Algorithmes Probabilistes COMPLEX
|
|
- Angèle Gilbert
- il y a 8 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Algorithmes Probabilistes COMPLEX Ludovic Perret Université Pierre et Marie Curie (Paris VI)
2 Introduction Algorithme Il retourne toujours une solution correcte, et pour une même entrée, il retourne toujours la même réponse (et toujours avec la même complexité.
3 Introduction Algorithme Probabiliste Pour une même entrée, l algorithme ne retourne pas toujours la même réponse (et pas toujours avec la même complexité). la sortie n est pas forcément correcte.
4 Introduction Las-Vegas Définition Un algorithme de type Las-Vegas est un algorithme probabiliste qui retourne toujours un résultat correct. Le temps d exécution peut varier ; la complexité d un algorithme de Las-Vegas est une variable aléatoire. QuickSort avec pivot aléatoire : Θ(n 2 ) dans le pire cas, Θ(n log n) en moyenne.
5 Introduction Monte-Carlo Définition Un algorithme de type Monte-Carlo est un algorithme probabiliste qui termine toujours en temps polynomial. Le résultat n est pas toujours correct, mais on contrôle la probabilité d erreur.
6 Introduction Plan du cours 1 Introduction 2 Tests de Primalité Rappels Test de Fermat Test de Rabin-Miller 3 Polynomial Identity Testing Lemme de Schwartz-Zippel-DeMillo-Lipton 4 MAX3SAT 5 Classes de Complexité Probabilistes Modèle de Calcul Randomized Polynomial-Time Bounded Polynomial-Time Monte-Carlo, Las-Vegas et Classes Probabilistes Relation entre les Classes
7 Tests de Primalité Plan du cours 1 Introduction 2 Tests de Primalité Rappels Test de Fermat Test de Rabin-Miller 3 Polynomial Identity Testing Lemme de Schwartz-Zippel-DeMillo-Lipton 4 MAX3SAT 5 Classes de Complexité Probabilistes Modèle de Calcul Randomized Polynomial-Time Bounded Polynomial-Time Monte-Carlo, Las-Vegas et Classes Probabilistes Relation entre les Classes
8 Tests de Primalité Motivation Contexte Cryptographie à clef publique fonction à sens unique avec trappe. Problème difficile (dans NP).
9 Tests de Primalité Motivation Contexte Cryptographie à clef publique fonction à sens unique avec trappe. Problème difficile (dans NP). FACT Entrée : un entier N N. Question : trouver un diviseur non-trivial p de N. Génération de Grands Premiers π(n) = {n [1..., N] n premier}. π(n) N log(n).
10 Tests de Primalité Primalité PREMIER Entrée : un entier N N. Question : N est-il premier? Historique PREMIER NP conp.
11 Tests de Primalité Primalité PREMIER Entrée : un entier N N. Question : N est-il premier? Historique PREMIER NP conp. Tests de primalité probabilistes. Si TestPREMIER(N) retourne composé, alors N est toujours composé. Si TestPREMIER(N) retourne premier, alors N est peut être premier.
12 Tests de Primalité Primalité PREMIER Entrée : un entier N N. Question : N est-il premier? Historique PREMIER NP conp. Tests de primalité probabilistes. Si TestPREMIER(N) retourne composé, alors N est toujours composé. Si TestPREMIER(N) retourne premier, alors N est peut être premier. Algorithme déterministe en O(log(N) 15/2+ɛ ), pour ɛ > 0. M. Agrawal, N. Kayal, N. Saxena. PRIMES is in P. Annals of Mathematis, 2004.
13 Tests de Primalité Rappels Plan du cours 1 Introduction 2 Tests de Primalité Rappels Test de Fermat Test de Rabin-Miller 3 Polynomial Identity Testing Lemme de Schwartz-Zippel-DeMillo-Lipton 4 MAX3SAT 5 Classes de Complexité Probabilistes Modèle de Calcul Randomized Polynomial-Time Bounded Polynomial-Time Monte-Carlo, Las-Vegas et Classes Probabilistes Relation entre les Classes
14 Tests de Primalité Rappels Éléments inversibles Theorem Soit x Z N, alors x est inversible modulo N si et seulement si pgcd(x, N) = 1. Définition L ensemble des éléments inversibles modulo N est noté Z N. Calcul de l inverse modulaire Il existe (u, v) t.q. u x + v N = pgcd(x, N) = 1, c est à dire : u x 1 mod N. Calculer l inverse de x, c est donc calculer u (et v). On utilise l algorithme d Euclide étendu.
15 Tests de Primalité Rappels Fonction ϕ d Euler Ordre de Z N Si N est premier alors Z N = Z N \ {0}. #Z N = N 1 Si N n est pas premier alors Z N Z N \ {0} #Z N =???
16 Tests de Primalité Rappels Fonction ϕ d Euler Définition Pour un entier N : ϕ(n) = #{x [1,... N 1] pgcd(x, N) = 1}. Calcul de ϕ p est premier, ϕ(p) = p 1. Si p et q sont relativement premiers alors ϕ(pq) = ϕ(p)ϕ(q)
17 Tests de Primalité Rappels Fonction ϕ d Euler Theorem (Euler) Soit N N. Alors, pour tout entier a tel que pgcd(a, N) = 1 : a ϕ(n) 1 mod N.
18 Tests de Primalité Rappels Rappels Probabilité Soient deux événements A et B. Pr(A B) = Pr(A) + Pr(B) P(A B). Soient deux événements A et B. La probabilité conditionnel de l événement A sachant B est : Pr(A B) = Pr(A B). Pr(B)
19 Tests de Primalité Test de Fermat Plan du cours 1 Introduction 2 Tests de Primalité Rappels Test de Fermat Test de Rabin-Miller 3 Polynomial Identity Testing Lemme de Schwartz-Zippel-DeMillo-Lipton 4 MAX3SAT 5 Classes de Complexité Probabilistes Modèle de Calcul Randomized Polynomial-Time Bounded Polynomial-Time Monte-Carlo, Las-Vegas et Classes Probabilistes Relation entre les Classes
20 Tests de Primalité Test de Fermat Test de Fermat (I) Principe Général des Tests Condition calculatoirement facile à vérifier qui caractérise les premiers. Test probabiliste condition nécessaire.
21 Tests de Primalité Test de Fermat Test de Fermat (I) Principe Général des Tests Condition calculatoirement facile à vérifier qui caractérise les premiers. Test probabiliste condition nécessaire. Test déterministe AKS condition nécessaire et suffisante. Theorem (Fermat) Soit N un premier. Alors, pour tout entier a tel que pgcd(a, N) = 1 : a N 1 1 mod N.
22 Tests de Primalité Test de Fermat Test de Fermat (I) Principe Général des Tests Condition calculatoirement facile à vérifier qui caractérise les premiers. Test probabiliste condition nécessaire. Test déterministe AKS condition nécessaire et suffisante. Theorem (Fermat) Soit N un premier. Alors, pour tout entier a tel que pgcd(a, N) = 1 : a N 1 1 mod N. Soit a, 1 < a < N tel que pgcd(a, N) = 1 et a N 1 1 mod N alors N est composé (a est un témoin de Fermat).
23 Tests de Primalité Test de Fermat Test de Fermat (I) Principe Général des Tests Condition calculatoirement facile à vérifier qui caractérise les premiers. Test probabiliste condition nécessaire. Test déterministe AKS condition nécessaire et suffisante. Theorem (Fermat) Soit N un premier. Alors, pour tout entier a tel que pgcd(a, N) = 1 : a N 1 1 mod N. Soit a, 1 < a < N tel que pgcd(a, N) = 1 et a N 1 1 mod N alors N est composé (a est un témoin de Fermat). Soient N un entier impair composé et a, 1 < a < N relativement premier avec N. Alors, N est pseudo-premier en base a si : a N 1 1 mod N.
