CORRECTION «SEMI-MARATHON»

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1 Lycée Thiers CORRECTION «SEMI-MARATHON» Q- Calculer A = e ln ( IPP : u ( = ; v ( = ln ( u ( = ; v ( = Q- Calculer B = B = Q- Calculer C = π A = + + [ ] e e ln ( = e ( e = e = [ ( ] ln + + [arcan (] = ln ( + π sin ( R, sin ( = cos ( donc : C = On peu aussi s en sorir avec une IPP, mais c es moins direc. Q- Calculer D = π/ cos ( IPP- : u ( = ; v ( = cos ( [ ] π sin ( = π u ( = ; v ( = sin ( D = [ sin ( ] π/ π/ sin ( = π ; avec = u ( = ; v ( = sin ( IPP- : π/ sin ( u ( = ; v ( = cos ( Ainsi : π/ = [ cos (] π/ + cos ( = π + D = π + π

2 Q-5 Calculer E = + On décompose avec la relaion de Chasles : e donc : E = E = + + [ ] [ ] ( / + ( + / = ( / / + / / = Q-6 Vrai ou fau? C es FAUX. En effe : e + e > [, ], + e + = d où : e comme e < : e + e e + e e = e Q-7 En uilisan le changemen de variable s =, calculer F = e donc : / F = ln ( s s + ds / s = F = / ln ( +. ln (s ds = F + s Remarque. Les primiives de ln ( ne son pas élémenaires. + Q-8 Dériver F : [, + [ R, Posons, pour ou : + Φ ( = de sore que F ( = Φ (. D après le TFCI : + F ( = Φ ( = + 8 Q-9 En uilisan une somme de Riemann, rouver un équivalen de S n = On consae que : S n n 5/ = n k= k + k n n + n k n + k k=

3 Or, en posan u = +, il vien : + = (u [ u du = 5 u5/ ] u/ = = ( + 5 Ainsi : S n ( + n 5/ 5 Q- On pose u n = + n. Calculer L = lim n u n. On sai que (a, b [, + [, a + b a + b. Donc, pour ou n N e ou [, ] : + n + n/ puis, par croissance de l inégrale : u n D après le héorème d encadremen : L = Q- Vrai ou Fau? e ln ( e. ( + n/ = + n + n C es VRAI. En effe, comme ln ( es croissane sur [, e] (composée de deu applicaions croissanes : e ln ( (e ln (e = e Q- Calculer G = (le symbole i désigne le nombre complee de module e d argumen π/. + i On décompose la foncion inégrée (qui es à valeurs complees en paries réelle e imaginaire : + i = i + donc : G = + i + = ln ( iπ Q- Jusifier l égalié π sin ( = π/ cos ( D après la relaion de Chasles : obien : puis en posan σ = π dans U : π La formule demandée en résule. sin ( = π/ sin ( } {{ } U π + π/ V = sin (π s ds = U π/ sin (. En posan s = π dans V, on } {{ } ( π π/ U = sin π/ σ dσ = cos (σ dσ V

4 sh ( Q- Calculer H = + sh ( L applicaion es (coninue e impaire. + Son inégrale sur un segmen symérique par rappor à es donc nulle. Q-5 Soi f : [, ] R coninue. Calculer lim + f (. Il doi êre inuiivemen clair que cee limie es égale à f (. Prouvons cela : d où (inégalié du module : ( d ( = f ( f ( = def d ( f ( f ( ( f ( f ( Ean donné ɛ >, il eise (par coninuié de f en un réel α ], [ el que : [, α], f ( f ( ɛ Ainsi, dès que < α : π/6 π/6 d ( ɛ cos ( sin ( Q-6 On pose I = e J = cos ( cos (. Calculer I + J en posan = an (. En déduire les valeurs de I e J. D évidence : En oure : e en posan = an ( : Par conséquen : I + J = I + J = / π/6 π/6 cos ( = I J = π 6 π/6 cos ( = cos ( cos ( [ ( ] d + / = ln = ( + ln = ln ( + I = ln ( + + π e J = ln ( + π Q-7 Soi f : [, ] R deu fois dérivable elle que f f. Monrer que l applicaion [, ] R, e f ( es convee puis que e f ( e f ( + e f (. Tou d abord, ϕ : e f ( es convee puisque, pour ou [, ] : ϕ ( = ( f ( + f ( e f ( d où le résula (majoraion par la corde + aire d un rapèze.

