Équations différentielles (II)

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1 Équations différentielles (II) On s intéresse à un type particulier d équation différentielle, appelées «équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants». Dans tout le document, on désignera ce type d équation par l abréviation «ED2». Ces équations sont de la forme ay + by + cy = d(t), où a et c sont des nombres réels non nuls, b un nombre réel et d une fonction donnée. Si d est la fonction nulle, l équation s écrit ay + by + cy = 0, et on dit qu il s agit d une équation «sans second membre». Sinon, il s agit d une équation «avec second membre». 1 Vérifier qu une fonction est solution d une ED2 Exercice 1 Dans chacun des cas suivants, vérifier que f est une solution de l équation différentielle (E). (E) : y y + 2y = 4e 2t f(t) = e 2t (E) : y y = 5 sin(t) f(t) = sin(2t) (E) : d2 y dt 2 + 2dy + 2y = 5 sin(t) dt f(t) = sin(t) 2 cos(t) (E) : y 3y + 2y = e 2t f(t) = (t 1) e 2t (E) : y + 2y + y = 2e t f(t) = t 2 e t 2 Déterminer une solution d une ED2 quand on connaît la forme de cette solution. Exercice 2 Pour chacune des équations différentielles (E) ci-dessous, déterminer une solution f de la forme indiquée. (E) : y + 2y+ 3y = 5 f est une fonction constante (E) : 2y + 3y + 2y = 4t f est une fonction affine (E) : d2 u dt 2 + du + 2u = t(t+1) dt u est une fonction polynôme du second degré (E) : y 2y + y = t e t f(t) = (at+b)e t où a, b R TS2 Systèmes Photoniques 2017 / Lycée Fresnel - Paris

2 3 Déterminer les solutions générales d une ED2 A - Déterminer les solutions générales d une ED2 sans second membre Exercice 3 Soit r R et f la fonction définie sur R par f(t) = e rt. Montrer que : f est solution de l équation différentielle ay + by + cy = 0 ssi ar 2 + br+c = 0. Définition L équation caractéristique d une ED2 ay + by + cy = 0 est l équation d inconnue r : ar 2 + br+c = 0. Théorème Les solutions générales de l équation différentielle (E) : dans C l équation caractéristique ar 2 + br+c = 0. On note = b 2 4ac le discriminant de cette équation. ay + by + cy = 0 s obtiennent en résolvant Si > 0, l équation caractéristique admet deux solutions réelles r 1 et r 2. Les solutions de l équation différentielle (E) sont alors les fonctions définies sur R par : f(t) = λ e r 1t + µ e r 2t, où λ, µ R Si = 0, l équation caractéristique admet une unique solution réelle r 0. Les solutions de l équation différentielle (E) sont alors les fonctions définies sur R par : f(t) = (λt+µ) e r 0t, où λ, µ R Si < 0, l équation caractéristique admet deux solutions imaginaires conjuguées α ± jβ. Les solutions de l équation différentielle (E) sont alors les fonctions définies sur R par : f(t) = (λ cos(βt)+ µ sin(βt)) e αt, où λ, µ R Exercice 4 Donner les solutions générales des équations différentielles ci-dessous. (E) : y + 2y + y = 0 (E) : y 4y = 0 (E) : y + 9y = 0 (E) : d2 y dt 2 + dy dt 6y = 0 (E) : y 2y + 5 = 0 (E) : y 3y + 2y = 0 (E) : y + 4y + 13y = 0 TS2 Systèmes Photoniques 2017 / Lycée Fresnel - Paris

3 B - Cas général Théorème Les solutions générales de l équation ay + by + cy = d(t) sont les fonctions f définies sur R par : où : f(t) = h(t)+g(t) h est une solution quelconque de l équation différentielle sans second membre ay + by + cy = 0. g est une solution (appelée solution particulière) de l équation différentielle ay + by + cy = d(t). On pourra retenir que les solutions générales d une équation différentielle de la forme ay + by + cy = d(t) s obtiennent en ajoutant les solutions générales de l équation sans second membre associée et une solution particulière de l équation avec second membre. Exemple Problème : déterminer la solution de l équation différentielle (E) y y(0) = 1 + 4y = 0 telle que y (0) = 4 Résolution Les solutions de (E) sont les fonctions f(x) = λ cos(2x)+µ sin(2x), où λ, µ R. La condition f(0) = 1 s écrit : λ cos(0)+µ sin(0) = 1 soit λ = 1. Pour utiliser la condition f (0) = 4, on dérive l expression de f :. f (x) = 2λ sin(2x)+2µ cos(2x). Ainsi f (0) = 4 ssi 2λ sin(0)+2µ cos(0) = 4, soit 2µ = 4 et µ = 2. La solution du problème est donc la fonction f définie par : f(x) = cos(2x)+ 2 sin(2x). y 5 Solution du problème x Solutions de l équation y + 4y = 0 telles que y(0) = 1 5 TS2 Systèmes Photoniques 2017 / Lycée Fresnel - Paris

