x dx 2 x x 1 x x x 1

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1 Foncions raionnelles Eercice Dérminer les primiives des epressions proposées en indiqan l ensemble de validié : ( ) + d) d + e) d f) + + ( + ) g) + j) + + d + h) i) l) ( + + ) + k) 5 d 6 d arcan sr R + 6 d + + d ln+ ln + ( ) + sr ], [],,[ d d ln( + ) + arcan + sr R d arcan( ) + + ( ) + d) sr R e) f) g) (+ ) + + ( + ) + d ln( + + ) arcan( + ) + d sr R d ( + ) + d ln ln( + ) + sr ],[ o ],+ [ o ],+ [ d d ln+ ln( + ) + arcan + sr ], [ o ], + [ h) d + 6 ln ln( + + ) + arcan + sr ],[ i) ],+ [ o ],+ [ d + d + ln arcan+ sr ], [ + d d pis j) d ln + arcan + arcan + sr R ( + + ) ( j) ( j ) + + donc k) + + d + arcan + sr R ( + + ) ( + + ),],[ o

2 + + d + d donc l) + + d ln + arcan( ) + arcan( + ) + sr R + + Eercice alcler les inégrales sivans : d + + d + arcan ( + ) d d + arcan d ln + arcan ln ( ) + arcan arcan d d + ( + ) + ( + )( + ) + + ( + )( + ) + + donc d ln+ ln( + ) + arcan+ ( + )( + ) pis arcan ln ( + ) 8 8 d + ln ln + Eercice Soi n N On désire dérminer la primiive sr R s annlan en de la foncion fn : n ( + ) Jsifier l eisnce e l nicié de la foncion cherchée elle-ci es désormais noée F n alcler F ( ) En procédan a changemen de variable cosθ, dérminer F ( ) d) En s aidan d n inégraion par paries, former ne relaion de récrrence enre F ( ) n+ e Fn ( ) e) alcler F ( ) f n es définie e conine sr R donc possède ne niqe primiive s annlan : d F ( ) arcan + d arcan dθ arcan F ( ) cos θ dθ sin arcan+ arcan ( + ) + an θ e donc F ( ) + arcan + + d) Fn ( ) d F ( ) d n n + n ( + ) + ( + ) + pis par ipp : d n Fn+ ( ) Fn ( ) + + F ( ) n n n n n ( + ) n ( + ) n ( + ) n e) F ( ) arcan ( ) n ( ) f ( )d F n

3 Foncions raionnelles en ep Eercice Dérminer les primiives des epressions proposées en indiqan l ensemble de validié : e + e + e e + e d e Sr R, d ln(e ) e + e d d Sr R, ln+ ln+ + + ln(e + ) e + e + e e ( + ) Sr [,+ [, d) Sr R, e d arcan d e e + e + d d + e ln + ln( + e ) + + e + e + e + Eercice 5 alcler e + d e+ d e+ d ( e+ )( + ) ln ln e + + ( e+ + )( ) e + Foncions raionnelles en sin e cos Eercice 6 Dérminer les primiives des epressions proposées en indiqan l ensemble de validié : cos sin + cos + sin cos d) cos cos d sin+ Sr R, d d ln + sin + cos + sin sin d cos Sr R, d ln + cos + sin cos+ d Sr Ik + k, + ( k+ ), k Z, + d an+ an + an cos d) Sr Ik + k, + ( k+ ), k Z d cos( ) d d sin cos ( sin ( )) ( ) d ( ) + ( + ) + sin sin donc d ln + + cos sin cos Eercice 7 Dérminer ne primiive sr R de la foncion + cos

4 d d an Sr Ik ] + k, + k[ avec k Z, arcan an + cos + + La foncion es définie e conine sr R, cherchons F primiive de celle-ci sr R + cos an k Z, F es primiive sr I k, donc k R l qe sr I k, F ( ) arcan + k Par limi à droi e à gache en + k, F ( + k ) + k + k+ k Par si k Z, k + an k arcan + + si Ik On pe résmer : R l qe sr R, F ( ) k+ + si + k eci dérmine la foncion F à ne consan près Inversemen, éan assré de l eisnce de F, on pe affirmer qe de lles foncions son bien primiives de + cos Eercice 8 alcler : d + cos d + sin cos d + cos d d + + cos an d an + sin cos + + d d d d d d I +cos + +cos + +cos + +cos +cos d Via des changemens de variable affines adéqas : I +cos d d an Sr ], [, arcan an +cos + + Soi F ne primiive de sr [, ] + cos an R l qe F ( ) arcan + sr [, [ e par coninié : F ( ) + d Finalemen [ F ( )] pis I +cos Eercice 9 alcler sinα d por α ], [ + cosα cos

5 sin sin d sin d d + cosα cos + (+ cos α) + ( cos α) + cosα + α α α donc e finalemen sinα sinα cosα cosα sinα cosα d arcan arcan + cosα cos cosα + cosα cosα + cos cos α + α sinα sin α d arcan cosα cos cos α α + Foncion raionnelle en sh e ch Eercice Dérminer les primiives des foncions proposées en indiqan l ensemble de validié : h ch ch + ch + ch sh+ ch d) ch Sr R, h d d ln ch ln(ch + ) + + ch ch ( + ) ch d sh Sr R, d arcan sh + ch + + ch d d h+ Sr R, ln + h sh+ ch ( )( + ) h + h ch d e + e o encore d + d + + sh+ ch e e e d ch d sh d) Sr R, d arcan sh sh ch + + (+ sh ) ( + ) ch Eercice alcler d ch d d arcan e e ch e + Foncion raionnelle en n radical Eercice Dérminer les primiives des foncions proposées en indiqan l ensemble de validié : Sr [, + [, Sr [,+ [, Sr ],] o ],+ [, d ( ) d ( )d d d + d + ln( + ) y dy y d + ln + ( y ) ( y+ ) y y+ y+ donc d ( )( ) ln + +

6 Eercice Dérminer les primiives des foncions proposées en indiqan l ensemble de validié : ( )( ) d) + + e) + + Sr,, + d sin d cos arcsin + sin d Sr ], [, sin d arcsin( ) ( )( ) + sin ( )( ) ( )( + ), + sin Sr [,], d cos d cos d + 6 arcsin d) Sr R, d sh d ln( ) sh d e) Sr R, ch d e ln( ) sh sh ch ( + + ) f) Sr [,+ [ (e de même sr ], ] ) sh d d d arcan + ch sh ch + f) Eercice Dérminer d sr R (+ ) , + sh, d ch d d d shd d ch ( ) sh ch donc d + + ln + (+ ) Eercice 5 alcler les inégrales sivans : d ( + ) d + ( + ) d + + d d arcan ( ) d d arcan + ( + ) + 6 d d sinθ cosθ dθ + + sinθ + sinθ+ cosθ + d ( ) d d + + ( + + )( + ) + ( + ) d A final ln( + ) + + david Delanay hp://mpsiddlfreefr