EXERCICE 8.1 Soit U une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [0, 1[, et soit λ > 0. On pose X = 1 λ

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1 TD 8 : VARIABLES ALÉATOIRES À DENSITÉ EXERCICE 8. Soi U une variable aléaoire suivan la loi uniforme sur [, [, e soi λ >. On pose X = λ ln( U ). Déerminer la loi de X. EXERCICE 8. Monrer que la foncion f : ln si < es une densié de probabilié. sinon Soi X une variable aléaoire de densié f. Monrer que X adme des momens de ou ordre e les calculer. EXERCICE 8.3 Loi de Pareo e loi eponenielle Soi X une variable aléaoire suivan la loi eponenielle E(a), a >. On pose alors Y = e X.. Déerminer la foncion de répariion de Y. En déduire que Y es une variable à densié e en donner une densié.. À quelle condiion sur a la variable aléaoire Y adme-elle une espérance? Calculer alors E(Y ). 3. Donner une condiion nécessaire e suffisane pour que Y admee une variance, e lorsque cee condiion es vérifiée, calculer V (Y ). EXERCICE 8.4 Minimum de deu lois eponenielles Soien X e Y deu variables aléaoires indépendanes sur (Ω, A, P) elles que X E(λ) e Y E(µ). Déerminer la loi de Z = min(x,y). EXERCICE 8.5 Pour ou réel, on pose f () = e.. Monrer que f es une densié de probabiliés.. Soi X une variable aléaoire de densié f e Y = X. Monrer que Y es une variable à densié e en déerminer une densié. EXERCICE 8.6 Soi X une variable aléaoire sur (Ω, A, P) qui sui une loi normale cenrée réduie. Soi Y une variable aléaoire définie sur le même espace elle que P(Y = ) = p e P(Y = ) = p. Monrer que Z = XY a même loi que X. EXERCICE 8.7 Calcul d inégrales gaussiennes à l aide de lois normales En uilisan des lois normales bien choisies, calculer les valeurs des inégrales suivanes : I = e ( 8) d, J = e 4 8 d, K = e 4 8 d. EXERCICE 8.8 Soi n N e λ >. Soien X,Y deu variables aléaoires définies sur un même espace probabilisé (Ω, A, P) elles que X γ (n) e Y P(λ). Monrer que P(X > λ) = P(Y < n). EXERCICE 8.9 Soi X une variable aléaoire suivan la loi normale N(, 4), e soi Y = X. Monrer que Y es une variable à densié e en déerminer une densié. Déerminer l espérance e la variance de Y. EXERCICE 8. Soi X une variable aléaoire suivan la loi γ de paramère ν.. Monrer que pour ou n N, X adme un momen d ordre n, e calculer ce momen.. On pose Y = e X. Monrer que Y es une variable à densié, e donner une de ses densiés. 3. Monrer que Y n adme pas d espérance. EXERCICE 8. (QSP ESCP 6) Soi X une variable aléaoire suivan la loi eponenielle E(λ), λ >, de densié f. On défini une foncion G sur R par. Déerminer la foncion G. G() = P(X )f ()d.. Monrer que G es la foncion de répariion d une variable à densié Y, e donner une densié д de Y. EXERCICE 8. Somme de deu lois eponenielles Soien X e Y deu variables aléaoires indépendanes suivan la même loi eponenielle E(λ). On pose Z = X + Y.. Déerminer la loi de λx.. En déduire la loi de λz, puis une densié de Z. EXERCICE 8.3 Soien X e Y deu variables aléaoires indépendanes sur un même espace probabilisé (Ω, A, P) elles que X E(3) e Y E(5). Déerminer la loi de Z = 3X + 5Y. F AD AD AD F ECS LYCÉE FAURIEL 7 8

