin(2u) = x 0 [i i A sin 2 12 ] (i A ) sin(2i) + y 0, y 0 = x [ 0 sin 2 i A 1 ] (i A ) 2 sin(2i A), y = x 0 2 sin 2 (i A ) [2i sin(2i)] + y 0. f) Les coordonnées du point M vérifient donc les relations : sin 2 (i) x = φ(i) = x 0 + x 0 sin 2 (i A ) D où, si on pose on obtient y = f(φ(i)) = y 0 + K = x 0 2 sin 2 [2i sin(2i)]. (i A ) x 0 2 sin 2 (i A ), { x = x0 + K(2 sin 2 (i)) y = y 0 + K (2i sin(2i)), et donc, puisque 2 sin 2 (i) = 1 cos(2i), { x x0 = K(1 cos(2i)) y y 0 = K (2i sin(2i)). 193

194 Un peu de physique Thème: Autour du principe de moindre action g) À présent, traçons l arc (AB) de cette courbe pour les valeurs indiquées. Remarquons que se donner le point B revient à se donner la valeur de l angle i A. En effet, si on se fixe x B, alors y B est une fonction continue et strictement croissante de i. Avec x 0 = 1 et i A = π 6, on trouve K = 2 et y 0 = 3 2π 3. (On peut noter que y 0 = K[sin(2i A ) 2i A ].) Puis, avec x B = 2, on trouve i B = π 3. Ce qui nous donne le système suivant : { x = 2(1 cos(2i)) 1 D où finalement l arc (AB) : y = 2 (2i sin(2i)) + 3 2π 3, i [ π 6 ; π 3 ]. Sources D. Proudhon, R. Rolland, P. Soubeyrand IREM d Aix-Marseille, Luminy Case 901, F13288 Marseille CEDEX 9 194

195 Un peu de physique Thème: Facteur d obscurité [Thème) Facteur d obscurité 1. Position du problème A un instant donné d une éclipse de Soleil, on peut considérer deux grandeurs relatives au défaut de luminosité engendré par l ombre de la Lune : La grandeur de l éclipse g, qui se définit comme suit : soit d la distance du bord du Soleil le plus rapproché du centre de la Lune au bord de la Lune le plus rapproché du centre du Soleil. Soit d autre part d S le diamètre du Soleil. Alors, par définition, g = d d S. Le facteur d obscurité f qui est le pourcentage de la surface du disque solaire étant éclipsée par la Lune. A partir d une photographie d éclipse, il est facile de calculer la grandeur g. Ce document explique plutôt comment calculer le facteur d obscurité f en fonction de grandeurs effectivement mesurables sur un cliché ne laissant paraitre que la zone du Soleil non occultée. C est en particulier l objet des deux sections suivantes. La section 4 expose quant à elle une démonstration d une formule essentielle ici [cf. formule 6.3] mais qui utilise des notions mathématiques que l on aborde en général en fin de classe de terminale. Enfin, on aborde en appendice les études de lunules du mathématicien grec Hippocrate de Chios qui fut le premier, au V e siècle av. J.C., à se pencher sur ce type de travaux. 2. Grandeurs effectivement mesurables Comme les grandeurs g et f sont des rapports, on peut bien entendu ne considérer que les distances apparentes sur une photographie plutôt que les distances réelles. C est ce qu on fera pour la suite. 195

196 Un peu de physique Thème: Facteur d obscurité 2.1. Notations On se place dans un repère orthonormé direct R défini comme suit : L origine de R est le centre O S du Soleil. Soit O L le centre de la lune. L axe des abscisses de R possède la même direction et le même sens que le vecteur O S O L avant le premier contact. Ces données déterminent automatiquement l axe des ordonnées de R. Comme unité de longueur, on peut prendre ce qu on veut, compte tenu du fait que l on va calculer un rapport d aire sans unité. Notons alors : P le point de la lune qui a touché le premier le soleil. Il appartient nécessairement à l axe des abscisses de R. Soit δ son abscisse. A 1 et A 2 les deux points d intersection des cercles solaires et lunaires. H le projeté orthogonal de ces deux points sur l axe des abscisses et h son abscisse. Remarquons que les points A 1, A 2 et H ne peuvent pas être définis lorsque le disque lunaire est contenu dans le disque solaire. Ceci n est pas génant puisque ce cas de figure se résout facilement [cf. 3.1]. R S le rayon du Soleil R L celui de la Lune. 196

