ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

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1 ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES I) Introduction, vocabulaire et notations Une équation différentielle est une équation liant une fonction inconnue et certaines des ses dérivées. Lusage est de noter cette fonction y. Eemples : trouver au moins une fonction solution sur des équations différentielles suivantes : y = sin (y = cos + k) y = 3y (y = k e 3 ) y = 1 + e (y = + e + k) y = y (y = k e ) y" = cos (y = cos + k) y" = y (y = A e + B e ) On appelle solution dune équation différentielle (E) un couple (ƒ, I) où ƒ est une fonction et I un intervalle tels que ƒ vérifie (E) sur I. Résoudre une équation différentielle sur un intervalle I, cest trouver toutes les fonctions solutions sur I. (Ce nest pas toujours évident). À notre niveau, on aura presque toujours I =. On distingue plusieurs types déquations différentielles : Les équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constants sans second membre : y + 5y = Les équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constants avec second membre : y + 5y = e Les équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants sans second membre : 2y" 3y + 5y = Les équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants avec second membre : 2y" 3y + 5y = sin Il eiste aussi des équations différentielles à coefficients variables : y" + sin y e y = Ainsi que des équations différentielles non linéaires : y" y y =. Ces deu derniers types déquation sont totalement hors programme! II) Équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants sans second membre : y + ay = (a ) Théorème 1 Les solutions sur de léquation différentielle y + ay = (a ) sont toutes les fonctions ƒ définies sur par : ƒ() = Ae a où A est une constante quelconque Eemple : résoudre, sur, léquation différentielle (E) suivante : 2y 3y =. Léquation (E) est équivalente à y 3 2 y =. Daprès le théorème (avec a = 3 ). Lensemble des solutions de 2 (E) est constitué des fonctions ƒ définies sur par ƒ() = A e 3 2. Démonstration : Vérifions que les fonctions ƒ définies sur par ƒ() = Ae a sont solutions de léquation différentielle sur : Comme ƒ() = aae a, on a : ƒ() + aƒ() = aae a + aae a =. Équations différentielles page 1 G. COSTANTINI

2 Montrons que ce sont les seules solutions (sur ) : pour cela, on considère une solution quelconque ƒ (sur ) de léquation différentielle. La fonction ƒ est donc nécessairement dérivable sur et on a : ƒ + aƒ =. Posons, pour tout : z() = ƒ() e a. La fonction z est dérivable (puisque ƒ lest) et on a : z() = ƒ() e a + aƒ() e a = (ƒ() + aƒ())e a = puisque ƒ + aƒ = sur. Donc la fonction z est constante sur : z() = A. Doù ƒ() = z()e a = Ae a. Remarques : La constante A peut être nulle. On obtient la solution "nulle" : ƒ = sur qui est une solution évidente de léquation différentielle. On a démontré que si ƒ est une solution non identiquement nulle (sur ) de léquation différentielle, toutes les autres solutions ƒ sur sont des multiples de ƒ. Théorème 2 Léquation différentielle y + ay = (a ) admet une unique solution ƒ sur satisfaisant la condition initiale a( ) ƒ( ) = y. Cette solution ƒ est définie par : ƒ() = y e. (Formule à oublier ; voir leemple) Démonstration : On a vu que les solutions ƒ sur sont de la forme : ƒ() = A e a a La condition ƒ( ) = y impose A = y e. a( ) Il ny a donc quune seule valeur possible pour la constante A et ƒ() = y e. Eemple : on considère léquation différentielle (E) : y y =. Déterminer lunique solution ƒ sur de (E) dont la représentation graphique passe par le point J de coordonnées ( ; 1). Les solutions générales sur de (E) sont : ƒ() = Ae. Puis on détermine la constante : ƒ() = 1, doù A = 1. La fonction recherchée est la fonction eponentielle. III) Équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants sans second membre : y" + ay + by = (a, b ) Dans tout ce qui suit, nous noterons (E) léquation différentielle y" + ay + by =. (a, b ) Théorème 3 Soit I un intervalle. 1. Soient ƒ 1 et ƒ 2 deu solutions sur I de léquation différentielle (E). Alors les fonctions de la forme Aƒ 1 + Bƒ 2 sont également des solutions sur I de (E). 2. Si ƒ 1 et ƒ 2 sont des solutions sur I non nulles sur I et non liées (1) sur I, alors les solutions sur I de léquation différentielle (E) sont toutes de la forme Aƒ 1 + Bƒ 2. (1) ƒ 1 et ƒ 2 non liées sur I signifie : il neiste pas de réel k tel que ƒ 2 = k ƒ 1 sur I. (On dit en fait "linéairement indépendantes" ) Équations différentielles page 2 G. COSTANTINI