2 EXERCICE 8.4 Soien X e Y deu variables aléaoires indépendanes suivan la loi normale N(, ). Déerminer la loi de 3X Y. EXERCICE 8.5 Différence de deu lois eponenielles (D après ECRICOME ) Soien X e Y deu variables aléaoires à densié définies sur le même espace probabilisé (Ω, A, P), indépendanes, e elles que X E(a) e Y E(b), où a e b son deu réels sricemen posiifs.. Déerminer une densié de la variable aléaoire X.. Monrer que Y X adme pour densié la foncion h définie par h() = ab a+b e b si > ab a+b ea si EXERCICE 8.6 Soien X e Y deu variables aléaoires elles que X γ (ν ) e Y γ (ν ), avec ν < ν. Monrer que pour ou R, P(X ) P(Y ). Indicaion : inroduire une variable Z, indépendane de X, qui sui la loi γ (ν ν ). EXERCICE 8.7 Loi de Gomperz On pose, pour R, f () = e e.. Monrer que f es une densié de probabilié.. Soien X e Y deu variables aléaoires indépendanes sur (Ω, A, P) ayan oues deu f pour densié. (a) Déerminer une densié de Y. (b) Monrer que Z = X Y possède une densié, e la déerminer (on pourra à ce effe uiliser le changemen de variables u = e ou u = e e uiliser l espérance d une loi eponenielle). EXERCICE 8.8 Produi de deu uniformes Soien X e Y deu variables aléaoires sur (Ω, A, P), indépendanes e suivan oues deu la loi uniforme U([, ]).. Déerminer la loi de Z = ln X.. On admera (emporairemen) que Z e T = lny son indépendanes. Déerminer la loi de Z +T, puis la foncion de répariion de XY e enfin une densié de XY. EXERCICE 8.9 Quoien de lois eponenielles Soien X e Y deu variables aléaoires indépendanes sur (Ω, A, P) suivan la loi eponenielle de paramère.. Monrer que pour une densié de X Y es donnée par. Déerminer la foncion de répariion de U = X Y. e f : + e / + si si < En déduire que U es une variable à densié e en déerminer une densié. X 3. Déerminer la loi de X + Y. EXERCICE 8. (QSP HEC 3) Soi X une variable aléaoire possédan une densié de probabilié coninue sur R e nulle en dehors de ], [.. Monrer que X possède une variance, qui es sricemen comprise en e.. Monrer que oue valeur de l inervalle ouver ], [ es effecivemen possible pour la variance de X. EXERCICE 8. Différences des carrés de deu uniformes (Oral HEC 6) F AD AD AD AD TD D. Soi f la foncion définie sur R par : R, f () = si < sinon (a) Monrer que f es une densié de probabiliés. (b) Donner l allure de la représenaion graphique de la foncion de répariion d une variable aléaoire réelle de densié f. (c) Trouver la loi de Y = X lorsque X es une variable aléaoire posiive admean f pour densié.. (a) Pour quelles valeurs réelles de s l inégrale (b) Calculer alors s s d ( s) es-elle convergene? d ( s) en uilisan le changemen de variable = s. 3. On considère deu variables aléaoires X e Y, indépendanes, admean chacune f pour densié. (a) Proposer une méhode de simulaion en Scilab de la variable aléaoire S = X Y. (b) Démonrer que S es une variable aléaoire à densié e en donner une densié coninue sur R. ECS LYCÉE FAURIEL 7 8

3 CORRECTION CORRECTION DES EXERCICES DU TD 8 SOLUTION DE L EXERCICE 8. Puisque U es à valeurs dans [, [ X es à valeurs dans R +. E donc pour <, F X () =. Soi. Alors F X () = P ( λ ) ln( U ) = P(ln( U ) λ). Par croissance de la foncion eponenielle, on a alors Suppor En fai, U peu égalemen prendre la valeur, mais ceci n arrivan qu avec probabilié, on se perme de le négliger. F X () = P( U e λ ) = P(U e λ ) = F U ( e λ ). Mais e λ [, ], e nous connaissons la foncion de répariion de U qui es donnée par si < F U () = si si > On a donc F X () = e λ. Donc la foncion de répariion de X es F X () = si < e λ si Nous reconnaissons là la foncion de répariion d une variable aléaoire suivan la loi eponenielle E(λ) e donc X E(λ). SOLUTION DE L EXERCICE 8. Pour ], ], ln(), donc f (). Puisque f es nulle en dehors de ], ], on en dédui que f es posiive sur R. f es coninue sur R, sauf peu-êre en e en. Enfin, pour A ], ], on a Donc dédui que A f ()d = A ln d = [ ln + ] A = + A ln(a) A A +. f ()d converge e vau. Comme de plus f es nulle en dehors de ], ], on en f ()d converge e vau. Ainsi, f es une densié de probabilié. Soi r N. Si X es une variable aléaoire de densié f, d après le héorème de ransfer, E(X r ) eise si e seulemen si r f ()d = r ln d converge absolumen. Mais la foncion r ln() es coninue sur ], ] e par croissances comparées, elle es prolongeable par coninuié en puisque lim r ln =. Donc r ln d converge e ainsi X adme un momen d ordre r. Afin de le calculer, procédons à une inégraion par paries sur un segmen ]A, ], A ], ]. On a ] r r + ln d = [ln r A r + A r + d Ainsi, il vien = Ar + ln A r + A + (r + ) E(X r ) = A r ln d = (r + ) + A r (r + ) (r + ). Rappel Par définiion, avoir la même loi signifie avoir la même foncion de répariion. Il n y a pas besoin de prouver qu elles on les mêmes densiés (ce qui es auomaique). En fai f es coninue en, mais ne perdons pas de emps à le vérifier, on a le droi à un nombre fini de poins de disconinuié. IPP On a posé u = ln e v = r + r +, qui son bien oues deu de classe C sur ]A, ]. ECS LYCÉE FAURIEL 7 8 M. VIENNEY