197 Un peu de physique Thème: Facteur d obscurité 2.2. Protocole de mesure Pour calculer le facteur d obscurité f à un instant donné, on a besoin de déterminer, en les mesurant, les nombres δ, h, R S et R L [cf. formule 6.3]. Une photographie ne devrait faire apparaitre que la portion non occultée du Soleil, ce qui suffit toutefois pour obtenir les grandeurs recherchées : 1. On trace le segment [A 1 A 1 ] puis sa médiatrice qui est en fait l axe des abscisses de R. L intersection de ces deux objets est bien entendu le point H. 2. Pour déterminer R S, on utilise un procédé standard qui permet de tracer un diamètre à partir d un cercle seul (ou même une portion plus grande qu un demi-cercle) : on trace une corde du cercle puis la médiatrice de celle-ci qui est nécessairment un diamètre du cercle considéré. Ceci permet d obtenir R S mais aussi de placer le centre O S. 3. Les points O S, H étant placés, on peut ainsi mesurer δ et h. Rappellerons qu ils peuvent être négatifs si on tient compte des orientations choisies. 4. On mesure R L à partir du même procédé que pour R S mais seulement à partir d une photographie où le disque lunaire est entièrement contenu dans le disque solaire. 3. Expressions du facteur d obscurité 3.1. Un premier cas simple Lorsque le disque lunaire est entièrement contenu dans le disque solaire, il est aisé de montrer que ( ) 2 RL f = 100. (6.1) R S 197

198 Un peu de physique Thème: Facteur d obscurité Cette formule s applique donc lorsque δ vérifie R S δ R S 2R L. (6.2) 3.2. Deuxième cas Lorsque δ ne vérifie pas l encadrement (6.2), on doit travailler un peu plus. Rappelons d abords comment se définit la fonction arccosinus. Soit x [ 1; 1]. Il existe deux angles orientés dont le cosinus vaut x. On choisit celui dont la mesure principale (en radian) appartient à [0; π] et la quantité arccos(x) est alors justement cette mesure. Remarque. La fonction arccos est en fait la fonction réciproque de la fonction qui est continue et strictement décroissante. Posons ensuite, toujours pour x [ 1; 1], cos : [0; π] [ 1; 1] η(x) = arccos(x) x 1 x 2. Alors le facteur d obscurité peut se calculer selon la formule suivante : [ (RL ) 2 f = ( ) 2 ( ) RL h δ RL η + 1 ( ) ] h π π η. (6.3) R S R S R S R L 3.3. Commentaires Remarquons que h est la mesure algébrique O S H et que h δ R L = O L H, ce qui permet de réecrire (6.3) sous une forme plus géométrique : [ (RL ) 2 f = ( ) 2 ( ) RL OL H η + 1 ( ) ] R S π R S R L π η OS H. R S 198

199 Un peu de physique Thème: Facteur d obscurité 4. Démonstration de la formule principale Pour établir la formule (6.3), on utilise la théorie de l intégration dont on rappelle d abords les principes fondamentaux Calcul intégral Considérons une fonction g défine sur un intervalle [a, b] et notons Γ sa courbe dans un repère orthonormé. On suppose que g est positive et continue (i.e. sa courbe Γ peut se tracer sans lever le stylo ). Une primitive de g est une fonction G, dérivable sur [a, b] et telle que G = g. La théorie d intégration de Riemann affirme notamment que g admet nécessairement une primitive G et que l aire (en unité d aire) du domaine délimité par la courbe Γ, l axe des abscisses et les droites d équations respectives x = a et x = b vaut ce qu on note : b a A = G(b) G(a), g(x)dx = [G(x)] b a = G(b) G(a). Le premier membre du calcul précédent s appelle l intégrale de a à b de la fonction g. Celle-ci est appelée intégrande Application au calcul d une aire On applique les principes précédents pour exprimer l aire de la partie de la zone d occultation (Z) située au dessus de l axe des abscisses. Dans le repère considéré, les bords des deux astres sont assimilés à des cercles qui admettent les équations cartésiennes suivantes : x 2 + y 2 = RS 2, pour le Soleil ; (x δ R L ) 2 + y 2 = RL 2, pour la Lune. On introduit ainsi les fonctions S : [ R S, R S ] R x R 2 S x2 et L : [δ, δ + 2R L ] R x R 2 L (x δ R L) 2 dont les courbes sont les moitiés supérieures des cercles considérés. 199

