Espaces vectoriels 1. Espaces vectoriels

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1 Espaces vectoriels le 3 Janvier UTBM MT Arthur LANNUZEL http ://mathutbmal.free.fr Espaces vectoriels Exemples et définitions.. Introduction. Soit R n := R R... R (n fois) l espace géométrique usuel (de dimension n). Ses éléments sont des vecteurs, symbolisés par des flèches (pour n = ou 3), ayant un sens, une direction et une longueur. Dans R n, on sait faire la somme de vecteurs, on sait multiplier par un réel : u + v R n, λ. u R n pour u, v R n, λ R. De plus ces opérations ont des bonnes propriétés (associativité, commutativité, distributivité,...). Un ensemble qui vérifiera les mêmes propriétés sera dit espace vectoriel.. Définition. K = R ou C (on peut généraliser à un corps quelconque). Définition. (lois) Soit E un ensemble. ) On appelle loi interne sur E une application : E : E E E (x, y) x E y ) On appelle loi externe de K sur E, une application : E : K E E (λ, x) λ E x

2 Espaces vectoriels Définition. (Espace vectoriel) Soit E un ensemble non-vide muni de lois : a) une loi interne appelée addition (souvent notée + ou + E ) vérifiant : - + commutative, - + associative, - + admet un élément neutre, - tout élément x de E admet un opposé (i.e. x tel que x + x = x + x = e). On dit que (E, +) est un groupe commutatif. b) une loi externe appelée multiplication (souvent noté ou E) vérifiant : - x E,.x = x, - x E, y E, λ K, λ. E (x + E y) = λ. E x + E λ. E y, - x E, λ K, µ K, (λ + K µ). E x = λ. E x + E µ. E x, - x E, λ K, µ K, (λ K µ). E x = λ. E (µ. E x). On dit alors que (E, + E,. E ) est un espace vectoriel sur K ou un K-espace vectoriel un espace vectoriel réel si K = R, complexe si K = C. ou Les éléments de E sont appelés vecteurs. Les éléments de K sont appelés scalaires. L élément neutre pour + E est appelé vecteur nul et noté ou E. L opposé de x pour + E est noté x..3 Exemples..3. Exercices. a) R n et C n muni des lois classiques sont des R-espaces vectoriels. b) C n muni des lois classiques est un C-espace vectoriel. c) (K[X], +,.) est un K-espace vectoriel. d) U := {suites numériques (u n ) n N R}, U () := {(u n ) n N U convergentes vers } munis des lois (u n ) n N + U (v n ) n N := (u n + R v n ) n N et λ. U (u n ) n N := (λ. R u n ) n N sont des R-espaces vectoriels. Par contre l ensemble des suites numériques réelles convergentes vers n est pas un espace vectoriel (pourquoi?).

3 Espaces vectoriels 3.3. Les applications numériques. Soit I K. On note E := F(I, K) := {f : I K}. On définit sur E les lois suivantes : - loi interne : f + E g : I K x f(x) + K g(x) - loi externe : Alors (E, +,.) est un K-espace vectoriel..4 Combinaisons linéaires. λ. E g : I K x λ K g(x) Définition.3 Soit E un espace vectoriel sur K. w E est un combinaison linéaire de u, u,..., u n E (n N) si il existe λ, λ,..., λ n K tels que w = n i= λ i.u i. Exemples.4 i) ln(x 3 x ) =. ln(x) + ln(x ) donc, dans F(], + [, R), ln(x 3 x ) est combinaison linéaire de ln(x) et ln(x ). ii) Tout vecteur de R 3 est combinaison linéaire de,,. Exercice.5 Montrer que R 3 = {comb. lin. á coefficients réels de }.