4 TD 8 SOLUTION DE L EXERCICE 8.3. Puisque X ne prend que des valeurs posiives, Y ne prend que des valeurs supérieures à : P(Y ) = si <. Pour, on a, par croissance du logarihme, F Y () = P e X = P(X ln ) = e a ln() = a. Rédacion Ne pas oublier ce argumen de croissance : c es lui qui jusifie qu on ne change pas le sens des inégaliés. si < Ainsi, F Y () = a si En pariculier, F Y es C sauf peu-êre en. Puisque lim F Y () = = lim F Y () = F + Y (), F Y es coninue en. Éan déjà coninue sur R\{}, on en dédui que F Car C Y es coninue sur R e C sauf peu-êre. en. E donc Y es une variable à densié. Une densié de Y es alors oue foncion qui coïncide avec F Y là où celle-ci es définie. Par.5 eemple, on peu prendre si < f Y () = a a+ si.5 a =.5 a = a = a = 4. D après le héorème de ransfer, Y adme une espérance si e seulemen si e f X ()d = ae e a d = ae (a ) d converge absolumen. Or c es le cas si e seulemen si a > a >. Dans ce cas, on a alors E(X ) = a a. 3. On a Y = e X, e donc par le héorème de ransfer, Y adme un momen d ordre deu si e seulemen si e f X ()d = ae (a ) d converge absolumen. C es le cas si e seulemen si a > a >. Dans ce cas, on a alors E Y = a a. E donc par la formule de Huygens, V (Y ) = E ( Y ) E(Y ) = a a a (a ) = a(a ) a (a ) a (a )(a ) = (a )(a ). 3 4 FIGURE 8. La densié f Y. Noons qu il s agi de l inégrale d une foncion posiive, donc la convergence es équivalene à l absolue convergence. Alernaive Si on ne veu pas faire appel au héorème de ransfer, on peu, comme d habiude uiliser E(Y ) = f Y () d (qui es ou de même le héorème de ransfer, mais dans un cas auquel nous sommes peu-êre plus habiués). SOLUTION DE L EXERCICE 8.4 Nous savons que [Z ] = [min(x,y) ] = [X ] [Y ]. X e Y éan indépendanes, on a, pour ou R, F Z () = P(Z ) = P([X ] [Y ]) = P(X )P(Y ) = ( F X ())( F Y ()). Or, on sai que F X () = si e λ si > e de même F Y () = si e µ si > On en dédui que F Z () = si e (λ+µ) si > Nous reconnaissons là la foncion de répariion d une loi eponenielle E(λ + µ), donc Z E(λ + µ). SOLUTION DE L EXERCICE 8.5 ECS LYCÉE FAURIEL 7 8 M. VIENNEY

5 CORRECTION 3. La foncion f es posiive car la foncion eponenielle ne prend que des valeurs posiives. De plus, éan coninue sur R, par composiion de foncions coninues, il en es de même de f. Enfin, par parié de la foncion f, on a, sous réserve de convergence, Or, nous savons, que f ()d = e d = e donc e d. e d converge e vau. Parié Rappelons que la parié perme de limier le domaine d éude mais ne dispense pas de vérifier la convergence de l inégrale en +. Inégrale C es la densié d une loi eponenielle E(), don l inégrale vau bien enendu. On en dédui donc que e d =. Ainsi, f es bien une densié de probabiliés.. La variable aléaoire Y es à valeurs dans R +, e donc pour <, on a F Y () =. Pour, alors F Y () = P(Y ) = P(X ) = P( X ). Donc F Y () = Ainsi, la foncion de répariion de Y es e d = e d = [ ] e = e. F Y : si < e si Par composiion de foncion coninues, F Y es coninue sur ] ; ] e sur ]; + [. De plus, on a lim F Y () = = = F + Y () donc F Y es coninue à droie en, donc coninue en. Par conséquen, elle es coninue sur R ou enier. De plus, F Y es C sur R e sur R+ par composiion de foncions C, e on a alors, R, F Y () = si < e si > Une densié de Y es alors n impore quelle foncion qui coïncide avec F Y là où celle-ci es définie, par eemple д() si e si > SOLUTION DE L EXERCICE 8.6 Soi R. Alors, en uilisan le sysème comple d événemens [Y = ], [Y = ], on a F Z () = P(Z ) =P([Z ] [Y = ]) + P([Z ] [Y = ]) =P([X ] [Y = ]) + P([X ] [Y = ]) =pp(x ) + ( p)( P(X )) =pφ() + ( p) ( Φ( )) Mais on sai que Φ( ) = Φ(), e donc F Z () = Φ(). Ainsi, Z a la même loi que X e sui donc une loi normale cenrée réduie. SOLUTION DE L EXERCICE 8.7. Pour R, on a 8 = ( 4) + 8 e donc Coninuié F Y es coninue à gauche en, donc il s agi surou de prouver qu elle es coninue à droie. Noons qu on pourrai se passer du calcul : une foncion de répariion es coninue à droie en ou poin. Densié Plus précisémen, il s agi de oue foncion qui coïncide avec F Y sauf évenuellemen en un nombre fini de poins. Donc on pourrai choisir de poser д() = 7, on obiendrai encore une densié. Mais ceci n a absolumen aucun inérê, donc il s agi surou de donner une valeur à la densié là où F Y n es pas définie (ici en ). Rappel La loi es déerminée par la foncion de répariion, donc si F Z = Φ, ceci suffi à garanir que Z sui une loi N(, ). e ( 8) d = e 8 e ( 4) d. ECS LYCÉE FAURIEL 7 8 M. VIENNEY