200 Un peu de physique Thème: Facteur d obscurité D après le paragraphe 4.1, l aire de la partie de (Z) qui est située au dessus de l axe des abscisses vaut la somme A = h L(x)dx + Rs δ h S(x)dx Calculs des intégrales Intégrale de L. h h ( ) 2 h dc x dc L(x)dx = R L 1 dx = R 2 R L L 1 u2 du, δ δ R L δ dc R L où l on a posé u = x dc R L (donc R L du = dx). Notons que l dc R L = 1 ce qui entraîne que h δ L(x)dx = R 2 L h dc R L 1 1 u2 du. Intégrale de S. RS où, cette fois-ci, u = x R S h RS ( x S(x)dx = R S 1 h R S ) 2 R S dx = RS 2 R S 1 u2 du, h R S (donc R S du = dx), ce qui entraîne finalement que RS h S(x)dx = R 2 S 1 h R S 1 u2 du. Finalement, A = R 2 L h dc R L 1 1 u2 du + R 2 S 1 h R S 1 u2 du. 200

201 Un peu de physique Thème: Facteur d obscurité Utilisation d une fonction auxiliaire. Afin de structurer un peu les calculs, on introduit la fonction η, définie sur l intervalle [ 1; 1] par η(x) = arccos(x) x 1 x 2. Lemme 1: Calcul de I(a, b) Soient a et b deux réels tels que 1 a b 1. Alors, En particulier, I(a, b) := b a 1 u2 du = 1 [η(a) η(b)]. 2 I( 1, b) = 1 2 [π η(b)] et I(a, 1) = 1 2 η(a). Démonstration de 1. C 1 omme 1 a b 1, on peut poser u = cos(t) (donc du = sin(t)dt) ce qui donne I(a, b) = = = 1 2 = 1 2 arccos(b) arccos(a) arccos(b) arccos(a) arccos(b) arccos(a) 1 cos2 (t) sin(t)dt sin 2 (t)dt [ t sin(2t) 2 (1 cos(2t)) dt ] arccos(b) arccos(a) = 1 [arccos(a) arccos(b) 2 sin(arccos(a)) cos(arccos(a)) + sin(arccos(b)) cos(arccos(b))] = 1 [arccos(a) arccos(b) a 1 a b ] 1 b 2 = 1 [η(a) η(b)]. 2 La deuxième assertion du lemme vient du fait que arccos( 1) = π et arccos(1) = 0 puisque cos(π) = 1 et cos(0) =

202 Un peu de physique Thème: Facteur d obscurité Conséquence : L aire A vaut A = R2 L 2 [ π η ( )] h δ RL R L ( ) + R2 S h 2 η, R S d où l on déduit que celle de la zone (Z) est ( ) h δ Z := 2A = πrl 2 RLη 2 RL R L en unité d aire. Notons qu en tenant compte des égalités h = O S H et h δ R L = O L H ( ) h + RSη 2, R S on obtient aussi ( ) ( Z = πrl 2 RLη 2 OL H + RSη 2 OS H R L R S ). (6.4) 4.4. Rapport d occultation et facteur d obscurité Le rapport d occultation peut naturellement être défini comme le quotient de l aire Z de la zone d occultation sur celle du disque solaire : q = Z ( ) 2 RL = 1 ( ) 2 ( ) RL h δ RL η + 1π ( ) π η. hrs πr 2 S R S R S Finalement, le facteur d obscurité est construit selon la même structure mais ramené à une base 100, puisque c est un pourcentage : [ (RL ) 2 f = 100 q = ( ) 2 ( ) RL h δ RL η + 1 ( ) ] h π π η. R S R S R S R L R L 5. Les lunules d Hippocrate 5.1. Biographie : Hippocrate de Chios Mathématicien grec du V e siècle av. J.C qu il ne faut pas confondre avec le célèbre Hippocrate, père du fameux serment que les médecins prêtent lors de l obtention de leur diplôme. Précurseur d Euclide, épris de synthèse et d organisation systématique des mathématiques, Hippocrate de Chios étudia notamment les problèmes de la quadrature du cercle et de la duplication du cube. Selon la tradition, il est d abord un commerçant de Chios dont les marchandises sont un jour dérobées par des pirates vers 430 av. J.C. Furieux, il les poursuit jusqu à Athènes mais ne parvient pas à recouvrer son bien. Cependant, fasciné par cette ville, il s y installe et suit des cours de mathématiques. Puis, pour gagner sa vie, enseigne à son tour la géométrie. D après Aristote, Hippocrate fut l un des plus éminents géomètres ayant existé, mais pour le reste, poursuivait-il, il était niais et stupide. 202

