i. Regarder, à la calculatrice, si le calcul proposé par Étienne donne la somme versée par la banque.

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1 4.1 Activités ACTIVITÉ 1 Une nouvelle fonction) Max a placé le 1 er janvier 2000 un capital de 100 à intérêts composés à un taux annuel de 20 % 1. Il peut à tout moment retirer le capital augmenté des intérêts produits. On appelle C n le capital disponible le 1 er janvier de l année 2000+n. Ainsi C 0 = a) Déterminer C 1, C 2, C 3 et C 4. De quelle nature est la suite C n )? On précisera ses caractéristiques. b) Représenter la suite dans le repère de la figure 4.1 de la présente page. On rappelle que la représentation graphique d une suite u n ) est le nuage constitué des points n ; u n ). Les points sont-ils alignés? 2. Le 30 juin 2003, un imprévu oblige Max à retirer l intégralité de son capital. La banque lui reverse alors sur son compte 189,29. Max est surpris car ce montant ne lui semble correspondre à rien. Après renseignement, il apprend que la banque a transformé son taux annuel de 20 % en un taux mensuel équivalent. Max n a pas bien compris mais n a pas osé insister et il vous demande d essayer de déterminer ce taux. a) Soit t un taux mensuel quelconque. i. Que devient un capital C placé à ce taux mensuel au bout d un an? ii. En déduire que le taux mensuel t appliqué par la banque est solution de l équation : 1+ t ) 12 = 1,2 100 iii. Déterminer une valeur approchée de t à 10 3 près et vérifier que ce taux donne bien la somme versée par la banque. b) Étienne, un ami de Max, après avoir pris connaissance de votre travail, vous demande s il n y a pas plus simple. «En effet, regarde : au bout de trois ans, le capital de Max est 100 1,2 3, au bout de quatre ans, il est de 100 1,2 4 et bien au bout de trois ans et demi, il doit être de 100 1,2 3,5. Non?» Julie est intriguée par la proposition d Étienne : «Je ne comprend pas ce que veut dire 1,2 exposant 3,5». «Moi non plus, répond Étienne, mais essayons de voir ce que cela donne à la calculatrice». i. Regarder, à la calculatrice, si le calcul proposé par Étienne donne la somme versée par la banque. ii. Représenter la courbe de la fonction f x)=100 1,2 x dans le repère de la figure 4.1 pour x positif. Que constate-t-on? iii. Compléter le tracé pour x négatif. Comment interpréter cette partie de la courbe? ACTIVITÉ 2 Recherche d une valeur particulière) On considère la fonction f q définie surrpar f q x)= q x où q est un réel strictement positif. On nomme C q sa représentation graphique dans un repère et T q sa tangente au point d abscisse À l aide de sa calculatrice, représenter les courbes C q pour les valeurs de q suivantes : q = 2 q = 3 q = 5 q = 1 q = 0,9 q = 0,5 2. Ces courbes semblent concourantes en un même point. Donner ses coordonnées. 3. Faire apparaître dans le tableau de valeur de votre calculatrice les nombres dérivés des fonctions et indiquer, lorsque le réel q croit, comment varie le coefficient directeur de la tangente T q. 4. En tatonnant à la calculatrice, modifier la valeur de q pour obtenir une valeur approchée au dixième de la valeur pour laquelle le coefficient directeur de T est Les taux d intérêts sont en général plutôt de l ordre de 3 à 4 %, la situation de l activité est donc purement fictive. N. SANS 1 Lycée Jean Giono Turin

2 O ACTIVITÉ 3 On se propose de déterminer q tel que la fonction f : x q x vérifie f 0)=1. 1. Avec geogebra, créer un curseur q allant de 0 à 5 avec un incrément de 0,1. Puis tracer la courbe C représentant la fonction f : x q x. Enfin, placer le point A de coordonnées 0 ; 1). 2. Observer le sens de variation de la fonction f suivant les valeurs de q. 3. Tracer la tangente T en A à la courbe C. Afficher son coefficient directeur en sélectionnant pente icône avec angle). Que représente cette pente pour la fonction f? 4. Faire varier la valeur de q de façon à obtenir une pente proche de 1. On note e la valeur de q qui réalise une pente exactement égale à Obtenir avec le logiciel un encadrement de e d amplitude 10. La fonction x e x se note exp, et est appelée la fonction exponentielle. 4.2 Exercices Technique EXERCICE 1 Simplifer chacune des expressions suivantes : A= 1, , B = 1,211,43 1,21 3,17 1,21 4,1 C = 0,87 1,2) 5 D = 1 0,81 x ) 2 0,87 4 0,9 4x N. SANS 2 Lycée Jean Giono Turin

