Ecoulements incompressibles stationnaires axisymétriques établis

Transcription

1 Ecoulements incompressibles stationnaires axisymétriques établis

2 Ecoulement entre deux plaques Ces profils laminaires sont identiques, quel que soit le nombre de Reynolds, car les termes non-linéaires ont disparu en supposant que l écoulement est établi Poiseuille Toutefois, ces profils laminaires deviendront temporellement instables à haut nombre de Reynolds. Ecoulement en conduite circulaire Hagen-Poiseuille

3 Ecoulements incompressibles instationnaires axisymétriques établis

4 Démarrage brusque de l écoulement dans une conduite Adimensionalisation du temps sur base de la viscosité qui est l unique donnée contenant une unité de temps! En zeta=1, on a un écoulement de régime

5 Problème aux conditions aux limites

6 Résolution par séparation de variables Non bornée à l origine

7 Et les conditions limites

8 Temps caractéristique d établissement Temps adimensionnel afin que la vitesse au centre de la conduite vaille 99% de la valeur du profil de Poiseuille

9 Longueur caractéristique d établissement Pas de solution analytique : il est possible de trouver une solution approchée par la théorie des couches limites pour le cas axisymétrique Plus tard, on verra la théorie des couches limites pour le cas plan. Longueur d établissement nécessaire afin que la vitesse au centre de la conduite vaille 99% de la valeur du profil de Poiseuille

10 Zone d établissement Analogie spatio-temporelle avec le problème précédent

11 Gradient oscillant de pression

12 Problème aux conditions aux limites

13 Résolution par séparation de variables

14 Petit :-) Forçage Grand :-) lent Forçage rapide Ecoulement de Poiseuille en phase avec le gradient de pression imposé. L écoulement a le temps de suivre la variation du gradient de pression. Compliqué, compliqué, compliqué

15 Et le thermique Ecoulement incompressible d un fluide visqueux newtonien à paramètres constants. Les équations de continuité et de quantité de mouvement ne font pas intervenir la température : on peut résoudre la dynamique de l écoulement sans tenir compte des aspects thermiques! Etape 1 Etape 2 Une fois la dynamique de l écoulement connue, on peut ensuite résoudre le problème thermique

16 Le petit frère de Reynolds : Péclet Effets de conduction Diffusion de l énergie Effets de convection Transport de l énergie

17 Oui : c est bien le petit frère! Effets visqueux Diffusion de la quantité de mouvement Effets d inertie Transport de la quantité de mouvement

18 Nombre de Péclet caractérise le transfert de chaleur d un écoulement d un fluide! Born: 10 Feb 1793 in Besancon, France Died: 6 Dec 1857 in Paris, France Puissance transportée Puissance diffusée à savoir!

19 Nombre de Prandtl caractérise un fluide! Born: 1875 in Freising, Germany Died: 1953 in Gottingen, Germany Peclet = Effets de convection / effets de conduction Reynold = Effets d inertie / effets de viscosité à savoir!

20 Une grande famille! Effets de conduction Diffusion de l énergie Effets de convection Transport de l énergie Effets de dissipation visqueuse Transformation d énergie

21 Nombre d'eckert Picture was taken on August 22, 2000 caractérise un écoulement d un fluide! Energie cinétique Energie interne

22 Principes physiques universels! Lois de conservation Lois de comportement Conditions aux limites Conservation de la masse, de la quantité de mouvement, du moment de la quantité de mouvement et de l énergie.

23 Lois de comportement très approximatives Lois de conservation Lois de comportement Conditions aux limites Loi de Fourier Modèle du fluide visqueux Newtonien

24 Mécanismes du transfert conductif Le point de vue microscopique On examine le transfert d énergie entre porteurs du milieu considéré. La fonction de distribution des porteurs est régie par l équation de Boltzmann de la théorie cinétique. L énergie se propage du chaud vers le froid Isolants Métaux 10-2 W/mK 10 2 W/mK Lois de conservation Lois de comportement Conditions aux limites L approche phénomélogique Un flux thermique dans un corps est lié à l existence d un gradient de température. L équation de Fourier relie ces deux grandeurs.

25 Validité de la loi de Fourier L effet (le flux de chaleur) est proportionnel à la cause (le gradient de température) Toutefois, lorsqu on observe un déséquilibre thermique initial, il faut un temps très faible, mais fini de l ordre de grandeur du temps moyen entre collisions pour que les porteurs donnent naissance au flux thermique L absence d inertie dans l expression de Fourier conduit à une vitesse de propagation infinie dans l équation de la chaleur (équation parabolique)

26 Diffusivité thermique Caractérise la facilité avec laquelle un flux de chaleur transmis à un solide se traduit par un relèvement de température Milieu semi infini soumis initialement à température nulle Surface externe mise à 100 degrés. Temps requis pour avoir 50 degrés à 30 cm

27 Conduction dans une plaque soumise à la convection Conduction Convection Radiation Radiateur domestique : h = 15 W/m 2 K La convection libre et le rayonnement ont une contribution plus ou moins identique régime permanent

28 Un problème pas aussi élémentaire que prévu Simplifions-le!

29 Loi de Newton Lois de conservation Lois de comportement Conditions aux limites

30 Nombre de Biot caractérise une condition d interface Born: 21 April 1774, Paris, France Died: 3 Feb 1862, Paris, France Flux de chaleur transportée par convection dans l écoulement extérieur Flux de chaleur diffusif dans le solide

31 Nombre de Nusselt caractérise une condition d interface! Born: 25 Nov 1882 in Nurnberg, Germany Died: 1 Sep 1957 in Munchen, Germany Flux de chaleur à la paroi Flux de chaleur diffusé dans l écoulement