INTRODUCTION AUX SYSTEMES LINEAIRES
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- Adèle Martel
- il y a 5 ans
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1 INODUION AUX SYSEES LINEAIES ors 4. eprésettio itere, éqtios d étt L tomtiqe modere, prtir de lqelle c est développé l représettio d étt por l commde, pprit prtir des ées 6 por permettre l commde de sstèmes complees, tels qe les pplictios sptiles Apolo et Polris, les qelles possèdet mltiples etrées et sorties (IO), et des critères de foctioemet de pls e pls sévères. So développemet et pplictio grdit vec l sge des orditers. Déjà tilisée ds d tres disciplies : éciqe o l hermodmiqe. Eemple, le comportemet mcroscopiqe d gz pet être décrit et prédit à l ide d omre fii de vriles phsiqes : le volme d gz, l pressio p et l tempértre de ce gz. L esemle (p,, ) costite l étt thermodmiqe mcroscopiqe d gz. Il évole cors d temps sivt les coditios de l eviroemet etérier sstème (pport de chler pr eemple) et pet doc être crctérisé pr so comportemet dmiqe. Aisi, l étt dmiqe d sstème pet être crctérisé pr esemle de vriles iteres ppelées vriles d étt. et esemle résme complètemet l cofigrtio dmiqe corte d sstème. Por cel, il doit coteir omre miiml de vriles d étt écessires et sffistes por décrire les dmiqes d sstème.
2 INODUION AUX SYSEES LINEAIES Le choi de cet esemle miiml est ps iqe, mis doit comporter omre tojors idetiqe de vriles d étt idépedtes. el sigifie qe les vlers iitiles de chce des vriles d étt costitt l esemle pevet être fiées de mière ritrire. L étt iitil d sstème doit isi costiter s mémoire : étt doé l étt d sstème à istt doé, l coissce d pssé e doe ps d iformtio dditioelle sr le ftr comportemet d sstème. Il ft doc défiir ssi des foctios (éqtios d étt) por fire l prédictio d ftr, les foctios cormmet tilisées sot celle résltt d e itégrtio. DEFINIION Ett L étt d sstème est esemle de vriles ((t)) telles qe lers vlers istt t t, vec les sig d etré ((t)) por tot temps t t, et les éqtios qi décrivet les dmiqes [f(,, t), g(,, t)], pevet prédire les vlers ftres des étts ((t)) et sorties (t) d sstème, por tot temps t t. emrqe : Les étts e représetet ps écessiremet des vriles phsiqes d sstème. Dlhoste Je-Frçois.- Uiversidd de Los Ades. Esc. Ig. ecáic. Dpto. iecis érmics - Greole INP. ENSE.Gips-l.
3 INODUION AUX SYSEES LINEAIES AIABLES DANS LA EPESENAION D EA L représettio d étt tilise trois tpes de vriles, orgisés e forme de vecters : Etts : (t) [ (t), (t),, (t)] Etrées : (t) [ (t), (t),, r (t)] Sorties : (t) [ (t), (t),, m (t)], m et r, représetet respectivemet le omre de vriles d étt, de sortie et d etrée. EQUAIONS DANS LA EPESENAION D EA Les éqtios tilisés por l représettio d étt sot les prodites pr des foctios d itégrtio, et pevet vrier sivt le tpe de sstème. Aisi por : Sstème No Liéire (t) f(,, t) Eqtio d étt (t) g(,, t) Eqtio de sortie Sstème Liéire (t) A(t)(t) B(t)(t) Eqtio d étt (t) (t)(t) D(t)(t) Eqtio de sortie Dlhoste Je-Frçois.- Uiversidd de Los Ades. Esc. Ig. ecáic. Dpto. iecis érmics - Greole INP. ENSE.Gips-l.
4 INODUION AUX SYSEES LINEAIES 4 Avec : A(t) mtrice d étt B(t) mtrice d etrée (t) mtrice de sortie D(t) mtrice de trsitio directe Ds le cs o les foctios o vecters de foctios f et g, o les mtrices A, B, et D, sot foctio d temps, le sstème pred le om de sstème temps vrit, ds le cs cotrire il pred le om de sstème temps ivrit, por le cs des sstèmes liéires ils se ommet Liéire emps Ivrit (LI). Ds le cs des sstèmes LI, les éqtios sot simplifiées : (t) A(t) B(t) Eqtio d étt (t) (t) D(t) Eqtio de sortie eprésettio d étt de sstèmes dmiqes Il est possile d oteir des représettios d étt, e forme mtricielle, por sstème SISO prtir d e sele éqtio différetielle o por sstème IO, prtir de plsiers de ces éqtios représett les reltios etre les vriles. Dlhoste Je-Frçois.- Uiversidd de Los Ades. Esc. Ig. ecáic. Dpto. iecis érmics - Greole INP. ENSE.Gips-l.
5 INODUION AUX SYSEES LINEAIES 5 eprésettio d étt à prtir d e éqtio différetielle ordiire (SISO tpiqemet) s d e éqtio différetielle ordiire d ordre ss dérivées des termes d etrée: O sppose les coditios iitiles (), (), () et l etrée (t) por temps t coes, il est doc possile de choisir les vriles d étt tels qelles pisset défiir complètemet le ftr d sstème, o pe doc choisir : L éqtio différetielle pe doc s écrire sos l forme de plsiers éqtios d étt, et e éqtio de sortie: Dlhoste Je-Frçois.- Uiversidd de Los Ades. Esc. Ig. ecáic. Dpto. iecis érmics - Greole INP. ENSE.Gips-l.