3 EXERCICE 2 Soit la fonction exponentielle de base q avec q > 0. Montrer que le taux d évolution est alors égal à q 1. Faire une comparaison entre le modèle discret et le modèle continue. EXERCICE 3 Déterminer le taux moyen mensuel dans les cas suivants : 1. une hausse global de 10 % en 5 mois. 2. une baisse de 7 % en un an. 3. un placement à intérêts composés au taux annuel de 2,5 %. EXERCICE 4 Votre banquier vous propose un placement à intérêts composés au taux annuel de 4,5 %. Vous décidez de placer 1000 pendant 3 ans et 2 mois. Calculer votre capital disponible de deux façons différentes. Déterminer le pourcentage d augmentation de votre capital. EXERCICE 5 Dans le repère de la figure ci-dessous quatre fonctions exponentielles sont représentées. Identifier la base q de la fonction exponentielle associée à chacun de ces courbes. 2.5 y 2.0 C C C 4 C O x 0.5 EXERCICE 6 Comme au BAC) Un transporteur achète en janvier 2011 un véhicule de 9 tonnes au prix de Compte tenu du nombre de kilomètres parcourus, le véhicule perd 20 % de sa valeur chaque année. Le transporteur décide qu il faut remplacer ce véhicule lorsque sa valeur est strictement inférieure à Pour tout nombre t de l intervalle [0 ; 10], on note f t) la valeur en, du véhicule à la date t. Déterminer l expression de f t). 2. Interpréter les bornes 0 et 10 de l intervalle dans le contexte de l exercice. 3. Avec votre calculatrice, répondre au problème posé. EXERCICE 7 Exprimer en fonction du nombre e chacun des nombres suivants : A= exp) B = exp0,8) exp1) exp1,2) C = exp1,23 exp0,23) EXERCICE 8 Simplifier chacune des expressions : A= e1,5 e B = e 0,5) 4 e C = e x e x ) 2 ) D = e 1+0,25x 2 e 1 0,25x EXERCICE 9 Simplifer les expressions suivantes : 1. e 2x e x 2. e x + 1) e x 1) 3. e x+1 ) e x) 4. e 2x e x +1 N. SANS 3 Lycée Jean Giono Turin

4 4.2.2 Études de fonctions comportant e x EXERCICE 10 Dériver chacune des fonctions suivantes : f x)=3e x g x)=1+x+e x hx)=1+x)e x kx)= 1+x e x EXERCICE 11 Étudier les variations de g, définie sur ]0;+ [ par g x)= ex x. EXERCICE 12 On considère la fonction f définie surrpar : f x)= ex e x +1. Soit C sa courbe représentative dans un repère orthonormal O; ı, j ) d unité 1 cm. 1. Déterminer f x) et étudier son signe. Dresser le tableau de variations de f. 2. Justifier que la courbe C passe par l origine du repère. Tracer la courbe C. lx)= ex 2+e x 3. On donne f x)= 2ex 1 e x ) e x ) 3. Étudier la convexité de f et montrer que sa courbe admet un point d inflexion I dont on déterminera les coordonnées x I ; y I ). 4. Donner le coefficient directeur de la tangente à C en I. Tracer cette tangente dans le repère précédent. EXERCICE 13 On considére la fonction f définie surrpar : f x)=2x)e x ; sa représentation graphique C dans un repère orthogonal est donnée sur la figure ci-dessous. 3 2 y C 1 O B x + A 1. Étudier le signe de f x) selon les valeurs de x. 2. a) Montrer que f, la dérivée de f, peut s écrire f x)=2x+ 1)e x. b) Étudier le signe de f x) selon les valeurs de x puis en déduire le tableau des variations de f on indiquera la valeur exacte du minimum de f x)). c) Déterminer l équation de la tangente à C au point A et la tracer sur le graphique. 3. Étudier la convexité de f et déterminer si C admet des points d inflexions Études de fonctions comportant e u EXERCICE 14 Dériver chacune des fonctions suivantes : f x)=e 0,5x g x)= x+ e x hx)=3e 1x kx)= 1 2 e 0,5x2 EXERCICE 15 Déterminer les dérivées des fonctions suivantes : 1. f x)=e 2x 2. f x)=e x2 ) 3. f x)=e x ) 2 4. f x)=e x 5. f x)=3e 2x 5e x 6. f x)= xe x 7. f x)=2x+ 1)e 2x 8. f x)=e x 1 x) f x)= 8+e x N. SANS 4 Lycée Jean Giono Turin