24 Tests de Primalité Test de Fermat Test de Fermat (II) TestFermat(N) Choisir aléatoirement a {2,..., N 1} Calculer Reste a N 1 mod N Si Reste 1 mod N alors retourner composé. Retourner premier
25 Tests de Primalité Test de Fermat Test de Fermat (II) TestFermat(N) Choisir aléatoirement a {2,..., N 1} Calculer Reste a N 1 mod N Si Reste 1 mod N alors retourner composé. Retourner premier Complexité O ( log 3 (N) ).
26 Tests de Primalité Test de Fermat Test de Fermat (II) TestFermat(N) Choisir aléatoirement a {2,..., N 1} Calculer Reste a N 1 mod N Si Reste 1 mod N alors retourner composé. Retourner premier Caractéristiques Si TestFermat(N, t) retourne composé alors N n est pas premier (réciproque du théorème de Fermat). Si TestFermat(N, t) retourne premier, alors N est peut être premier (le théorème de Fermat n est pas une équivalence). L algorithme échoue pour les a tels que N est pseudo-premier en base a (par exemple, 341 = pour a = 2).
27 Tests de Primalité Test de Fermat Test de Fermat (II) Nombres de Carmichaël Un nombre de Carmichaël est un entier N qui a {2,..., N 1} est pseudo-premier en base a. TestFermat(N) échoue si N est un nombre Carmichaël Le plus petit nombre de Carmichaël est 561 =
28 Tests de Primalité Test de Fermat Test de Fermat (II) Nombres de Carmichaël Un nombre de Carmichaël est un entier N qui a {2,..., N 1} est pseudo-premier en base a. TestFermat(N) échoue si N est un nombre Carmichaël Le plus petit nombre de Carmichaël est 561 = Densité des Nombres de Carmichaël [Harman, 2002] Soit C(N) le nombre d entiers de Carmichaël N, alors β > 0.33 : C(N) > N β, pour N suffissament grand. C(10 14 ) = 44706, et =
29 Tests de Primalité Test de Fermat Test de Fermat (II) Densité des Nombres de Carmichaël [Harman, 2002] Soit C(N) le nombre d entiers de Carmichaël N, alors β > 0.33 : C(N) > N β, pour N suffissament grand. C(10 14 ) = 44706, et = Pr n [1,...,N] (N est de Carmichaël) = C(N) N 1 n 0.66.
30 Tests de Primalité Test de Rabin-Miller Plan du cours 1 Introduction 2 Tests de Primalité Rappels Test de Fermat Test de Rabin-Miller 3 Polynomial Identity Testing Lemme de Schwartz-Zippel-DeMillo-Lipton 4 MAX3SAT 5 Classes de Complexité Probabilistes Modèle de Calcul Randomized Polynomial-Time Bounded Polynomial-Time Monte-Carlo, Las-Vegas et Classes Probabilistes Relation entre les Classes
31 Tests de Primalité Test de Rabin-Miller Test de Rabin-Miller (I) Lemme Soient X et N des entiers positifs. Si X ±1 mod N et X 2 1 mod N alors N est composé. Theorem Soit N un premier. Nous écrivons N 1 = 2 s r, avec r impair. Si a est tel que pgcd(a, N) = 1, alors : a r 1 mod N ou j, 0 j s 1 tel que a 2j r 1 mod N.
32 Tests de Primalité Test de Rabin-Miller Test de Rabin-Miller (I) Si a, 1 < a < N tel que pgcd(a, N) = 1, a r 1 mod N et a 2j r 1 mod N, j, 0 j s 1, N est composé.
33 Tests de Primalité Test de Rabin-Miller Test de Rabin-Miller (I) Définition Soit N un entier impair composé que nous écrivons comme N 1 = 2 s r, avec r impair et un entier a Z tel que pgcd(a, N) = 1. Nous dirons que N est pseudo-premier fort en base a si : a r 1 mod N ou j, 0 j s 1 tel que a 2j r 1 mod N.
34 Tests de Primalité Test de Rabin-Miller Test de Rabin-Miller (I) Définition Soit N un entier impair composé que nous écrivons comme N 1 = 2 s r, avec r impair et un entier a Z tel que pgcd(a, N) = 1. Nous dirons que N est pseudo-premier fort en base a si : a r 1 mod N ou j, 0 j s 1 tel que a 2j r 1 mod N. Theorem Soit N un entier impair composé. Il existe au plus N/4 entiers a, 2 a N 1 tel que N est pseudo-premier fort en base a.
35 Tests de Primalité Test de Rabin-Miller Test de Rabin-Miller (II) TestRabinMiller(N) Trouver r impair et s tels que N 1 = 2 s r Choisir aléatoirement a {2,..., N 1} et calculer Reste a r mod N Si Reste ±1 mod N alors FinSi j 1 Tant que 1 j s 1 et Reste 1 mod N Faire Reste Reste 2 mod N Si Reste 1 mod N alors retourner composé j j + 1 FinTantQue Si Reste 1 mod N retourner composé. Retourner premier
36 Tests de Primalité Test de Rabin-Miller Test de Rabin-Miller (II) TestRabinMiller(N) Trouver r impair et s tels que N 1 = 2 s r Choisir aléatoirement a {2,..., N 1} et calculer Reste a r mod N Si Reste ±1 mod N alors j 1 Tant que 1 j s 1 et Reste 1 mod N Faire Reste Reste 2 mod N Si Reste 1 mod N alors retourner composé j j + 1 FinTantQue Si Reste 1 mod N retourner composé. FinSi Retourner premier Complexité O ( log 3 (N) ).
37 Tests de Primalité Test de Rabin-Miller Test de Rabin-Miller (II) TestRabinMiller(N) Trouver r impair et s tels que N 1 = 2 s r Choisir aléatoirement a {2,..., N 1} et calculer Reste a r mod N Si Reste ±1 mod N alors j 1 Tant que 1 j s 1 et Reste 1 mod N Faire Reste Reste 2 mod N Si Reste 1 mod N alors retourner composé j j + 1 FinTantQue Si Reste 1 mod N retourner composé. FinSi Retourner premier Si TestRabinMiller(N) retourne composé alors N n est pas premier Si a, 1 < a < N tel que a r 1 mod N et a 2j r 1 mod N, j, 0 j s 1 alors N est composé.
38 Tests de Primalité Test de Rabin-Miller Test de Rabin-Miller (II) Si TestRabinMiller(N) retourne premier alors N : Pr N (TestRabinMiller(N) retourne premier N est composé) 1 4.
39 Tests de Primalité Test de Rabin-Miller Test de Rabin-Miller (II) Si TestRabinMiller(N) retourne premier alors N : Pr N (TestRabinMiller(N) retourne premier N est composé) 1 4. Démonstration. Si N est un entier composé impair et si TestRabinMiller(N) retourne premier, alors N est pseudo-premier fort en base a. Le probabilité de tirer a {2,..., N 1} tel que N est pseudo-premier fort en base a est 1 N N 4.
40 Polynomial Identity Testing Plan du cours 1 Introduction 2 Tests de Primalité Rappels Test de Fermat Test de Rabin-Miller 3 Polynomial Identity Testing Lemme de Schwartz-Zippel-DeMillo-Lipton 4 MAX3SAT 5 Classes de Complexité Probabilistes Modèle de Calcul Randomized Polynomial-Time Bounded Polynomial-Time Monte-Carlo, Las-Vegas et Classes Probabilistes Relation entre les Classes
41 Polynomial Identity Testing Polynomial Identity Testing Motivation Soit n > 0 et une matrice de Vandermonde : 1 x 1... x n x 2... x n 1 2 Vd(x 1,..., x n ) = x n... x n 1 n
42 Polynomial Identity Testing Polynomial Identity Testing Motivation Soit n > 0 et une matrice de Vandermonde : 1 x 1... x n x 2... x n 1 2 Vd(x 1,..., x n ) = x n... x n 1 n On sait montrer mathématiquement : Det ( V (x 1,..., x n ) ) = (x j x i ). 1 i<j n
43 Polynomial Identity Testing Polynomial Identity Testing Motivation On sait montrer mathématiquement : Det ( V (x 1,..., x n ) ) = (x j x i ). 1 i<j n On souhaite vérifier l identité : Det ( V (x 1,..., x n ) ) (x i x j ) = 0. 1 i<j n
44 Polynomial Identity Testing Polynomial Identity Testing Motivation On souhaite vérifier l identité : Det ( V (x 1,..., x n ) ) (x i x j ) = 0. 1 i<j n Pour n = 2 : ( ) 1 x1 Vd(x 1, x 2 ) =, 1 x 2 et Det ( Vd(x 1, x 2 ) ) = x 2 x 1.