4 Espaces vectoriels 4.5 Propriétés des espaces vectoriels. Proposition.6 Soient (E, +,.) un espace vectoriel sur K, λ K, x E Alors λ.x = E (λ = K ou x = E ). =) - K.x = E car : x + K.x = ( + K ).x = x donc x + K.x + ( x) = x + ( x) = E dons K.x = E. - λ. E = E car : pour y E, λ.y + λ. E = λ.(y + E ) = λ.y, donc λ. E = E. = ) Supposons λ.x = E (on veut montrer (λ = K ou x = E )). - Si λ alors λ.(λ.x) = λ. E = E, donc (λ K λ).x = E, d où.x = x = E. - Si λ =, on a fini. Corollaire.7 u E K-e.v., l opposé de u est ( ).u. En effet, u + E ( ).u = ( + K ( )).u = K.u = E Sous-espaces vectoriels.. Définition-propriétés. (E, +,.) espace vectoriel sur K. Définition. Une partie F de E est un sous-espace vectoriel de E si (F, +,.) est un espace vectoriel pour la restriction à F des lois + et. de E. Proposition. Soit F E. F est un sous-espace vectoriel de E ssi : ) E F, ) (u, v) F, u + v F, 3) λ K, u F, λ.u F Remarque.3 On peut regrouper les propriétés ) et 3) dans une propriété unique : ) λ K, u, v F, λ.u + v F.

5 Espaces vectoriels 5 Preuve de la proposition. Les autres propriétés proviennent du fait qu elles sont vérifiées dans E. Exemples.4 ) { E } est un sous-espace vectoriel de E, espace vectoriel. x ) F = { y R 3 /x + y + z = } est un sous-espace vectoriel de R 3. z x 3) { y R 3 /x + y = } n est pas un sous-espace vectoriel de R 3. z 4) R n [X] := {P (X) R[X]/ deg(p (X)) n} pour n N est un sous-espace vectoriel de R[X] (avec la convention deg() = ). 5) C (R, R) est un sous-espace vectoriel de F(R, R). L ensemble des solutions dans C (R, R) de l équation différentielle (E) a(x).y + b(x).y + c(x).y = (avec a(x), b(x), c(x) C (R, R)) est un sous-espace vectoriel de C (R, R).. Sous-espace vectoriel engendré. Proposition-définition.5 (sous-espace vectoriel engendré) Soit (E, +,.) un espace vectoriel sur K. Soit F = {u, u,..., u n } une famille de vecteurs de E. L ensemble des combinaisons linéaires des u i ( i n) est un sous-espace vectoriel de E. On l appelle le sous-espace vectoriel engendré par u, u,..., u n. et on le note vect(u, u,...u n ) ou < u, u,..., u n >. Remarque.6 En reprenant les notation ci-dessus, vect(u, u,...u n ) est le plus petit sousespace vectoriel de E contenant F. Preuve rapide. Il est clair qu un sous-espace vectoriel de E qui contient F contient également vect(u,..., u n ) (car un sous-espace vectoriel est stable pour les lois + et.). De plus, il est clair également que vect(u,..., u n ) E (car E est stable pour + et.). Il suffit donc de montrer que vect(u,..., u n ) est un sous-espace vectoriel de E, ce qui est facile. Exemples.7 E e.v. sur K. u, v E. i) vect(u) = {λ.u, λ K}. Donc vect( E ) = { E } et, si u, vect(u) est la droite vectorielle engendrée par u. ii) vect(u, v) = {λ.u + µ.v, λ, µ K}. - si u et v sont colinéaires (i.e. u = α.v ou v = α.u, α K) vect(u, v) = vect(u) si u, vect(u, v) = vect(v) si v ou vect(u, v) = {} si u = v =. - si u et v sont non colinéaires alors vect(u, v) est le plan vectoriel engendré par u et v.

6 Espaces vectoriels 6.3 Somme de sous-espaces vectoriels. Définition.8 (E, +,.) K-e.v. Soient F, F, sous-espaces vectoriels de E. On appelle somme de F et F, l ensemble F + F := {x + x, x F, x F }. Exercice.9 F + F est un sous-espace vectoriel de E. Définition. (E, +,.) K-e.v. Soient F, F, sous-espaces vectoriels de E. i) On dit que F + F est la somme directe de F et F, notée F F ssi F F = { E }. ii) On dit que F est un supplémentaire de F ssi F F = E. Exemples. E = R 3. F = vect{ } = { a F = vect{ } = { a a b, a R},, a, b R}, Théorème. (E, +,.) K-e.v. Soient F, F, sous-espaces vectoriels de E. Alors : F F = E x E,!x F,!x F /x = x + x. = ) Supposons F F = E. Alors, x E, x F, x F /x = x + x. Il suffit donc de montrer l unicité. Supposons x = x + x = x + x, alors x x = x x. Mais x x F et x x F et F F = {} donc x x = x x =. Donc x = x et x = x =) Supposons x E,!x F,!x F /x = x + x. Alors, il est clair que F + F = E. Il suffit donc de montrer que F F = {}. Soit x F F, alors x = + x avec F et x F et x = x + avec x F et F. Mais on a l unicité de la décomposition donc ces écritures sont les mêmes d où x =.