5 EXERCICE 16 D après France métropolitaine, Réunion Septembre 2 009) On considère la fonction f définie pour tout nombre réel x par f x)= x 2 x+ 1 ) e x. On note C f la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d un repère orthogonal. 1. On note f la fonction dérivée de la fonction f. a) Démontrer que, pour tout nombre réel x, f x)= x 2 + 3x 2 ) e x. b) Établir le tableau de variations de la fonction f sur l ensemble des nombres réels. 2. Donner une équation de la tangente T à la courbe C f en son point d abscisse 0. EXERCICE 17 Métropole La Réunion Septembre 2 007) La courbe C ) donnée sur la figure 4.1 de la présente page, est la représentation graphique dans un repère orthogonal d une fonction f définie et dérivable sur R. On note f sa fonction dérivée. Les points A 3; e) et B 4; 2) appartiennent à cette courbe. La tangente à la courbe en A est parallèle à l axe des abscisses et la tangente T ) à la courbe en B coupe l axe des abscisses au point d abscisse 6. Partie I : Lectures graphiques Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes, sans justifier. 1. Pour quelles valeurs du nombre réel x de l intervalle [3; 10] a-t-on f x) 2? 2. Déterminer f 3) et f 4). Partie II : Étude de la fonction La fonction f représentée sur la figure 4.1, est la fonction définie sur l intervalle [0;+ [ par f x)=x 2)e x+4). 1. Calculer f 0). Donner la valeur décimale arrondie à l unité. 2. a) Pour tout nombre réel x de l intervalle [0;+ [, calculer f x) et montrer que f x)=3 x)e x+4). b) Sur l intervalle [0;+ [ étudier le signe de f x), puis dresser le tableau de variations de la fonction f. Partie III : Étude d un bénéfice Une entreprise vend x centaines de litres de parfum par jour 1,8 x 4,5. Le bénéfice en milliers d euros réalisé, par jour, par l entreprise lorsqu elle vend x centaines de litres est donné par f x) pour x [1, 8; 4, 5]. On suppose donc que pour des raisons techniques et commerciales l entreprise vend au moins 180 litres et au plus 450 litres. 1. Calculer le bénéfice en euros réalisé sur la vente de 400 litres soit 4 centaines de litres). 2. Déterminer la quantité de litres à vendre par jour pour réaliser un bénéfice maximal. Quel est ce bénéfice maximal en euros? Donner la réponse arrondie à 1 ). 3. À partir de quelle quantité journalière l entreprise ne vend-elle pas à perte? 3 FIGURE 4.1: Figure de l exercice 17 2 A B 1 O C ) T ) 4 N. SANS 5 Lycée Jean Giono Turin