6 4 TD 8 Or, une densié de la loi normale N(4, ) es π e ( 4), de sore que E donc I = e 8 π.. De même, on a, pour R, π e ( 4) d = e ( 3) d = π. 4 8 = ( +4+8) = ( +8+6) = ( ) ( +4+8) = ( ) ( ( + ) + 4 ). Or, la densié d une loi normale N donc Ainsi J = (, ) es π e 4 4 d = π e ( ) (+) = π e 4 4. E e 4 4 d = π. e 4 8 d = e 4 e +4 4 d = e 4 π. Méhode On commence par faire apparaîre un, pusiqu il figure dans la densié d une loi normale. La suie es juse la mise sous forme canonique d un polynôme de degré deu qui a éé vue au lycée. On commence par facoriser par le coefficien dominan, puis une fois que l on a + b + c, il s agi de faire apparaire un carré conenan ous les ermes en (en l occurence, + b ) ( ), e enfin de s occuper des consanes. 3. Avec la même loi normale que précédemmen, en considéran son espérance 3, on obien 3 Qui vau Z. de sore que π e 4 4 d = SOLUTION DE L EXERCICE 8.8 Nous savons que P(X > λ) = (n )! e 4 4 d = π K = e 4 e 4 4 d = e 4 π. λ n n e d e P(Y < n) = Il s agi donc de prouver que ces deu quaniés son égales. Prouvons le résula par récurrence sur n. Pour n =, on a λ e d = e λ. Donc la formule es vraie pour n =. n Supposons donc que n e d = (n )!e k λ k k!. λ k= Alors par inégraion par paries sur un segmen [λ, A], on a A λ n e d = n e A A λ + n En prenan la limie lorsque A, il vien λ k= n P(Y = k) = e λ n n e d = λ n e λ A n e A + n!e λ n n e d = n!e λ λ k k! + λn e λ = n!e λ k= n k= λ k k!. Ainsi, par la propriéé de récurrence, la propriéé es vérifiée pour ou n : P(X > λ) = P(Y < n). SOLUTION DE L EXERCICE 8.9 Il es clair que Y es à valeurs posiives, e donc pour <, P(Y ) =. Pour, on a F Y () = P( X ) = P( X ) = F X () F X ( ). ECS LYCÉE FAURIEL 7 8 M. VIENNEY k= k= λ k k!. λ k k!.

7 CORRECTION 5 Mais X Ainsi, N(, ) e donc ( X F X () = P(X ) = P ) ( ) = Φ. ( ) ( F Y () = Φ Φ ) ( ) ( ( )) ( ) = Φ Φ = Φ. Donc la foncion de répariion de Y es donnée par Rappel Pour ou réel, on a Φ( ) = Φ(). F Y () = si < Φ si Puisque Φ es C sur R, F Y es de classe C, sauf peu-êre en. D aure par, on a Rappel lim F Y () = = F Y () = lim F Y (). + Φ() =. E donc F Y es coninue en, e donc sur R. Par conséquen, Y es une variable à densié, e une densié en es oue foncion qui coïncide avec F Y, sauf peu-êre en un nombre fini de poins. Par eemple, on peu prendre f Y () = si Φ si > = si e ( ) si > = si π e 8 si > π Par le héorème de ransfer, on a alors, sous réserve de convergence, Mais pour A >, on a E(Y ) = A π e + 8 d = e 8 d. La foncion inégrée es paire. e 8 d = [ 4e 8 Ceci prouve donc que E(Y ) eise e vau ] A 4 π. = 4 4e A 8 A + 4. Enfin, noons que Y = X = X, e donc par la formule de Huygens, E(Y ) = E(X ) = V (X ) + E(X ) = 4 + = 4. Une nouvelle applicaion de la formule de Huygens donne alors SOLUTION DE L EXERCICE 8. ( ) V (Y ) = E(Y ) E(Y ) 4 = 4 = 4 8 π π.. Par le héorème de ransfer, X adme un momen d ordre n si e seulemen si converge 4. Or, nous savons que Donc E(X n ) eise e E(X n Γ(ν + n) ) = = Γ(ν) =... = ν +n e d converge e vau Γ(ν + n). (ν + n )Γ(ν + n ) Γ(ν) (ν + n )(ν + n ) (ν + )νγ(ν) Γ(ν) = (ν + n )(ν + n ) ν. n Γ(ν) ν e d. Calculons la foncion de répariion de Y. X es à valeurs dans R +, e donc Y = e X es à valeurs dans ]; + [. On en dédui que F Y () = pour. Pour >, on a, par croissance de la foncion logarihme, F Y () = P(e X ) = P(X ln ) = F X (ln ). 4 absolumen, mais il s agi d une foncion de signe consan. Remarque Pour n =, on rerouve E(X ) = ν, e pour n =, on rerouve E(X ) = ν (ν + ). Rappel On ne sai pas eprimer la foncion de répariion d une variable suivan une loi γ, donc il ne fau pas espérer un résula plus simple! ECS LYCÉE FAURIEL 7 8 M. VIENNEY

