PCSI 16/09/2000. DEVOIR SURVEILLÉ de MATHÉMATIQUES n 1 Durée : 3h. EXERCICE 1. EXERCICE 2 e. x(ln x) n dx. e 2 n + 3 I n. n + 2.

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1 PCSI 6/09/000 Soit f la fonction définie sur IR par DEVOIR SURVEILLÉ de MATHÉMATIQUES n Durée : h EXERCICE fx = e x cos x + sin x Écrire fx sous la forme A e x cosx + ϕ Calculer la dérivée f x et, en procédant comme dans la question, déterminer les points en lesquels f présente un extremum Préciser lesquels de ces points sont des minimums, lesquels sont des maximums Dresser le tableau de variations de f sur l intervalle [0, 4π] on ne demande pas de calculer les valeurs de f en ses extremums ; aucun tracé de courbe n est demandé 4 En écrivant chacune des expressions fx, f x, f x sous la forme e x α cos x + β sin x, montrer que f est solution d une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants c est-à-dire une équation de la forme ay + by + cy = 0, où a, b, c sont des réels à déterminer Pour tout entier naturel n, on pose I n = Calculer I 0 et I EXERCICE xln x n dx Montrer que J n = I n + ni n est indépendant de n Déterminer sa valeur Montrer que la suite I n est décroissante puis, en utilisant la question, démontrer l encadrement 4 En déduire lim I n et lim ni n e n + I n n + PROBLÈME Dans ce problème, on étudie la famille de fonctions f définies par f x = + ln + x, où le paramètre est un réel strictement positif Pour tout IR +, on note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal O; i, j On note D la première bissectrice du repère droite d équation y = x PARTIE A A Donner l ensemble de définition de f On note Γ la courbe représentative de la fonction logarithme népérien Montrer que C est l image de Γ par une translation A On pose ϕ x = f x x Etudier les variations de ϕ ainsi que ses limites aux bornes de l intervalle de définition Exprimer la valeur maximale m que prend la fonction ϕ sur son ensemble de définition A Étudier les variations et le signe de m en fonction de > 0 En déduire, pour > 0 donné, le nombre de points d intersection de la courbe C avec la droite D

2 PARTIE B Dans cette partie du problème, on étudie le cas = B Représenter graphiquement la courbe C et la droite D dans O; i, j orthonormal ; on prendra comme unité cm On appelle P et Q les points d intersection de C et de D, d abscisses respectives p et q avec p < q Montrer que < p < 0 et que < q < B On se propose de calculer une valeur approchée de q Pour cela, on définit une suite u = u n n IN par u 0 = et n IN u n+ = f u n A l aide de la courbe C, reporter les valeurs u 0, u et u sur l axe Ox du graphique Montrer que u n q pour tout n IN, et prouver que la suite u est croissante B En utilisant l inégalité des accroissements finis, montrer que 0 q u n n q u 0 pour tout n IN En déduire que la suite u converge vers le réel q B4 Déterminer une valeur approchée de q à 0 près en justifiant la méthode choisie ***************************************************************** CORRIGÉ ***************************************************************** EXERCICE fx = e x cos x + sin x = e x cos x + On repart de l expression obtenue ci-dessus : [ f x = e x cos x π + sin = e x [ cos π 4 cos x π sin x = e x cos x π π = e x cos 4 = e x cos x π x π ] + sin π 4 sin x π ] x 7π La dérivée f x s annule lorsque cos x 7π = 0, soit lorsque x 7π = π + kπ avec k Z, soit pour x = π + kπ ou, ce qui revient au même, pour x = π + k π avec k Z En faisant un tableau de signes, on voit facilement que les points de la forme π + kπ k Z sont des maximums, alors que les points π + k + π k Z sont des minimums

