Chapitre 5: Changement de base et diagonalisation. - Changement de bases - Diagonalisation d une matrice

Transcription

1 Chaptre 5: Chagemet e base et agoalsato - Chagemet e bases - Dagoalsato ue matrce

2 Chagemet e bases Soet eu bases (e,...,e ) et '(e',...,e' ) e E. est l'acee base, ' est la ouvelle base. La matrce e passage e à ', otée P ' (a,j ),j,..., est éfe par e' j a,j e j,...,. La jème coloes e P ' eprmés as l'acee base. est costtuée es composates e e' j

3 Etat oé E. O cosère respectvemet X le vecteur es composates e as la base et '. et X' ' ' Alors X P ' X'. E effet e j ' j e' j ' a j j,j e j a,j ' j e Cocluso j a,j ' j X P ' X'.

4 Theorem :La matrce P ' est versble, et ( ' P ) P ' Autremet t ( ' ) P est la matrce e passe e ' à.

5 Eemples e chagemet e Das R O a ' / j' 3/ Doc P + / + 3/ j j 3/ 3/ base o cosère l'acee O cosère u ouvelle base ' ' / / / S X + yj ' ' + y' j' y / ' ' O a be P. y y' {, j} { ', j' } avec et j / avec ' / ' y'3/ ' y'3/ - 3/ et j' 3/

6 Eemples Rotato 'agle θ (Ses cotrare es agulles 'ue motre) ' ' cosθ sθ sθ cosθ Rotato 'agle θ (Ses cotrare es agulles 'ue motre) cosθ sθ sθ' cosθ ' O vérfe que cosθ sθ sθcosθ cosθ sθ sθ cosθ

7 z y θ θ θ θ z y cos s s cos ' ' ' Rotato as le pla Oy

8 les surfaces u pla cette trasformato préserve Qua ' ' / / ' ' et Reormalsato :S > > α α y y y y α α α α α α

9 ' la rote Re Refleo par rapport à ' Refleo par rapport à ' '

10 Chagemet e bases et matrce applcato léare Sot f : E E ue applcato léare.sot, y E tel que y f(). Soet et ' eu bases e E. Soet A et A' les matrces e f as les bases et ' ' y O cosère X et X' (respectvemet Y et Y' ' y le vecteur es composates e (respectvemet y) as la base y' y' et '. ) O veut eplquer la matrce A' e focto e la matrce A!

11 O a Y AX, Y' A'X', X oc Y' ( ' ) ( ' ) ( ' P Y P AX P ) P ' X', Y P ' AP Y' ' X' Y ' ( ' P ) AP ' X' Cocluso : A' ( ' ) ' P AP

12 s l este P atrces agoalsables O ra qu'ue matrce A (p j ), j,..., (a est agoalsable ue matrce versble (ou e faço équvalete ue matrce e chagemet e base) telle que j ), j,..., P - AP D O L L O O.

13 { }.,...,, D est versble ss et. P A est agoalsable S - I D I D AP L O O O L L O O O L L O O O L Commet calculer les?

14 I D est versble ss {,,..., }. as o a I D P - ( I A) P oc et(i D) et ( -( ) ) ( - P I A P et P ) et( I A) et( P) mas et ( -) et( ) et( - P P P P) et(i),oc et(i A) et(i D) Cocluso : Les {,,..., } et(i A).

15 Polyôme caractérstque et valeur propre Defto : O ra qu'u ombre réel ou complee C ss et(i A). Le polyomecaractérstque est la focto p( ) et(i A) et les valeurs propres sot les races e p( ). L'esembleσ σ ( A) es ( A) { C : et(i A) }. valeurs e A est appelé le spectre e A :

16 Commet calculer la matrce P?. e (leest e ème posto) e e : ou C ase caoque e R faut oc trouver ue base coveable. Il e base. matrce e chagemet ue c'est auss Comme P est ue matrce versble,

17 .,...,, o obtet,,...,, o ote Doc s.,...,,,...,, Doc,...,, et O a f Af Pe f Pe APe e APe P e De D AP P

18 { } [ ] [ ] [ ] - P Cocluso : et o obtet, O pose P.,...,, que : tel vecteurs coloe l'esemble es o cherche Pour chaque cous.,..., O suppose les PDP A D AP PD AP f f f f f f AP f f f f Af f L O O O L L L L

19 S A (C), et f C (vecteur coloe). O ra que f est vecteur propre e A ss : Af f et f, pour u certa ombre complee C. O ra que f est u vecteur propre e A, ou plus précsémet que f est u vecteur propre e A assocé la valeur propre e A.

20 Théorème: Tout matrce symétrque est agoalsable. E gééral o e peut pas coclure

21 Eemple ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) { }., A valeurs propre e A est Cocluso : L'esemble es 3 ) ( et ) ( O commece par calculer le polyome caractérstque : valeurs propres. es Etape: Calcul 6 4 matrce O cosère la σ p oc A I p A

22 ( ) { } ( ) ( ) ( ) ( ). O fe par eemple f I A - v.p.: la propre assocé à 'u vecteur Calcul. 3 O fe par eemple f I A - v.p.: la propre assocé à 'u vecteur Calcul., A O a 'ue base e vecteurs propres. Calcul Etape : 6 4 matrce O cosère la A σ

23 [ ] O vérfe que P 3 et P 3 O pose e base. Etape 3: atrce e chagemet 6 4 matrce O cosère la - - AP f f P A

24 Eemple ( ) ( ) ( ) ( ) { }. A valeurs propre e A est Cocluso : L'esemble es 3 ) ( et ) ( O commece par calculer le polyome caractérstque : valeurs propres. es Etape: Calcul matrce O cosère la + σ p oc A I p A

25 O cosère la matrce A Etape : Calcul 'ue base e vecteurs propres. O aσ ( A - I) ( A) { }. Calcul 'u vecteur propre assocé à la v.p. : L'esemble es vecteurs e Aest E : C La meso e E est oc o e peut pas ue base e C ( ) (m C ) as E. trouver Cocluso : A 'est pas agoalsable.

26 Chaptre 6: Complémets Théorème e oyau mage Prout scalare

27 Complémet : atrces Sot o ote Vect Vect { e,..., e } { e,...,e } { e e :,..., R} { e,...,e } m m m O t quevect ue famlle e vecteur e R est u sous espace vectorel e R { e,...,e } egeré par la famlle{ e,...,e }. m est le sous espace vectorel m m m m,..

28 Noyau et mages Sot A u matrce e meso p (c'est à re avec p lge et coloes). La matrce A s'etfe aturellemet à l'applcato léare: X R Le oyau e A est le sous espace vectorel e R Ker(A) { X R : AX }. p L'mage e A est le sous espace vectorel e R Im( A) AX R p { Y R : X R AX Y} L'mage e Aest auss le sous espace egeré par les coloes e A. p

29 Théorème es oyau et mages Théorème: O a m(ker(a))+m(im(a)). E partculer ue matrce est versble s p et m(ker(a)) ou be p et m(im(a)).

30 Complémet : Prout scalares ( ) Y, X arccos Y, X X,Y cos vecteurs X et Y est oé par : etre les L'agle... X,X : X est La logueur u vecteur... X,Y est le prout scalare (Eucle) R y y et Y R X S Y X Y X Y X X y y y θ θ θ