8 6 TD 8 Puisque F X es coninue sur R, par composiion de foncions coninues, F Y es coninue sur ]; + [. Elle l es égalemen sur ], ] car elle y es consane. Rese à voir si F Y es coninue en. E puisqu on sai déjà qu elle es coninue à gauche 5 en, il suffi de vérifier qu elle es coninue à droie en. Or, lorsque end vers par valeurs supérieures, on a ln, e par composiion de limies, F Y () = F X (ln ) F X () = = F Y (). Donc F Y es coninue sur R. D aure par, F X es dérivable sur ]; + [, de dérivée Γ(ν ) ν e. Par composiion de foncions dérivables, F Y es alors dérivable sur ]; + [, de dérivée F Y () = Γ(ν) (ln )ν e ln = Γ(ν) (ln )ν. Sur ], [, F Y es évidemmen dérivable de dérivée nulle, e donc F Y es de classe C sur R {}. Ainsi, Y es une variable à densié, e oue foncion coïncidan avec F Y là où elle eise en es une densié. Par eemple, on peu prendre Rappel F X es coninue en, e F X () = car F X es nulle sur R. 5 En effe : puisqu elle es coninue sur ], ], elle es nécessairemen coninue à gauche en. f : si Γ(ν ) (ln ) ν si > 3. D après le héorème de ransfer, Y adme une espérance si e seulemen si e + Γ(ν) ν e ν d = d converge. Γ(ν) Or, ν d es une inégrale de Riemann divergene 6, donc Y n adme pas d espé- 6 Avec α = ν <. rance. SOLUTION DE L EXERCICE 8.. Soi <. Alors G() = P(X )λe λ d. Or, pour < e, on a e donc P(X ) =, de sore que G() =. Pour, e, P(X ) = e λ e donc G() = = λ = si Ainsi, G() = si > + λe λ ( e λ ) d e λ d λ λ λ( + ) = +.. La foncion G es coninue sur R e sur R +, avec lim e λ(+) d G() = lim G() = = G(). + Elle es donc coninue en, e par conséquen sur R. De plus, elle es de classe C sauf peu-êre en, avec G () = si <, G () = si >. ( + ) En pariculier, sa dérivée éan posiive, elle es croissane sur R e sur R+, e donc sur R. Enfin, on a lim G() = e lim G() =. + Donc G es bien la foncion de répariion d une variable à densié, e une densié associée en es oue foncion qui coïncide avec G, sauf évenuellemen en un nombre fini de poins. Par eemple, on peu prendre si д() = ( + ) si > FIGURE 8. La foncion G. Méhode On ne sai pas si G es une foncion de répariion, donc il ne suffi pas de s assurer qu elle es coninue e de classe C sauf évenuellemen en un nombre fini de poins : il fau égalemen s assurer qu elle vérifie les propriéés d une foncion de répariion (croissance, coninuié à droie en ou poin e limies en ± ) FIGURE 8.3 La densié д. ECS LYCÉE FAURIEL 7 8 M. VIENNEY

9 CORRECTION 7 SOLUTION DE L EXERCICE 8.. La loi de λx e la loi de λy es une loi γ ().. Puisque λx e λy son indépendanes, par sabilié des lois γ, λz = λx + λy sui une loi γ (). Donc une densié en es donnée par f () = e si > sinon Par ransformaion affine, une densié de Z = λ (λz) es λf (λ) = λ e λ si > sinon SOLUTION DE L EXERCICE 8.3 Les variables 3X e 5Y son indépendanes, e 3X E() e 5Y E(). Mais la loi eponenielle de paramère es la loi γ de paramère, donc par sabilié des lois γ, Z γ (). SOLUTION DE L EXERCICE 8.4 3X sui la loi normale N( 3, 8) e Y sui la loi N(, 8). Par somme de loi normales indépendanes, on en en dédui que 3X Y sui la loi N(, 6). SOLUTION DE L EXERCICE 8.5. Par ransformaion affine de densiés, une densié de X es f X ( ) = ae a si sinon. Les variables Y e X son indépendanes, e la densié de Y es bornée, donc une densié de Y X es donnée par le produi de convoluion : Rappel X E(λ) si e seulemen si λx E(). A Danger Le gros piège d un el eercice : on a envie de faire la différence des variances. Pour l évier, oujours se ramener à des héorèmes connus. En l occurrence on dispose d un résula sur la somme de deu lois normales, pas sur la différence de lois normales. Donc on ajoue 3X e Y. h() = f Y ()f X ( )d = f Y ()f X ( )d. On a f Y () e f X ( ). Ainsi, on a f Y ()f X ( ) Si >, alors f Y () f X ( ) ma(, ). Domaine Ce calcul nous donne ce qu on pouvai déjà voir sur le dessin : il va falloir disinguer les deu cas e <. Si vous y arrivez sur le dessin, il es inuile de réécrire cee ligne de calcul e vice-versa. h() = Mais pour A >, on a A e (a+b) d = E donc h() = abea e (a+b) a + b Si, alors abe b e a( ) d = abe a e (a+b) d. [ ] A a + b e (a+b) = a + b (e (a+b) e (a+b)a e (a+b) ) A + a + b. = abe b a + b. h() = abe a e (a+b) d = ea a + b. ECS LYCÉE FAURIEL 7 8 M. VIENNEY