45 Polynomial Identity Testing Polynomial Identity Testing Motivation On souhaite vérifier l identité : Det ( V (x 1,..., x n ) ) (x i x j ) = 0. 1 i<j n
46 Polynomial Identity Testing Polynomial Identity Testing Motivation Pour n = 3 : et Det ( Vd(x 1, x 2, x 3 ) ) = 1 x 1 x 2 1 Vd(x 1, x 2, x 3 ) = 1 x 2 x 2 2, 1 x 3 x 2 3 ( 1) 1+1 (x 2 x 3 2 x 3 x 2 2 ) + ( 1) 2+1 (x 1 x 3 2 x 3 x 1 2 ) + ( 1) 3+1 (x 1 x 2 2 x 2 x 1 2 ).
47 Polynomial Identity Testing Polynomial Identity Testing Motivation Pour n = 3 : et Det ( Vd(x 1, x 2, x 3 ) ) = 1 x 1 x 2 1 Vd(x 1, x 2, x 3 ) = 1 x 2 x 2 2, 1 x 3 x 2 3 (x 2 x 3 2 x 2 2 x 3 ) (x 1 x 3 2 x 1 2 x 3 ) + (x 1 x 2 2 x 1 2 x 2 ). Pour n = 100, Det ( Vd(x 1,... x n ) ) est un poly. de degré 5000 avec termes.
48 Polynomial Identity Testing Polynomial Identity Testing Motivation Pour n = 3 : et Det ( Vd(x 1, x 2, x 3 ) ) = 1 x 1 x 2 1 Vd(x 1, x 2, x 3 ) = 1 x 2 x 2 2, 1 x 3 x 2 3 (x 2 x 3 2 x 2 2 x 3 ) (x 1 x 3 2 x 1 2 x 3 ) + (x 1 x 2 2 x 1 2 x 2 ). Pour n = 100, Det ( Vd(x 1,... x n ) ) est un poly. de degré 5000 avec termes. Définiton Soit f K[x 1,..., x n ] de degré d > 0. Un monôme de f est une produit de puissances des variables, i.e. un terme est de la forme x α 1 1 xn αn. Le degré d un monôme x α 1 1 xn αn est n i=1 α i. Le nombre de monôme de degré d en n variables est O(n d ).
49 Polynomial Identity Testing Polynomial Identity Testing Définition f K[x 1,..., x n ] est donné par une boîte noire s il est possible d évaluer f efficacement (mais pas accéder à ses coefficients). Par exemple, Det ( Vd(x 1,..., x n ) ).
50 Polynomial Identity Testing Polynomial Identity Testing Définition f K[x 1,..., x n ] est donné par une boîte noire s il est possible d évaluer f efficacement (mais pas accéder à ses coefficients). Par exemple, Det ( Vd(x 1,..., x n ) ). PIT Entrée : un polynôme f K[x 1,..., x n ] de degré d > 1 donné par une boîte-noire. Question : Est-ce que le polynôme f est nul?
51 Polynomial Identity Testing PIT Cas Univarié UnivPIT Entrée : un polynôme f C[X ] de degré d > 0 donné par une boîte noire. Question : Est-ce que le polynôme f est nul?
52 Polynomial Identity Testing PIT Cas Univarié UnivPIT Lemme Entrée : un polynôme f C[X ] de degré d > 0 donné par une boîte noire. Question : Est-ce que le polynôme f est nul? Il existe une algorithme polynomial déterministe pour résoudre UnivPIT.
53 Polynomial Identity Testing PIT Cas Univarié UnivPIT Lemme Entrée : un polynôme f C[X ] de degré d > 0 donné par une boîte noire. Question : Est-ce que le polynôme f est nul? Il existe une algorithme polynomial déterministe pour résoudre UnivPIT. Démonstration. f s annule sur au plus d points distincts. L algorithme consiste à évaluer le polynôme f sur d + 1 poins distincts r 1,..., r n C. Si f (x i ) = 0, pour tout i, 1 i n, alors nous pouvons dire que f est nul.
54 Polynomial Identity Testing Lemme de Schwartz-Zippel-DeMillo-Lipton PIT Cas Général (n > 1) Lemme de Schwartz-Zippel-DeMillo-Lipton Soit f K[x 1,..., x n ] de degré d > 0, et S K. Si f est non-nul, alors : Pr (r1,...,r n) S n (f (r 1,..., r n ) = 0) d S, avec S qui dénote la taille d un sous-ensemble S K.
55 Polynomial Identity Testing Lemme de Schwartz-Zippel-DeMillo-Lipton The Curious History of Schwartz-Zippel (DeMillo-Lipton) Lemma
56 Polynomial Identity Testing Lemme de Schwartz-Zippel-DeMillo-Lipton The Curious History of Schwartz-Zippel (DeMillo-Lipton) Lemma Richard A. DeMillo, Richard J. Lipton. A Probabilistic Remark on Algebraic Program Testing. Inf. Process. Lett Jacob T. Schwartz. Probabilistic Algorithms for Verification of Polynomial Identities (invited). An International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, Richard Zippel. Probabilistic Algorithms for Sparse Polynomials. An International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, 1979.
57 Polynomial Identity Testing Lemme de Schwartz-Zippel-DeMillo-Lipton Rappels Soient deux événements A et B. Pr(A B) = Pr(A) + Pr(B) P(A B). Soient deux événements A et B. La probabilité conditionnel de l événement A sachant B est : Pr(A B) = Pr(A B). Pr(B)
58 Polynomial Identity Testing Lemme de Schwartz-Zippel-DeMillo-Lipton PIT Cas Général (n > 1) Démonstration. Cas de base. Pour n = 1, nous savons qu un polynôme univarié possède au plus d racines distincts.
59 Polynomial Identity Testing Lemme de Schwartz-Zippel-DeMillo-Lipton PIT Cas Général (n > 1) Démonstration. Induction. Soit k la plus grande puissance de x 1 qui divise les monômes de f. Nous allons écrire : f = k x1 i f i (x 2,..., x n ). i=0 Par définition, f k est non-nul. Nous voyons aussi que f k est de degré d k. Par hypothèse d induction : Pr (r2,...,r n) S n (f k(r 2,..., r n ) = 0) d k, S
60 Polynomial Identity Testing Lemme de Schwartz-Zippel-DeMillo-Lipton PIT Cas Général (n > 1) Démonstration. Induction. Soit A l événement f (r 1,..., r n ) = 0 et B f k (r 2,..., r n ) = 0. Nous avons A = (A B) (A B) et : Pr(A) = Pr(A B) + Pr(A B) Pr(A) = Pr(A B)Pr(B) + Pr(A B)Pr( B) Pr(A) Pr(B) + Pr(A B). Nous avons Pr(B) = Pr (r2,...,r n) S n (f k(r 2,..., r n ) = 0) d k S.
61 Polynomial Identity Testing Lemme de Schwartz-Zippel-DeMillo-Lipton PIT Cas Général (n > 1) Démonstration. Induction. Soit A l événement f (r 1,..., r n ) = 0 et B f k (r 2,..., r n ) = 0 : Pr(A) d k S + Pr(A B). Soit r 2,..., r n S (n 1). On pose p(x 1 ) = f (x 1, r 2,..., r n ) = k x1 i f i (r 2,..., r n ). i=0 Si f k (r 2,..., r n ) 0, alors p est un polynôme univarié non-nul. Nous avons alors : Pr(A) d k S + k S = d S.
