Rang x i de l année

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1 SIO 1 1 heure 18 novembre 2015 Contrôle 1 de mathématiques approfondies Exercice I On se propose dans cet exercice, d étudier l évolution de la consommation d eau minérale des Français, en litres par personne entre 1995 et Année Rang x i de l année Consommation y i (en litres) 1. Sur le graphique ci-dessous, représenter le nuage de points correspondant. Déterminer les coordonnées du point moyen G de cette série et placer ce point sur le graphique. 2. Déterminer, à l aide de la calculatrice, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite (Δ) d ajustement affine de y en x sous la forme y = ax + b où a et b seront arrondis à 0,1 près. 3. Tracer la droite (Δ) sur le même graphique. 4. (a) À l aide de l équation précédente, estimer la consommation d eau minérale par Français en 2010 (arrondie au litre près). (b) Retrouver graphiquement le résultat précédent. (c) Combien vaut le coefficient de corrélation r? Qu indique-t-il? Consommation y en litres Rang x i de l année

2 Exercice II Le tableau suivant définit une série statistique : Valeurs Effectifs Donner sans justification la moyenne, l écart-type et la médiane de cette série à 0,01 près. Exercice III Déterminer les solutions de On ne demande pas de justification. x 2 < 7 ; x 2 9 ; 1 x > 2 Exercice IV Ayant observé la population de coccinelles dans un jardin pendant plusieurs années, on a constaté que si x désigne le nombre de centaines de coccinelles présentes une année avec 0 x 1, le nombre de coccinelles dans ce même jardin l année suivante est (en centaines) f(x) = 2,8x 2 + 2,8x. (a) Dresser le tableau des variations de f sur [0; 1]. (b) Calculer le nombre de coccinelles tel que la population reste stable l année suivante (on pourra résoudre f(x) = x). (c) Résoudre f(x) x + 0,2. (d) Combien doit-on avoir de coccinelles pour en avoir au moins 20 de plus l année suivante?

3 SIO 1 1 heure 18 novembre 2015 Corrigé du contrôle 1 de mathématiques approfondies Exercice I 1. Représentation du nuage de points avec G. Le point moyen G a pour coordonnées (x; y). x = 4,5 ; y = 141,8 2. Une équation la droite (Δ) d ajustement affine de y en x est 3. Tracé de (Δ). y = 6,3x + 113,4 4. (a) La consommation d eau minérale par Français en 2010 ( x sera alors égal à 15) peut être estimée à 6, ,4 208 litres (b) On retrouve graphiquement ce résultat : le point de (Δ) d abscisse 15 a pour ordonnée 208. (c) Le coefficient de corrélation vaut 0,978. Il est proche de 1 donc les points sont tout près de la droite d ajustement Consommation y en litres G Rang x i de l année

4 Exercice II Valeurs Effectifs La moyenne est 43,25. L écart-type est 14,44. La médiane est 35. Exercice III x 2 < 7 a pour solutions : x ] 7 ; 7[. x 2 9 a pour solutions : x ] ; 3] [3 ; + [. 1 x > 2 a pour solutions : x ] ; 1 2 [ ]0 ; + [. Exercice IV f(x) = 2,8x 2 + 2,8x (a) Tableau des variations de f sur [0; 1]. f(x) = ax 2 + bx + c. L abscisse du maximum est b 2a = 2,8 2 ( 2,8) = 0,5. x 0 0, 5 1 f 0 0, 7 0 (b) Pour calculer le nombre de coccinelles tel que la population reste stable l année suivante, on résout f(x) = x, soit On ajoute x aux deux membres : 2,8x 2 + 2,8x = x. 2,8x 2 + 1,8x = 0 x( 2,8x + 1,8) = 0 Cette équation a deux solutions : 0 et 1,8 2,8 0,64. La population reste stable s il n y a pas de coccinelles au départ (normal...) ou s il y a 64,3 coccinelles. Remarque : on peut aussi calculer Δ = 1,8 2 4 ( 2,8) 0 = 3,24 et trouver les deux solutions 1,8 1,8 x 1 = 2 ( 2,8) 0,64 et x 1,8 + 1,8 2 = 2 ( 2,8) = 0 (c) f(x) x + 0,2 s écrit 2,8x 2 + 2,8x x + 0,2 2,8x 2 + 2,8x x 0,2 0 2,8x 2 + 1,8x 0,2 0 Ce polynôme de dergé deux est du signe de -2,8 sauf entre les racines x 1 0,143 et x 2 = 0,5. La solution est donc l intervalle [0,143 ; 0,5].

5 (d) La solution de l inéquation ci-dessus indique que pour avoir au moins 20 coccinelles de plus l année suivante, il faut avoir entre 15 et 50 coccinelles. l année suivante.