4 Exercices Exercice 1 Dans chacun des cas ci-dessous, on donne la solution générale de certaines équations différentielles : déterminer les valeurs de λ et µ pour que f vérifie les conditions initiales imposées. Solution générale Conditions initiales a) f(t) = λ e t + µ e t f(0) = 0 et f (0) = 1 b) f(t) = (λt+µ) e 2t f(0) = 1 f (0) = 0 c) f(t) = λ cos(2t)+µ sin(2t) f(0) = 5 f (0) = 2 d) f(t) = (λ cos(3t)+µ sin(3t)) e t f(0) = 1 f (0) = 5 Exercice 2 On considère l équation différentielle (E) : y +2y + y = 2e x, où y est une fonction inconnue de la variable réelle x, définie et deux fois dérivable sur R, y la fonction dérivée de y et y sa fonction dérivée seconde. 1. (a) Résoudre dans R l équation r 2 + 2r+ 1 = 0. (b) En déduire les solutions définies sur R de l équation différentielle (E 0 ) : y + 2y + y = Cette question est un questionnaire à choix multiples. Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie la réponse qui vous paraît exacte. Une solution de l équation différentielle (E) est donnée par la fonction définie sur R par l expression ci-dessous. g(x) = 2e x h(x) = x 2 e x k(x) = 2xe x Les dérivées première et seconde de ces fonctions sont données ci-dessous (ces calculs sont exacts). g (x) = 2e x h (x) = ( 2x x 2) e x k (x) = (2 2x)e x g (x) = 2e x h (x) = ( x 2 4x+2 ) e x k (x) = ( 4+2x)e x 3. En déduire les solutions de l équation différentielle (E). 4. Déterminer la solution de (E) qui vérifie les conditions initiales f(0) = 1 et f (0) = 1. TS2 Systèmes Photoniques 2017 / Lycée Fresnel - Paris

5 Exercice 3 Dans le cadre d une étude de sécurisation des silos à grains, on étudie les contraintes exercées dans un silo cylindrique, de diamètre connu, contenant un matériau granulaire de masse volumique connue. On s intéresse à la fonction donnant la pression (en kilo pascals) exercés sur le fond du silo en fonction de la hauteur x (en mètres) de grains contenus dans le silo. On admet que cette fonction vérifie l équation différentielle (E) : (E) : y + 0, 175y = 8, 365. x Dans cette équation, y désigne une fonction de la variable réelle x, définie et dérivable sur l intervalle [0 ; + [. 1. Résoudre l équation différentielle y + 0, 175y = 0 2. Déterminer le réel a tel que la fonction g, définie sur [0 ; + [ par g(x) = a, soit une solution particulière de l équation (E) 3. En déduire l ensemble des solutions de l équation différentielle (E). 4. Déterminer la fonction p définie sur [0 ; + [ solution de l équation différentielle (E) qui vérifie p(0) = 0. Exercice 4 On étudie le mouvement d une masse fixée à l extrémité d un ressort soumis à un mouvement fluide, dans le cas d un mouvement entretenu. On considère, dans le repère indiqué sur la figure cidontre, l allongement horizontal y(x) du ressort en fonction du temps x. O y L étude du système mécanique conduit à considérer l équation différentielle (E) : y + 3y + 2y = e 2x, (E) où y est une fonction de la variable réelle x, définie et deux fois dérivable sur [0 ; + [, y sa fonction dérivée et y sa fonction dérivée seconde. 1. (a) Résoudre dans R l équation : r 2 + 3r+2 = 0. (b) En déduire les solutions définies sur [0 ; + [ de l équation différentielle : y + 3y + 2y = Soit g la fonction définie sur[0 ; + [ par g(x) = xe 2x. Un logiciel de calcul formel fournit l expression de la dérivée et de la dérivée seconde sur l intervalle [0 ; + [ de g sous la forme g (x) = (2x 1)e 2x et g (x) = (4 4x)e 2x. Ces résultats sont admis et ne sont donc pas à démontrer. Montrer que la fonction g est une solution de l équation différentielle (E). 3. En déduire les solutions de l équation différentielle (E). 4. Déterminer la solution f de l équation différentielle (E) vérifiant les conditions initiales f(0) = 0, 5 et f (0) = 2. TS2 Systèmes Photoniques 2017 / Lycée Fresnel - Paris