62 Polynomial Identity Testing Lemme de Schwartz-Zippel-DeMillo-Lipton PIT Cas Général PIT Entrée : un polynôme f K[x 1..., x n ] de degré d > 0 donné par une boîte noire. Question : Est-ce que le polynôme f est nul?
63 Polynomial Identity Testing Lemme de Schwartz-Zippel-DeMillo-Lipton PIT Cas Général PIT Entrée : un polynôme f K[x 1..., x n ] de degré d > 0 donné par une boîte noire. Question : Est-ce que le polynôme f est nul? Proposition Soit K fini, et d > K. Il existe une algorithme polynomial probabiliste pour résoudre PIT. L algorithme retourne non-zero alors f est bien non nul. Sinon, l algorithme retourne zero si le polynôme f est nul avec probabilité d K Si K est infini, avec probabilité 1 ɛ, pour tout 0 < ɛ < 1.
64 Polynomial Identity Testing Lemme de Schwartz-Zippel-DeMillo-Lipton PIT Cas Général Démonstration. L algorithme consiste à évaluer le polynôme f sur un point (r 1,..., r n ) K n tiré aléatoirement. Si f (r 1,..., r n ) 0, alors l algorithme retourne non zero. Si f (r 1,..., r n ) = 0, alors l algorithme retourne zero. Aussi, si f est non nul, alors Pr (r1,...,r n) K n (f (r 1,..., r n ) = 0) d K,
65 Polynomial Identity Testing Lemme de Schwartz-Zippel-DeMillo-Lipton Schwartz-Zippel-DeMillo-Lipton Cas Particulier Lemme de Schwartz-Zippel-DeMillo-Lipton Soit f F 2 [x 1,..., x n ] un polynôme multilinéaire de degré d > 0. Si f est non-nul, alors : Pr (r1,...,r n) F n 2 (f (r 1,..., r n ) = 0) d.
66 MAX3SAT Plan du cours 1 Introduction 2 Tests de Primalité Rappels Test de Fermat Test de Rabin-Miller 3 Polynomial Identity Testing Lemme de Schwartz-Zippel-DeMillo-Lipton 4 MAX3SAT 5 Classes de Complexité Probabilistes Modèle de Calcul Randomized Polynomial-Time Bounded Polynomial-Time Monte-Carlo, Las-Vegas et Classes Probabilistes Relation entre les Classes
67 MAX3SAT 3SAT et MAX3SAT Définition Soit x une variable booléenne. Un littéral est x ou x (négation logique). Une (3-)clause est une disjonction de 3 littéraux (x 1 x 2 x 3 ) Une (3-)formule est un conjonction de plusieurs 3-clauses.
68 MAX3SAT 3SAT et MAX3SAT Définition 3SAT Soit x une variable booléenne. Un littéral est x ou x (négation logique). Une (3-)clause est une disjonction de 3 littéraux (x 1 x 2 x 3 ) Une (3-)formule est un conjonction de plusieurs 3-clauses. Entrée : une formule φ de m clauses en les variables x 1,..., x n. Question : existe t-il une affection des variables satisfaisant φ? Theorem 3SAT est NP-complet.
69 MAX3SAT 3SAT et MAX3SAT Définition MAX3SAT Soit x une variable booléenne. Un littéral est x ou x (négation logique). Une (3-)clause est une disjonction de 3 littéraux (x 1 x 2 x 3 ) Une (3-)formule est un conjonction de plusieurs 3-clauses. Entrée : une formule φ de m clauses en les variables x 1,..., x n. Question : trouver une affection des variables satisfaisant un maximum de clauses de φ.
70 MAX3SAT Algorithme Probabiliste pour MAX3SAT Lemme Soit φ(x 1,..., x n ) une formule de m clauses C 1..., C m. Une affectation aléatoire des variables permet de satisfaire simultanément 7 m 8 clauses en moyenne. Démonstration. Soit Nous avons : { 1, si Cj est vrai. X j = 0, sinon. E(X j ) = 1 Pr(X j = 1) = 7 8. Finalement, si X = n j=1 X j, alors : E(X ) = m i=1 1 Pr(X j = 1) = 7 m 8.
71 MAX3SAT Algorithme Probabiliste pour MAX3SAT Lemme Soit φ(x 1,..., x n ) une formule de m clauses. Il existe toujours une affectation des variables satisfaisant au moins 7 m 8 clauses φ.
72 MAX3SAT Algorithme Probabiliste pour MAX3SAT Lemme Soient φ(x 1,..., x n ) une formule de m clauses et A l événement une affectation aléatoire des variables satisfait 7 m 8 clauses de φ. Alors : Démonstration. Pr(A) 1 8 m. Soient p = Pr(A) et p j proba. de satisfaire exactement j clauses de φ. m j p j = j=0 m E(X ) = j p j j=0 7 m m = j p j 8 j=0 j p j + j p j j< 7 m j 8 7 m 8 ( 7 m 1 ) p j + m 8 8 ( 7 m j< 7 m 8 ) + m p j 7 m 8 p j.
73 MAX3SAT Algorithme de Johnson Entrée. une formule φ(x 1,..., x n ) de m clauses Sortie. Une affectation satisfaisant 7 m 8 clauses. Choisir aléatoirement (z 1,..., z n ) {0, 1} n. Tant que # clauses true dans φ(z 1,..., z n ) est < 7 m 8 Choisir aléatoirement (z 1,..., z n) {0, 1} n. FinTantQue Retourner (z 1,..., z n ) {0, 1} n Faire
74 MAX3SAT Algorithme de Johnson Entrée. une formule φ(x 1,..., x n ) de m clauses Sortie. Une affectation satisfaisant 7 m 8 clauses. Choisir aléatoirement (z 1,..., z n ) {0, 1} n. Tant que # clauses true dans φ(z 1,..., z n ) est < 7 m 8 Choisir aléatoirement (z 1,..., z n) {0, 1} n. FinTantQue Retourner (z 1,..., z n ) {0, 1} n Faire Théorème Le nombre moyen d itérations est 8 m.
75 MAX3SAT Analyse C : v.a. du nombre d itérations de l algorithme. Soit p = 1 8 m la proba. de satisfaire 7 m 8 clauses de φ. E(C) = j 0 j Pr(C = j) E(C) = j (1 p) j 1 p j 0 p E(C) = j (1 p) j 1 p E(C) = p 1 p E(C) 8 m j 0 1 p p 2 = 1 p
76 Classes de Complexité Probabilistes Plan du cours 1 Introduction 2 Tests de Primalité Rappels Test de Fermat Test de Rabin-Miller 3 Polynomial Identity Testing Lemme de Schwartz-Zippel-DeMillo-Lipton 4 MAX3SAT 5 Classes de Complexité Probabilistes Modèle de Calcul Randomized Polynomial-Time Bounded Polynomial-Time Monte-Carlo, Las-Vegas et Classes Probabilistes Relation entre les Classes
77 Classes de Complexité Probabilistes Modèle de Calcul Machine de Turing Probabiliste Définition Une machine de Turing probabiliste est une machine de Turing déterministe avec une bande distinguée dite bande d aléa en lecture seule. Les transitions dépendent de la bande d aléa.
78 Classes de Complexité Probabilistes Randomized Polynomial-Time Plan du cours 1 Introduction 2 Tests de Primalité Rappels Test de Fermat Test de Rabin-Miller 3 Polynomial Identity Testing Lemme de Schwartz-Zippel-DeMillo-Lipton 4 MAX3SAT 5 Classes de Complexité Probabilistes Modèle de Calcul Randomized Polynomial-Time Bounded Polynomial-Time Monte-Carlo, Las-Vegas et Classes Probabilistes Relation entre les Classes
79 Classes de Complexité Probabilistes Randomized Polynomial-Time La Classe Randomized P Définition Un langage L {0, 1} est dans RP (Randomized Polynomial-Time) s il existe une machine de Turing probabiliste M qui fonctionne en temps polynomial telle que : si x L, alors Pr(M n accepte pas x) 1 2, si x L, alors Pr(M accepte x) = 0.