7 Espaces vectoriels 7 3 Famille génératrice, libre - Base. 3. systèmes générateurs. Soit E un e.v. sur K. Soit F = {u i, i I} E avec I N. F est une famille, un système ou une partie de E. Il peut arriver que vect(f) = E. Définition 3. On dit qu une famille de vecteurs de E est un système générateur de E si le sous-espace vectoriel de E engendré par cette famille est E. i.e. {u,..., u n } (cas d un système fini) est générateur de E si tout élément v de E est une combinaison linéaire de u,..., u n : Exemples 3. i) { ii) { iii) { 3 3 v = n λ i.u i pour λ i K. i= } est générateur de R 3. } est générateur de R 3. } n est pas générateur de R 3. iv) {, X, X, X 3, X 4 } et { + X, X X, X, + X 4, + X 3 } sont générateur de R 4 [X]. Remarque 3.3 (exo.) Toute partie contenant une partie génératrice est génératrice. 3. systèmes libres. E e.v. sur K. Définition 3.4 (système libre) On dit qu une famille de vecteurs F de E est un système libre ou indépendant de E si un élément de vect(f) s écrit de façon unique comme combinaison linéaire de vecteurs de F. i.e. {u,..., u n } (cas d un système fini) est libre dans E si λ.u + λ.u λ n.u n = λ.u + λ.u λ n.u n = λ i = λ i, i {,,..., n}.

8 Espaces vectoriels 8 Si F n est pas libre on dit qu elle est liée. Exemples 3.5 i) {,, + X, X } est-elle libre ds R [X]? ii) {,, 3 } est-elle libre dans R4? Remarque 3.6 (exo.) i) Toute partie contenue dans une partie libre est libre. ii) Toute partie contenant une partie liée est liée. Proposition 3.7 Un système F = {u, u,..., u n } E fini est libre ssi (λ.u + λ.u λ n.u n = E ) = (λ = λ =... = λ n = ). Remarque 3.8 L autre implication est toujours vérifiée. Preuve rapide. Le résultat provient de l équivalence λ.u + λ.u λ n.u n = λ.u + λ.u λ n.u n (λ λ ).u + (λ λ ).u (λ n λ n).u n =. Exercice 3.9 Soient u =, u =, u 3 = ) Montrer que ces vecteurs sont linéairement indépendants. 5 ) Exprimer u = 3 en fonction de u, u, u 3. 3) Montrer que {u, u, u 3 } est un système générateur de R 3. Exercice 3. ) A quelle condition une famille de vecteur est-elle liée? ) A quelle condition une famille de vecteurs est-elle liée? 3) Touver, dans R 3, une famille {u, v, w} liée telle que {u, v}, {v, w} et {u, w} soient libres..

9 Espaces vectoriels Base. E e.v. sur K. Définition 3. (base) Une partie F de E est appelée base de E si elle est à la fois libre et génératrice de E. Si F est une base de E alors tout vecteur de E s écrit de façon unique (à l ordre des termes prés) comme combinaison linéaire d éléments de la base F. Exemples 3. ) { ) { } est-elle une base de R 3? 3) {, X, X,..., X n } est-elle une base de R n [X]? Coordonnées dans une base finie. Soit (E, +,.) un K-espace vectoriel. Soit B = {b, b,..., b n } une base finie de E. Soit V E alors!λ, λ,..., λ n K tels que } est une base de R 3, dite base canonique. V = λ.b + λ.b λ n.b n. Les coordonnées de V dans la base B sont alors coord B (V ) = V B = Remarque 3.3 (importante) Étant choisie une base B de n éléments de E, les éléments de E peuvent être représentés par un vecteur (unique) à n coordonnées (donc de K n ) dans cette base. Réciproquement, dans cette même base, chaque élément de K n correspond à un élément (unique) de E. On a donc une bijection coord B : E K n V V B λ λ λ n.