6 Exercice 5 Soit l équation différentielle : y + 40y y = 0 (1) dans laquelle y est une fonction de la variable réelle t, définie et deux fois dérivable sur l ensemble des nombres réels. 1. Déterminer la solution générale de l équation différentielle (1). 2. On considère la fonction f, définie sur l ensemble des nombres réels par f(t) = e 20t sin(40t). On note f la fonction dérivée de la fonction f. On admet que, pour tout nombre réel t, f (t) = e 20t [40 cos(40t) 20 sin(40t)]. (a) Justifier que f est une solution de l équation différentielle (1) puis que f(0) = 0 et f (0) = 40. Exercice 6 L objet de l exercice est l étude de la suspension d une remorque dans les deux cas suivants : système sans amortisseur puis avec amortisseurs. Le centre de gravité G de la remorque se déplace sur un axe vertical, et est repéré par son abscisse en fonction du temps t exprimé en secondes. On admet qu à l instant initial t = 0, le point G a pour abscisse 0 et que sa vitesse est 0, 10 m.s -1. On a donc x(0) = 0 et x (0) = 0, 10. Partie A - Mouvement non amorti L abscisse x(t) de G est alors, à tout instant t, solution de l équation différentielle (1) : Mx (t)+kx(t) = 0, où M = 250kg et k = 6250N.m Résoudre l équation (1). 2. Déterminer la solution particulière de l équation (1) vérifiant les conditions initiales imposées. Partie B - Mouvement amorti On équipe la remorque d amortisseurs, la constante d amortissement l valant l = 1500 N.s.m -1. L abscisse x(t) de G est alors, à tout instant t, solution de l équation différentielle (2) : Mx (t)+lx (t)+kx(t) = 0, où M et k gardent les mêmes valeurs que dans la partie A. 1. Résoudre l équation (2). 2. Déterminer la solution particulière de l équation (2) vérifiant les conditions initiales imposées. TS2 Systèmes Photoniques 2017 / Lycée Fresnel - Paris

7 Exercice 7 On considère l équation différentielle (E) : y + 4y + 5y = 10x+ 3 où y est une fonction de la variable réelle x, définie et deux fois dérivable sur R, y sa fonction dérivée et y sa fonction dérivée seconde. 1. Déterminer les solutions définies sur R de l équation différentielle (E 0 ) : y + 4y + 5y = Déterminer les constantes réelles a et b telles que la fonction g définie sur R par g(x) = ax+b soit une solution particulière de l équation différentielle (E). 3. En déduire l ensemble des solutions de l équation différentielle (E). 4. Déterminer la solution particulière f de l équation différentielle (E) qui vérifie les conditions initiales f(0) = 1 et f (0) = 4. Exercice 8 On considère deux réactions chimiques successives : A k 1 B k 2 C. Ceci signifie que le produit A se transforme en le produit B, et que le produit B se transforme à son tour en le produit C. k 1 et k 2 désignent des constantes de vitesse réelles distinctes, strictement positives et vérifient k 1 < k 2. Ceci signifie que la vitesse à laquelle le produit A se transforme en B est plus faible que la vitesse à laquelle le produit B se transforme en C. À l instant t (exprimé en minutes), on désigne par x(t) et y(t) les concentrations exprimées en mol.l 1 respectivement des produits A et B. On admettra que x et y sont des fonctions de variable t définies et dérivables sur l intervalle [0 ; + [. Les lois cinétiques donnent les équations suivantes : { x = k 1 x (1) y = k 2 y+k 1 x (2) avec les conditions initiales : x(0) = a, y(0) = 0 où a est une constante strictement positive. 1. Résoudre l équation (1). En tenant compte de la condition initiale, en déduire l expression x(t). 2. Montrer que l équation (2) peut s écrire sous la forme : (E) : y + k 2 y = k 1 ae k 1t 3. (a) Déterminer le réel α tel que la fonction g définie sur [0 ; + [ par g(t) = αe k 1t soit une solution particulière de l équation différentielle (E). (b) Donner la solution générale de l équation différentielle (E). 4. Montrer que la solution de l équation différentielle (E) qui vérifie les conditions initiales est la fonction y définie, pour t 0, par : y(t) = k 1 a (e ) k1t e k 2t k 2 k 1 TS2 Systèmes Photoniques 2017 / Lycée Fresnel - Paris