80 Classes de Complexité Probabilistes Randomized Polynomial-Time Amplification Définition équivalente de RP Soit ɛ, 0 < ɛ 1 2. Un langage L {0, 1} est dans RP s il existe une machine de Turing probabiliste M qui fonctionne en temps polynomial : si x L, alors Pr(M n accepte pas x) ɛ, si x L, alors Pr(M accepte x) = 0. Démonstration. Soient L RP, M une MT probabiliste pour L et un entier k > 0. Pr(M n accepte pas x x L) 1 2. M une MT probabiliste qui sur une entrée x simule k fois M telle que M accepte x au moins une exécution de M accepte x.
81 Classes de Complexité Probabilistes Randomized Polynomial-Time Amplification Définition équivalente de RP Soit ɛ, 0 < ɛ 1 2. Un langage L {0, 1} est dans RP s il existe une machine de Turing probabiliste M qui fonctionne en temps polynomial : si x L, alors Pr(M n accepte pas x) ɛ, si x L, alors Pr(M accepte x) = 0. Démonstration. Soient L RP, M une MT probabiliste pour L et un entier k > 0. M une MT probabiliste qui sur une entrée x simule k fois M telle que M accepte x au moins une exécution de M accepte x. Pr(M n accepte pas x x L) = ( Pr(M n accepte pas x x L) ) k 1 2 k. If faut choisir k tel que 1 2 k ɛ. Finalement, Pr(M accepte x x L) = 0.
82 Classes de Complexité Probabilistes Randomized Polynomial-Time La Classe corp Définition Un langage L {0, 1} est dans corp s il existe une machine de Turing probabiliste M qui fonctionne en temps polynomial telle que : si x L, alors Pr(M n accepte pas x) = 0, si x L, alors Pr(M accepte x) 1 2.
83 Classes de Complexité Probabilistes Randomized Polynomial-Time La Classe corp Définition Un langage L {0, 1} est dans corp s il existe une machine de Turing probabiliste M qui fonctionne en temps polynomial telle que : si x L, alors Pr(M n accepte pas x) = 0, si x L, alors Pr(M accepte x) 1 2. Définition équivalente de corp Soit ɛ, 0 < ɛ 1 2. Un langage L {0, 1} est dans corp s il existe une machine de Turing probabiliste M qui fonctionne en temps polynomial telle que : si x L, alors Pr(M n accepte pas x) = 0, si x L, alors Pr(M accepte x) ɛ.
84 Classes de Complexité Probabilistes Randomized Polynomial-Time La Classe corp Définition Un langage L {0, 1} est dans corp s il existe une machine de Turing probabiliste M qui fonctionne en temps polynomial telle que : si x L, alors Pr(M n accepte pas x) = 0, si x L, alors Pr(M accepte x) 1 2. PREMIER corp Si N est premier, TestRabinMiller(N) retourne toujours premier. Si N est composé, TestRabinMiller(N) retourne premier avec proba. 1 4 < 1 2.
85 Classes de Complexité Probabilistes Randomized Polynomial-Time La Classe corp Définition Un langage L {0, 1} est dans corp s il existe une machine de Turing probabiliste M qui fonctionne en temps polynomial telle que : si x L, alors Pr(M n accepte pas x) = 0, si x L, alors Pr(M accepte x) 1 2. PIT Entrée : un polynôme f K[x 1..., x n ] de degré d > 0 donné par une boîte noire. Question : Est-ce que le polynôme f est nul? Si f est nul, on retourne toujours nul. Si f n est pas nul, on retourne nul avec proba. d K.
86 Classes de Complexité Probabilistes Randomized Polynomial-Time La Classe Zerro-Error P Définition La classe ZPP (Zero-Error Probabilictic Polynomial-Time) est : ZPP = RP corp.
87 Classes de Complexité Probabilistes Bounded Polynomial-Time Plan du cours 1 Introduction 2 Tests de Primalité Rappels Test de Fermat Test de Rabin-Miller 3 Polynomial Identity Testing Lemme de Schwartz-Zippel-DeMillo-Lipton 4 MAX3SAT 5 Classes de Complexité Probabilistes Modèle de Calcul Randomized Polynomial-Time Bounded Polynomial-Time Monte-Carlo, Las-Vegas et Classes Probabilistes Relation entre les Classes
88 Classes de Complexité Probabilistes Bounded Polynomial-Time Classe Bounded P Définition Un langage L {0, 1} est dans BPP (Bounded Polynomial-Time) s il existe une machine de Turing probabiliste M qui fonctionne en temps polynomial telle que : si x L, alors Pr(M n accepte pas x) 1 3, si x L, alors Pr(M accepte x) 1 3.
89 Classes de Complexité Probabilistes Bounded Polynomial-Time Classe Bounded P Définition Un langage L {0, 1} est dans BPP (Bounded Polynomial-Time) s il existe une machine de Turing probabiliste M qui fonctionne en temps polynomial telle que : si x L, alors Pr(M n accepte pas x) 1 3, si x L, alors Pr(M accepte x) 1 3. Amplification Soit ɛ, 0 < ɛ < 1 2. Un langage L {0, 1} est dans BPP (Bounded Polynomial-Time) s il existe une machine de Turing probabiliste M qui fonctionne en temps polynomial telle que : si x L, alors Pr(M n accepte pas x) ɛ, si x L, alors Pr(M accepte x) ɛ.
90 Classes de Complexité Probabilistes Monte-Carlo, Las-Vegas et Classes Probabilistes Plan du cours 1 Introduction 2 Tests de Primalité Rappels Test de Fermat Test de Rabin-Miller 3 Polynomial Identity Testing Lemme de Schwartz-Zippel-DeMillo-Lipton 4 MAX3SAT 5 Classes de Complexité Probabilistes Modèle de Calcul Randomized Polynomial-Time Bounded Polynomial-Time Monte-Carlo, Las-Vegas et Classes Probabilistes Relation entre les Classes
91 Classes de Complexité Probabilistes Monte-Carlo, Las-Vegas et Classes Probabilistes Algorithmes de Monte Carlo Définition Un algorithme de Monte-Carlo est un algorithme probabiliste qui fonctionne toujours en temps polynomial, mais qui peux se tromper. La probabilité d erreur reste inférieure à 1 3. Monte-Carlo : des erreurs sont possibles, le temps est garanti polynomial.
92 Classes de Complexité Probabilistes Monte-Carlo, Las-Vegas et Classes Probabilistes Algorithmes de Monte Carlo Définition Un algorithme de Monte-Carlo est un algorithme probabiliste qui fonctionne toujours en temps polynomial, mais qui peux se tromper. La probabilité d erreur reste inférieure à 1 3. Monte-Carlo : des erreurs sont possibles, le temps est garanti polynomial. Théorème BPP correspond aux algorithmes de Monte-Carlo.
93 Classes de Complexité Probabilistes Monte-Carlo, Las-Vegas et Classes Probabilistes Algorithme de Las-Vegas Définition Un algorithme de Las-Vegas est un algorithme probabiliste qui ne se trompe jamais mais dont le temps d exécution moyen est polynomial. Las-Vegas : aucune erreur, pas garanti sur le pire cas.
94 Classes de Complexité Probabilistes Monte-Carlo, Las-Vegas et Classes Probabilistes Algorithme de Las-Vegas Définition Un algorithme de Las-Vegas est un algorithme probabiliste qui ne se trompe jamais mais dont le temps d exécution moyen est polynomial. Las-Vegas : aucune erreur, pas garanti sur le pire cas. Théorème ZPP = RP corp Las-Vegas.
