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1 SP9 Filtrage linéaire Exercice 1 Analyse de spectre On donne les spectres de deux tensions périodiques: le premier est triangulaire, le second est carré. Déterminer la composante continue, la fondamentale et les harmoniques 1 Spectre d un signal triangulaire Les deux spectres suivants représentent le spectre de la même note, jouée à la trompette ou au vibraphone. L unité verticale est arbitraire. Spectre d une note jouée à la trompette. Spectre d une note jouée au vibraphone. (1) Sur chacun des quatre spectres, déterminer s il existe ou non une composante continue. () Sur chacun des quatre spectres, déterminer la fréquence du signal. Quelle(s) composante(s) devez-vous regarder pour cela? (3) Les signaux dont le spectre est représenté sont-ils périodiques? Pourquoi? Exercice Valeur efficace et moyenne Pour les spectres du signal triangle et carré de l exercice précédente, identifier la valeur moyenne et calculer la valeur efficace à partir des spectres. 1

2 Exercice 3 Fonction de transfert et charge Manipuler les impédances complexes Utiliser le diviseur de tension Z s Z s Z e Z e Z c A A On a représenté ci-dessus les schémas équivalents au même quadripôle lorsque celui-ci est en sortie ouverte puis lorsqu il est en charge (on note l impédance de charge Z c ). On appelle H la fonction de transfert en sortie ouverte, supposée connue, et H c celle en charge, inconnue. (1) En raisonnant sur le circuit en sortie ouverte, déterminer l expression de l inconnue A en fonction des autres données. () En raisonnant sur le circuit en charge et sachant que A ne change pas (c est une caractéristique du quadripôle), exprimer la nouvelle fonction de transfert H c. Exercice Bande passante On donne ci dessous la courbe de gain en décibel de trois filtres. Courbe de gain 1 Courbe de gain Identifier le comportement d un filtre Identifier une pulsation de coupure Utiliser les échelles logarithmiques Courbe de gain (1) Identifier les pulsations de coupures de ces trois filtres. () Donner alors l intervalle de bande passante. (3) Pour quelle(s) valeur(s) de G db une harmonique est-elle amplifiée par un filtre? atténuée? inchangée? () Lequel de ces trois filtres qualifieriez-vous de passe-bande? de passe-haut? de passe-bas? /

3 Exercice 5 Mise en cascade de filtres Établir la fonction de transfert de filtres en cascade Trouver des valeurs optimales d impédances d entrée/sortie Z s1 Z s 1 Z e1 1 Z e H 1 1 H Filtre 1 Filtre On place deux filtres 1 et en cascade dont on a schématisé ci-dessus le fonctionnement grâce aux impédances d entrée et de sortie. (1) Comment appelle-t-on H 1 et H? () Exprimer les fonctions de transfert du filtre 1 puis du filtre dans ce montage, en fonction des impédances utiles et des fonctions de transfert en sortie ouverte. En déduire la fonction de transfert H de l association des deux filtres. (3) Par aisance de calcul, on souhaiterait que la fonction de transfert H soit égale à H 1 H. À quelle condition sur les impédances complexes est-ce la cas. () En déduire une condition sur les impédances d entrée puis les impédances de sortie pour que le fonctionnement en cascade permette de multiplier les fonctions de transfert en sortie ouverte. Exercice Prévoir la sortie d un passe haut Déterminer qualitativement le spectre en sortie Courbe de gain d un filtre passe-haut /

4 On envoie chacun des deux signaux carrés (spectres représentés ci-dessus) dans un filtre passe-haut dont le gain en décibel est donné ci-dessus. Déterminer qualitativement le spectre de chacun des signal en sortie. Exercice 7 Filtre RL passe-haut On représente ci-contre le filtre étudié. La bobine et la résistance sont idéales. Prévoir le comportement d un filtre en haute et basse fréquences Établir la fonction de transfert R (1) Tracer deux schémas équivalents: l un en régime permanent basse fréquence puis un en régime permanent haute fréquence. En déduire les valeurs de dans ces cas limites et vérifier la nature du filtre. L () En traçant un schéma équivalent au filtre en RSF, déterminer la fonction de transfert H =. Identifier une grandeur homogène à une pulsation, on la notera. (3) Exprimer alors le gain en décibel et le déphasage du filtre. Exercice Utilisation du filtre passe haut Courbe de gain du filtre RL Courbe de phase du filtre RL π ϕ (rad) π /

