PC* Equations locales de l électromagnétisme

Transcription

1 PC* Equaions locales de l élecromagnéisme

2 Equaions locales de l élecromagnéisme I Equaion locale de conservaion de la charge : On considère un volume V délimié par une surface fermée S fixe dans le référeniel d éude. n j ds ρ m Volume V

3 ρ m M, + divj C es l équaion locale de conservaion de la charge élecrique. * Densié de couran e inensié en régime permanen : T I 1 I C 1 C S 1 S 3

4 II Equaions de Maxwell : Les équaions de Maxwell son des équaions locales qui exprimen des relaions enre le champ EM E, B e ses sources ρ, j : div B ρ div E ε B ro E ro B µ j + ε µ E Equaion du flux magnéique Flux Equaion de Maxwell Gauss MG Equaion de Maxwell Faraday MF Equaion de Maxwell Ampère MA 4

5 * Les équaions de Maxwell e la conservaion de la charge : Les équaions de Maxwell coniennen le principe de conservaion de la charge : 5

6 6 * Les équaions de propagaion du champ EM : «Le couplage qui es inrodui dans les équaions de Maxwell par la présence des deux dérivées parielles par rappor au emps B / e E / es à l origine du phénomène de propagaion du champ EM.» j grad E E + 1 µ ρ ε µ ε j ro B B µ µ ε Dans une région sans charges ni courans j e ρ : B B e E E µ ε µ ε Ces équaions son les équaions de propagaion du champ EM.

7 Si l on noe s l une des six coordonnées des champ EM E x,., B x,, alors : s ε µ s 1 s 1 ε µ soi s v v C es l équaion de d Alember équaion classique de propagaion des ondes, encore appelée équaion des cordes vibranes éablie au XVIII ème siècle pour modéliser les vibraions d une corde endue. 7

8 III Conenus physiques des équaions de Maxwell : Ce paragraphe perme de monrer que les équaions «locales» de Maxwell donnen, par inégraion, des lois e héorèmes connus qui peuven êre vérifiés expérimenalemen. Equaion de Maxwell-Gauss e héorème de Gauss : Equaion de Maxwell-Ampère e héorème d Ampère «généralisé» : Equaion du flux magnéique e champ magnéique à flux conservaif : Equaion de Maxwell-Faraday e loi de Faraday : 8

9 IV Exisence de poeniels A,V, jauge de Lorenz, cas de l ARQS : 1 Rappels mahémaiques : Un champ égal à un gradien a un roaionnel nul e un champ égal à un roaionnel a une divergence nulle : e grad ϕ ro e b ro a div b Réciproquemen, on peu monrer que : Si un champ vecoriel a un roaionnel nul, il exise au moins un champ scalaire don il es le gradien. Si un champ vecoriel a une divergence nulle, il exise au moins un champ vecoriel don il es le roaionnel. 9

10 Définiion des poeniels A,V : 3 - Poeniels permanens : En régime permanen, les équaions de Poisson se réécriven sous la forme : A µ j V e ε Cee dernière équaion a pour soluion la soluion bien connue loi de Coulomb pour le poeniel élecrosaique : ρ V M 1 4πε D ρ S dτ 1

11 Chaque composane A x, A y e A z vérifien la même équaion que V ; par conséquen : µ j S A M dτ 4π D On peu monrer que la condiion de jauge de Lorenz es bien vérifiée, c es-à-dire que : div A 11

12 Eude d un exemple à symérie cylindrique ; Déerminaion d un poeniel veceur : Un fil reciligne infini es modélisé par un ube de couran d axe Oz e de rayon a, parcouru par le couran volumique uniforme j j u z. On souhaie déerminer un poeniel veceur associé au champ magnéique créé par le fil. Déerminaion d un poeniel veceur pour un solénoïde infini : On considère un solénoïde infini de secion circulaire de rayon R, consiué de n spires joinives par unié de longueur e parcouru par un couran d inensié I. 1

13 Poeniels reardés : En régime dépendan du emps e pour une disribuion de charges e de courans d exension finie, on peu monrer que les soluions des équaions de Poisson son : τ ρ πε d c S M V V D, 4 1, τ π µ d c S j M A A D, 4, à parir desquelles on peu calculer le champ EM par : A V grad M E E, e A ro M B B,

14 14 6 Approximaion des régimes quasi-saionnaires ARQS : Naure de l approximaion : τ ρ πε τ ρ πε d S d c S M V V D D, 4 1, 4 1, τ π µ τ π µ d S j d c S j M A A D D, 4, 4, L ARQS néglige les phénomènes de propagaion.

