Autour du cardinal d un ensemble de matrices binaires

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1 Autour du cardinal d un ensemble de matrices binaires Adrien REISNER 1 Abstract. We here study a couple of algebraic and analytic properties of certain binary matrices in the spaces M n(r). In particular, we study power series whose coefficients are functions of the cardinal of these matrices, as well the rank of this family of matrices. Keywords: binary bistochastic matrices, rank, power series. MSC 2000: 15A03, 15A18. On considère l ensemble U n des matrices binaires de taille n comportant exactement deux 1 dans chaque ligne et exactement deux 1 dans chaque colonne (pour toute matrice A U n la matrice 1 2 A est bistochastique). On désigne par u n = CardU n et on pose u 0 = 1, u 1 = 0. J n est la matrice de M n (R) dont tous les coefficients sont égaux à 1. 1 Exemples. Pour n = 2, la seule matrice de U 2 est la matrice J 2 = Donc u 2 =1. Pour n=3,u 3 est formé des 6 matrices A j,j : 1,...,6 (suivant la position 1 1 du seul élément nul (a 1i ) i:1,2,3 de la première ligne): (a 11 = 0) : A 1 = , A 2 = (a 12 = 0) : A 3 = A 4 = (a 13 = 0) : ; 0 1 1, ; A 5 = A 6 = Donc u 3 = , Étude de u n. On désigne par H n le sous-ensemble de U n comportant un 1 en position (1,1) et h n = CardH n. En outre, K n est le sous-ensemble de H n comportant un 1 en position (1,2) et un 1 en position (2,1) et k n = CardK n. X 0 = [1] désignant le vecteur de R n dont tous les coefficients sont égaux à 1 on a le Théorème 1. a) Pour toute matrice A U n, 2 est valeur propre de A et X 0 est un vecteur propre associé à cette valeur propre. b) On a:èa = h n J n. A U n Démonstration. a) Pourtoute matrice A U n il est immédiat que le vecteur X 0 est vecteur propre associéà la valeur propre λ = 2 (la matrice 1 A est bistochastique): 2 AX 0 = 2X 0, A U n. 1 TELECOM ParisTech; 124

2 b) Pour (i,j) fixé soit (U n ) ij l ensemble (U n ) ij = {A U n ;a ij = 1} et pour toute matrice A de U n désignons par A la matrice obtenue à partir de la matrice A en échangeant les lignes 1 et i puis les colonnes 1 et j. Il est immédiat que cette matrice A appartient à l ensemble H n et que l application (U n ) ij H n, A A est bijective. Par suite pour tout i,j : 1,...,n : Card(U n ) ij = CardH n = h n, d où l assertion b). Corollaire. On a u n = n 2 h n. Démonstration. Compte tenu des deux assertions précédentes il vient:èax 0 A U n = h n J n X 0 soit 2u n X 0 = nh n X 0 et le corollaireest ainsi démontré,le vecteurx 0 étant vecteur propre de la matrice J n pour la valeur propre n. Théorème 2. On a: a) h n = (n 1) 2 k n,n 2; b) k n = u n 2 +h n 1 pour n 4. Démonstration. a) Pour tout (i,j),2 i, j n, soit Hn ij l ensembles des éléments de H n nè ayant un 1 dans la position (i,1) et un 1 en position (1,j). Ces ensembles Hn ij, 2 i, j n, constituent une partition de H n et il y a (n 1) 2 de tels ensembles. Remarquons que Hn 22 = K n. De plus, l application ϕ i,j nè : Hn ij K n, A A ij, où la matrice A ij est obtenue à partirde la matrice A par échangedes lignes 2 et i et des colonnes 2 et j (lorsque i = 2 ou j = 2 on ne fait pas d échange) est de façon évidente bijective, soit pour tout (i,j), 2 i, j n, CardHn ij = CardK n = k n. On en déduit alors pour n 2 : h n = CardH n = CardHn ij = CardK n = i,j=2 i,j=2 (n 1) 2 k n. b) Pour n 4, K n est réunion disjointe des deux parties suivantes: 1) K n1 ensemble des éléments de K n ayant un 1 dans la position (2,2). L application de K n1 dans U n 2 qui à chaque matrice A fait associer la matrice obtenue à partir de A en supprimant les deux premières lignes et les deux premières colonnes est manifestement bijective; donc: CardK n1 = CardU n 2 = u n 2. 2) K n2 ensemble des éléments de K n ayant un 0 dans la position (2,2). Dans ce cas on considère l application de K n2 dans H n 1 qui à chaque matrice A fait associer la matrice obtenue de celle-ci en remplaçant le 0 de la position (2,2) par 1 puis en supprimant la première ligne et la première colonne. On définit ainsi une application bijective. Il vient alors: CardK n2 = CardH n 1 = h n 1. Finalement, pour n 4 on a: k n = CardK n = CardK n1 +CardK n2 = u n 2 +h n 1. On pose pour tout n N: w n = u n (n!) 2. Théorème 3. a) w n vérifie la relation de récurrence w n = 1 2n w n 2+ n 1 n w n 1, n 2, avec w 0 = 1 et w 1 = 0. b) w n [0,1] pour tout n N. c) La série de terme général w n diverge. d) La série Èn=0w n x n converge pour x ] 1,1[. Démonstration. a) Pour n 4 il vient, compte tenu du théorème précédent et 125

