ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

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1 Définition : ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Une équation différentielle est une équation liant une fonction et sa ou ses dérivée(s) Résoudre une telle équation signifie déterminer toutes les fonctions qui satisfont à l égalité Il s'agit donc d'équation dont l'inconnue est une fonction I Équations différentielles du premier ordre : Définition : On appelle équation différentielle du premier ordre une équation différentielle ne faisant intervenir que la fonction est sa dérivée ) Équations différentielles du type y + ay = 0 : a) Solution générale : Soit y + ay = 0 une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficient constant a R Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions dérivables, définies sur R par : f (x) = ke ax où k R Il y a donc une infinité de fonctions solutions d'une telle équation : à chaque valeur de k correspond une fonction solution Démonstration : Soit (E) l équation différentielle y + ay = 0 Soit f la fonctions définie sur R par f (x) = ke ax, f est dérivable sur R de dérivée f ' (x) = kae ax f ' (x) + a f (x) = kae ax + a ke ax = 0 donc, f est bien solution de (E) Les fonctions de la forme x ke ax sont donc des solutions de (E) Il reste à montrer qu il n y en a pas d autres Pour cela, on suppose que g est une fonction définie et dérivable sur R solution de (E) et on va montrer qu alors elle est de la forme x ke ax Soit h la fonction définie sur R par h (x) = g (x)e ax h est dérivable sur R de dérivée h' (x) = g' (x)e ax + ag (x)e ax h' (x) = e ax (g' (x) + ag (x)) Mais comme g est solution de (E), on a g' (x) + ag (x) = 0 soit h' (x) = 0, ce qui signifie que h est une constante On a alors : h (x) = k g (x)e ax = k g (x) = ke ax Résolution de l équation différentielle : y + 4y = 0 : Les solutions sont du type f (x) = ke 4x où k est une constante réelle Par exemple, f (x) = e 4x ou f (x) = e 4x ou encore f (x) = 3 e 4x sont des solutions de cette équation différentielle réelle Résolution de l équation différentielle : y = 3y : Cette équation peut s écrire y 3y = 0 Les solutions sont du type f (x) = ke 3x où k est une constante Résolution de l équation différentielle : y + 5y = 0 : Cette équation peut s écrire y + constante réelle 5 y = 0 Les solutions sont du type f (x) = k x e où k est une 5

2 b) Unicité de la solution sous condition initiale : Soient x 0, y 0 et a des réels donnés, l équation différentielle y + ay = 0 admet une unique solution f définie et dérivable sur R vérifiant f (x 0 ) = y 0 Cette solution est la fonction définie par f (x) = y 0 e a(x x 0) Démonstration : On sait que la solution générale de l équation différentielle y + ay = 0 est une fonction f définie et dérivable sur R de la forme f (x) = ke ax où k est un nombre réel De plus, f (x 0 ) = y 0 ke ax 0 = y 0 k = y 0 e ax 0 D où f (x) = y 0 e ax 0 eax = y 0 e a(x x 0) Concrètement, il est inutile d'apprendre par cœur la forme de la solution de l'équation différentielle y' + ay = 0 avec une condition initiale (f (x) = y 0 e a(x x 0) ) On dira que cette solution est une solution particulière et on refera à chaque fois la démarche pour trouver la valeur de k qui convient Exemple : Résolution de l équation différentielle y + y = 0 dont la solution f vérifie f (0) = : Solution générale : les solutions sont du type f (x) = ke x où k est une constante réelle Il reste a déterminer quelle valeur de k convient pour que f (0) = : Solution particulière : on a f (0) = ke 0 = k =, Exemple : D où f (x) = e x Résolution de l équation différentielle y + y = 0 dont la solution f vérifie f () = 4 : Solution générale : les solutions sont du type f (x) = ke x où k est une constante réelle Solution particulière : on a f () = 4 ke = 4 k = 4e 4, D où f (x) = 4e 4 e x que l'on peut aussi écrire f (x) = 4e x + 4 ou encore f (x) = 4e (x ) (on retrouve là la forme donnée dans le théorème) ) Équations différentielles du type y + ay = b : a) Solution générale : Théorème (admis) : Soit y + ay = b une équation différentielle du premier ordre ou a et b sont des réels avec a 0 Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions dérivables, définies sur R par : f (x) = ke ax + b a où k R Il y a donc une infinité de fonctions solutions d'une telle équation : à chaque valeur de k correspond une fonction Résolution de l équation différentielle : y + 4y = 3 : Les solutions sont du type f (x) = ke 4x où k est une constante réelle Par exemple, f (x) = e 4x ou f (x) = e 4x ou encore f (x) = 3 e 4x sont des solutions de cette équation différentielle