5 Q-8 Soi f : [, ] R de classe C elle que f ( =. Calculer lim f ( cos (. + IPP : u ( = f ( ; v ( = cos ( u ( = f ( ; v ( = sin ( f ( cos ( = [ f ( sin ( ] = f ( sin ( = f ( sin ( Le erme ou inégré es en effe nul puisque f ( =. On conclu, avec le lemme de Riemann-Lebesgue, que la limie demandée es nulle. Q-9 Calculer lim + Pour ou > : Posons s = e : ch ( ch ( = e = + e e e + e ch ( = ds s + = arcan (e π Comme lim arcan ( = π, il vien par composiion des limies : + lim + ch ( = π ( ( ( Q- Soi f : [, ] R coninue e sricemen posiive. Monrer que f ( f ( On applique l inégalié de Cauchy-Schwarz (ICS : ( ( ( u ( v ( u ( v (. f ( en choisissan : u ( = f ( / e v ( = f ( / Une précision : comme f es sricemen posiive, alors u e v son bien définies; e comme f es coninue, alors u e v aussi (e donc, largemen, coninues par morceau, ce qui perme d appliquer l ICS. Q- Dériver Φ : ], + [ R, e. On essaie d évacuer le paramère de «l inérieur» de l inégrale, pour uiliser ensuie le TFCI. Pour cela, on pose y = (pour > fié, ce qui donne : Φ ( = e y y dy = Ψ ( Ψ ( où l on a posé : Ψ ( = e y y dy

6 D après le TFCI, il s ensui que : Φ ( = Ψ ( Ψ ( = e e = e e Q- On noe W n la n ème inégrale de Wallis : W n = π/ cos n (. Monrer que : n N, W n+ = k= ( k ( n k + k Par définiion : Donc, en posan = sin ( : W n+ = π/ cos n+ ( = W n+ = π/ ( n d puis, d après la formule du binôme e par linéarié de l inégrale : W n+ = k= ( n ( k k d = ( sin ( n cos ( ( n ( k k d k ce qui donne bien le résula voulu, puisque k d = pour ou k N. k + n+ Q- Calculer lim cos (. n n Il suffi de voir que : n+ n cos ( n+ k= n cos ( n + n = n + + n pour conclure que : n+ lim cos ( = n n Remarque. D une manière générale, il es imporan de reenir que «l inégrale d une quanié bornée, sur un segmen don la longueur end vers adme pour limie». De façon plus formelle, considérons deu applicaions α, β : I R elles que α I J e β I J, ainsi que F : I R définie par I, F ( = β( α( u ( avec u : J R localemen CPM e bornée. Si I es el que lim ( β ( α ( =, alors : lim F ( = En effe, en noan M un majoran de u ( pour J, on a : F ( M α ( β ( d où le résula.

7 Q- Soi f : [, ] R coninue e elle que f ( =. Monrer que f adme au moins un poin fie. L hypohèse peu s écrire : ( f ( = Comme l applicaion ϕ : [, ] R, f ( es coninue e d inégrale nulle, elle ne peu pas êre sricemen posiive en ou poin, ni sricemen négaive en ou poin. Il eise donc a [, ] el que ϕ (a e b [, ] el que ϕ (b. Si l une de ces deu inégaliés es une égalié, on ien nore poin fie. E sinon (c es-à-dire si les deu inégaliés son srices, alors ϕ s annule d après le TVI, ce qui donne la conclusion. Q-5 Calculer K = π/ cos ( + cos ( d. En posan = an (, on rouve : c es-à-dire, après simplificaions : On décompose alors en élémens simples : K = K = ( ( + ( + ( X ( + X ( + X = a + X + b + X avec (par idenificaion ou auremen : a = e b =. Ainsi : ( K = + + [ = ( ] + arcan + arcan ( = ( arcan + arcan ( ( Or arcan ( = π e arcan = π 6, d où finalemen : K = π π 9