5 On a représenté ci-dessus, en trait plein, la diagramme de Bode du filtre RL utilisé en passe haut. En trait pointillés sont représentées les asymptotes à la courbe. On envoie en entrée de ce filtre la tension: (t) = U 1 cos (1 t) + U cos ( t) + U 3 cos (, 1 t) avec U 1 = 1 V, U = V et U 3 = 3 V. (1) Pour chacun des trois signaux sinusoïdaux composant la tension, donner la valeur de son déphasage par le filtre et de son gain en décibel, puis de son gain. () En déduire les valeurs numériques des amplitudes de sorties U 1, U et U 3. (3) Donner alors l expression complète de (t) la tension de sortie correspondant à. Compte tenu des valeurs numériques des différentes amplitudes, simplifier l expression de. Exercice 9 Prévoir la sortie d un passe bas Déterminer qualitativement le spectre en sortie Courbe de gain d un filtre passe-bas On envoie chacun des deux signaux carrés (spectres représentés ci-dessus) dans un filtre passe-bas dont le gain en décibel est donné ci-dessus. Déterminer qualitativement le spectre de chacun des signal en sortie. 5/

6 Exercice 1 Filtre RLC passe-bas On représente ci-contre le filtre étudié. La bobine, la capacité et la résistance sont idéales. Prévoir le comportement d un filtre en haute et basse fréquences Établir la fonction de transfert R L (1) Tracer deux schémas équivalents: l un en régime permanent basse fréquence puis un en régime permanent haute fréquence. En déduire les valeurs de dans ces cas limites et vérifier la nature du filtre. C () En traçant un schéma équivalent au filtre en RSF, déterminer la fonction de transfert H =. Montrer que H peut s écrire sous la 1 forme H = où l on précisera les expressions de et Q. 1 + j Q (3) Exprimer alors le gain en décibel et le déphasage du filtre. Exercice 11 Asymptotes du RLC passe-bas Courbe de gain du filtre RLC passe-bas Q = 1 Q = Q =, 5 Q =, Courbe de phase du filtre RLC passe-bas Q = 1 Q = Q =.5 Q =.3 ϕ (rad) π π /

7 On a représenté ci-dessus le diagramme de Bode du filtre RLC passe-bas pour différentes valeurs du facteur de qualité. On rappelle que pour ce filtre on avait: G db = log H = log 1 + Q 1 1 Si <, alors ϕ = arctan Q. Si >, ϕ = π arctan Q (1) Quel phénomène apparait, pour des valeurs élevées du facteur de qualité? () Déterminer les asymptotes du diagramme de phase en haute puis basse fréquence. (3) Déterminer les asymptotes du diagramme de gain en décibel en haut puis basse fréquence. Exercice 1 Filtre RLC passe-bande Prévoir le comportement d un filtre en haute et basse fréquences Établir la fonction de transfert C L On représente ci-contre le filtre étudié. La bobine, la capacité et la résistance sont idéales. R (1) Tracer deux schémas équivalents: l un en régime permanent basse fréquence puis un en régime permanent haute fréquence. En déduire les valeurs de dans ces cas limites et vérifier la nature du filtre. () En traçant un schéma équivalent au filtre en RSF, déterminer la fonction de transfert H =. Montrer que H peut s écrire sous la forme 1 H = 1 + jq où l on précisera les expressions de et Q. (3) Exprimer alors le gain en décibel et le déphasage du filtre. 7/

8 Exercice 13 Asymptotes du RLC passe-bande Courbe de gain du filtre RLC passe-bande Q = 1 Q = 5 Q =, 5 Q =, π Courbe de phase du filtre RLC passe-bande Q = 1 Q = 5 Q =.5 Q =.3 ϕ (rad) π On a représenté ci-dessus le diagramme de Bode du filtre RLC passe-passe bande pour différentes valeurs du facteur de qualité. On rappelle que pour ce filtre on avait: G db = log H = log 1 + Q ϕ = arctan Q (1) Pour quelle valeur du facteur de qualité le filtre est-il le plus sélectif? () Déterminer les asymptotes du diagramme de phase en haute puis basse fréquence. (3) Déterminer les asymptotes du diagramme de gain en décibel en haut puis basse fréquence et les tracer. /

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