3 Démonstration : 1. Évident, on utilise la linéarité de la dérivation ( (u + v) = u + v et (ku) = ku ) 2. Beaucoup moins évident et indispensable pour la suite : Soit ƒ une solution quelconque de (E) sur I. Nous allons montrer quil eiste des constantes A et B telles que : ƒ = Aƒ 1 + Bƒ 2 (et donc telles que ƒ = A ƒ 1 + B ƒ 2 ) Pour cela, montrons que le système suivant (dinconnues A et B) admet une unique solution : Aƒ 1 + Bƒ 2 = ƒ sur I Aƒ + Bƒ = ƒ sur I 1 2 Les vecteurs directeurs (des variétés affines correspondantes) sont u ( ƒ 2 ; ƒ 1 ) et v ( ƒ 2 ; ƒ 1 ). Nous allons montrer que ces deu vecteurs sont non colinéaires, pour tout t I. Supposons le contraire : il eiste t I tel que (ƒ 1 ƒ 2 ƒ 2 ƒ 1 )(t ) =. Notons W = ƒ 1 ƒ 2 ƒ 2 ƒ 1 En dérivant, on obtient : W = ƒ 1 ƒ 2 + ƒ 1 ƒ 2 ƒ 2 ƒ 1 ƒ 2 ƒ 1 Or, nous savons que : ƒ 1 + a ƒ 1 + bƒ 1 = et ƒ 2 + a ƒ 2 + bƒ 2 =. Nous obtenons alors : W = ƒ 1 ƒ 2 + ƒ 1 ( a ƒ 2 bƒ 2 ) ƒ 2 ƒ 1 ƒ 2 ( a ƒ 1 bƒ 1 ) W = a(ƒ 1 ƒ 2 ƒ 2 ƒ 1 ) = aw Donc, daprès le théorème 1 : W(t) = K e at pour tout t I Et comme W(t ) =, on a K = doù : On a donc ƒ 1 ƒ 2 ƒ 2 ƒ 1 = sur I. W(t) = pour tout t I Dans ce cas, le système homogène : Aƒ 1 + Bƒ 2 = sur I Aƒ + Bƒ = sur I 1 2 ne serait pas de Cramer. Donc (comme il admet la solution triviale (A ; B) = ( ; )) il admet une infinité de solutions. Par conséquent, il eiste un couple solution (A ; B) ( ; ) tel que Aƒ 1 + Bƒ 2 = sur I. Autrement dit, ƒ 1 et ƒ 2 sont liées sur I (ƒ 2 = A B ƒ 1 sur I si B ou ƒ 1 = sur I si B = ). Ce qui contredit lhypothèse. Donc le système Aƒ 1 + Bƒ 2 = ƒ sur I Aƒ + Bƒ = ƒ sur I 1 2 est de Cramer ; il admet une unique solution. Donc toute solution ƒ de (E) sur I est de la forme ƒ = Aƒ 1 + Bƒ 2. Théorème 4 Soit λ un nombre complee. La fonction ƒ à valeurs dans définie sur, par ƒ() = e λ est dérivable sur et ƒ() = λe λ. Démonstration : Posons λ = α + iβ, on a ƒ() = e iα (cos(β) + i sin(β)). En utilisant le concept de linéarité de la dérivation ainsi que la relation (uv) = uv + uv étendus à, on peut écrire : Équations différentielles page 3 G. COSTANTINI

