Angles orientés. Trigonométrie
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- Rose St-Denis
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1 Angles orientés. Trigonométrie Dans tout le chapitre, le plan est muni d'un repère orthonormé Le plan est orienté dans le sens direct (sens anti horaire. Toutes les mesures d'angles seront en radian. 1 Angles orientés O, i, j. Dénition 1 : Soit trois points distincts O, A, B du plan, on note OA; OB l'angle orienté dont la valeur absolue de la mesure correspond à l'angle géométrique ÂOB et le signe est donné par le sens de OA vers OB. B v O u A Dénition : Soit deux vecteurs u et v non nuls. On note A et B les points tels que u = OA et v = OB, on dénit l'angle orienté ( u; v par la relation : ( u; v = OA; OB Remarque : Les mesures des angles orientés ne dépendent pas des représentant des vecteurs. Exercice 1 : Dans le triangle rectangle isocèle ABC, déterminer les mesures des angles suivants : AB; AC =... C AB; BC =... BA; BC =... CA; AB =... A B sebjaumaths.free.fr page 1 Lycée Jean Rostand
2 Propriété 1 : Pour deux vecteurs u, v, w non nuls. u et v sont colinéaires de même sens si et seulement si ( u; v = 0 []. u et v sont colinéaires de sens contraire si et seulement si ( u; v = []. Relation de Chasles : ( u; v + ( v; w = ( u; w Exercice : On considère deux vecteurs u et v non nuls. Montrer que : 1. ( u; v = ( v; u.. Pour tout vecteur i non nul, ( u; v = i; v. Pour tout réel k > 0, (k u; v = ( u; v.. Pour tout réel k < 0, (k u; v = + ( u; v. i; u. Cercle trigonométrique Dénition : Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1, orienté dans le sens direct, dit aussi sen trigonométrique. A tout point M du cercle, on associe l'angle i, OM. Une mesure en radian de l'angle i, OM est égale à la distance algébrique curviligne OM. sebjaumaths.free.fr page Lycée Jean Rostand
3 Propriété : Pour M un point sur le cercle, on note x une mesure de l'angle i, OM. Pour k Z, le nombre x + k est aussi une mesure de l'angle i, OM. Il y a donc une innité de mesure pour un même angle, toutes égales à près. Exemple 1 : Pour le point M associé à la mesure, il est aussi associé à la mesure 9, en faisant un tour de plus dans le sens trigonométrique, ou à la mesure 15, en faisant deux tours dans le sens négatif. O, 9, 15 I sebjaumaths.free.fr page Lycée Jean Rostand
4 sur le cercle trigono- Exercice : On considère le point M associé à l'angle de mesure métrique. Déterminer les mesures x de l'angle i, OM tels que : (a x [; ] (b x [8; 1] (c x [ 10; 90] Dénition : Pour M un point sur le cercle, on appelle mesure principale de l'angle mesure x de cet angle telle que x ], ]. Cette mesure est unique. i, OM la Exemple : Pour un angle de mesure 11, sa mesure principale est 5, en eet : = = = = Il y donc 9 tours en trop... Exercice : Déterminer la mesure principale des angles suivants : (a x = 11 (b x = 5 (c x = 77 Propriété : Pour M et M deux points sur le cercle, avec x une mesure de l'angle i, OM et x une mesure de l'angle i, OM. Une mesure de l'angle OM, OM est x x + k où k Z. Fonction trigonométrique Dénition 5 : Pour M un point sur le cercle, avec x une mesure de l'angle L'abscisse du point M est notée cos(x ( se lit cosinus de x. L'ordonnée du point M est notée sin(x ( se lit sinus de x. i, OM. Dénition : On appelle cosinus la fonction dénie sur R qui à x associe cos(x. On appelle sinus la fonction dénie sur R qui à x associe sin(x. sebjaumaths.free.fr page Lycée Jean Rostand
5 Tableau des valeurs usuelles : x 0 cos(x sin(x Propriété : Les propriétés suivantes sont vraies pour tout x R et pour tout k Z : 1 cos(x 1. sin( x = sin(x. 1 sin(x 1. cos (x + sin (x = 1. cos(x + k = cos(x. sin(x + k = sin(x. cos( x = cos(x. sin( x = sin(x. cos( x = cos(x. cos( + x = cos(x. sin( + x = sin(x. ( cos x = sin(x. ( sin x = cos(x. ( cos + x = sin(x. ( sin + x = cos(x. Exemple : 1 On cherche à cos : On a 1 = = +. De plus = (. 1 Donc cos = cos ( = cos = cos ( = cos = sebjaumaths.free.fr page 5 Lycée Jean Rostand
6 Exercice 5 : On pose cos = a et sin = b. 5 5 Déterminer en fonction de a et b la valeur du cosinus et du sinus des angles suivants : (a x = 5 (b x = 5 (c x = 10 Équations trigonométriques Propriété 5 : α R cos(x = cos(α x = α + k x = α + k k Z sin(x = sin(α x = α + k x = α + k k Z Exemple : x = cos(x = cos + k k Z x = + k sin(x = sin x = + k x = + k = + k k Z Exercice : Déterminer les solutions dans l'intervalle [, ] des équations suivantes : (a cos(x = 1 (b sin(x = 1 (c cos(x = 1 sebjaumaths.free.fr page Lycée Jean Rostand
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