95 Classes de Complexité Probabilistes Monte-Carlo, Las-Vegas et Classes Probabilistes Las-Vegas ZPP Démonstration. Proposition (Inégalité de Markov) Soit X une variable aléatoire positive. Alors, pour tout a > 0 : Pr(X a) E(X ). a
96 Classes de Complexité Probabilistes Monte-Carlo, Las-Vegas et Classes Probabilistes Las-Vegas ZPP Démonstration. Soit L un langage décidé par un algorithme Las-Vegas A dont le temps d exécution moyen est T. M une MT probabiliste qui accepte une entrée x si, et seulement si, A accepte x en un temps < 3 T. M n accepte jamais x L. Soit X la v.a. du temps d exécution de A : Pr ( X 3 E(X ) ) = Pr ( X 3 T ) 1 3. Si x L, alors Pr(M n accepte pas x) 1 3. L RP.
97 Classes de Complexité Probabilistes Monte-Carlo, Las-Vegas et Classes Probabilistes Las-Vegas ZPP Démonstration. Soit un L un langage décidé par un algorithme Las-Vegas A dont le temps d exécution moyen est T. M une machine de Turing probabiliste qui rejette une entrée x si, et seulement si, A rejette x en un temps < 3 T. Nous avons : M accepte toujours x L. Soit X la v.a. du temps d exécution de A : Pr ( X 3 E(X ) ) = Pr ( X 3 T ) 1 3. Si x L, alors Pr(M accepte x) 1 3. L corp RP.
98 Classes de Complexité Probabilistes Monte-Carlo, Las-Vegas et Classes Probabilistes Las-Vegas ZPP Démonstration. Soient L corp RP et M une MT probabiliste pour L RP, M une MT probabiliste pour L corp). Nous avons : Si x L, Pr( M accepte x et M accepte x ) 1 2. Si x L, Pr( M accepte x et M accepte x ) 1 2. M est une MT probabiliste qui accepte une entrée x si, et seulement si, M et M acceptent x. M n accepte pas x si, et seulement si, M et M rejettent x.
99 Classes de Complexité Probabilistes Monte-Carlo, Las-Vegas et Classes Probabilistes Las-Vegas ZPP Démonstration. C : v.a. du nombre d itérations de M. Soit p 1 2 la proba. que M et M retournent la même réponse. E(C) = j 0 j Pr(C = j) E(C) = j (1 p) j 1 p j 0 p E(C) = j (1 p) j 1 p E(C) = p 1 p E(C) 2 j 0 1 p p 2 = 1 p
100 Classes de Complexité Probabilistes Relation entre les Classes Plan du cours 1 Introduction 2 Tests de Primalité Rappels Test de Fermat Test de Rabin-Miller 3 Polynomial Identity Testing Lemme de Schwartz-Zippel-DeMillo-Lipton 4 MAX3SAT 5 Classes de Complexité Probabilistes Modèle de Calcul Randomized Polynomial-Time Bounded Polynomial-Time Monte-Carlo, Las-Vegas et Classes Probabilistes Relation entre les Classes
101 Classes de Complexité Probabilistes Relation entre les Classes Relations entre les Classes Théorème P RP et P corp.
102 Classes de Complexité Probabilistes Relation entre les Classes Relations entre les Classes Théorème Corollaire P RP et P corp. P ZPP.
103 Classes de Complexité Probabilistes Relation entre les Classes Relations entre les Classes Théorème Corollaire P RP et P corp. P ZPP. Théorème RP BPP et corp BPP.
Nombres premiers. Comment reconnaître un nombre premier? Mais...
Introduction Nombres premiers Nombres premiers Rutger Noot IRMA Université de Strasbourg et CNRS Le 19 janvier 2011 IREM Strasbourg Definition Un nombre premier est un entier naturel p > 1 ayant exactement
Plus en détailQuelques tests de primalité
Quelques tests de primalité J.-M. Couveignes (merci à T. Ezome et R. Lercier) Institut de Mathématiques de Bordeaux & INRIA Bordeaux Sud-Ouest Jean-Marc.Couveignes@u-bordeaux.fr École de printemps C2 Mars
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailLa NP-complétude. Johanne Cohen. PRISM/CNRS, Versailles, France.
La NP-complétude Johanne Cohen PRISM/CNRS, Versailles, France. Références 1. Algorithm Design, Jon Kleinberg, Eva Tardos, Addison-Wesley, 2006. 2. Computers and Intractability : A Guide to the Theory of
Plus en détailwww.h-k.fr/publications/objectif-agregation
«Sur C, tout est connexe!» www.h-k.fr/publications/objectif-agregation L idée de cette note est de montrer que, contrairement à ce qui se passe sur R, «sur C, tout est connexe». Cet abus de langage se
Plus en détailObjectifs du cours d aujourd hui. Informatique II : Cours d introduction à l informatique et à la programmation objet. Complexité d un problème (2)
Objectifs du cours d aujourd hui Informatique II : Cours d introduction à l informatique et à la programmation objet Complexité des problèmes Introduire la notion de complexité d un problème Présenter
Plus en détailChapitre VI - Méthodes de factorisation
Université Pierre et Marie Curie Cours de cryptographie MM067-2012/13 Alain Kraus Chapitre VI - Méthodes de factorisation Le problème de la factorisation des grands entiers est a priori très difficile.
Plus en détailSouad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/
Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation
Plus en détailIntroduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
Plus en détailCalculateur quantique: factorisation des entiers
Calculateur quantique: factorisation des entiers Plan Introduction Difficulté de la factorisation des entiers Cryptographie et la factorisation Exemple RSA L'informatique quantique L'algorithme quantique
Plus en détailSimulation de variables aléatoires
Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo
Plus en détailExtrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010
MINI-COURS SUR LES POLYNÔMES À UNE VARIABLE Extrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010 Table des matières I Opérations sur les polynômes 3 II Division euclidienne et racines 5 1 Division euclidienne
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailExemples de problèmes et d applications. INF6953 Exemples de problèmes 1
Exemples de problèmes et d applications INF6953 Exemples de problèmes Sommaire Quelques domaines d application Quelques problèmes réels Allocation de fréquences dans les réseaux radio-mobiles Affectation
Plus en détailCryptographie et fonctions à sens unique
Cryptographie et fonctions à sens unique Pierre Rouchon Centre Automatique et Systèmes Mines ParisTech pierre.rouchon@mines-paristech.fr Octobre 2012 P.Rouchon (Mines ParisTech) Cryptographie et fonctions
Plus en détailContexte. Pour cela, elles doivent être très compliquées, c est-à-dire elles doivent être très différentes des fonctions simples,
Non-linéarité Contexte Pour permettre aux algorithmes de cryptographie d être sûrs, les fonctions booléennes qu ils utilisent ne doivent pas être inversées facilement. Pour cela, elles doivent être très
Plus en détailTriangle de Pascal dans Z/pZ avec p premier
Triangle de Pascal dans Z/pZ avec p premier Vincent Lefèvre (Lycée P. de Fermat, Toulouse) 1990, 1991 1 Introduction Nous allons étudier des propriétés du triangle de Pascal dans Z/pZ, p étant un nombre
Plus en détailLa Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1
La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois
Plus en détailDOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
Plus en détailCalculabilité Cours 3 : Problèmes non-calculables. http://www.irisa.fr/lande/pichardie/l3/log/
Calculabilité Cours 3 : Problèmes non-calculables http://www.irisa.fr/lande/pichardie/l3/log/ Problèmes et classes de décidabilité Problèmes et classes de décidabilité Nous nous intéressons aux problèmes
Plus en détailPolynômes à plusieurs variables. Résultant
Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \
Plus en détailCOURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE
COURS EULER: PROGRAMME DE LA PREMIÈRE ANNÉE Le cours de la première année concerne les sujets de 9ème et 10ème années scolaires. Il y a bien sûr des différences puisque nous commençons par exemple par
Plus en détailProgrammation linéaire et Optimisation. Didier Smets
Programmation linéaire et Optimisation Didier Smets Chapitre 1 Un problème d optimisation linéaire en dimension 2 On considère le cas d un fabricant d automobiles qui propose deux modèles à la vente, des