4 ƒ() = αe iα (cos(β) + i sin(β)) + e iα ( βsin(β) + iβ cos(β)) = (α + iβ)e iα (cos(β) + i sin(β)) = λe λ. Définition 1 On appelle équation caractéristique associée à (E) léquation du second degré r 2 + ar + b =. Théorème 5 Soit λ un nombre complee. Soit ƒ la fonction à valeurs dans définie sur, par ƒ() = e λ. La fonction ƒ est une solution de (E) si et seulement si λ est une solution de léquation caractéristique de (E) Démonstration : On a : ƒ() = λe λ et ƒ"() = λ 2 e λ. On a les équivalences suivantes : ƒ solution de (E) ƒ" + aƒ + bƒ = e λ (λ 2 + aλ + b) = Et comme e λ : λ 2 + aλ + b = λ est solution de léquation caractéristique associée à (E) Résolution de (E) (sur un intervalle I non réduit à un point) 1 er cas : léquation caractéristique admet deu solutions distinctes r 1 et r 2 Daprès le théorème 6, on connaît donc deu solutions sur I : g 1 () = e r 1 et g 2 () = e r 2. Les fonctions g 1 et g 2 sont non nulles (clair) et non liées (si elles létaient, il eisterait un réel k tel que pour tout réel de I : e r 2 = k e r 1. Doù k = e ( r 2 1 ) r ce qui nest pas une constante car r 1 r 2 ) Daprès le théorème 3, les solutions de (E) sur I sont toutes les fonctions ƒ définies par ƒ() = A e r 1 + B e r 2 où A et B sont des constantes quelconques. Eemple : Résoudre sur : y" y 2y =. Léquation caractéristique est r 2 r 2 = soit (r + 1)(r 2) = doù ƒ() = A e + B e 2 2 ème cas : léquation caractéristique admet une solution double r = a 2. (Et daprès le produit des racines, r2 = b) Daprès le théorème 6, on connaît donc une solution sur I : g() = e r. Nen connaissant pas dautres à ce stade, le théorème 3 ne peut pas sappliquer. Procédons comme pour les équations différentielles du premier ordre. Considérons une solution ƒ quelconque de (E). On a donc ƒ" + aƒ + bƒ = sur I. Posons z() = ƒ() e r pour tout I. On a : z() = ƒ() e r rƒ() e r et z"() = ƒ"() e r rƒ() e r rƒ() e r + r 2 ƒ() e r. Doù z"() = e r (ƒ"() 2rƒ() + r 2 ƒ()) = e r (ƒ"() + aƒ() + bƒ()) =. Et donc z() = A et z() = A + B pour tout I. Les solutions de (E) sur I sont donc toutes les fonctions ƒ définies par ƒ() = (A + B) e r où I. Autre méthode : on vérifie aisément que la fonction g 2 définie par g 2 () = e r est solution de (E). Il est également facile de vérifier que g et g 2 sont linéairement indépendantes. Le théorème 3 permet alors de conclure. Eemple : Résoudre sur : y" 4y + 4y =. Léquation caractéristique est r 2 4r + 4 = soit (r 2) 2 = doù ƒ() = (A + B) e 2 Équations différentielles page 4 G. COSTANTINI

5 3 ème cas : léquation caractéristique admet deu solutions complees conjuguées λ = α + iβ et λ = α iβ. Daprès le théorème 6, on connaît donc deu solutions : g 1 () = e λ = e α e iβ et g 2 () = e λ = e α e iβ. Le problème, ici, est que les fonctions g 1 et g 2 sont des fonctions à valeurs complees. Or nous cherchons des solutions qui soient des fonctions à valeurs réelles. En voici deu : g() = g 1( ) + g 2( ) = e α cos(β) et h() = g 1( ) g 2( ) = e α sin(β) 2 2i On vérifie facilement que g et h sont linéairement indépendantes sur. Daprès le théorème 3, les solutions de (E) sont toutes les fonctions ƒ définies par : Eemple : Résoudre sur : y" 2y + 5y =. ƒ() = e α (Acos(β) + Bsin(β)) Léquation caractéristique est r 2 2r + 5 = doù λ = 1 + 2i et λ = 1 2i doù ƒ() = e (Acos(2) + Bsin(2)) RÉSUMÉ On sait aussi que la partie réelle et la partie imaginaire sont des quantités réelles, doù lidée décrire : g() = Im(g 2()) et h() = Re(g 1()) Si léquation caractéristique admet pour solutions : deu racines réelles distinctes r 1 et r 2 une racine réelle double r deu racines complees conjuguées λ = α + iβ et λ = α iβ Alors la forme générale des solutions de y" + ay + by = est : ƒ() = A e r 1 + B e r 2 ƒ() = (A + B) e r ƒ() = e α (Acos(β) + Bsin(β)) Théorème 6 : (E) admet une unique solution ƒ sur satisfaisant au conditions initiales ƒ( ) = y et ƒ( ) = y. Eemple de démonstration : dans le cas où léquation caractéristique admet deu solutions réelles distinctes La condition ƒ( ) = y sécrit A e r 1 + B e r 2 = y. La condition ƒ( ) = y sécrit Ar 1 e r 1 + Br 2 e r 2 = y. Posons α = e r 1 et β = e r 2. Nous avons le système : Aα + Bβ = y Ar α + Br β = y 1 2 Ce système admet une unique solution si et seulement si les vecteurs directeurs correspondants sont non colinéaires. On a u ( β ; α) et v ( βr 2 ; αr 1 ). La condition de colinéarité sécrit : βαr 1 + βr 2 α = αβ(r 2 r 1 ) Or α et β (une eponentielle nest jamais nulle) et r 2 r 1 (par hypothèse), doù αβ(r 2 r 1 ). Les vecteurs u et v étant non colinéaires, le système admet un unique couple solution (A ; B). Les autres cas sont analogues. Remarque : il est indispensable davoir deu conditions du type ƒ( ) = y et ƒ( ) = y (ce quon appelle des conditions de Cauchy) pour sassurer de lunicité de la solution. Si tel nest pas le cas, le nombre de solutions peut être très variable (de à linfini...) Équations différentielles page 5 G. COSTANTINI