6 SIO 1 2 heures 14 mars 2016 BTS blanc de mathématiques approfondies La calculatrice est autorisée. Exercice I Partie A. Un magasin spécialisé dans la vente de produits frais non stockables s approvisionne quotidiennement auprès de deux grossistes ADON et BRIX. Le grossiste ADON fournit 75 % des produits et le grossiste BRIX fournit les autres produits. 93 % des produits provenant du grossiste ADON sont commercialisables et 85 % des produits provenant du grossiste BRIX sont commercialisables. Un jour donné, on prélève au hasard un produit parmi la totalité des produits livrés ce jour par les deux grossistes. On suppose que tous les produits ont la même probabilité d être prélevés. On définit les évènements : A : «Le produit prélevé provient du grossiste ADON» ; B : «Le produit prélevé provient du grossiste BRIX» ; C : «Le produit est commercialisable». 1. Donner les probabilités suivantes : P (A), P (B), P A (C) et P B (C). On rappelle que P A (C) désigne la probabilité de l évènement C sachant que l évènement A est réalisé. 2. Construire un arbre pondéré correspondant à la situation. 3. Décrire par une phrase l événement A C. 4. Calculer les probabilités P (A C) et P (B C). 5. Calculer la probabilité P (C). 6. Décrire par une phrase l événement A C. 7. Calculer la probabilité P (A C). 8. Les événements A et C sont-ils indépendants? 9. Calculer la probabilité qu un produit prélevé provienne du grossiste ADON sachant qu il est commercialisable. On arrondira le résultat au centième. Partie B. Dans la partie B, les résultats demandés seront arrondis à Dans la livraison de ces produits un jour donné, on prélève au hasard 20 produits pour effectuer un contrôle. La livraison est assez importante pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 20 produits. On note E l évènement : «un produit prélevé au hasard dans cette livraison n est pas commercialisable». On admet que P (E) = 0,09. On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 20 produits, associe le nombre de produits non commercialisables parmi ces 20 produits.

7 1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. 2. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, il y ait exactement deux produits non commercialisables. 3. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, il y ait au moins dix-neuf produits commercialisables. 4. Quelle est l espérance de cette loi? Comment interpréter ce résultat? Exercice II L INSEE fournit les valeurs du taux d équipement en micro-ordinateur des ménages français pour la période de 2004 à 2011, présentées dans le tableau suivant : Années Rang de l année : x i Taux d équipement : y i 44,7 49,6 54,3 58,7 62,8 66,7 69,7 73,2 Le taux est estimé en fin d année. Par exemple, 44,7 % des ménages français étaient équipés en micro-ordinateur fin À partir de ces données, on souhaite effectuer des prévisions sur le taux d équipement en micro-ordinateur des ménages français. Partie A - Ajustement affine Un nuage de points représentant la série statistique (x i ; y i ) est donné en annexe. 1. (a) Un ajustement affine vous semble-t-il indiqué sur la période 2004 à 2011? Justifier. (b) Calculer le coefficient de corrélation linéaire, arrondi au millième, de cette série. Le coefficient calculé confirme-t-il la réponse à la question précédente? Justifier. 2. Déterminer, à l aide de la calculatrice, une équation de la droite de régression de y en x par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au millième). 3. Dans toute la suite, on prendra y = 4,06x + 41,68 comme équation de la droite de régression de y en x par la méthode des moindres carrés. Tracer cette droite sur l annexe à rendre avec la copie. 4. Quel taux d équipement (arrondi au dixième) a-t-on avec cet ajustement pour 2012? 5. D après cet ajustement, déterminer par le calcul, à partir de quelle année le taux d équipement dépassera les 85 %. 6. D après cet ajustement, déterminer à partir de quelle année le taux d équipement atteindra les 100 %. Cela vous semble-t-il réaliste? Partie B - Ajustement proposé par un tableur On décide d utiliser la fonction «courbe de tendance» du tableur. Parmi les courbes proposées, on choisit celle représentant la fonction f définie sur [1 ; + [ par : f(x) = 0,154x 2 + 5,45x + 39,36 f(x) donne alors une estimation du taux d équipement pour l année de rang x. (le rang x est mesuré à partir de l année 2003 : 2004 est l année de rang 1).