10 Espaces vectoriels Exercice 3.4 On vérifiera que la bijection précédente se comporte bien avec les lois de E et K n. i.e. V, V E, λ K, coord B (V + E V ) = coord B (V )+ K n coord B (V ), coord B (λ. E V ) = λ. K ncoord B (V ), coord B ( E ) = K n. 4 Espaces vectoriels de dimension finie. 4. Dimension. Théorème 4. Soit E un espace vectoriel admettant une base de n vecteurs alors toute partie libre de E possédant n vecteurs est une base. Soit B = {e, e,..., e n } une base de E. Soit P = {a, a,..., a n } une partie libre de E. On veut montrer que P est une base de E. Il suffit donc de montrer que P est génératrice. a) a = λ, e + λ, e λ,n e n. On peut supposer λ, non-nul (sinon a = E et P est liée). On peut donc écrire (en divisant par λ, ) : e = λ,a + λ,e λ,ne n, donc {a, e,..., e n } est génératrice. b) a = λ, a + λ, e λ,n e n. On peut supposer λ, non-nul (sinon a = λ, a et P est liée). On peut donc écrire (en divisant par λ, ) : e = λ,a + λ,a + λ,3e λ,ne n, donc {a, a, e 3,..., e n } est génératrice. c) En répétant le procédé n fois, on voit que {a, a, a 3,..., a n } est génératrice. Donc P est une base. Proposition 4. Dans un espace vectoriel E possédant une base de n éléments, toute base possède n éléments. Soit U = {u, u,..., u n } et V = {v, v,..., v m } deux bases de E. Supposons m > n alors la famille {v, v,..., v n } est libre et possède n éléments donc est une base d après le théorème précédent. Donc v n+ est combinaison linéaire de v,...v n donc V n est pas libre. Contradiction.

11 Espaces vectoriels Le résultat précédent permet de définir : Définition 4.3 (dimension) Soit (E, +,.) un K-e.v. On appelle dimension de l espace vectoriel E, le nombre commun des éléments des bases de E. On la note dim K E. Un Espace vectoriel qui n admet pas de base finie est dit de dimension infinie. Corollaire 4.4 (important) Dans un espace vectoriel de dim. n, toute partie génératrice admet au moins n éléments. Soit F = {u,..., u p }, famille génératrice de E. Supposons p < n. - Si F est libre, c est une base, d où une contradiction. - Si F est liée alors il existe u k combinaison linéaire des autres éléments de F. Alors F = {u,..., u k, u k+,..., u p } est génératrice. - Si F est libre, c est une base, d où une contradiction. - Si F est liée alors on recommence jusqu à obtenir une sous-famille de F libre et génératrice, ce qui amène une contradiction. Exemples 4.5 i) K n est de dimension n sur K. ii) C 3 est de dimension 6 sur R. iii) dim K (M n,p (K)) = np. iv) dim K K n [X] = n +. v) dim K K[X] = +. vi) dim K ({}) =. vii) dim K (vect K ({a})) = (a ). Coordonnées dans deux bases différentes. Soit E un K-espace vectoriel de dimension n. Soient B = {b, b,...b n } et B = {b, b,...b n} bases de E. Soit V E :!λ, λ,..., λ n K/V = λ b + λ b λ n b n ( ) Donc V B = λ λ... λ n!λ, λ,..., λ n K/V = λ b + λ b λ nb n. λ λ.... λ n et V B =

12 Espaces vectoriels Question : Comment passe-t-on de l un à l autre? B est une base de E donc b = a, b + a, b a n, b n b = a, b + a, b a n, b n... b n = a,n b + a,n b a n,n b n. Si on remplace dans ( ), on obtient : λ = λ a, + λ a, λ n a,n λ = λ a, + λ a, λ n a,n... λ n = λ a n, + λ a n, λ n a n,n. Donc λ λ... λ n = A. λ λ... λ n Remarque 4.6 La matrice avec A = A = a, a,... a,n a, a,... a,n a n, a n,... a n,n a, a,... a,n a, a,... a,n a n, a n,... a n,n M n,n(k). M n,n(k). s appelle la matrice de passage de B à B (attention à l ordre des bases!). Elle donne les coordonnées d un vecteur dans B et fonction de celles du même vecteur dans B. On la note souvent P B,B. V B = P B,B.V B. 4. Bases dans un espace vectoriel de dimension finie. Théorème 4.7 (TBI : Théorème de la base incomplète) Soit E un K-esp. vect. de dim. finie n. Soit P = {a, a,..., a p } une partie libre de E (donc p n). Alors, il existe une partie {a p+,..., a n } telle que {a, a,..., a n } soit une base de E. a) Si p = n, c est fini d après le théorème précédent.