6 EXERCICE 18 Asie 2015) Partie A Soit f la fonction définie sur [0; 10] par Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous : 1 f x) := x+ exp x+ 1) // Interprète f // Succès lors de la compilation f 2 derive f x)) 3 solve exp x+ 1)+1>0) 4 derive exp x + 1) + 1) f x)= x+ e x+1. x x+ exp x+ 1) exp x+ 1)+1 [x > 1] exp x+ 1) 1. Étude des variations de la fonction f a) En s appuyant sur les résultats ci-dessus, déterminer les variations de la fonction f puis dresser son tableau de variation. b) En déduire que la fonction f admet un minimum dont on précisera la valeur. 2. Étudier la convexité de la fonction f sur l intervalle [0; 10]. Partie B Une entreprise fabrique des objets. Sa capacité de production est limitée, compte tenu de l outil de production utilisé, à mille objets par semaine. Le coût de revient est modélisé par la fonction f où x est le nombre d objets fabriqués exprimé en centaines d objets et f x) le coût de revient exprimé en milliers d euros. 1. Quel nombre d objets faut-il produire pour que le coût de revient soit minimum? 2. Un objet fabriqué par cette entreprise est vendu 12. On appelle marge brute pour x centaines d objets, la différence entre le montant obtenu par la vente de ces objets et leur coût de revient. a) Justifier que le montant obtenu par la vente de x centaines d objets est 1,2x milliers d euros. b) Montrer que la marge brute pour x centaines d objets, notée g x), en milliers d euros, est donnée par : g x)=0,2x e x+1. c) Montrer que la fonction g est strictement croissante sur l intervalle [0; 10]. 3. a) Montrer que l équation g x) = 0 possède une unique solution α sur l intervalle [0; 10]. b) Déterminer un encadrement de α d amplitude 0, En déduire la quantité minimale d objets à produire afin que cette entreprise réalise une marge brute positive sur la vente de ces objets. EXERCICE 19 D après Polynésie Septembre 2 007) Les parties A et B sont indépendantes. Partie A On considère la fonction f définie sur [0;+ [ par f x)=ax+ b)e x où a et b sont deux réels. On désigne par f la fonction dérivée de f sur [0;+ [ et on note C ) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal. 1. On sait que C ) passe par le point E 0; 1) et qu elle admet au point d abscisse 0 une tangente horizontale. En déduire f 0) et f 0). 2. Vérifier que f x)= ax+ a b)e x 3. En utilisant les résultats précédents, déterminer a et b. Partie B Pour la suite, on admet que la fonction f est définie sur [0 ; + [ par : f x)=x+ 1)e x. 1. a) Calculer f x). b) Étudier le signe de f x) sur [0;+ [ puis dresser le tableau de variations complet de f. 2. a) Montrer que l équation f x) = 0, 5 possède une unique solution α dans l intervalle [0; 4]. b) Déterminer un encadrement de α à 10 3 près. N. SANS 6 Lycée Jean Giono Turin

7 4.2.4 Au BAC 2016! PROBLÈME 1 Polynésie Prise d initiative) Un publicitaire envisage la pose d un panneau rectangulaire sous une partie de rampe de skateboard. Le profil de cette rampe est modélisé par la courbe représentative de la fonction f définie sur l intervalle [0; 10] par : f x)=4e 0,4x. Cette courbe C f est tracée ci-dessous dans un repère d origine O : 5 y en mètres) D C 1 x en mètres) A B C f Le rectangle ABCD représente le panneau publicitaire et répond aux contraintes suivantes : le point A est situé à l origine du repère, le point B est sur l axe des abscisses, le point D est sur l axe des ordonnées et le point C est sur la courbe C f. 1. On suppose dans cette question que le point B a pour abscisse x = 2. Montrer qu une valeur approchée de l aire du panneau publicitaire est 3,6 m Parmi tous les panneaux publicitaires qui répondent aux contraintes de l énoncé, quelles sont les dimensions de celui dont l aire est la plus grande possible? On donnera les dimensions d un tel panneau au centimètre près. PROBLÈME 2 CE 2016 ) Partie A Soit f la fonction définie sur [0; 8] par 8e x f x)= 0,4 20e x ,4. 1. Montrer que f x)= 20e x + 1) 2 où f désigne la fonction dérivée de la fonction f. 2. Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous : 1 f x) := 8 eˆ x)/20 eˆ x)+1) 2 f 8 e x x) : 400e x ) e x g x) := Dérivée [f x)] 160e x ) 2 8e x g x) := 8000e x ) e x ) e x Factoriser [g x)] 8e x 20e x 1 20e x + 1) 3 En s appuyant sur ces résultats, déterminer l intervalle sur lequel la fonction f est convexe. Partie B Dans une région montagneuse, une entreprise étudie un projet de route reliant les villages A et B situés à deux altitudes différentes. La fonction f, définie dans la partie A, modélise le profil de ce projet routier. La variable x représente la distance horizontale, en kilomètres, depuis le village A et f x) représente l altitude associée, en kilomètres. La représentation graphique C f de la fonction f est donnée ci-dessous. N. SANS 7 Lycée Jean Giono Turin