3 du corollaire: u n = n 2 h n = n 2 (n 1)2 (u n 2 +h n 1 ) = n 2 (n 1)2 u n 2 +n(n 1)u n 1. A l aide des conventions u 0 = 1 et u 1 = 0 cette relation est encore vérifiée pour n = 2 et n = 3. On a alors pour n 2: w n = u n (n!) 2 = 1 2n w n 2 + n 1 n w n 1. b) Pour tout n,u n 0, donc w n 0. Montrons par récurrence que w n 1, n N. D abord, w 0 = 1 1 et w 1 = 0 1. Soit n 2 et supposons que w n 2 1 et w n 1 1; alors,comptetenudel assertionprécédente: w n = 1 2n w n 2+ n 1 n w n 1 1 2n + n 1 = 2n 1 1. n 2n c) Il est clair que w n > 0, n 2. Compte tenu de l assertion a), il vient: w n n 1 n w n 1 et par suite: w n 2 n w 2 = 1 2n u 2 = 1, pour n 3. Ceci montre que la 2n sérieèw n diverge. d) 0 w n 1 (voir b)) implique w n x n x n. La série géométrique x n étant convergente pour 1 < x < 1, on déduit que Èn=0w n x n est absolument convergente, donc convergente pour x < 1. Théorème 4. Pour x ] 1,1[ on a: W(x) = Èn=0 w n x n = e 1 2 x. 1 x Démonstration. Soit x ] 1,1[. D après l assertion a) du Théorème 3, 2nw n = 2(n 1)w n 1 +w n 2, n 2. En multipliant les deux membres de cette égalité par x n 1, puis en sommant, on obtient alors: 2 nw n x n 1 = 2x (n 1)w n 1 x n 2 +x w n 2 x n 2. Il vient: 2(W (x) w 1 ) = 2xW (x)+xw(x) soit puisque w 1 = u 1 = 0: W (x) = D ici et du fait que W(0) = 1, on obtient alors x W(x), x ] 1,1[. 2(1 x) W(x) = e 1 2 x 1 x, x ] 1,1[. Remarque. Une étude plus approfondie permet de trouver, en utilisant la fonction Γ ainsi que la formule de Stirling, un équivalent de u n lorsque n, à savoir: 2 u n 2 n π, mais cette étude dépasse le niveau de cet article. e 2n+1 126