8 1. Étude de la fonction f : (a) On admet que la fonction f est dérivable sur [1 ; + [ et on note f sa fonction dérivée. Calculer f (x). (b) Étudier le signe de f (x) sur [1 ; + [. (c) En déduire le tableau de variations de cette fonction, en précisant la valeur du maximum et la limite de la fonction f en +. Préciser le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point d abscisse 1. (d) Tracer la courbe représentative de f dans le repère de l annexe à rendre avec la copie. 2. À l aide du graphique, déterminer sur quelle période le taux d équipement dépassera les 85 %. On laissera apparents les traits de construction permettant de répondre à cette question. 3. (a) Résoudre l équation f(x) = 0 sur l intervalle [1 ; + [. (b) Les prévisions à long terme effectuées à l aide de cet ajustement vous semblentelles réalistes? ANNEXE à RENDRE AVEC LA COPIE Exercice II Taux d équipement (en %) Rang de l année

9 SIO 1 2 heures 14 mars 2016 Corrigé du BTS blanc de mathématiques approfondies Exercice I Partie A. 1. P (A) = 0,75, P (B) = 0,25, P A (C) = 0,93 et P B (C) = 0, L arbre pondéré traduisant cette situation est : 0,75 A 0,93 0,07 C C 0,25 B 0,85 0,15 C C 3. A C est l événement A et B (intersection de A et B). 4. P (A C) = 0,75 0,93 = 0,6975 et P (B C) = 0,25 0,85 = 0, P (C) = 0, ,2125 = 0, A C est l événement A ou B (réunion de A et B). 7. P (A C) = P (A) + P (C) P (A B) = 0,75 + 0,91 0,6975 = 0, D une part : P (A C) = 0,6975 D autre part : P (A) P (C) = 0,75 0,91 = 0,6825. P (A C) P (A) P (C), donc A et C ne sont pas indépendants. P (A C) 9. P C (A) = 0,77. P (C) Partie B. 1. On répète 20 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes ; les deux issues sont : le produit n est pas commercialisable ; il l est. X suit donc la loi B(20; 0,09). 2. P (X = 2) = ( 20 2 ) 0,09 2 0, ,28 3. P (X 1) = P (X = 0) + P (X = 1) = 0, ,09 0, ,45 4. L espérance de la loi est E(X) = 20 0,09 = 1,8 Chaque jour, en moyenne, 1,8 produits sur 20 ne sont pas commercialisables. Exercice II Années Rang de l année : x i Taux d équipement : y i 44,7 49,6 54,3 58,7 62,8 66,7 69,7 73,2 Partie A - Ajustement affine

10 1. (a) Un ajustement affine semble indiqué sur la période 2004 à 2011 car les points sont presque alignés. (b) On peut calculer le coefficient de corrélation r 0,997 qui est très proche de Une équation de la droite de régression de y en x par la méthode des moindres carrés est y = 4,063x + 41, Tracé de la droite de régression de y en x par la méthode des moindres carrés : y = 4,06x + 41,68. Cette droite passe par exemple par les points de coordonnées (0; 41,68) et (12; 90,4) (remplacer x par 0 puis 12 dans l équation). 4. Le taux d équipement (arrondi au dixième) obtenu avec cet ajustement pour 2012 (x = 9) est y = 4, ,68 78,2 5. Pour déterminer par le calcul, à partir de quelle année le taux d équipement dépassera les 85 %, on résout 4,06x + 41, ,06x 85 41,68 x 85 41,68 4,06 x 10,7 Le taux dépassera 85% en 2014 (pour x = 11). 6. Pour atteindre 100%, on résout de même 4,06x + 41, x ,68 4,06 x 14,4 D après cet ajustement, le taux d équipement atteindra pendant l année Cela ne semble pas réaliste : il restera sans doute des ménages non équipés en Partie B - Ajustement proposé par un tableur f est définie sur [1 ; + [ par : f(x) = 0,154x 2 + 5,45x + 39, étude de la fonction f : (a) Pour tout x de [1 ; + [, f (x) = 0,308x + 5,45 (b) Signe de f (x) sur [1 ; + [. La fonction affine f (x) change de signe à x = 5,45 0,308 17,7. x 1 17, 7 + f (x) + 0 (c) On en déduit le tableau de variations de f. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point d abscisse 1 est f (1) = 0, ,45 = 5,142.

11 x 1 17, 7 + f (x) , 6 f 44, 6 (d) Tracé de la courbe représentative de f. 2. À l aide du graphique, on trouve que le taux d équipement dépassera les 85 % sur l intervalle [13,6 ; 21,8]. Cela correspond environ à la période [2017 ; 2024]. 3. (a) L équation f(x) = 0 s écrit 0,154x 2 + 5,45x + 39,36 = 0 C est une équation du second degré : Δ = 53,9483. Il existe deux solutions : x 1 = 41,542 et x 2 6,15. La seule solution dans [1 ; + [ est 41,542. (b) Les prévisions ne semblent pas réalistes notamment la partie où f décroît vers Taux d équipement (en %) , , Rang de l année