6 Eemple 1 : résoudre sur : y" + π 2 y = avec y() = et y() =. (Conditions de Cauchy) Léquation caractéristique est r 2 + π 2 = qui possède deu racines complees conjuguées r 1 = iπ et r 2 = iπ. Les solutions sur sont les fonctions y définies par : y() = Acos(π) + Bsin(π) En dérivant, on obtient : y() = Aπsin(π) + Bπcos(π) Les conditions y() = et y() = nous donnent : = A et = B. Conformément au théorème 7, on a bien une unique solution y =. Eemple 2 : résoudre sur : y" + π 2 y = avec y() = et y(1) =. (Ce ne sont pas des conditions de Cauchy) Comme précédemment, les solutions (sil y en a) sont de la forme : y() = Acos(π) + Bsin(π) La condition y() = donne = A et la condition y(1) = donne = A, donc A =. Et il ny a aucune contrainte sur la constante B, donc léquation admet une infinité de solution de la forme : y() = Bsin(π). Eemple 3 : résoudre sur : y" + π 2 y = avec y() = et y(1) = 1. (Ce ne sont pas des conditions de Cauchy) Comme précédemment, les solutions (sil y en a) sont de la forme : y() = Acos(π) + Bsin(π) La condition y() = donne = A et la condition y(1) = 1 donne 1 = A, doù une incompatibilité. Léquation donnée avec les conditions proposées nadmet donc pas de solution. IV) Équations différentielles liées à des situations physiques : y" ω 2 y = et y" + ω 2 y = (ω + ) Le tableau ci-dessus livre immédiatement les solutions : Équation différentielle Solutions y" ω 2 y = ƒ() = Ae ω + Be ω y" + ω 2 y = ƒ() = A cos(ω) + B sin(ω) Eemples : Oscillateur harmonique (ressort) amorti sur support horizontal Circuit LC oscillant V) Équations différentielles avec second membre Étude deemples : 1 er ordre : y + y = 2 + (E) Résolution de léquation homogène associée (E ) : y + y =. Daprès le théorème 1, y = A e. Recherche dune solution particulière p (souvent de la même nature que le second membre) Soit p un polynôme du second degré : p() = a 2 coefficients a, b et c afin que p soit solution de (E) : + b + c. On a alors p() = 2a + b. Déterminons les 2a + b + a 2 + b + c = 2 + a = 1 2a + b = 1 b + c = Équations différentielles page 6 G. COSTANTINI

7 a = 1 b = 1 c = 1 Une solution particulière p est donc définie par p() = On a donc p() + p() = 2 +. On montre quune fonction ƒ est solution de (E) si et seulement si ƒ p est solution de (E ) : On a les équivalences suivantes : ƒ est solution de (E) ƒ() + ƒ() = 2 + ƒ() + ƒ() = p() + p() (ƒ p) + (ƒ p) = ƒ p solution de (E ) Conclusion : ƒ() p() = A e. Doù ƒ() = A e Il apparaît donc que les fonctions solutions ƒ de léquation (E) avec second membre sont la somme des solutions de léquation homogène associée (E ) et dune solution particulière de (E). Ceci sera une règle générale pour les équations différentielles linéaires. 2 ème ordre : y" + 2y + y = cos (E) Résolution de léquation homogène associée (E ) : y" + 2y + y =. Les solutions sont de la forme, y = (A + B) e. (Léquation caractéristique a une solution double r = 1) Recherche dune solution particulière p (souvent de la même nature que le second membre) Soit p une fonction de la forme : p() = λ cos + µ sin. On a alors : p() = λ sin + µ cos p"() = λ cos µ sin = p() Déterminons les coefficients λ et µ afin que p soit solution de (E) : p"() + 2p() + p() = cos 2p() = cos 2λ sin + 2µ cos = cos Doù : λ = et µ = 1 2 Une solution particulière p est donc définie par p() = 1 sin. On a donc p"() + 2p() + p() = cos. 2 On montre quune fonction ƒ est solution de (E) si et seulement si ƒ p est solution de (E ) : On a les équivalences suivantes : ƒ est solution de (E) ƒ"() + 2ƒ() + ƒ() = cos ƒ"() + 2ƒ() + ƒ() = p"() + 2p() + p() (ƒ p)" + 2(ƒ p) + (ƒ p) = ƒ p solution de (E ) Conclusion : ƒ() p() = (A + B) e. Doù ƒ() = (A + B) e + 1 sin. 2 Équations différentielles page 7 G. COSTANTINI