10 8 TD 8 SOLUTION DE L EXERCICE 8.6 Il n es pas éviden de procéder direcemen par le calcul, puisque les densiés de X e Y se croisen, e donc un argumen de croissance de l inégrale ne saurai suffire. Soi alors Z une variable aléaoire indépendane de X, suivan la loi γ (ν ν ). Alors, par sabilié des lois γ, X + Z γ (ν + ν ν ) = γ (ν ). E donc en pariculier, P(X + Z ) = P(Y ). Mais puisque Z es à valeurs posiives, on a [X ] [X + Z ]. E en pariculier, P(X ) P(X + Z ) = P(Y ). SOLUTION DE L EXERCICE 8.7. f es coninue e posiive sur R. Soi A >. Alors A On en dédui que f ()d = De même, on monre que Par conséquen A e e e d = [ e e ] A = e e A e A e. f ()d converge e que f ()d = e. f ()d = e f ()d converge e vau. Donc f es bien une densié de probabilié..a. Une densié de Y es donnée par д() = f ( ) = e e..b. Les variables aléaoires X e Y éan indépendanes, il en es de même de X e Y. Noons que la foncion f es bornée car e adme un maimum égal à, e donc le maimum de f es e..5.5 ν =. ν = ν = ν = FIGURE 8.4 Les densiés de différenes lois γ : chacune croise oues les aures. Primiive Si on n a pas reconnu que f es de la forme u e u, alors on peu procéder au changemen de variable = e afin de monrer que l inégrale vau. La densié de X éan bornée 7, on peu uiliser le produi de convoluion : une densié de X Y es donnée par h() = f ( )д()d = =e e e e (+e ) d. e ( ) e ( ) e e d Posons u = e, de sore que = lnu e donc d = du u. Ce changemen de variable es légiime car C, e sricemen croissan sur R. Ainsi, h() = e u e u(+e ) du u = e ue u(+e ) du On reconnaî là, à une consane muliplicaive près l inégrale donnan l espérance d une variable aléaoire Z suivan la loi eponenielle de paramère + e. Plus précisémen, si Z E( + e ), alors Z possède pour densié la foncion 7 e donc il en es de même de celle de Y. Suppor C es ici le cas le plus favorable : les deu densiés ne s annulen jamais, e donc on garde e + comme bornes de l inégrale. E alors puisque E(Z) = E donc, f Z : si ( + e ) e (+e ) si, on a + e f Z ()d = + e e (+e ) d = + e e (+e ) d = h() = e ue u(+e ) e du = ( + e ) = e ( + e ). ( + e ). ECS LYCÉE FAURIEL 7 8 M. VIENNEY

11 CORRECTION 9 SOLUTION DE L EXERCICE 8.8. Puisque X prend ses valeurs dans ], ], ln X prend ses valeurs dans ], ], e donc Z prend ses valeurs dans R +. Donc pour, F Z () =. Soi >. Alors F Z () = P(Z ) = P( ln X ) = P(ln X ) = P(X e ) = e La foncion de répariion de Z es alors F Z : si e si > On reconnaî là la foncion de répariion d une loi eponenielle de paramère, e donc Z E().. On prouve de même que T E(), e donc, par indépendance de Z e T, Z + T γ (). La variable aléaoire XY ne prend que des valeurs dans [, ], donc F X Y () = si < e F X Y () = si >. Pour [, ], on a, par croissance du logarihme, F X Y () = P(XY ) = P(ln X + lny ln ) = P(Z + T ln ) = ln e d. Pour calculer cee inégrale, procédons à une inégraion par paries sur un segmen [ ln, A]. Alors A ln e d = e A ln + A Par conséquen, on a ln e d = Ae A ln + e A A ln si F X Y () = ln() si < si > On en dédui que F X Y es coninue sur ], ], sur ], ] e sur ], + [. De plus, elle vérifie Densié On pourrai bien enendu dériver cee foncion de répariion afin de rerouver la densié d une loi eponenielle, mais rappelons que la foncion de répariion suffi à caracériser la loi. Suppor En effe, X e Y son oues deu à suppor dans [, ], e donc il en es de même de X Y. Alernaive Ici, nous profions du fai qu il es possible de calculer cee inégrale, mais ce n es pas obligaoire. En effe, on peu se conener de dire que F X Y () = F Z +T (ln ). On sai alors que F Z +T es coninue e C sauf en. De plus on connaî la dérivée de F Z +T, qui es la densié d une loi γ (). Tous ces élémens suffisen à prouver que F X Y es coninue, C sur en e en, e à calculer F X Y. lim F + X Y () = = F X Y () e lim F X Y () = = F X Y () de sore que F X Y es coninue en e en e donc sur R. Enfin, elle es dérivable, de dérivée nulle en dehors de [, ] e de dérivée égale à ln sur ], [. F X Y es donc de classe C sur R privé de e de. Ainsi, XY adme une densié, e oue foncion égale à sa dérivée sur R {, } en es une densié. Par eemple, on peu prendre SOLUTION DE L EXERCICE 8.9 ln si < < sinon. Une densié de X es f X : e si sinon. e par ransformaion affine, une densié de Y es e / si sinon Puisque X e Y son indépendanes 8, une densié de X Y es donnée par le produi de convoluion : h() = f X (z)f Y ( z)dz. Or, on a f X (z) z e f Y ( z) z z. A Danger! Aenion à ne pas dire que la dérivée de F X Y es une densié de X Y. Ceci n es vrai que si F X Y es dérivable sur R ou enier, ce qui n es pas le cas ici. 8 Car X e Y le son. ECS LYCÉE FAURIEL 7 8 M. VIENNEY

12 TD 8 f X (z) f Y ( z) Ainsi, si, alors E si, alors h() = e z e( z)/ dz = e / e z(+)/ dz = h() = = = + e / = e / +. e / e / = e +. e z e( z)/ dz e z(+)/ dz + e (+)/ X. Noons que X e Y éan à valeurs posiives, es égalemen à valeurs posiives. Y E donc pour <, F U () = P(U ) =. De plus, on a U = si e seulemen si X = e donc P(U = ) = P(X = ) =. Enfin, pour >, on a ( X ) F U () = P Y = P(X Y ) = P(X Y ). Quoien Noons que le quoien X Y n es pas bien défini si Y =. Touefois cela se produi avec une probabilié nulle (=presque jamais), e nous inéresse peu. Si on veu êre oalemen rigoureu, on peu dire que U = X Y si Y e U = (ou U =, ou U =, peu impore) lorsque Y =. Mais alors F U () = Pour A <, on a alors h()d = A + e / d = e / d. + e / d = e A/. A E donc si F U () = si + F U es évidemmen C sauf peu-êre en, e on a lim F + U () = = F U () = lim F U (). Donc F U es coninue en e donc sur R : U es une variable à densié. Une densié es alors oue foncion qui coïncide avec F U sur R. Par eemple, on peu prendre si f U : ( + ) si > X 3. Noons que ne prend que des valeurs comprises enre e. X + Y ( X ) E donc P X + Y = si si Pour ], [, on a ( X ) ( X + Y P X + Y = P ) ( = P + Y X X ) ECS LYCÉE FAURIEL 7 8 M. VIENNEY