13 Espaces vectoriels 3 b) Si p < n alors vect(p) E. Soit a p+ E \ vect(p). Alors {a, a,..., a p+ } est libre (exo.). c) Si p + = n, c est fini d après le théorème précédent. d) Si p + < n, on réitère le procédé jusqu à avoir une famille libre à n éléments (donc une base). Théorème 4.8 (important) Dans un espace vectoriel de dimension n, les 3 propositions suivantes sont équivalentes : (i) P est une base. (ii) P est une partie libre de n éléments. (iii) P est une partie génératrice de n éléments. (i) (ii) déjà vu. (i) = (iii) déjà vu. (iii) = (i) : Soit P = {p, p,..., p n }. Supposons que P ne soit pas libre. Alors il existe p k combinaison linéaire des autres éléments de P. Donc {p,..., p k, p k+,..., p n } est génératrice, ce qui est contradictoire avec le corollaire 4.4. Donc P est libre, donc est une base. 4.3 Dimension et sous-espaces vectoriels. Proposition 4.9 (admise) (E, +,.) K-espace-vectoriel. Si E est de dimension finie et F est un sous-espace vectoriel de E alors F est de dim. finie et dim F dim E. De plus si dim F = dim E alors E = F. Remarque 4. Attention aux espaces vectoriels de dimension infinie! ex. F(R, R) = {f onctions de R dans R} est de dimension infinie ainsi que P(R, R) = {fonctions paires de R dans R} mais F(R, R) P(R, R). 4.4 Dimension des sommes de sous-espaces vectoriels. Théorème 4. (E, +,.) K-espace-vectoriel de dimension finie. Soient F, F deux sous-espaces vectoriels de E de bases respectives B = {b,..., b p } et B = {b,..., b q}. Alors on a l équivalence suivante : F + F directe (i.e. F F ) B B = et B = B B base de F + F.

14 Espaces vectoriels 4 = ) On suppose F F. i) B B est clairement générateur. ii) B B est-elle libre? Supposons p i= λ i.b i + q j= λ j.b j = donc p i= λ i.b i = q j= λ j.b j F F donc p i= λ i.b i = q j= λ j.b j =. Or B et B sont libres donc λ =... = λ p = λ =... = λ q =. Donc B B est libre. =) Supposons que B B soit une base de F + F. Il suffit de montrer que F F = {}. Soit x F F alors x = p i= λ.b = q j= λ j.b j donc p i= λ i.b i q j= λ j.b j = or B B est libre donc λ =... = λ p = λ =... = λ q = donc x =. Corollaire 4. (E, +,.) K-espace-vectoriel. Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels de dimension finie de E et si la somme de F et G est directe alors : dim(f G) = dim F + dim G. Remarque 4.3 Attention, la réciproque est fausse. (exo. trouver un contre-exemple) dim(e) = dim F + dim G F G = E. Proposition 4.4 (admise) Dans le cas général dim(f + G) = dim F + dim G dim(f G). 4.5 Rang d une famille de vecteurs. Définition 4.5 Soit (E, +,.) un K-esp. vect. de dimension finie. Soit F E une famille de E. On appelle rang F, l entier rang(f) = dim K (vect(f)). Remarque 4.6 Le rang de F est le nombre maximal de vecteurs de F qui forment une famille libre. En effet F constitue une famille génératrice de vect(f). On peut donc en extraire une base de vect(f) (c est une famille libre de taille maximale).

15 Espaces vectoriels 5 Recherche de rang grâce à la méthode du pivot de Gauss. Exemples 4.7 Dans R 5, soit 3 F = {u =, u = 3 On cherche le rang de cette famille : - S ils sont libres, la seule solution au système, u 3 = λ.u + λ.u + λ 3.u 3 + λ 4.u 4 =, u 4 = est λ = λ = λ 3 = λ 4 =, donc, après réduction, le système doit être de Cramer (autant de lignes que d inconnues). - S ils sont liés, après réduction, le système admet une forme de Cramer avec moins de lignes non-nulles que d inconnues. Le nombre de ligne est le rang du système. Dans l exemple ci-dessus, après calculs, on trouve : rang(f) = }.