203 Un peu de physique Thème: Facteur d obscurité Il s intéresse alors au problème de la duplication du cube : Etant donné un cube, comment construire à la règle et au compas un deuxième cube dont le volume est le double du premier. Il se rend compte que ce problème se ramène à un problème de proportions dit de la moyenne proportionnelle : Etant donner un nombre positif a, on cherche à construire un nombre x tel que x 3 = 2a 3. Ce problème, qui revient à construire le nombre 3 2, est en fait insoluble mais il faudra attendre les découvertes de Galois 1 pour le prouver : les seuls nombres constructibles sont ceux qui sont solutions d équations algébriques à coefficients entiers dont le degré est une puissance de 2 alors que 3 2 est solution de x 3 2 = 0. On attribue d autre part à Hippocrate de Chios les Livres III et IV des Eléments d Euclide 2. Le Livre III concerne les propriétés du cercle et le Livre IV celles de certaines figures polygonales inscrites ou circonscrites à un cercle. A ce titre, on le considère comme le plus ancien géomètre capable de donner une théorie construite. Il s attaque aussi à la quadrature du cercle (tout aussi insoluble que la duplication du cube 3 ) à l aide de portions de plan limitées par deux arcs de cercles de rayons distincts appelées lunules. Définition 2: [ L unule] Une lunule est une surface délimitée par deux arcs de cercles ayant les mêmes extrémités. Ce fut le premier à carrer une figure courbe, c est à dire à en trouver un carré de même aire. Il carra en fait trois lunules que l on évoque aux sous-sections suivantes. Il serait également le père du raisonnement par l absurde : P et Q étant deux assertions, on veut montrer l implication P Q. Une démonstration par l absurde consiste à supposer que P et non-q sont vraies simultanément et d obtenir une contradiction. Dans les deux sous-sections suivantes, on décrit les raisonnements suivis par Hippocrate de Chios qui lui permirent de carrer pour la première fois dans l histoire des mathématiques des surfaces non rectilignes. La section B a pour objet un troisième résultat, appelé le théorème d Hippocrate [cf. 6], que l on redémontre à l aide de la formule (6.4). Ce résultat donne d autre part une généralisation du théorème de Pythagore. 1 Evariste Galois ( ) : mathématicien français qui étudia la résolubilité des équations algébriques. Ces travaux sont encore l objet de recherches et ont de nombreuses applications dans toutes les sciences, y compris humaines 2 Euclide : III e siècle av. J.C., fondateur de l école de mathématiques d Alexandrie, auteur des Eléments où il fonda l arithmétique et la géométrie élémentaires 3 Cette fois c est le mathématicien allemand Lindemann ( ) qui le prouva en démontrant la transcendance de π : ce nombre n est solution d aucune équation algébrique à coefficients entiers 203