13 CORRECTION E donc X X + Y = P ( Y X ) ( F U sui une loi uniforme sur [, ]. SOLUTION DE L EXERCICE 8. Noons f la densié de X menionnée par l énoncé. = ) = P + =.. Par le héorème de ransfer, sous réserve de convergence, E(X ) = f ()d = ( X Y ) f ()d. Puisque f es coninue sur le segmen [, ], cee inégrale es en fai une inégrale sur un segmen, e donc es convergene. De plus, pour [, ], f () f (), de sore que E(X ) f ()d =. Ceci prouve déjà que X adme une variance, qui es alors auomaiquemen sricemen posiive. D aure par, par la formule de Huygens, V (X ) = E(X ) E(X ) E(X ). Il rese donc à prouver que V (X ) <, e pour cela, prouvons que E(X ) <. On a E(X ) = ( )f ()d. Or, la foncion ( )f () es coninue e posiive sur ], [, e elle n y es pas nulle. En effe, f es posiive, e f ()d = >. Par conséquen, E(X ) >, e donc E(X ) <.. Soi α ], [. Nous voulons prouver qu il eise une densié f, coninue sur R e nulle hors de ], [ elle que si X possède f pour densié, alors V (X ) = α. Noons ou de suie que la réponse n es pas à chercher du côé des lois usuelles, car aucune des lois que nous connaissons ne possède une densié coninue sur R e nulle en dehors de ], [. Cherchons de elles densiés qui soien paires, de elle sore que E(X ) =. Par parié, on doi donc avoir e de même f ()d = f ()d = f ()d = f ()d = f ()d = f ()d = E(X ) f ()d = = V (X ) = α. Sans l hypohèse de coninuié demandée par l énoncé, il serai plus facile de répondre à la quesion, puisqu on pourrai prendre une foncion «en escaliers» : En prenan a e b proches de, on doi pouvoir obenir une variance proche de, e en prenan a e b proches de, on doi pouvoir obenir une variance proche de, ous les cas inermédiaires éan possibles. Rappel Une variance es oujours posiive, e la variance d une variable à densié es même sricemen posiive (les seules variables aléaoires de variance nulle son les variables presque ceraines, qui ne son pas des variables à densié). Méhode Pour calculer V (X ), le plus simple es probablemen de passer par la formule de Huygens, qui va nécessier le calcul de l espérance. Si f es paire, alors E(X ) =, e on économise donc un calcul. Inuiion La variance mesure la «dispersion» des valeurs prises par la variable aléaoire. Si a e b son proches de, X ne prend que des valeurs proches de, e donc sa variance doi êre faible. Alors qu au conraire, si a e b son proches de, X ne prend que des valeurs don la disance à (= E(X )) es proche de, donc la variance doi êre proche de. Malheureusemen, on nous demande ici une densié coninue, ce qui n es pas le cas d une foncion en escaliers... ECS LYCÉE FAURIEL 7 8 M. VIENNEY

14 TD 8 b a b a a b b +a a a +a Pour simplifier les calculs, cherchons f sous la forme d une foncion affine par morceau, don le graphique serai : Puisque nous voulons une densié, l inégrale doi êre égale à. Pluô que de calculer l inégrale, remarquons que l aire de chacun des riangles de la figure doi êre égale à, e donc on doi avoir Cela revien à prendre : b( a) = b = a. si a f a () = ( a) ( a) si a < +a ( ) ( a) si +a < Déails Ces epression on éé rouvée à parir du dessin : nous savons commen rouver l équaion de la droie passan par deu poins donnés. avec a [, [. Soi donc X a une variable aléaoire de densié f a, e noons alors On a alors д(a) = V (X a ) = E ( ) Xa f a ()d = +a д(a) = a a f a ()d. ( a) ( a)d +a ( a) ( )d. On consae alors que д es une foncion coninue sur [, ], par eemple car si on calcule l inégrale 9, il s agi d un polynôme en a. D aure par, pour [a, ], on a a e donc > д(a) = a f a ()d a f a ()d a } {{ } = a. 9 Ce que nous n allons pas faire ici pour alléger la rédacion. Par applicaion du héorème des gendarmes, on a donc lim =. a + ECS LYCÉE FAURIEL 7 8 M. VIENNEY