15 Quelques ordres de grandeur : Pour le couran indusriel fourni par le seceur ν 5 Hz, alors c λ 6 ν km. L ARQS es donc valable lors de l éude du champ magnéique d un solénoïde parcouru par un couran alernaif. 1 MHz, λ 3 m Avec ν, de elle sore que l ARQS rese valable lors de l éude de circuis réalisés en TP sur une able de dimensions de l ordre du mère. Dans le domaine des hyperfréquences ν 1 GHz, soi λ 3 cm, l ARQS n es plus valable e les phénomènes de propagaion iennen alors un rôle imporan. 15

16 Déerminaion du champ élecromagnéique E, B dans le cadre de l ARQS : Dans le cadre de l ARQS, on peu donc calculer les poeniels à l aide des mêmes formules qu en régime saionnaire, valables à chaque insan : e : V V M, ρ S, 1 c 1 dτ 4πε D 4πε D ρ S, j S, µ c µ j S, A A M, dτ dτ 4π D 4π D L expression du champ EM E, B se dédui de ces deux expressions grâce aux relaions : A B ro A e E grad V dτ 16

17 Loi d Ohm dans les conduceurs ohmique dans le cadre de l ARQS : Pour un conduceur comme le cuivre par exemple, le emps de relaxaion «durée» de collision des poreurs de charges es de l ordre de τ 1 14 s. Or on sai que, dans un conduceur, la loi d Ohm es saisfaie si le emps caracérisique d évoluion du sysème T vérifie T >> τ. Dans le cadre de l ARQS, cee condiion sera bien vérifiée. Ainsi, dans le cadre de l ARQS, la loi d Ohm locale sera valable : A j σe σ grad V + 17

18 Couran de déplacemen dans un conduceur ohmique : L équaion de Maxwell-Ampère s écri, compe enu de la loi d Ohm locale : E ro B µ σe + ε On noe T le emps d évoluion caracérisique de la disribuion D sa période d évoluion. L équaion de Maxwell-Ampère s écri alors : ro B j µ σe µ 18

19 Neuralié élecrique : On suppose qu à l insan, il exise en un poin M inérieur au conduceur une charge volumique ρ M,. Commen varie dans le emps cee charge volumique? 19

20 Equaions de Maxwell dans un conduceur : Finalemen, dans le cadre de l ARQS, le champ EM vérifie les équaions de Maxwell «simplifiées» suivanes : div B div E B ro E ro B j µ µ σ E Ainsi, dans un conduceur, l ARQS ne diffère des régimes saionnaires que par la prise en compe des phénomènes d inducion équaion de Maxwell-Faraday.

21 1 V Coninuiés ou disconinuiés spaiales du champ EM : Pour le champ élecrique : 1 1 n E E E ε σ Coninuié de la composane angenielle e disconinuié de la composane normale Pour le champ magnéique : 1 1 n j B B B S µ Coninuié de la composane normale e disconinuié de la composane angenielle

22 VI Densié volumique d énergie élecromagnéique, veceur de Poyning, équaion locale de conservaion de l énergie : 1 Puissance volumique cédée par le champ EM à la maière : Un champ EM E, B va ineragir avec des paricules chargées e leur fournir de l énergie. - Equaion locale de conservaion de l énergie :

23 3 Bilan énergéique pour un fil conduceur ohmique : On considère un fil conduceur ohmique de conducivié γ, assimilé à un cylindre d axe Oz e de rayon a, soumis au champ élecrique uniforme e permanen à l inérieur e à l exérieur du fil : Le fil es alors parcouru par des courans de densié E E u z j j u z γe u z uniforme. 3

24 VIII Effe de peau dans un conduceur ohmique : 1 Longueur de pénéraion dans un méal : Un champ EM pénère dans un méal bon conduceur de conducivié σ. Par acion du champ élecrique, les élecrons du méal son accélérés e fournissen une parie de leur énergie cinéique par chocs avec les ions posiifs du réseau méallique. L énergie de l onde es dissipée par effe Joule ce qui cause l amorissemen de l onde. On cherche à calculer la disance caracérisique d amorissemen ou profondeur de pénéraion. Pour cela, on considère un méal de conducivié σ pour lequel on cherche une soluion des équaions de Maxwell correspondan à des champs sinusoïdaux de pulsaion ω. De façon plus précise, on cherche pour le champ élecrique une expression de la forme : E E f x exp i kx ω u z 4

25 k µ σω 1 k soi δ k µ σω δ es la longueur de pénéraion dans le méal. Pour le cuivre σ 5,8.1 7 Ω - 1.m 1, on calcule δ pour différenes fréquences : Fréquence Longueur de pénéraion 5 Hz 3 mm 5 MHz 3 µm 5 THz 3 nm Lorsque la pulsaion augmene, la profondeur de pénéraion diminue comme l inverse de la racine carrée de la pulsaion. 5

26 Pour un méal parfai, la conducivié es infinie e la profondeur de pénéraion devien nulle : une onde EM ne peu pénérer dans un méal parfai elle s y réfléchi. Les résulas obenus resen valables pour une géomérie cylindrique ; ainsi, un câble cylindrique homogène de secion droie circulaire ne peu êre parcouru par des courans que dans un zone cylindrique superficielle d épaisseur quelques δ. Il ne ser à rien pour ransporer un couran élecrique sinusoïdal d uiliser un câble en cuivre de rayon neemen supérieur à δ. 6