Plus en détailL algorithme AKS ou Les nombres premiers sont de classe P
L algorithme AKS ou Les nombres premiers sont de classe P Julien Élie «Le plus beau résultat mathématique des dix dernières années.» Shafi Goldwasser En août 2002, le professeur Agrawal et deux de ses
Plus en détailCalcul de développements de Puiseux et application au calcul du groupe de monodromie d'une courbe algébrique plane
Calcul de développements de Puiseux et application au calcul du groupe de monodromie d'une courbe algébrique plane Poteaux Adrien XLIM-DMI, UMR-CNRS 6172 Université de Limoges Soutenance de thèse 15 octobre
Plus en détailProbabilités. Rappel : trois exemples. Exemple 2 : On dispose d un dé truqué. On sait que : p(1) = p(2) =1/6 ; p(3) = 1/3 p(4) = p(5) =1/12
Probabilités. I - Rappel : trois exemples. Exemple 1 : Dans une classe de 25 élèves, il y a 16 filles. Tous les élèves sont blonds ou bruns. Parmi les filles, 6 sont blondes. Parmi les garçons, 3 sont
Plus en détailTexte Agrégation limitée par diffusion interne
Page n 1. Texte Agrégation limitée par diffusion interne 1 Le phénomène observé Un fût de déchets radioactifs est enterré secrètement dans le Cantal. Au bout de quelques années, il devient poreux et laisse
Plus en détailBaccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient
Plus en détail1 de 46. Algorithmique. Trouver et Trier. Florent Hivert. Mél : Florent.Hivert@lri.fr Page personnelle : http://www.lri.fr/ hivert
1 de 46 Algorithmique Trouver et Trier Florent Hivert Mél : Florent.Hivert@lri.fr Page personnelle : http://www.lri.fr/ hivert 2 de 46 Algorithmes et structures de données La plupart des bons algorithmes
Plus en détailFIMA, 7 juillet 2005
F. Corset 1 S. 2 1 LabSAD Université Pierre Mendes France 2 Département de Mathématiques Université de Franche-Comté FIMA, 7 juillet 2005 Plan de l exposé plus court chemin Origine du problème Modélisation
Plus en détailSuites numériques 3. 1 Convergence et limite d une suite
Suites numériques 3 1 Convergence et limite d une suite Nous savons que les termes de certaines suites s approchent de plus en plus d une certaine valeur quand n augmente : par exemple, les nombres u n
Plus en détailRésolution de systèmes linéaires par des méthodes directes
Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.
Plus en détailALGORITHMIQUE II NOTION DE COMPLEXITE. SMI AlgoII
ALGORITHMIQUE II NOTION DE COMPLEXITE 1 2 Comment choisir entre différents algorithmes pour résoudre un même problème? Plusieurs critères de choix : Exactitude Simplicité Efficacité (but de ce chapitre)
Plus en détailProgrammation linéaire
1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit
Plus en détailCapacité d un canal Second Théorème de Shannon. Théorie de l information 1/34
Capacité d un canal Second Théorème de Shannon Théorie de l information 1/34 Plan du cours 1. Canaux discrets sans mémoire, exemples ; 2. Capacité ; 3. Canaux symétriques ; 4. Codage de canal ; 5. Second
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailINF 4420: Sécurité Informatique Cryptographie II
: Cryptographie II José M. Fernandez M-3106 340-4711 poste 5433 Aperçu Crypto II Types de chiffrement Par bloc vs. par flux Symétrique vs. asymétrique Algorithmes symétriques modernes DES AES Masque jetable
Plus en détailChapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence
Chapitre 3 Mesures stationnaires et théorèmes de convergence Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée p.1 I. Mesures stationnaires Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée
Plus en détailBaccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Plus en détailLa cryptographie du futur
La cryptographie du futur Abderrahmane Nitaj Laboratoire de Mathématiques Nicolas Oresme Université de Caen, France nitaj@math.unicaen.fr http://www.math.unicaen.fr/~nitaj Résumé Sans nous rendre compte,
Plus en détailAlgorithmique quantique : de l exponentiel au polynômial
Algorithmiue uantiue : de l onentiel au polynômial Novembre 008 Résumé L informatiue uantiue, même si elle n en est encore u à ses premiers pas, porte en elle des promesses ui lui ont valu un engouement
Plus en détailintroduction Chapitre 5 Récursivité Exemples mathématiques Fonction factorielle ø est un arbre (vide) Images récursives
introduction Chapitre 5 Images récursives http ://univ-tln.fr/~papini/sources/flocon.htm Récursivité http://www.poulain.org/fractales/index.html Image qui se contient elle-même 1 Exemples mathématiques
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détailCours 02 : Problème général de la programmation linéaire
Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =
Plus en détailFONDEMENTS DES MATHÉMATIQUES
FONDEMENTS DES MATHÉMATIQUES AYBERK ZEYTİN 1. DIVISIBILITÉ Comment on peut écrire un entier naturel comme un produit des petits entiers? Cette question a une infinitude d interconnexions entre les nombres
Plus en détailUEO11 COURS/TD 1. nombres entiers et réels codés en mémoire centrale. Caractères alphabétiques et caractères spéciaux.
UEO11 COURS/TD 1 Contenu du semestre Cours et TDs sont intégrés L objectif de ce cours équivalent a 6h de cours, 10h de TD et 8h de TP est le suivant : - initiation à l algorithmique - notions de bases
Plus en détailFactorisation d entiers (première partie)
Factorisation d entiers ÉCOLE DE THEORIE DES NOMBRES 0 Factorisation d entiers (première partie) Francesco Pappalardi Théorie des nombres et algorithmique 22 novembre, Bamako (Mali) Factorisation d entiers
Plus en détailCalcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach
Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte
Plus en détailAlgorithmes récursifs
Licence 1 MASS - Algorithmique et Calcul Formel S. Verel, M.-E. Voge www.i3s.unice.fr/ verel 23 mars 2007 Objectifs de la séance 3 écrire des algorithmes récursifs avec un seul test rechercher un élément
Plus en détailTests de primalité et cryptographie
UNIVERSITE D EVRY VAL D ESSONNE Tests de primalité et cryptographie Latifa Elkhati Chargé de TER : Mr.Abdelmajid.BAYAD composé d une courbe de Weierstrass et la fonction (exp(x), cos (y), cos(z) ) Maîtrise
Plus en détailLogique. Plan du chapitre
Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels
Plus en détailCours d arithmétique Première partie
Cours d arithmétique Première partie Pierre Bornsztein Xavier Caruso Pierre Nolin Mehdi Tibouchi Décembre 2004 Ce document est la première partie d un cours d arithmétique écrit pour les élèves préparant
Plus en détailMéthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48
Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation
Plus en détailL ALGORITHMIQUE. Algorithme
L ALGORITHMIQUE Inspirée par l informatique, cette démarche permet de résoudre beaucoup de problèmes. Quelques algorithmes ont été vus en 3 ième et cette année, au cours de leçons, nous verrons quelques
Plus en détailBaccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2014 Corrigé EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats 1. Réponse c : ln(10)+2 ln ( 10e 2) = ln(10)+ln ( e 2) = ln(10)+2 2. Réponse b : n 13 0,7 n 0,01
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailUNIVERSITE IBN ZOHR Faculté des sciences Agadir. Filière SMA & SMI. Semestre 1. Module : Algèbre 1
UNIVERSITE IBN ZOHR Faculté des sciences Agadir Filière SMA & SMI Semestre 1 Module : Algèbre 1 Année universitaire : 011-01 A. Redouani & E. Elqorachi 1 Contenu du Module : Chapitre 1 : Introduction Logique
Plus en détailChapitre 7. Récurrences
Chapitre 7 Récurrences 333 Plan 1. Introduction 2. Applications 3. Classification des récurrences 4. Résolution de récurrences 5. Résumé et comparaisons Lectures conseillées : I MCS, chapitre 20. I Rosen,
Plus en détailMoments des variables aléatoires réelles
Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................
