Vecteurs et Translation

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1 Parallèlogramme thèorème de Chasles Vecteurs et Translation COLINEARITE CHAPITRE 4 sens-direction I. I - 1 La notion de vecteur Translation Soient A et B deux points donnés du plan On appelle translation du plan qui transforme A en B, la transformation du plan qui à tout point M associe l unique point M tel que les segments [AM ] et [BM] ont même milieu. On dit alors que M est l image de M par la translation du plan qui transforme A en B Conséquence : pour construire M, on peut tracer le parallélogramme, éventuellement aplati ABM M. M (AB) M (AB) A = B I - 2 Vecteur La translation qui transforme A en B, si A B et si elle transforme C en D, est caractérisée par les 3 propriétés suivantes : Les droites (AB) et (CD) sont Le sens de A vers B est également celui de vers. Les segments [AB] et [CD] sont de même.. On dit qu elles définissent la même direction. La translation du plan qui transforme A en B est appelée translation de vecteur AB. On peut la noter t et écrire t (A) B AB AB Si A et B sont distincts, le vecteur AB est donc caractérisé par : Une direction : celle de la droite Un sens : de vers Une longueur (ou norme) : la longueur 1

2 I - 3 Vecteurs égaux On note D le point associé à C par la translation de vecteur AB. Soit M un point quelconque du plan. On note alors N son image par la translation de vecteur AB. Quelle est l image de M par la translation de vecteur CD? A, B et C sont trois points distincts non alignés. A, B et C trois points distincts alignés A + + C + B A + B + Deux vecteurs AB et CD sont égaux s ils ont : - même direction - même sens - même longueur. Ils indiquent la même translation. Soient A, B, C et D quatre points distincts. On écrit alors : AB = CD. La translation qui transforme A en B est la même que celle qui transforme C en D. Propriété 1 Egalité de vecteurs et parallélogramme Deux vecteurs AB et CD sont égaux signifie que le quadrilatère ABDC est un Propriété 2 Caractérisation vectorielle du milieu d un segment Soient 3 points A, B et I. AI = IB signifie que I est il ne faut pas confondre avec AI = IB qui signife Exercice 1 Utiliser les vecteurs pour démontrer ABDC et CDFE sont deux parallélogrammes. À l aide de vecteurs montrer que le quadrilatère ABFE est également un parallélogramme. 2

3 I - 4 Représentant d un vecteur On considère la translation de vecteur AB. Elle transforme également C en D, et E en F On peut alors écrire : AB = On dit que AB, CD, EF sont des représentants d un même vecteur que l on peut également noter d une seule lettre : u, par exemple. Tout vecteur a donc une infinité de représentants, mais un seul a pour origine A ou pour extrémité B. I - 5 Vecteurs particuliers Le vecteur nul, noté 0, est le vecteur associé à la translation qui transforme tout point du plan en luimême. Ainsi : 0 = Le vecteur opposé au vecteur AB est le vecteur associé à la translation qui transforme B en A : c est donc le vecteur (ou ). Exercice 2 Constructions de points à l aide d égalités vectorielles Dans le quadrillage ci-dessous, construire les points E, F et G définis respectivement par : AB = CE, FC = AD et CG = CD Que représente le point C pour le segment [DG]? Justifier. II. II - 1 Somme de vecteurs Soient u et v deux vecteurs et A un point. L image de A par la translation de vecteur u est le point B. 3

4 L image de B par la translation de vecteur v est le point C. On peut considérer que A a pour image C par l «enchaînement» (on dit aussi la composée) de la translation de vecteur u suivie de la translation de vecteur v. La translation qui transforme A en C est dite translation de vecteur u + v. Soient u et v deux vecteurs et A un point. On définit les points B et C par les égalités vectorielles : AB = u et BC = v On appelle somme des vecteurs u et v le vecteur noté u + v tel que : u + v = De cette définition on déduit un théorème fondamental puis une propriété importante qui permettent, entre autres, de construire géométriquement la somme de deux vecteurs : II - 2 Constructions géométriques Théorème Relation de Chasles Pour tous points du plan A, B et C, on a : AB + BC = Propriété 3 Règle du parallélogramme Soient AB et AC deux vecteurs de même origine A. AB + AC = AD si, et seulement si, D est le point tel que le quadrilatère ABDC est un Démonstration : II - 3 Propriétés des sommes de vecteurs Propriété 4 Pour tous vecteurs u, v et w : (1) u + v = v + u On dit que la somme des vecteurs est commutative (2) u + 0 = 0 + u = u On dit que 0 est l élément neutre pour la somme des vecteurs (3) u + ( v + w ) = ( u + v ) + w On dit que la somme des vecteurs est associative Démonstrations : 4

5 II - 4 Différence de deux vecteurs Soient u et v deux vecteurs quelconques. On appelle différence des vecteurs u et v le vecteur noté u ( v. v tel que : u v = u + ) Soit A un point du plan. On construit ci-contre : B image de A par la translation de vecteur u C image de B par la translation de vecteur v Remarque : la somme de deux vecteurs opposés est le vecteur nul : III. Produit d un vecteur par un réel III - 1 On appelle produit du vecteur u non nul par le réel k non nul, le vecteur noté k u : De même direction que u ; De même sens que u si k 0, et de sens contraire à u si 0 k ; 5

6 De longueur égale à : k fois celle de u si k 0, k celle de u si 0 k. v = k u avec k w = k ' u avec k ' Remarque : Cas particulier du produit nul k u = 0 si, et seulement si, u = ou k = III - 2 Colinéarité de deux vecteurs Deux vecteurs u et v non nuls sont dits colinéaires si, et seulement si, ils ont même direction. C est-à-dire : u et v colinéaires si, et seulement si, il existe un nombre réel k tel que v = k u. Remarque : Cas particulier du vecteur nul Puisque pour tout vecteur u on a : 0 u = On conviendra donc que le vecteur 0 est colinéaire à On admet les propriétés suivantes : Opérations et colinéarité : Pour tous vecteurs u, v et pour tous réels k, k ' : (1) ( k k ') u = (2) k (k ' u ) = (3) k ( u + v ) = Colinéarité et configurations géométriques : Soient A, B, C, D quatre points tels que A B et C D. (1) AB et CD colinéaires équivaut à dire que les droites (AB) et (CD) sont (2) AB et AC colinéaires équivaut à dire que les points A, B, C sont 6