8 f x) 0,8 0,6 0,4 + A C f + B 0, Dans cet exercice, le coefficient directeur de la tangente à C f en un point M est appelé «pente en M». On précise aussi qu une pente en M de 5 % correspond à un coefficient directeur de la tangente à la courbe de f en M égal à 0,05. Il est décidé que le projet sera accepté à condition qu en aucun point de C f la pente ne dépasse 12 %. Pour chacune des propositions suivantes, dire si la proposition est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Proposition 1 L altitude du village B est 0,6 km. Proposition 2 L écart d altitude entre les villages A et B est 378 mètres, valeur arrondie au mètre. Proposition 3 La pente en A vaut environ 1,8 %. Proposition 4 Le projet de route ne sera pas accepté. CORRECTIONS x Polynésie On suppose dans cette question que le point B a pour abscisse x = 2. L aire du panneau publicitaire est l aire du rectangle ABCD. AB BC = 2 f 2)=2 4e 0,8 = 8e 0,8 3,6. 2. Parmi tous les panneaux publicitaires qui répondent aux contraintes de l énoncé, quelles sont les dimensions de celui dont l aire est la plus grande possible? L aire d un panneau répondant aux contraintes de l énoncé est donnée par Ax)= x f x)=4xe 0,4x. On cherche la valeur de x pour laquelle Ax) est maximal. Pour cela on étudie la fonction x Ax). On calcule A x) A x)=4e 0,4x 1,6xe 0,4x = e 0,4x 4,6x) On étudie le signe de A x) Pour tout réel x, e 0,4x > 0 donc A x) est du signe de 4,6x sur l intervalle [0; 10]. Si x < 2,5, A x)>0 donc A est strictement croissante sur [0 ; 2,5[ ; Si x > 2,5, A x)<0 donc A est strictement décroissante sur ]2,5 ; 10] ; A 2,5)=0 et A admet un maximum en 2,5. Les dimensions du panneau sont donc 2,5 m et f 2,5)=4e 1,47 m. N. SANS 8 Lycée Jean Giono Turin

9 CE 2016 Partie A 1. f = 0,4 1 v + 0,4 avec, pour tout x I = [0; 8], vx)=20 e x + 1. La fonction v est dérivable et strictement positive sur I. Par conséquent, la fonction 1, puis f sont également dérivables sur I. v v f ) = 0,4 + 0, avec pour tout x I, v x)=20 e x )=0 e x. v 2 Donc, pour tout x I, f x)=0,4 0 e x ) 20 e x + 1) 2 = 8 e x 20 e x + 1) Le logiciel de calcul formel donne g x)= f x)=8 e x 20 e x 1 20 e x + 1) 3. Pour tout réel x, 8 e x > 0 et 20 e x ) 3 > 0, donc le signe de g x) est le même que celui de 20 e x 1. Or pour tout réel x, 20 e x 1>0 20 e x > 1 Tableau à effectuer. e x > 1 20 ) 1 x> ln 20 x> ln20) x< ln20) La fonction f est donc convexe sur l intervalle [0; 8]. Partie B Proposition 1 L altitude du village B est 0,6 km : fausse. 0,4 f 8)= 20 e ,4 0,797. L altitude du village B est environ de 0,797 km. Proposition 2 L écart d altitude entre les villages A et B est 378 mètres, valeur arrondie au mètre : vraie. ) 0,4 f 8) f 0)= 20 e ,4 0,4 20 e ,4 0,378. L écart d altitude entre les villages A et B est bien environ de 378 mètres. Proposition 3 La pente en A vaut environ 1,8 % : vraie. f 0)= 8 e 0 20 e ) 2 = 8 0,018= 1,8%. 441 La pente en A vaut bien environ 1,8 %. Proposition 4 Le projet de route ne sera pas accepté : fausse. Le maximum de f est atteint en x= ln20, car f change de convexité en ln20 en passant de convexe à concave. Or, f 8 e ln20 8 ln20)= 20 e ln ) 2 = ,1=10%<12%. Par conséquent, la pente de la route sera toujours inférieure à 12 %. N. SANS 9 Lycée Jean Giono Turin