8 Remarque : en cas de second membre composé, on applique le principe de "superposition" : Déjà, on résout (E 1 ) : y" 5y + 4y = 2. (E) : y" 5y + 4y = 2 + cos On trouve : y 1 () = A 1 e + B 1 4 e Ensuite, on résout (E 2 ) : y" 5y + 4y = 2 + cos On trouve : y 2 () = A 2 e + B 2 4 e + On ajoute y 1 et y 2 pour obtenir les solutions de (E) : 3 34 cos 5 34 sin y() = A e + B 4 e cos 5 34 sin VI) Complément 1 : résolution des équations différentielles linéaires du 1 er ordre à coefficients variables sans second membre Précisons clairement notre objectif : Soit I un intervalle, a : I une application continue. Nous voulons résoudre sur I, léquation différentielle (E) suivante : 1. Eistence de solutions (E) : y() + a()y() = ( I) a) Soit A une primitive de a sur I. Vérifier que lapplication : est une solution de (E) sur I. ƒ : I e A( ) b) Soit k. Montrer que les fonctions ƒ k = kƒ sont aussi des solutions de (E) sur I. 2. Unicité des solutions (et plus précisément, les seules solutions de (E) sur I sont les fonctions ƒ k où k ) Soit ϕ une solution quelconque de (E) sur I. On pose : z() = ϕ() e A( ) pour tout I. Démontrer que z est constante sur I. En déduire quil eiste un réel k tel que ϕ = ƒ k. Détail des calculs : 1. La fonction ƒ est dérivable sur I et, pour tout I, on a : ƒ() = a() e A( ). a) On a : ƒ() + a()ƒ() = a() e A( ) + a() e A( ) =, donc ƒ est bien une solution de (E) sur I. b) Cest un cas particulier du théorème 3, mais lénoncé incite à faire une démonstration : Pour tout I, on a : ƒ k () + a()ƒ k () = kƒ() + a() k ƒ() = k(ƒ() + a()ƒ()) = car ƒ est une solution. Donc les fonctions ƒ k sont bien des solutions de (E) sur I. 2. La fonction z est dérivable sur I (puisque ϕ lest en tant que solution de (E)) et on a : z() = ϕ() e A( ) + ϕ()a() e A( ) = (ϕ() + ϕ()a()) e A( ) = car ϕ est une solution de (E) Donc z est constante sur I. Cela signifie : Cest-à-dire : (comme z() = z() = ϕ() e A( ) ) k tel que : z() = k pour tout I. k tel que : ϕ() = k e A( ) = ƒ k () pour tout I. Équations différentielles page 8 G. COSTANTINI

9 VII) Complément 2 : résolution des équations différentielles linéaires du 1 er ordre à coefficients variables avec second membre Précisons clairement notre objectif : Soient I un intervalle et a et b des applications continues de I dans. Nous voulons résoudre sur I, léquation différentielle (E) suivante : (E) : y() + a()y() = b() ( I) Eistence dune solution particulière : soit p la fonction définie sur I par : p() = e A( ) b( t) e dt où I On a : p() = a() e A( ) b( t) e dt + e A( ) b() A() e = a() e A( ) b( t) e dt + b() Doù : p() + a()p() = b() Donc p est bien une solution particulière de (E) sur I. Recherche des solutions générales : On a les équivalences suivantes : Soit ƒ une solution de (E) sur I ƒ() + a()ƒ() = b() pour tout I ƒ() + a()ƒ() = p() + a()p() pour tout I (ƒ p)() + a()(ƒ p)() = ƒ p est solution de (E h ) : y() + a()y() = Et daprès [VI] : (ƒ p)() = k e A( ) ƒ() = k e A( ) + p() ƒ() = k e A( ) + e A( ) b( t) e dt ƒ() = A( ) b( t)e dt + k e Équations différentielles page 9 G. COSTANTINI