Plus en détailCorrection de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Plus en détailPremière partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015
Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k
Plus en détailExercices sur le chapitre «Probabilités»
Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2014-2015 1 Pour démarrer Exercices sur le chapitre «Probabilités» Exercice 1 (Modélisation d un dé non cubique) On considère un parallélépipède rectangle de
Plus en détailProgrammes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles
Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme
Plus en détailAmphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues
Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite
Plus en détail1/24. I passer d un problème exprimé en français à la réalisation d un. I expressions arithmétiques. I structures de contrôle (tests, boucles)
1/4 Objectif de ce cours /4 Objectifs de ce cours Introduction au langage C - Cours Girardot/Roelens Septembre 013 Du problème au programme I passer d un problème exprimé en français à la réalisation d
Plus en détail3. Conditionnement P (B)
Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte
Plus en détailExercices types Algorithmique et simulation numérique Oral Mathématiques et algorithmique Banque PT
Exercices types Algorithmique et simulation numérique Oral Mathématiques et algorithmique Banque PT Ces exercices portent sur les items 2, 3 et 5 du programme d informatique des classes préparatoires,
Plus en détailProblèmes arithmétiques issus de la cryptographie reposant sur les réseaux
Problèmes arithmétiques issus de la cryptographie reposant sur les réseaux Damien Stehlé LIP CNRS/ENSL/INRIA/UCBL/U. Lyon Perpignan, Février 2011 Damien Stehlé Problèmes arithmétiques issus de la cryptographie
Plus en détailCours de mathématiques
DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................
Plus en détailPrincipe de symétrisation pour la construction d un test adaptatif
Principe de symétrisation pour la construction d un test adaptatif Cécile Durot 1 & Yves Rozenholc 2 1 UFR SEGMI, Université Paris Ouest Nanterre La Défense, France, cecile.durot@gmail.com 2 Université
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
Plus en détailChapitre 2. Eléments pour comprendre un énoncé
Chapitre 2 Eléments pour comprendre un énoncé Ce chapitre est consacré à la compréhension d un énoncé. Pour démontrer un énoncé donné, il faut se reporter au chapitre suivant. Les tables de vérité données
Plus en détailComplexité. Licence Informatique - Semestre 2 - Algorithmique et Programmation
Complexité Objectifs des calculs de complexité : - pouvoir prévoir le temps d'exécution d'un algorithme - pouvoir comparer deux algorithmes réalisant le même traitement Exemples : - si on lance le calcul
Plus en détailCalculs de probabilités
Calculs de probabilités Mathématiques Générales B Université de Genève Sylvain Sardy 13 mars 2008 1. Définitions et notations 1 L origine des probabilités est l analyse de jeux de hasard, tels que pile
Plus en détailL E Ç O N. Marches aléatoires. Niveau : Terminale S Prérequis : aucun
9 L E Ç O N Marches aléatoires Niveau : Terminale S Prérequis : aucun 1 Chaînes de Markov Définition 9.1 Chaîne de Markov I Une chaîne de Markov est une suite de variables aléatoires (X n, n N) qui permet
Plus en détailIFT3245. Simulation et modèles
IFT 3245 Simulation et modèles DIRO Université de Montréal Automne 2012 Tests statistiques L étude des propriétés théoriques d un générateur ne suffit; il estindispensable de recourir à des tests statistiques
Plus en détailChapitre 1 : Évolution COURS
Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir
Plus en détailGéométrie des nombres et cryptanalyse de NTRU
École normale supérieure Département d informatique Équipe CASCADE INRIA Université Paris 7 Denis Diderot Géométrie des nombres et cryptanalyse de NTRU Thèse présentée et soutenue publiquement le 13 novembre
Plus en détailExemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions
Exemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions HQ = He 1 He 2 He 3 He 4 HQ e 5 comme anneaux (avec centre Re 1 Re 2 Re 3 Re 4
Plus en détailExo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailMIS 102 Initiation à l Informatique
MIS 102 Initiation à l Informatique Responsables et cours : Cyril Gavoille Catherine Pannier Matthias Robine Marc Zeitoun Planning : 6 séances de cours 5 séances de TD (2h40) 4 séances de TP (2h40) + environ
Plus en détailDualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies
Chapitre 6 Dualité dans les espaces de Lebesgue et mesures de Radon finies Nous allons maintenant revenir sur les espaces L p du Chapitre 4, à la lumière de certains résultats du Chapitre 5. Sauf mention
Plus en détailn N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t
3.La méthode de Dirichlet 99 11 Le théorème de Dirichlet 3.La méthode de Dirichlet Lorsque Dirichlet, au début des années 180, découvre les travaux de Fourier, il cherche à les justifier par des méthodes
Plus en détailModel checking temporisé
Model checking temporisé Béatrice Bérard LAMSADE Université Paris-Dauphine & CNRS berard@lamsade.dauphine.fr ETR 07, 5 septembre 2007 1/44 Nécessité de vérifier des systèmes... 2/44 Nécessité de vérifier
Plus en détailCours d analyse numérique SMI-S4
ours d analyse numérique SMI-S4 Introduction L objet de l analyse numérique est de concevoir et d étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques, en général issus de problèmes réels,
Plus en détail1 Définition et premières propriétés des congruences
Université Paris 13, Institut Galilée Département de Mathématiques Licence 2ème année Informatique 2013-2014 Cours de Mathématiques pour l Informatique Des nombres aux structures Sylviane R. Schwer Leçon
Plus en détailUne forme générale de la conjecture abc
Une forme générale de la conjecture abc Nicolas Billerey avec l aide de Manuel Pégourié-Gonnard 6 août 2009 Dans [Lan99a], M Langevin montre que la conjecture abc est équivalente à la conjecture suivante
Plus en détailRéalisabilité et extraction de programmes
Mercredi 9 mars 2005 Extraction de programme: qu'est-ce que c'est? Extraire à partir d'une preuve un entier x N tel que A(x). π x N A(x) (un témoin) (En fait, on n'extrait pas un entier, mais un programme
Plus en détailThéorème du point fixe - Théorème de l inversion locale
Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion
Plus en détailAnalyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe
Analyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe des n n groupes quantiques compacts qui ont la théorie
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?
Plus en détailINF 232: Langages et Automates. Travaux Dirigés. Université Joseph Fourier, Université Grenoble 1 Licence Sciences et Technologies
INF 232: Langages et Automates Travaux Dirigés Université Joseph Fourier, Université Grenoble 1 Licence Sciences et Technologies Année Académique 2013-2014 Année Académique 2013-2014 UNIVERSITÉ JOSEPH
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailDéveloppement décimal d un réel
4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailCRYPTOGRAPHIE. Signature électronique. E. Bresson. Emmanuel.Bresson@sgdn.gouv.fr. SGDN/DCSSI Laboratoire de cryptographie
CRYPTOGRAPHIE Signature électronique E. Bresson SGDN/DCSSI Laboratoire de cryptographie Emmanuel.Bresson@sgdn.gouv.fr I. SIGNATURE ÉLECTRONIQUE I.1. GÉNÉRALITÉS Organisation de la section «GÉNÉRALITÉS»
Plus en détailProbabilités stationnaires d une chaîne de Markov sur TI-nspire Louis Parent, ing., MBA École de technologie supérieure, Montréal, Québec 1
Introduction Probabilités stationnaires d une chaîne de Markov sur TI-nspire Louis Parent, ing., MBA École de technologie supérieure, Montréal, Québec 1 L auteur remercie Mme Sylvie Gervais, Ph.D., maître
Plus en détail