15 CORRECTION 3 D aure par, on a д() = 3 d + ( )d = 7 4. E donc, par le héorème des valeurs inermédiaires, lorsque a parcour [, ], д(a) prend [ 7 [ oues les valeurs de 4,. Il rese donc à raier le cas des «peies» variances. Pour cela, on peu modifier un peu la foncion ci-dessus, e chercher f a sous la forme b TVI Nous n avons rien di de la monoonie de д (qui es rès probablemen croissane sricemen), e donc nous faisons bien appel au héorème des valeurs inermédiaires, pas au héorème de la bijecion. Il se peu donc que д prenne des valeurs en dehors de ce inervalle, même si, d après la quesion, д es à valeurs dans ], [. Enre e 7 4. a a a a On monrerai alors comme précédemmen qu on peu ainsi obenir oues les variances ] 7 ] dans,. 4 E donc, quel que soi α ], [, il eise une variable aléaoire X α possédan une densié coninue sur R, nulle en dehors de ], [ elle que V (X α ) = α..a..b. E en emps limié? : il n es bien évidemmen pas quesion d écrire auan de déails duran les à 5 minues consacrées à la quesion sans préparaion lors d un oral. Mais le jury n aend pas ces déails, e la deuième quesion avai ici pour objecif de eser l inuiion d un candida qui aurai déjà réussi la première quesion. Un candida capable de proposer une soluion avec une foncion en escaliers (qui ne vérifie donc pas les condiions requises ici) fai déjà preuve d une rès bonne compréhension de la noion de variance. E un candida capable de proposer un dessin d une foncion affine par morceau comme ci-dessus mérie une ecellene noe! SOLUTION DE L EXERCICE 8. La foncion f es évidemmen posiive sur R, e elle es coninue sauf peu-êre en e en. d On a alors, sous réserve de convergence de cee inégrale, f ()d =. Mais on reconnaî alors une inégrale de Riemann convergene, e pour A ], ], On en dédui donc que A d = [ ] A = A A +. f ()d =, e donc f es bien une densié de probabiliés. Noons F la foncion de répariion d une variable aléaoire admean f pour densié. Alors F() = si e F() = si. d Pour ], ], on a F() = f ()d =. Or, si A ], ], d A = [ ] = A A A +. si E donc F() = si < < si Sa représenaion graphique es alors donnée par ECS LYCÉE FAURIEL 7 8 M. VIENNEY

16 4 TD 8 Un dessin à la main doi ou de même faire apparaîre les.8 caracérisiques essenielles de F. Ici, il es légiime d aendre.6 du dessin qu il fasse apparaîre :.4 la coninuié de F c. Puisque X es à valeurs dans ], [, il es éviden que c es égalemen le cas de Y. E donc, on a F Y () = si < e F Y () = si. Pour ], [, on a F Y () = P(Y ) = P( X ) = P(X ) = F( ) = =. Figures sa croissance sa concavié sur [, ] (la dérivée y es décroissane) la angene vericale en l origine la non dérivabilié en.a. si Ainsi, F Y () = si < si > On reconnaî là la foncion de répariion d une loi uniforme sur [, ] : Y U([, ]). Si s <, alors n es pas définie sur ]s, ], e donc l inégrale n a pas de sens. ( s) De même, si s >, alors pour [, s[, on a ( s) <, e donc l inégrale n a pas de sens. Pour s =, e ], ], on a = =, don l inégrale enre e diverge. ( s) Enfin, pour s ], [, la foncion es coninue sur ]s, ], e au voisinage de ( s) s, on a Or,.b. Posons = s ]s, ], avec s. ( s) s s d converge, donc il en es de même de s s = s d ( s). s. Alors s es C e sricemen croissane sur lim s s = e lim s = s. On a alors = s = s, de sore que d = s ( ). E donc, par le héorème de changemen de variable, Or, s s s d = ( s) = ( )( + ) = ( s d = ( s) s s d ( s s ) s s ( ) = ), de sore que d. d + = ln( ) s + ln( + ) s = ln + s. s 3.a. D après la quesion.c, si X possède f pour densié, alors X sui une loi uniforme sur [, ]. E donc si U U([, ]), alors U possède f pour densié. Donc on peu simuler S en uilisan ECS LYCÉE FAURIEL 7 8 M. VIENNEY

17 CORRECTION 5 S = rand()^ - rand()^ 3.b. Une densié de Y es f Y : si < sinon Puisque ni la densié de X ni celle de Y ne son bornées, il fau prendre des précauions : le héorème sur le produi de convoluion nous di que si la foncion д définie par д() = f X ()f Y ( )d Qui s applique car X e Y son indépendanes. es bien définie e coninue sauf évenuellemen en un nombre fini de poins, alors c es une densié de S. Noons qu on a f X () < e de même f Y ( ) < < +. f X () Donc déjà, pour ou, on a д() =. + f Y ( ) Pour <, Pour < <, on a д() = 4 д() = d = ( ) 4 ln +. + d. E alors, en uilisan le changemen de variable u =, il vien alors д() = 4 du = u ( ) u 4 ln Puisque l inégrale définissan д es bien définie, e que la foncion д ainsi obenue es coninue sur R, sauf évenuellemen en, e, nous pouvons affirmer que S es bien une variable à densié, e que д en es une densié. Enfin, puisque l énoncé nous demandai une densié coninue sur R, il nous rese juse à remarquer que д es coninue en e en puisque Remarque ], [, e donc il es légiime d uiliser le résula de la quesion.b, qui n éai valable que pour s ], [. + lim + = e donc lim E de même en. On a donc д() = = lim д() = д(). + si < ou > д() = 4 ln + si < 4 ln + = 4 ln + si < < + si < < sinon FIGURE 8.5 La densié д. ECS LYCÉE FAURIEL 7 8 M. VIENNEY