6 INODUION AUX SYSEES LINEAIES Dlhoste Je-Frçois.- Uiversidd de Los Ades. Esc. Ig. ecáic. Dpto. iecis érmics - Greole INP. ENSE.Gips-l. 6 O e forme mtricielle: B A Avec:
7 INODUION AUX SYSEES LINEAIES 7 A B [ ] emrqe : L représettio d étt d sstème est ps iqe, cr celle-ci déped de l sélectio des vriles d étt, cepedt por totes les représettios d étt por même sstème rot le même omre de vriles d étt. Eemple : Por le sstème méciqe de l figre, dot l éqtio qi représete s dmiqe est : K F F Avec : F K Il est possile de défiir les vriles d étt sivtes : O sstite ces vriles d étt ds l éqtio : K K ( ) Dlhoste Je-Frçois.- Uiversidd de Los Ades. Esc. Ig. ecáic. Dpto. iecis érmics - Greole INP. ENSE.Gips-l.
8 INODUION AUX SYSEES LINEAIES Dlhoste Je-Frçois.- Uiversidd de Los Ades. Esc. Ig. ecáic. Dpto. iecis érmics - Greole INP. ENSE.Gips-l. 8 Ue représettio d étt d sstème est : K E forme mtricielle : B A Avec : K A B [ ] s d e éqtio différetielle ordiire d ordre ss dérivées des termes d etrée: O sppose les coditios iitiles (), (), () et l etrée (t) por temps t coes, il est doc possile de choisir les vriles d étt tels qelles pisset défiir complètemet le ftr d sstème. Il est écessire ds ce cs d ler les dérives de l etrée. O pe doc choisir :
9 INODUION AUX SYSEES LINEAIES Dlhoste Je-Frçois.- Uiversidd de Los Ades. Esc. Ig. ecáic. Dpto. iecis érmics - Greole INP. ENSE.Gips-l. 9,, sot des coefficiets détermier vec les epressios: Β Avec ce choi de vriles d étt o otiet l représettio d étt sivte :
10 INODUION AUX SYSEES LINEAIES Dlhoste Je-Frçois.- Uiversidd de Los Ades. Esc. Ig. ecáic. Dpto. iecis érmics - Greole INP. ENSE.Gips-l. O e forme mtricielle: B A Avec: A B [ ] D
11 INODUION AUX SYSEES LINEAIES Dlhoste Je-Frçois.- Uiversidd de Los Ades. Esc. Ig. ecáic. Dpto. iecis érmics - Greole INP. ENSE.Gips-l. Eemple : Oteir e représettio d étt por l éqtio differetielle: O défiir les étts sivts : Avec : ( ) L représettio d étt est: [ ]
12 INODUION AUX SYSEES LINEAIES eprésettio d étt à prtir de plsiers éqtios différetielles d sstème Il est ssi possile de d oteir e représettio d étt directemet des éqtios différetielles de chqe élémet d sstème, o des éqtios itermédiires. Eemple : Por le sstème thermiqe qi représete le hermomètre de mercre vec coqe e civre. Les de srfces et le mercre soret de l chler: : ercre, : erre, : ivre, Etre chqe élémet o e résistce de cotct:,,. Les éqtios de se sot : Q Q Q E ) Q Q D ) Q Q D ) Q D E Q 4) Q Q 5) 6),,,, Q, Q, Q 6 éqtios 7 vriles ( E ) Dlhoste Je-Frçois.- Uiversidd de Los Ades. Esc. Ig. ecáic. Dpto. iecis érmics - Greole INP. ENSE.Gips-l.
13 INODUION AUX SYSEES LINEAIES Dlhoste Je-Frçois.- Uiversidd de Los Ades. Esc. Ig. ecáic. Dpto. iecis érmics - Greole INP. ENSE.Gips-l. O vet oteir e représettio d étt qe représete le sstème vec l reltio etrée sortie ( ) E f Por cel o pet rédire le modèle d sstème de si à trois éqtios, et vec selemet les tempértres comme vriles : 7) D E 8) D 9) D L etrée est : E et l sortie :. O pet choisir comme étts : Avec ces défiitios o réécrit les éqtio d sstème :
14 INODUION AUX SYSEES LINEAIES Dlhoste Je-Frçois.- Uiversidd de Los Ades. Esc. Ig. ecáic. Dpto. iecis érmics - Greole INP. ENSE.Gips-l. 4 O otie doc e représettio d étt d sstème : O e forme mtricielle: B A Avec: A B [ ]
15 INODUION AUX SYSEES LINEAIES 5 Eemple : Soit les sstème méciqe IO vec de etrées (F et F ) et de sorties ( et ): F Les éqtios d sstème sot : F K ( ) D( ) D F K ( ) D( ) K D D K F Ds ce cs o : Y F F K O choisi comme étts : [ D D ] O sstite sr les éqtios origielles et o otiet : K K 4 K K 4 K 4 4 Dlhoste Je-Frçois.- Uiversidd de Los Ades. Esc. Ig. ecáic. Dpto. iecis érmics - Greole INP. ENSE.Gips-l.
16 INODUION AUX SYSEES LINEAIES 6 O otiet l représettio d étt : K K K (K K ) ( ) 4 O e forme mtricielle: A B Avec : K K A K K K Devoir : lire chpitre de [9] B Dlhoste Je-Frçois.- Uiversidd de Los Ades. Esc. Ig. ecáic. Dpto. iecis érmics - Greole INP. ENSE.Gips-l.
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