3 4 On a fx = e x cos x + sin x, f x = e x cos x + sin x, f x = e x cos x + sin x Si a, b, c sont trois coefficients indéterminés, on obtient af x + bf x + cfx = e x[ ] a + b + c cos x + a + b + c sin x, I 0 = On a qui est la fonction nulle si et seulement si a, b, c vérifient le système linéaire { a + b + c = 0 a + b + c = 0 Ce système se résout facilement on peut par exemple multiplier l équation par { puis b = a l ajouter à l équation ; il équivaut aux conditions Une équation différentielle c = a vérifiée par la fonction f est donc y + y + y = 0 x dx = I = et EXERCICE [ x x ln x dx = ln x J n = I n + ni n = = ] e [ d x ln x n] dx = dx x dx = + 4 xln x n + nxln x n dx [x ln x n] e = Pour tout x dans [, e], on a 0 ln x donc ln x n+ ln x n pour tout n, donc I n+ I n : la suite I n est décroissante Pour tout n IN, on a I n I n donc, à l aide de la question, J n = e = I n + ni n + ni n, soit I n pour tout n On vérifie que cette inégalité est encore vraie pour n = 0 n + De façon semblable, on a, pour tout n IN, I n I n, donc J n = e = I n + ni n + ni n, soit I n n + pour tout n IN En décalant les indices, on obtient I n tout n IN n + pour

4 4 L encadrement de la question précédente donne immédiatement lim I n = 0 Enfin, on a ne n + ni n n n + ; le minorant et le majorant tendent vers e lorsque n tend vers l infini, donc lim ni n = e PARTIE A : A L ensemble de définition de f est D = PROBLÈME ], + [ Pour tout x de D, on a [ ] f x = + ln + x = + ln + ln x +, donc C est l image de Γ par la translation de vecteur v = i + + ln j A La fonction ϕ est définie sur D et ϕ x = + x = x Cette dérivée + x s annule pour x = et, étant strictement positif, on obtient le tableau de variations suivant les limites se calculent aisément, sachant que x l emporte sur ln + x au voisinage de + : Enfin, m = ϕ = ln + A On a m =, d où le tableau de variations de la fonction m On en déduit que m est strictement positif pour tout > 0 ; la fonction ϕ s annule donc deux fois sur l intervalle D et la courbe C a deux points d intersection avec la droite D, d abscisses p et q vérifiant < p < < q

5 PARTIE B : B Les réels p et q sont les zéros de la fonction ϕ L encadrement < p < 0 est immédiat cf fin de la question A avec = Enfin, la fonction ϕ est décroissante sur [0, + [ avec ϕ = ln > 0 et ϕ = ln < 0, donc q ], [ B La fonction f est croissante sur son ensemble de définition ], + [, on a f > puisque ϕ > 0 et f q = q puisque q est un zéro de ϕ : q est un point fixe de f L image de l intervalle [, q] par f est donc l intervalle [ f, f q ] = [ f, q ] qui est inclus dans l intervalle [, q] : l intervalle [, q] est donc stable par f Comme u 0 = [, q], on en déduit que u = f u 0 [, q] et, par une récurrence immédiate, on a u n [, q] pour tout n IN Enfin, la fonction ϕ est positive sur l intervalle [, q], ce qui signifie que f x x pour tout x [, q] : en appliquant cela avec x = u n, on obtient u n+ u n : la suite u est croissante B On a f x = + x d où 4 f x pour tout x [, ] Comme u n q, l inégalité des accroissements finis permet d écrire, pour tout n, 0 4 q u n f q f u n = q u n+ q u n Par une récurrence immédiate, on obtient 0 q u n n q u 0 Le minorant et le majorant tendent vers zéro lorsque n tend vers l infini, donc lim q u n = 0 et lim u n = q B4 On sait que q u 0 Pour avoir q u n 0, il suffit que n 0, ce qui équivaut à n 00, inégalité vraie pour n 5 On calcule donc u 5 avec une calculatrice ou avec MAPLE et on obtient, 5