3 Vérifions : f (x) = ke 4x + 3 4, donc f ' (x) = 4ke 4x On a donc f ' (x) + 4f (x) = 4ke 4x + 4 ( k e 4 x + 3 4) = 4ke 4x + 4ke 4x + 3 = 3 b) Unicité de la solution sous condition initiale : Théorème (admis) : Soient x 0, y 0, a et b des réels donnés, l équation différentielle y + ay = b admet une unique solution f définie et dérivable sur R vérifiant f (x 0 ) = y 0 Résolution de l équation différentielle y' = 5y + telle que f (0) = : Remarquons tout d'abord que cette équation s'écrit aussi y' + 5y = Solution générale : les solutions sont du type f (x) = k e 5 x + 5 où k est une constante réelle Il reste a déterminer quelle valeur de k convient pour que f (0) = : Solution particulière : on a f (0) = k e = k + 5 = soit k = 3 5 D où f (x) = 3 5 e 5 x + 5 III Équations différentielles du second ordre, du type y + ω y = 0 : Définition : On appelle équation différentielle du second ordre une équation différentielle faisant intervenir la fonction est sa dérivée seconde (c'est-à-dire la dérivée de sa dérivée) ) Solution générale : Soit y + ω y = 0 une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficient constant ω positif Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions définies et deux fois dérivables sur R vérifiant : f (x) = cos(ωx) + sin(ωx) où et sont des constantes réelles Il y a donc une infinité de fonctions solutions d'une telle équation : à chaque valeur de et de correspondent une fonction Résolution de l équation différentielle (E) : y + 4y = 0 : (E) s écrit aussi y + y = 0, on prend donc = Les solutions sont du type f (x) = cos(x) + sin(x) où et sont des constantes réelles Par exemple, f (x) = 3 cos(x) 5 sin(x) est une solution de cette équation Vérification : f (x) = cos(x) + sin(x) f ' (x) = sin(x) cos(x) f '' (x) = 4 cos(x) 4 sin(x) On a bien f '' (x) + 4f (x) = 0

4 Il peut arriver que, pour plus de facilité, on doive obtenir la solution sous la forme en f (x) = A sin(ωx + ) où A et sont des constantes réelles avec A 0 Résolution de l équation différentielle (E) : y + 4y = 0 : (E) s écrit aussi y + y = 0, on prend donc = Les solutions sont du type f (x) = A sin(ωx + ) où A et sont des constantes réelles Par exemple, f (x) = 3 cos ( x+ π 3 ) est une solution de cette équation Vérification : f (x) = 3cos ( x+ π 3 ) f ' (x) = 6sin ( x+ π 3 ) f '' (x) = cos ( x+ π 3 ) On a bien f '' (x) + 4f (x) = 0 ) Unicité de la solution sous condition initiale : L équation différentielle y + ω y = 0 admet une unique solution f définie sur R vérifiant deux conditions initiales données On aura, en général, des conditions initiales du type : { f ( x 0 )= y 0 f (x )= y ou { f (x 0 )= y 0 f ' ( x )= y On considère l équation (E) : 4y + π y = 0 dont la solution vérifie les conditions initiales f ( ) = f ' ( ) =0 Solution générale de l équation différentielle : et (E) y + ( π ) y = 0 Les solutions sont donc : f (t) = cos ( π t ) + sin ( π t ) Solution particulière de l équation différentielle : Utilisation de la première condition : f ( ) =λ cos ( π 4 ) +μsin ( π =λ 4 ) +μ = (λ+μ) Sachant que f ( ) =, on obtient + = Utilisation de la seconde condition : f ' (t) = π sin ( π t ) + π cos ( π t )

5 donc f ' ( ) = π sin ( π 4 ) + π cos ( π 4 ) = π λ + π μ = π (μ λ) Sachant que f ' ( ) =0, on obtient = 0 c'est-à-dire = On obtient le système suivant : { λ+μ= λ=μ donc = et = Recherchons la solution à la même équation mais sous la forme f (t) = A sin(ωt + ) Solution générale de l équation différentielle : On a donc f (t) = A sin( π t + ) Solution particulière de l équation différentielle : Utilisation de la seconde condition : f ' (t )= π A cos ( π t+ϕ ) f ' ( ) = π A cos ( π 4 +ϕ ) =0 Comme A 0, cos ( π 4 +ϕ ) =0 donc = π 4 Utilisation de la première condition : f ( ) =A sin ( π + π 4 ) =A sin ( 3π 4 ) = donc A =