4 2. Étude de rang. On se propose dans cette partie de déterminer le rang r n du système constitué des u n, matrices de U n considérées comme éléments de M n (R). Proposition. Avec ces notations on a : r 2 = 1 et r 3 = 5. Démonstration. Pourn = 2, U 2 contenantla seule matrice non nulle J 2 : r 2 = 1. Pour n = 3, U 3 contient les 6 matrices A i, i : 1,...,6, trouvées page 124. Désignons par J le sous - espace vectoriel de M n (R) engendré par ces 6 matrices. D après l assertion b) du Théorème 1, la matrice J 3 appartient J et par suite J est aussi engendré par les 6 matrices J A i, i : 1,...,6. Ces 6 matrices sont dans l ordre: J A 1 = J A 2 = J A 3 = J A 4 = 0 1 0, 0 0 1, 1 0 0, J A 5 = J A 6 = Soient λ i, i : 1,...,6, 0 0 1, 1 0 0, λ 2 λ 3 +λ 4 λ 5 +λ 6 des réels donnés. Alors 6Èi=1λ i (J A i ) = 0 λ λ 4 +λ 6 λ 2 +λ 5 λ 1 +λ 3 λ 3 +λ 5 λ 1 +λ 6 λ 2 +λ 4 = = λ 2 = λ 3 = λ 4 = λ 5 = λ 6. On en déduit r 3 = λ Soit V n l espace vectoriel des matrices A M n (R) telles que X 0 = [1] soit à la fois vecteur propre de A et de sa transposée t A. [V n est effectivement un sousespace vectoriel de M n (R) car 0 V n et si (α,β) R 2 et (A,B) (V n ) 2 alors: (αa+βb)x 0 Vect(X 0 ) et (α t A+β t B)X 0 Vect(X 0 ).] Théorème 5. U n V n. Pour A V n si AX 0 = λx 0, alors t AX 0 = λx 0. Démonstration. Si A U n, sa transposée t A appartient aussi à U n nè. Comme X 0 est vecteur propre de toute matrice de U n on a: U n V n. Soit alors A = (a ij ) V n, λ la valeur propre de A associée au vecteur propre X 0, i.e. AX 0 = λx 0 et µ celle de la transposée t A associée à X 0 : t AX 0 = µx 0. Pour tout i,j : 1,...,n, on a: a ik = λ et a kj = µ. Par suite: nλ = nèk=1 nèk=1 nèi=1 ( a ij ) = j=1 nè j=1( nèi=1 a ij ) = nµ soit λ = µ. Théorème 6. a) dim V n = (n 1) 2 +1; b) r n (n 1) Démonstration. a) On munit M n,1 (R) de sa structure euclidienne canonique et on note B 0 = {e 1,...,e n } la base canonique de M n,1 (R). Soit e 1 = 1 n X 0. On complète la famille orthonormée (e 1 ) en une base orthonormée B 1 = {e 1,...,e n} de M n,1 (R). On note P la matrice de passage de B 0 à B 1 et pour A M n (R) soit f l endomorphisme de M n,1 (R) canoniquement associé à A. Compte tenu du 127

5 théorème 5: A V n λ P/Ae 1 = t Ae 1 = λe 1 λ P, A M n 1 (R)/Mat(f,B 1 ) = λ 0 0 A λ P, A M n 1 (R)/A = P λ 0 0 A P 1. Il vient alors, l application M PMP 1 étant un automorphisme de M n (R), dimv n = dim{ λ 0 0 A ;λ R,A M n 1 (R)} = 1+(n 1) 2. b) On en déduit puisque U n V n : r n = dim(vect(u n )) dimv n = (n 1) Pour n 3 soit A = (a ij ) une matrice de U n comportant des 1 en positions (1,1) et (2,2) et des 0 en positions (1,2) et (2,1). La matrice B = (b ij ) définie par b ij = a ij si i > 2 ou j > 2, b ij = 1 a ij si i 2 et j 2 est une matrice binaire ayant les mêmes lignes et les mêmes colonnes que A à partir de la troisième ligne ou colonne. La définition des éléments (1,1),(2,2),(1,2) et (2,1) de cette matrice B montre alors que B U n. Pour tout i,j : 1,...,n : a ij b ij = 0 si i > 2 ou j > 2; a ij b ij = 1 si i = j, i 2 et j 2; a ij b ij = 1 si i j, i 2 et j 2. La matrice A B ne comporte donc que des éléments nuls sauf en positions (i,j) avec i 2 et j 2. Soit r n le rang du système constitué de toutes les matrices U U où U,U U n. Théorème 7. a) r n (n 1)2 ; b) r n = n 2 2n+2. Démonstration. a) Pour tout i,j : 1,...,n notons A ij la matrice obtenue à partir de la matrice A par l échange des lignes i et 2 et les colonnes j et 2 et par B ij la matrice obtenue à partir de la matrice B par les mêmes échanges. Ces matrices A ij et B ij appartiennent à U n. De plus, A ij B ij est une matrice à coefficients nuls sauf en positions (1,1), (i,j), (1,j) et (i,1) et telle que l élément de la position (i,j) est 1. On remarque que par suppression de la première ligne et de la première colonne de A ij B ij on obtient la matrice E i 1,j 1 de la base canonique de M n 1 (R). La famille {A ij B ij } i,j:2,...,n est donc libre, et par suite: r n (n 1)2. b) D après l assertion b) du Théorème 6 et de l assertion a) précédente on a les inégalitéssuivantes: (n 1) 2 r n r n (n 1) 2 +1.Montronsquel inégalitér n r n est stricte. En effet, pour tout U,U U n on a (U U )X 0 = 0. Or J n X 0 = nx 0 et par suite la matrice J n ne peut être combinaison linéaire des éléments U U avec U,U U n, mais elle est combinaison linéaire des éléments de U n (voir Théorème 1 b)). Donc on a l inégalité stricte: r n < r n. On en déduit finalement l égalité: r n = (n 1)

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