204 Un peu de physique Thème: Facteur d obscurité 5.2. Le premier carrage d une figure non rectiligne Soit un triangle ABC, rectangle et isocèle en A. Son cercle circonscrit admet l hypothénuse [BC] comme diamètre. On note Γ la moitié de ce cercle qui possède le point A. Les arcs de cercle AB et AC sont isométriques puisque ABC est isocèle en A. On considère alors l arc de cercle BC intérieur au triangle et semblable à AB (et AB) ainsi que le rapport de similitude k = AB BC = AC BC. Ces données définissent naturellement une lunule (en jaune sur la figure) notée L BC. Proposition 3: S o us les hypothèse précédentes, le triangle ABC et la lunule L BC ont la même aire. La démonstration donne un premier exemple de la méthode d exhaustion, fréquemment utilisée dans les mathématiques grecques et qui consiste à découper une surface de deux manières différentes afin d obtenir une égalité que l on cherche ensuite à exploiter. Démonstration de 3. L 3 a surface à découper est ici le demi-disque délimité par Γ et [BC] dont on note D l aire (cf. (6.5)). Considérons pour cela les trois portions de disque respectivement délimitées par les arcs de cercle AB, AC et BC d une part et les côtés [AB], [AC] et [BC] d autre part. On désigne par α l aire commune des deux premiers (surface hachurées en rouge sur la figure) et A celle du dernier (coloriée en vert). Si on note enfin L l aire de la lunule L BC et T celle de ABC alors on a les égalités d où l on tire D = T + 2α = L + A, (6.5) T = L + (A 2α). (6.6) Or le rapport de similitude k permet de relier les aires des portions de disque selon α = k 2 A = AB2 BC 2 A = AC2 BC 2 A, 204

205 Un peu de physique Thème: Facteur d obscurité donc, d après le théorème de Pythagore, La relation (6.6) devient donc T = L. 2α = AB2 BC 2 A + AC2 BC 2 A = AB2 + AC 2 BC 2 = BC2 BC 2 A = A. A 5.3. Exercice : une deuxième lunule carrable On considère un triangle ABC isocèle et rectangle en A, son cercle circonscrit Γ et le cercle Γ de diamètre [BC]. Ce deux cercles s interceptent en B et C et on note L BC la lunule extérieure au triangle correspondante. Montrer que le triangle ABC et la lunule L BC ont la même aire. Indication. On pourra exprimer de deux manières différentes l aire de la surface globale pour obtenir une relation entre l aire du triangle et celle de la lunule puis utiliser le théorème de Pythagore. 6. Lunules et théorème de Pythagore 6.1. Le résultat Considérons un triangle ABC rectangle en A ainsi que les cercles de diamètres respectifs [AB], [AC] et [BC]. Comme ABC est rectangle en A, le dernier est son cercle circonsconscrit et on définit ainsi deux lunules L AB et L AC extérieures au triangle, comme représenté ci-après. 205

206 Un peu de physique Thème: Facteur d obscurité Théorème 4: [ H ippocrate] Sous les hypothèses précédentes, la somme des aires des deux lunules L AB et L AC est égale à l aire du triangle ABC La démonstration d Hippocrate Soient : D AB, D AC et D BC les aires des demi-disques de diamètres respectifs [AB], [AC] et [AC] ; L la somme des aires des deux lunules L AB et L AC ; T l aire du triangle ABC. En considérant l aire globale de la figure de deux manières différentes, on obtient l égalité équivalente à la suivante : Or : T + D AB + D AC = D BC + L, T + (D AB + D AC D BC ) = L. (6.7) ( ) 2 ( ) 2 ( AB AC BC D AB + D AC D BC = π + π π = π2 4 (AB2 + AC 2 BC 2 ) = 0, d après le théorème de Pythagore. La relation (6.7) devient donc T = L, ce qu il fallait démontrer. ) 2 206

207 Un peu de physique Thème: Facteur d obscurité 6.3. Une généralisation du théorème de Pythagore Le théorème de Pythagore est au coeur de la preuve précédente. En fait, il peut être généralisé au cas de figures semblables : Théorème 5: [ P ythagore généralisé] Trois figures semblables étant construites sur les trois côtés d un triangle rectangle, l aire de celle construite contre l hypoténuse est égale à la somme des aires des deux autres. Le théorème d Hippocrate est ainsi une simple conséquence du théorème précédent. En utilisant les notations de la figure de droite aux trois demi-disques dont les diamètres sont les côtés du triangle, on obtient : c + d + e = (a + d) + (b + e), qui se simplifie en c = a + b. C est bien la relation entre les aires des trois lunules évoquée dans le théorème